抛物线的概念与性质

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3课 题抛物线概念与性质教学目标1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。

教学内容一、知识梳理1、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质标准方程图形顶点 对称轴焦点 准线px y 22=(0,0)x 轴(2p,0) 2p x -= px y 22-=(0,0)x 轴(-2p,0) 2p x =py x 22=(0,0)y 轴(0,2p) 2p y -= py x 22-=(0,0)y 轴(0,-2p ) 2p y =我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。

3、直线与抛物线它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。

具体来说：1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；3、有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。

常见的问题有：（1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。

包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。

（2）直线与圆锥曲线相交成弦的问题。

包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。

弦长的求法：由2(,)00(0)0F x y ax bx c a Ax By C =⎧⇒++=≠⎨++=⎩，弦长2212()(1)d x x k =-+21()||k k l a ∆=+⋅为直线斜率. 注意：消去x 可得关于y 的二元方程有2122211()(1)1||d y y k k a ∆=-+=+⋅(k 为直线l 斜率). 求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。

4、抛物线的特殊性质（1）过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点F 的直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，设m FA =，n FB =，O 为原点，则有：（1）4221p x x =；（2）221p y y -=；（3）4-=OB OA k k ；（4）pn m 211=+。

（2）直线l 交抛物线px y 22=（0>p ）于),(11y x A 、),(22y x B 两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线l 经过定点（2p ，0），2214p y y -=，反之亦然（证明略）。

二、例题解析1、抛物线22x y -=的准线为___81=y ____ ,焦点坐标为______)81,0(- 2、已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p _______23、点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是 ___________x y 162=4、抛物线px y 22=（0>p ）与椭圆1922=+my x 有一个共同的焦点，则P 的取值范围是______)18,0( 5、抛物线x y 162-=上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 到焦点的距离为__________136、一个正三角形的顶点都在抛物线24y x =上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ）（A ）483 （B ）243（C ）1639（D ）463 7、若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的M 的坐标为_____(2,2)_8、若抛物线x k y )1(2-=与双曲线0122=+-y x 没有公共点，则实数k 的取值范围为______)3,1()1.1( - 9、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。

解:直线L 与X 轴交点(4,0),与Y 轴交点(0,-3)所以抛物线方程为y x x y 121622-==或焦点弦有关的问题1、已知),(00y x P 是抛物线px y 22=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2||0p x PF +=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -=的垂线，垂足为Q ，则),2(0y pQ -.根据抛物线的定义，2)2(||||00px p x PQ PF +=--==.2、在抛物线y 2=8x 上一点到x 轴的距离为4，则该点到焦点F 的距离为 63、在抛物线y 2=8x 上与焦点F 的距离等于6的点的坐标为 . ()24,4±4、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ A ）A ．8B ．10C ．6D ．45、过抛物线2y ax=()0a >的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 得长分别是p 、q ，则11p q+ 等于（ C ） A 2a B12a C 4a D 4a解析：考虑特殊位置，令焦点弦PQ 平行于x 轴。

6、抛物线px y 22=（0>p ）上有),(11y x A 、),(22y x B 、),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若AF 、BF 、CF 成等差数列，则（ A ）A 321,,x x x 成等差数列B 231,,x x x 成等差数列C 321,,y y y 成等差数列D 231,,y y y 成等差数列7、AB 是抛物线x y =2的焦点弦，若4=AB ，则AB 的中点到直线012=+x 的距离是________49 8、若抛物线x y 42=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程. [说明]根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示. 解：抛物线的焦点为)0,1(F .设焦点弦的两个端点分别为),(11y x A 、),(22y x B .由条件，52)2()2(||||||2121=++=+++=+=x x px p x BF AF AB ，所以321=+x x . 如果直线AB 平行于y 轴，那么121==x x ，这与321=+x x 矛盾，所以直线AB 不平行于y 轴. 设焦点弦所在直线方程为)1(-=x k y ，联立方程⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 消去y ，得到0)2(22222=++-k x k x k ， 根据韦达定理，3)2(22221=+=+kk x x ，求出2±=k ，于是焦点弦所在直线AB 的方程为022=-±y x . 9、过抛物线x y 82=的焦点F 作抛物线的弦AB ，当32=AB 时，求直线AB 倾斜角的大小。

答案：312=k ，所以倾斜角为030或015010、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值。

[说明]根据点M 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进而确定抛物线的方程形式. 解：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，其准线方程为2p y =. 根据抛物线的定义，有312=+p，所以4=p . 抛物线的方程为y x 82-=，准线方程为2=y ，焦点坐标为)2,0(-F ，将点)1,(-m M 的坐标代入方程y x 82-=，算得22±=m直线与抛物线1、抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（ A ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）2、过点（0,1）作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ C ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条3、直线m x y +=交抛物线y x =2于A 、B 两点，若OB OA ⊥，则=m _______14、抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 25、过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 ()221222=±--±-y x 及X=-16、在抛物线x y 82=中，以)1.1(-为中心的弦所在的直线方程为_________034=-+y x7、已知直线l 过点A （4,0）且与抛物线)0(2:2>=p px y C 交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求抛物线C 的方程。

8、给定直线l ：216y x =-，抛物线C ：2(0)y ax a =>。

（1）当抛物线C 的焦点在直线l 上时，确定抛物线C 的方程。

（2）若△ABC 的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标8A y =，△ABC 的重心恰在抛物线C 的焦点上，求直线BC 的方程。

答案：（1）x y 322=（2）.8=A y 代入x y 322=得2=A x 则A(8,2),设()11,y x C ()22,y x B .AB l 直线方程代入x y 322=,由韦达定理及重心坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++038832221y y x x y 求得41,10-==k b .0404:=-+∴y x l BC9、已知动圆过定点(1,0)P ，且与定直线:1l x =-相切，点C 在l 上。

（1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线M 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长； （3）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由。

解：（1）因为动圆M 过定点)0,1(P ，且与定直线1:-=x l 相切所以由抛物线定义知：圆心M 的轨迹是以定点)0,1(P 为焦点，定直线1:-=x l 为准线的抛物线 所以 圆心M 的轨迹方程为x y 42= ------4分（2）由题知，直线AB 的方程为)1(3--=x y ------6分 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=xy x y 4)1(32解得：)32,3(),332,31(-B A ------8分 316||=AB ----10分（3）假设△ABC 能为正三角形，则设点C 的坐标为),1(y - ---11分 由题知316||||||===BC AC AB 13分 即：22222)316()32(4)332()34(=++=-+y y ------14分 由于上述方程无实数解，因此直线l 上不存在这样的点C 。