切线的证明与计算

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)

1.(24年湖北中考)RtABC中,90ACB,点O在AC上,以OC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.

(1)求证:AB是O的切线。

(2)连接OB交O于点F,若3,1ADAE,求弧CF的长.

2.(24年成都中考)如图,在RtABC中,90C,D为斜边AB上一点,以BD为直径作O,交AC于,EF两点,连接,,BEBFDF.

(1)BCDFBFCE

(2)若,ACBFtan5,45BFCAF,求CF的长和O的直径. 3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD

(1)若60OAFE,CD为直径,求ABD的度数.

(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.

4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,ACBD,E在BA的延长线上,CEACAD．

(1)如图1,求证:CE是O的切线

(2)如图2,若2CEADAB,8OA,求BD的长．

5.(24年安徽中考)如图,O是ABC的外接圆,D是直径AB上一点,ACD的平分线交AB于点E,交O于另一点,.FFAFE

(1)求证:;CDAB

(2)设FMAB,垂足为M,若1OMOE,求AC的长.

6.(24年新疆中考)如图,在O中,AB是O的直径,弦CD交AB于点E,ADBD.

(1)求证：△ACD∽△ECB.

(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.

7.(24年江西中考)如图,AB是半圆O的直径,点D是弦AC延长线上一点,连接BDBC，,60DABC．

(1)求证:BD是半圆O的切线.

(2)当3BC时,求AC的长．

8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC中,以AB为直径的O交BC于点,DDEAC,垂足为E． O的两条弦,FBFD相交于点,FDAEBFD．

(1)求证:DE是O的切线;

第 1 页 共 17 页 切线证明〔共5篇〕

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。

〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半

径，证垂直〔比拟常用〕。

〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD， 第 2 页 共 17 页 ∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， 第 3 页 共 17 页 ∴∠3=∠4.⌒ ⌒

∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.

证明圆的切线的七种常用方法

类型1、有公共点：连半径，证垂直

方法1、勾股定理逆定理法证垂直

1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8.

求证：PC是⊙O的切线.

方法2、特殊角计算法证垂直

2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=5，求⊙O的直径.

方法3、等角代换法证垂直

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线.

方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是 ︵AC 的中点.

(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：CF=OC；

(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.

A B P O C

A

C

B P D O

A

E

B D O

C

A O F E C D

B 方法5、全等三角形法证垂直

5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，交OC的延长线于点F，连接BF.

求证：BF是⊙O的切线.

类型2、无公共点：作垂直，证半径

方法6、角平分线性质法证半径

6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，DE=DC，以点D为圆心，BD长为半径作OD，AB=5，EB=2.

(1)求证：AC是OD的切线；

(2)求线段AC的长.

方法7、全等三角形法证半径

7.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD+BC=CD，以AB为直径作⊙O.

求证：⊙O与边CD相切.

A O B C D F

乐学教育

1 图1 O A B C

D 如何证明圆的切线

证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

O A B C

D

图3 2

3 4 1 图2 O A B C D

2 3 1 乐学教育

2

三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

【例6】 如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．

（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）

（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC 边相切．