当前位置：文档之家 › 均值与方差、正态分布

均值与方差、正态分布

  • 格式：doc
  • 大小：112.50 KB
  • 文档页数：9

均值与方差、正态分布时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】 A【解析】 P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝1－0.84＝0.16. 2．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个，其中含有红球个数的数学期望是( )A.32 B.53 C.65 D.35【答案】 C【解析】 根据超几何分布期望公式，E (X )＝2×32＋3＝65.3．(2012·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．15%C ．30%D ．45% 【答案】 D【解析】 ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P (x <60)＝0.05，∴P (90<x <120)＝12(1－2P (x <60))＝0.45，故选D.4．(2012·云南省统考)已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝125，则n 与p 的值分别为( )A ．16与45 B ．20与25 C ．15与45 D ．12与35【答案】 C【解析】 ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝125，∴n ＝15，p ＝45.5．(2011·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望E (x )＝( )A.445B.8310C.72D.92【答案】 D【解析】 x 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝92.6．(2011·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2【答案】 A【解析】 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.7．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256 B.9256 C.247256 D.764【答案】 C【解析】 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8， ∴P (ξ＝0)＝C 08×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，P (ξ＝1)＝C 18×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫128－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝247256.8．(2012·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 【答案】 D【解析】 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.二、填空题(每小题6分，共18分)9．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．【答案】0.4【解析】∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y ＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9.∴y＝0.4.10．(2011·浙江理，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.【答案】5 3【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算及随机变量的分布列与期望等基础知识．∵P(X＝0)＝112，∴(1－23)(1－p)2＝112，∴p＝12，∴P(X＝1)＝13，P(X＝2)＝512，P(X＝3)＝16.∴E(X)＝13＋2×512＋3×16＝53.11．(2012·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1、X2的分布列分别如下：两台机床中，较好的是__________，这台机床较好的理由是______________________________________________．【答案】 Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2) 三、解答题(共34分)12．(11分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令X 表示该公司的资助总额．(1)写出X 的分布列； (2)求数学期望E (X )．【解析】 (1)X 的所有取值为0,5,10,15,20,25,30，∴P (X ＝0)＝164，P (X ＝5)＝332，P (X ＝10)＝1564，P (X ＝15)＝516，P (X ＝20)＝1564，P (X ＝25)＝332，P (X ＝30)＝164.所以X 的分布列为(2)E (X )＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.13．(11分)(2011·陕西理，20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B 独立，∴P(X＝0)＝P(A－B－)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为∴E(X)＝0×0.0414．(12分)(2011·山东临沂质检)汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类M1型车抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：＝120g/km.2乙(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？(2)若乙类品牌的车比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性要好，求x的取值范围．【解析】(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：(80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150)．设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则A包含以下7种结果，(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150)．∴P(A)＝710＝0.7.(2)x甲＝80＋120＋110＋140＋1505＝120.∴x甲＝x乙＝120，x＋y＝220.5s2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3000，5s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2.∵x＋y＝220，∴5s2乙＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2.由乙类品牌的车CO2的排放量稳定性比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性好，得5s2乙<5s2甲，即2000＋(x－120)2＋(x－100)2<3000.∴x2－220x＋11700<0.解得90<x<130.即x的取值范围为{x|90<x<130}．。

合集下载

对数正态分布的均值和方差

对数正态分布的均值和方差

对数正态分布的均值和方差
对数正态分布是一种常见的概率分布，它的概率密度函数是由正态分布取对数得到的。

对数正态分布的均值和方差是对其进行统计分析时非常重要的参数。

对数正态分布的均值可以用以下公式计算：
μ = exp(μ' + σ'^2/2)
其中，μ'是正态分布的均值，σ'^2是正态分布的方差。

对数正态分布的方差可以用以下公式计算：
σ^2 = [exp(σ'^2) - 1]exp(2μ' + σ'^2)
需要注意的是，对数正态分布的均值和方差都是正实数。

