- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以
1
x
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
1 z 1 (1 z)2 dz 1
02
24
y
1
1z x y 1
Dz
1x
O 1z
注：此题可用投影法求解． 15
例4.计算三重积分 zdxdydz 其中 是上半椭球体
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
解： : 0 z c,
所以
xy
I dxdy 0 f (x, y, z)dz Dxy
1
1 x
xy
0 dx0 dy0 f (x, y, z)dz
x y1 x
O
12
方法2. 截面法 (“先二后一”)
13
c2 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
D
c1
Dz
z
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
D
z1( x, y)
8
同理 D : c y d , x1( y) x x2( y), 得
Z2(x,y)
f ( x, y, z)dv
f ( x, y, z)dzd
D Z1( x, y)
d
x2 ( y)
z2 ( x, y)
dy
dx
f ( x, y, z)dz.
c
x1 ( y)
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
a
by
x
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
c c
z 2
a b( 1
z2 c2
)dz
4 15
abc3
17
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性：
设由( x, y, z) 0表示，若( y, x, z) 0仍
表示，则 f ( x, y, z)dv f ( y, x, z)dv.
作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
1
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
2
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
24
3. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
25
to be continue
26
作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
27
换元法
一一对应
雅可比行列式 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
z
2a
在球坐标系下方程为 r 2a cos
锥面方程为 所以
r 2a cos
a
V
dxdydz
2
d
d
2a cos
r 2 sindr
0
0
0
x
y
2 sin (r 3 ) 2acos d 4 a3(1 cos4 ).
30
0
3
41
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明:
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
y
原式 =
2
d
0
2h r 0 1 r2 dr
h
r2 d z
xo
4
2
2 0
h
1
r r
2
(h
r2 4
)
d
r
dv r dr d dz
36
4. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
drd z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz z1 ( r , ) D
d
r2 ( ) dr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz
r1 ( )
z1 (r, )
从小到大
边界到边界
在投影区域上做极坐标变换
35
例. 计算三重积分
其中由抛物面
半平面 锥面
M (r,,)
z
（
c
常
数
）
（
c
常
数
）
c
o
x c
y
39
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分，
从小到大，从边界到边界。
40
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
4. 微元法 5. 对称奇偶性* 6.中值定理. V 为 的体积, 则存在
在有界闭域 上连续, 使得
5
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
三次积分法
6
方法1. 投影法 (“先一后二” )
记作
7
三次积分法
设区域 :
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
投影法
适用范围: 由平面围成的情况
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
x c
32
r 常数
常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
o
y
x
r(x, y,0)
33
在柱面坐标下
cos r sin 0
sin r cos 0 r,
0
01
34
若 : z1(r, ) z z2(r, ) , (r, ) Dr 其 中 Dr： , r1( ) r r2 ( ) . 则有
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
14dz来自2 d2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
37
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) R3, 令 OM r,
ZOM , 则(r, , ) 就称为点M 的球坐标. z
及平面z 1围成.
解：
:
x2 y2 z 1
x2 y2 1
x2 y2 z2 x2 y2 1
I dxdy
Dxy
1 x2 y2
x2
1 y2
dz 1
Dxy
1 x2
x2 y2 y2 1
dxdy
极 坐 标
2
d
0
1 r r2 0 1 r 2 dr
2
1 1 r 0 (1 r2
z1 ( x, y)
同理可得用平行于x（或y）轴的直线穿如 不多于两点上三重积分可先对x(或y)积分， 再对yoz(或xoz)面上区域作二重积分展开即可。
9
例.计算三重积分
其中 为三个坐标
面及平面
所围成的闭区域 .
解:
10
例2..计算 I
x2
1 y2
dxdydz 1
,其中 由锥面
x2 y2 z2 ,
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
.
c
则 zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
z c
Dz
z
xa
by
而
dxdy SDz
Dz
a2 (1
z2 c2
)
b2 (1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
),
原式
c
ab(1
0
z2 c2
)zdz
1 abc2 .
4
16
例. 计算三重积分
c z Dz z
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
22
I (2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
1
1)
dxdydz
0.
20
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
