2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程应用案巩固提升课件新人教B版必修2

10 + 3 − + = 0
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，

圆的一般方程【学习目标】1.认识二元二次方程、圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系(要点)．2.理解圆的一般方程及其特色，会用待定系数法求圆的方程，并能把圆的一般方程转变成标准方程(要点、难点)．3.掌握二元二次方程表示圆的条件，并会应用坐标法求动点的轨迹(方程)(难点、易错点)．【预习案】一、知识梳理1．圆的一般方程的观点当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为_____，半径长___．温馨提示假如x2，y2的系数相等，且是不为1的非零常数，只要在方程的两边同除以这个数，系数便可变成1.试试练习1．思虑判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1 )圆的一般方程能够化为圆的标准方程．() (2 )二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0必定是某个圆的方程．() (3 )方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则E≠0.()．圆x 2＋y2＋4x －6y －＝的圆心和半径分别为()23A．(4，－6)，r＝16B．(2，－3)，r＝4C．(－2，3)，r＝4D．(2，－3)，r＝163．假如方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线对于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．F＝E D．D＝E＝F4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．5．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．【研究案】一、合作研究（圆的一般方程的观点）例1以下方程可否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y ＋10＝0；2 2(4)－2x－2y＋10y＝0.[变式训练]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)务实数m的取值范围；(2)求圆心坐标和半径．二、拓展研究（求圆的方程）例2(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程；求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的方程．[变式训练]求经过点A(1，5)和B(2，－22)，且圆心在x轴上的圆的方程．三、深层研究（求与圆相关的动点的轨迹(方程)例3等腰三角形的极点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[变式训练]已知点(1，3)和圆x2＋y2＝10，以A为中点引线段1，其一端点1沿已知圆A MM M做圆周运动，求另一端点M的轨迹方程和轨迹．【训练案】一、选择题1.若直线l：ax－by＋1＝0均分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长,则a＋2b的值为() .A．1B．－1C．4D．－42．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为2，则a的值为() 2A．－2或2B.1或3C．2或0D．－2或0 223．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是()A．一个圆B．只有当a＝0时，才能表示一个圆C．一个点D．a，b不全为0时，才能表示一个圆4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0对于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝D．x－y＋2＝05．若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0二、填空题6．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．7．已知点P是圆C：x 2＋y2＋4x＋ay－5＝0上随意一点，P点对于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆8．已知圆C上，则实数a＝________．2 2 2x＋y＋kx＋2y＝－k，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．三、解答题9．求经过两点P(－2，4)，Q(3，－1)，而且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．10．若A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)三点的外接圆为⊙M，点D(m，3)在⊙M上，求的值．能力提高1．若直线l：ax＋by＋1＝0一直均分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()B．5C．25D．102．由方程2212所确立的圆中，最大面积是________．x＋y＋x＋(m－1)y＋m＝023．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．。

F 0,
F 0,
则 16 4D F 0, 解得 D 4,
36 6E F 0.
E 6.
所以圆的一般方程为 x2+y2-4x-6y=0.
答案:x2+y2-4x-6y=0
课堂探究·素养提升
类型一 二元二次方程表示圆的条件
【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
2.3.2 圆的一般方程
目标导航
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程 课标要求 解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法. 通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想方法的 素养达成 养成,帮助直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养的达 成.
(A)(1,- 1 ) (B)(-2,1) 2
(C)(2,-1)
(D)(-1, 1 ) 2
解析:原方程转化为(x-1)2+(y+ 1 )2= 11 , 24
所以圆心坐标为(1,- 1 ). 2
3.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称,那
么必有( A )
(4)二元二次方程一般形式:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,而圆的一般方程为 x2+y2+ Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).要使二元二次方程表示的曲线为圆,应满足三个条件:

跟踪训练 1 关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d＝ 42＋1＝ 17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交． 答案：B
类型二 两圆的公共弦的问题 [例 2] 已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
2．两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系
两圆相离
0 两圆内含
d>r1＋r2 d<|r1－r2|
图示
两圆相交
2
|r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 1
两圆外切
d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( × ) (2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．( √ ) (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．( √ ) (4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．( × )