在统计分析中，这些参数常常用于描述对数正态分布的中心位置和离散程度。

- 1 -。

离散型随机变量的均值与方差 正态分布

离散型随机变量的均值与方差 正态分布

∴选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为
49 75
.
返回导航页
结束放映
考向大突破三：正态分布
例3：(2013·大连测试)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－
2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.682 6，若μ＝4， σ＝1，则P(5＜x＜6)＝( ) A．0.135 8 B．0.1359 C．0.271 6 D．0.2718
返回导航页 结束放映
9
(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件 C，“甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分”为事件C1， “甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分”为事件C2，“甲在 A区投篮得4分、在B区投篮得3分”为事件C3，则C＝ C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件． 则P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝
温馨提示: 请点击相关栏目。
考点 ·大整合 考向 ·大突破 考题 ·大攻略
返回导航页
结束放映
考点 • 大整合
1．牢记离散型随机变量X的均值、方差的三个基本问题
返回导航页
结束放映
2．把握两点分布与二项分布的均值、方差
返回导航页
结束放映
3．理清正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 1 (3)曲线在x＝μ处达到峰值 σ 2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲 线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
返回导航页
结束放映
构成二维正态分布的条件

构成二维正态分布的条件

构成二维正态分布的条件二维正态分布是二维随机变量的分布形式之一，它是指当两个随机变量X和Y满足一定条件时，它们的联合分布是二维正态分布。

构成二维正态分布的条件包括均值、方差和协方差矩阵。

1. 均值：对于二维正态分布来说，均值是指X和Y的期望值。

假设X的均值为μ1，Y的均值为μ2，则二维正态分布的均值为(μ1, μ2)。

2. 方差：方差是衡量随机变量分布的离散程度的指标。

对于二维正态分布来说，X和Y的方差分别为σ1^2和σ2^2。

方差越大，随机变量的取值越分散。

3. 协方差矩阵：协方差矩阵描述了X和Y之间的线性关系。

对于二维正态分布来说，协方差矩阵是一个2x2的矩阵，记为Σ。

其中，Σ(1,1)表示X的方差，Σ(2,2)表示Y的方差，Σ(1,2)和Σ(2,1)表示X 和Y的协方差。

协方差矩阵的对角线元素即为各自的方差，非对角线元素表示X和Y之间的相关程度。

当协方差为正值时，表示X和Y呈正相关；当协方差为负值时，表示X和Y呈负相关。

4. 独立性：如果X和Y是独立的，那么它们的协方差为0，即Σ(1,2) = Σ(2,1) = 0。

当X和Y是独立的时候，它们的联合分布就是二维正态分布。

二维正态分布在概率统计学中具有广泛的应用。

例如，在金融领域中，二维正态分布可以用来描述股票收益率之间的关系；在生物学研究中，二维正态分布可以用来描述两个特征之间的相关性。

通过对二维正态分布的建模和分析，可以帮助我们更好地理解和预测随机变量之间的关系。

总结起来，构成二维正态分布的条件包括均值、方差和协方差矩阵。

通过对这些条件的研究和分析，可以得到二维正态分布的概率密度函数，进而对随机变量之间的关系进行建模和预测。

二维正态分布在实际应用中具有重要的意义，对于理解和分析随机变量之间的关系具有重要的参考价值。

9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布

9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布[备考方向要明了]考什 么怎 么 考1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义.1.离散型随机变量及其分布列、均值和方差是高考考查的一大热点，每年均有解答题出现，难度中等偏上，如2012年安徽T17，江苏T22，浙江T19等．2.正态密度曲线一般以选择或填空的形式考查.[归纳·知识整合]1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n (1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．[探究] 1.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数．样本的均值、方差是一个变量．随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差．3．两点分布与二项分布的均值、方差X X 服从两点分布 X ～B (n ，p )E (X ) p (p 为成功概率)np D (X )P (1－p )np (1－p )4.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝1σ2πe222x μσ(-)-，x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝∫ b a φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.[探究] 2.参数μ、σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．[自测·牛刀小试]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：选B 因为P (ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2.所以E (ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.2．(2012·深圳检测)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：选A E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.3．已知随机变量ξ～B (100,0.2)，那么D (4ξ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259D ．320解析：选B 由ξ～B (100,0.2)知随机变量ξ服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (ξ)＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4ξ＋3)＝42D (ξ)＝16×16＝256.4．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________. 解析：∵ξ～N (2,9)，∴P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<3－c )， 又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，∴c －1＝3－c ，解得c ＝2. 答案：25．随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 Pabc其中a 、b 、c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.解析：由题意得2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，c －a ＝13，将以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59. 答案：59离散型随机变量的均值与方差[例1] (2012·江苏高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[自主解答] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是：ξ 0 1 2 P (ξ)411611111因此E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.——————————————————— 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出E (X )．1．(2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为：X3456P542 1021 514 121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.