高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。

学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。

本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

4 例 1．已知线段AB 6，直线AM ,BM 相交于M ，且它们的斜率之积是，求点M9的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A( 3,0), B(3,0) ，设点M 的坐标为(x, y)，则直线AM 的斜率k AM y (x 3) ，直线BM 的斜AM x 3率k AM y (x 3)x3由已知有y?y 4(x 3)x 3 x 3 9x2y2化简，整理得点M 的轨迹方程为x y1(x 3)94练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x 4的距离之比为 2，则点P的轨迹方程是。

2．设动直线l 垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A、B两点，P是l上满足PA PB 1的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) A ．直线B．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例 2．若B( 8,0), C(8,0) 为ABC的两顶点，AC 和AB两边上的中线长之和是30，则 ABC 的重心轨迹方程是解：设 ABC 的重心为 G(x,y)，则由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30可得BG CG 32 30 20，而点B( 8,0), C(8,0)为定点，所以点G 的轨迹为以 B,C 为焦点的椭圆。

所以由 2a 20, c 8可得 a 10,ba 2 c 2 6222 2x 12y 12 1 ①x 22 y 22 1 ②424 2 ① ②可得(x 1 x 2)( x 1x 2) ( y1y 2)( y y 2) 042而 P (1,1) 为线段 AB 的中点，故有 x 1 x 2 2, y 1 y 2 2所以( x 1 x 2) 2 ( y 1 y 2) 2 0 y 1y 2 11 ，即k AB 14 2x 1 x 2 2 AB2所以所求直线方程为 y 112(x1) 化简可得 x 2 y 3 0练习：5．已知以 P(2, 2) 为圆心的圆与椭圆x 22y 2 m 交于A 、B 两点，求弦 AB 的中点MABC 的重心轨迹方程是 100 362y1(y 0)练习：4．方 2 (x 1)2 (y 1)2 | x A ．椭圆 B ．双曲线 3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点y 2| 表示的曲线是 ( )C ．线段D ．抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 的坐标代入圆锥曲线方程， y 1 y 2 ，x 1 x 2 ，y 1 y 2 等关系式，由于弦x 1 x 2 ，P(x,y) 的坐标满足 2x x 1 x 2 ， 然而相减，利用平方差公式可得 AB y 2 y 12y y 1 y 2且直线 AB 的斜率为 2 1 ，x x由此可求得弦A B 中点的轨迹方程。

2x 例 3 ．椭圆 x42y2 1中,过 P(1,1)的弦恰被 P点平分 , 则该弦所在直线方程为解：设过点 P(1,1)的直线交椭圆于 A(x1,y 1)、 B(x 2,y 2)，则有x 1x 2 4 x 1 x 2 4的轨迹方程。

26．已知双曲线 x 2 y 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A, B 两点，使 P2为线段 AB 的中点？4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ① 某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ② 另一个动点 M 随 P 的变化而变化；③ 在变化过程中 P 和M 满足一定的规律。

22xy例 4．已知 P 是以 F 1,F 2为焦点的双曲线1上的动点，求 F 1F 2P 的重心 G 的1 2 16 9 1 2轨迹方程。

例5．抛物线 x 2 4 y 的焦点为 F ,过点(0, 1)作直线 l 交抛物线 A 、B 两点,再以 AF 、BF 为邻边作平行四边形 AFBR ，试求动点 R 的轨迹方程。

解法一：(转移法) 设R(x, y) ，∵ F (0,1) ，∴平行四边形 AFBR 的中心为 P(x , y 1)， 22 将 y kx 1 ，代入抛物线方程 ,得 x 2 4kx 4 0 ，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则16k 2 16 0 |k | 1 x 1 x 2 4kx 1 x 2 4k ①解：设 重心 G(x, y) ，点 P (x 0 , y 0) ，因为 F 1( 4,0), F 2 (4,0)x则有 y 4 4 x03 0 0 y03 故x0 3x代入x0 y 0y 0 3 y 16 9得所求轨迹方程 9x 216y 2 1(y 0)y 2( x 4) 的对称点，求动点 P 的轨迹方程。

5．参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方 程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示 不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某 些变量的取值范围的变化等等。

22x 1 x 2∴y 1 y 22(x 1 x 2 ) 2x 1x 24k22，∵ P 为 AB 的中点 .∴x 1 2x 22ky 1 y 222k 24k 4k 2，消去 k 得2x 2 4(y 3) ，由①得， | x|4 ，故动点 R 的轨迹方程为4(y 3)(| x | 4) 。

