压缩型算子及其不动点定理
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稼山师专学报自然科学版)989年
压缩型算子及其不动点定理
陈仕洲
提要
本文研究了几类压缩型算子对),
得出其不动点定理所得结果大大地改进和发
展了文献〔1」一〔7〕中相应的结果。
芍1。
引言
由于Ban
ach压缩映射原理在解决各类方程解的存在性唯一性以及近似解等方面仍
是十分有效的工具之
一因此,
近年来许多数学工作者对它作了相当广泛的研究,
至今
已有许多推广形式本文研究了几类压缩型算子(对),
获得其不动点定理。
所得结果
大大改进和推广了文献[1〕一[7〕中相应的重要结果
荟2.
定理及其证明
定理1设(X,
d)是完备度量空间,a
(t),
夕(t),r
(t):
(0,+
o)卜一,〔0,+
o)
都是单调减的,
且满足2尽(t)+r
(t)<1,
Vt>0
溉{
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X~X满足:
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T刀)(a
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y))(d(x,
T劣
)+d(夕,
Ty))
+
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夕))(d(劣,
T,)+d(夕,
T劣))+r
(d(戈,
夕))d(劣,
夕)(1)
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〔X为T的渐近正则点,
则T存在唯一不动点二
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(n,o)
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二。,,;
〔N.
则V。,:
〔N,
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于是
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戈,
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)+d(x卜;,x,
)〕
+
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)+d(劣,_;,x。
)〕+r
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)
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)+(x。一;,劣,
)〕
+
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)+(戈,,x。
)+(劣。_,,x。
)+
(x,
`)〕dd
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压缩型算子及其不动点定理
47
+r
〔d(x,_,,劣,
)+d(劣,,
尤,
)+d(x。,义卜,
)]
其中a=a(d(,。一:,“一:
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)、一
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气一
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与气一,〕
由于a
(t),
月`t),
下(i)都是t的单调减的非负函数,
故
de
f_
h(t)二==;a
(t)+
月(t)+y(t)
1一2口(t)一下(t)
也是关于t的单调减的非负函数。
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k,oQ再注意到
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人十`戈o
)=O
k、o
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因而丫m,。
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)+d(戈。一,,二,一:
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丁十
丁之`
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)
成立.
故
丁二,
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备性知3二肠
〔X,stlim二,=二.。
即limT”二。=二
气
”-00”一卜C(;
下证二费
是T的不动点。
为此,
先证hm二。+1=T二
气分两种情况来证:
①若日N任N,:t.
V。
>N,二,=二
气则显然二补
是T的不动点
②若引”
计二N,`t.
气。笋“
气k二1,
2,“
一,
则由条件(1)得
d(%*+1,
T戈朴
)=d(T%、,
T劣芳
)
《a爷
(d(劣,。,劣*十、
)+d(戈带,
+y任
d(戈,,x赞
)
自T劣关
))+
尽苦
(d(劣*,
Tx.
)+d(劣
气义。,:
))
《书
仁(`、,`*十
)+
(“,x*十
)+
(x。,;,
朴份
)〕ad:
d.:
d
48韩山师专学报(自然科学版)1989一
年
+
月.
仁d(戈。,戈、+,
)+d(,、:,
T劣件
)〕+y.
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其中a
一a
(d(x,,二带
)),
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,朴
)),
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一,(d(x、,、.
因而
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月器
)厂d(义,`,
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Tx.
)(--
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)+d(戈.,戈、;1
)】+y.
d(%。,二.
)
l一a带一
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注意到久=sup「a
(t)+
月(t)二<1,
即得
t)0
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T戈苦
)(〔d(劣、,义。、,
)+d(义
气义、+1
)〕
人凡一
一,.1
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)
一。(“
一)
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(”
`
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““
气故“爷=
T`
气即“苦
是T的一个不动点
”一。二
最后证明分奋
是T的唯一不动点设戈
料〔万也是TJ为不动点月二
样沪劣
气明
d(x
气劣铃铃
)=d(T戈.,
T戈爷爷
)
《
了〔J(二,
r、.
)+、(x
二,
犷二
一
小矶、(二,
十yd(戈.,戈
二)
二
日[己(戈.,劣
二)+d(x
二,戈.
)〕+yd(戈.,戈,`T况井苦
)+d(x
二,
T劣.
)〕
其中a=口(d(二.,二
二)),
尽
从而得出(1一2尽一y)d
扭.,=
口(d(戈.,戈朴.
)),
y=(d(戈.,况
二)).
护.
)《O,
再由d(二.,二朴.
)>0.
获得与定理条件矛盾
的结果:
1一2月一
推论,设(“,y《0故x,二“
…即二.
是T的唯一不动点.
证毕.
d)是一完备的度量空间若存在单调减的函数a`
(t):
(0,+
o)
一0[,
1),
、=
1,
2,
…,
5满足
互。`
(`)
1
群:
x咔x满足
利科:
`二1
V二,
夕〔笼,,祷夕,
有
d(T义,
Ty)(a,
(d(戈,
夕))d(x,
T戈)+a:
(汀(x,
夕))己(y,
T刀)
4一
a:
(讨(沉,
夕))d(义,
T夕)+a4
(d(戈,
方))d(2,,
T义
)
+a。
(d(￡,
夕))d(戈,
夕)
则T存在唯一不动点二朴,
且丫二。
〔X,
序列T叹。
、,’
(。
、。).
证明由条件(2)得
d(T刀,
T义
)《al
(d(夕,戈))d(夕,
T夕)+a:
(d(夕,忿
))d(,,
T戈)
+a:
((夕,义))(y,
T,
)+a`
((夕,笼))(义,
T夕)
+。。
((夕,,))(夕,戈)(2)
dddd
dd