均值与方差的实际应用[例2] (2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[自主解答] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )． (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为：X 60 70 80 P0.10.20.7X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为：Y 55657585P 0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为：Y 55657585P 0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．———————————————————应用均值与方差的方法在实际问题中仅靠离散型随机变量的均值，还不能完全地说明随机变量的分布特征，有时还要研究其偏离均值的平均程度即方差，不应认为两个随机变量的均值相同了，就认为两者的优劣性相同，还应比较两者的方差．2．(2012·福建高考)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2 轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为：X 1 1 2 3 P125350910X 2的分布列为：X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车.正态分布问题[例3] 设X ～N (5,1)，求P (6<X <7)． [自主解答] 由题意知μ＝5，σ＝1. ∵P (4<X <6)＝0.682 6，P (3<X <7)＝0.954 4. ∴P (3<X <4)＋P (6<X <7)＝P (3<X <7)－P (4<X <6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8. 如图，由正态曲线的对称性可得 P (3<X <4)＝P (6<X <7)， ∴P (6<X <7)＝0.271 82＝0.135 9.保持例题条件不变，求P (X ≥7)及P (5<X <6)． 解：P (X ≥7)＝12[1－P (3<X <7)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8，P (5<X <6)＝12P (4<X <6)＝12P (μ－σ<X <μ＋σ)＝12×0.682 6＝0.341 3. ———————————————————正态分布问题的几个注意点(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (x ≥a )， P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．3．设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ>c )＝a ，则P (ξ>4－c )等于( ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a解析：选B 由于ξ服从正态分布N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ>4－c )＝P (ξ<c )＝1－P (ξ>c )＝1－a .1个难点——对正态曲线的理解正态曲线指的是一个函数的图象，其函数解析式是φμ，σ(x )＝12πσ·e －(x －μ)22σ2.正态曲线的性质告诉我们(1)该函数的值域为正实数集的子集；(2)该函数图象关于直线x ＝μ对称，且以x 轴为渐近线； (3)解析式中前面有一个系数12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)22σ2，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性．3种方法——求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.答题模板——求离散型随机变量的均值与方差[典例] (2012山东高考·满分12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：向甲靶射击一次，命中的概率为34，向乙靶射击两次，每次命中的概率为23―――――――→每次射击结果相互独立可用独立重复试验概率公式P (AB )＝P (A )P (B )求解． 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：射击三次恰好命中一次的概率――→分类讨论命中甲靶一次或命中乙靶一次． 3．建联系，找解题突破口射击甲靶一次命中，乙靶两次没有命中；射击甲靶一次没有命中，乙靶两次只命中一次 ―――――――――――――――→利用独立事件的概率公式和互斥性可求得概率．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：共射击三次，命中甲靶得1分，命中乙靶得2分――――――→由射中次数可得总分X 的取值．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求总得分X 的分布列及期望―→先求X 的分布列，再求E (X )． 3．建联系，找解题突破口由该选手射中次数确定X 的取值――――――――――――→根据独立事件、互斥事件概率公式求概率得X 的分布列，可求得E (X )． [准确规范答题](1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，⇨(1分)由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，⇨(2分) 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )⇨(3分)＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736.⇨(5分) (2)根据题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.⇨(6分) 根据事件的独立性和互斥性得 P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136；⇨(7分) P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112；⇨(8分) P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19；⇨(9分) P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13；⇨(10分) P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19； P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P13611219131913⇨(11分)“设射手恰好命中一次”事件分析时，易忽视“恰好”这一条件，其含义只中一次，甲靶中1次时乙靶两次都不中，乙靶中1次时甲靶不中.对于X 的每个取值相对应的概率求法易失误，尤其是事件分析时易因考虑问题不全而导致失误所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.⇨(12分)[答题模板速成]求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤： 第一步 确定变量 确定随机变量的所有可能的取值 ⇒ 第二步求概率求每一个可能值所对应的概率⇒第三步 得分布列列出离散型随机变量的分布列⇒第四步 公式求值求均值和方差⇒第五步 回顾检查解后反思一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6解析：选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2.2．(2013·衡水模拟)若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－8解析：选B E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112⎝⎛⎭⎫1212＝3210. 3．(2013·东营模拟)若P 为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 P12－P P12则E (ξ)的最大值为( ) A ．1 B.32 C.23D ．2解析：选B 由P ≥0，12－P ≥0，则0≤P ≤12，E (ξ)＝P ＋1≤32.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35B.815C.1415D ．1解析：选A 离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，故E (X )＝nMN ＝2×310＝35. 5．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－13a ＋3＝73，解得a ＝2. 6．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，s 2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N (0，s 2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知随机变量x ～N (2，s 2)，若P (x <a )＝0.32，则P (a ≤x <4－a )＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得：P (a ≤x <4－a )＝1－2P (x <a )＝0.36.