解法二：(点差法) 设 R( x, y) ∵ F (0,1) ，∴平行四边形 AFBR 的中心为 P(x , y 1)，22设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2 ) ，则有22x 1 4 y 1 ① x 2 由① ②得(x 1 x 2)( x 1 x 2)4 y 2 ②4( y 1 y 2)x 1x 24k l而 P 为 AB 的中点且直线 l 过点 (0, 1) ，所以 x 1 x 2 x,k ly112x 2y 3 2入③可得 x 4 ，化简可得 x 2 4 yx1212 ④4由点P(2x ,y 21)在抛物线口内，可得4 y 21x 2 8(y 1)⑤将④式代入⑤可得 x 28( x 2 1241) x 2 16 | x|故动点 R 的轨迹方程为 练习：x 2 4( y 3)(| x| 4) 。

7．已知 A( 1,0), B(1,4) ，在平面动点 Q 满足 QA QB 4，点 P 是点 Q 关于直线例 6．过点 M ( 2,0) 作直线 l交双曲线 x 2 y 2 1于 A 、B两点，已知 OP(1)求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； ( 2)是否存在这样的直线 说明理由。

解：当直线 l的斜率存在时，设 22 4k 2x 4k 2 1l ，使 OAPB 矩形？若存在，求出 l的方程； l 的方程为 y k(x 2)(k 0)，代入方程 x 2若不存在， 2 y 2 1，得 22 (1 k 2 )x2 因为直线l与双曲线有两个交点，所以设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 x 1 x 2224k 2 ,x x 4k 2 12 ,x 1x 2 2 1 k k 1y 1 y 2k(x 1 2) k(x 2 2) k(x 1x 2) 4kk 4k 2 1 k 24k4k 1 k 2设 P(x, y) ，由OP OA OB 得 (x, y) (x 1 x 2, y 1 y 2 )4k 2 ,4k )1 k2 ,1 k 2 )4k 2 1 k24x4k 1 k 2x所以yk ，代入 y4k 1 k 2 可得 yy ，化简得 1 (x )2y22xy当直线l 的斜率不存 在时， (x 2)2 y 2 4(y 0) ，其轨迹为双曲线。

( 2)平行四边 OPAB 为矩形的充要条件是 当 k 不存在时， A 、 当 k 存在时， x 1x 2 4x y 2 4 ② 易求得 P( 4,0) 满足方程 ②，故 所求轨迹 方程为 考虑用点差法求解曲线方程) OB 0 即x 1x 2 y 1y 2 0 ③ B 坐标分别为 ( 2, 3)、( 2, 3) ，不满足③式 0即 (x 2)2 y 1y 2 x 1x 2 x 1x 2 k(x 1 2)k( x 2 2) (1 k 2)x 1x 2 2k 2(x 1 x 2) 4k 2 (1 k 2)(1 4k 2 )1 k 22k 2 4k 2 k 2 14k 2 0 化简得 k 2 1k 21，此方程无实数解，故不存在直线练习： l 使 OPAB为矩形。

8．设椭圆方程为 x 21, 过点 M (0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、 B , O 是坐标原点 ,1 点 P 满足 OP2(OA (1) 动点 P 的轨迹方程；11OB),点 N的坐标为(2,2),当l 绕点 M |NP| 的最小值与最大值。

旋转时 ,求 :(2)9．设点 A 和 B 为抛物线 y 2 4px(p 0) 上原点 O 以外的两个动点，且 OA OB ，过O 作OM AB 于M ，求点 M 的轨迹方程。

6．交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程 组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例 7 ．已知 MN 是椭圆 xa 2y1中垂直于长轴的动弦， A 、 B 是椭圆长轴的两个端 2 点，求直线 MA 和 NB 的交点 P 的轨迹方程。

解 1:( 利用点的坐标作参数 ) 令 M (x 1, y 1) ，则 N(x 1, y 1) 而 A( a,0), B(a,0) .设AM 与NB 的交点为 P(x,y)解 2: ( 利用角作参数 )练习：总结归纳1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲 线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性” ，即轨迹若 是曲线的一部分，应对方程注明 x 的取值范围，或同时注明 x, y 的取值范围。