答案：0.368．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x 1 2 3 P (ξ＝x )？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.解析：令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1. 又E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 答案：29．2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升．并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，s 2)．已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．解析：由题意可知ξ～N (8，s 2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35，而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．答案：180三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量，某游客计划在游园期间种植n 棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p (0<p <1)，用X 表示他所种植的树中成活的棵数，X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )．(1)若n ＝1，求D (X )的最大值； (2)已知E (X )＝3，标准差D (X )＝32，试求n 与p 的值并写出X 的分布列． 解：(1)当n ＝1时，随机变量满足两点分布， D (X )＝p (1－p )＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14 即当p ＝12时，D (X )有最大值14，(2)∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 即np ＝3，np (1－p )＝32，解得，n ＝4，p ＝34.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫144－k (k ＝0,1,2,3,4)， 即X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P125612256542561082568125611．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．解：(1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ， 则Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，13， 故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4， P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－9102＝1100， P (ξ＝2)＝C 12×910×⎝⎛⎭⎫1－910＝18100， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫9102＝81100. 所以ξ的分布列为：ξ 0 2 4 P11001810081100∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9， P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－133＝827， P (η＝3)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫1－132＝49， P (η＝6)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－13＝29， P (η＝9)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以η的分布列为：η 0 3 6 9 P8274929127∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.12．(2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位： mm)对工期的影响如下表：降水量X X ＜300 300≤X ＜700700≤X ＜900X ≥900 工期延误 天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：Y 0 2 6 10 P0.30.40.20.1于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝1－0.3＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P (300≤x ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.1．设随机变量的分布列如表所示，且E (ξ)＝1.6，则a ×b ＝( )ξ 0 1 2 3 P0.1ab0.1A.0.2 B ．0.1 C ．0.15D ．0.4解析：选C 由分布列的性质得0.1＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.8.①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6， 即a ＋2b ＝1.3.②由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5， 故a ×b ＝0.3×0.5＝0.15.2．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 解析：当l 的斜率k ＝±22时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X 13 12 23 1 P27272717故E (X )＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.答案：473．欲从甲、乙两运动员中选一人参加2016年奥运会，由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：ξ1(甲得分)0 1 2 P0.20.50.3ξ2(乙得分)0 1 2 P0.30.30.4欲从甲、乙两运动员中选一人参加2016年奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？ 解： 由题意，E (ξ1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1， E (ξ2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1. 故E (ξ1)＝E (ξ2)．D (ξ1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49， D (ξ2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，尽管E (ξ2)＝E (ξ2)，但由于得分的方差D (ξ1)<D (ξ2)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．4．2014年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115. (1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1和P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队， 故甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16；①若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，故乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115，②解②得P 1＝23，代入①得P 2＝14.故甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)由题意知ξ可能的取值为0,3,6， ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为 P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－14＝14； ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P (ξ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎫1－23＝712； ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P (ξ＝6)＝23×14＝16.故ξ的分布列为：ξ 0 3 6 P1471216故E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.。