一、参考例题
［例1］如下图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.
分析：(1)要证明OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF =OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC 、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.
(2)假设四边形AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF =90°，由(1)可证得OE =OF ，所以要使四边形AECF 是矩形,只需OA =OC .
证明：(1)∵CE 、CF 分别是∠ACB 、∠ACD 的平分线. ∴∠ACE =∠BCE ，∠ACF =∠DCF
∵MN ∥BC ∴∠OEC =∠ECB ，∠OFC =∠FCD ∴∠ACE =∠OEC ，∠ACF =∠OFC ∴OE =OC ，OF =OC ∴OE =OF
(2)当点O 运动到AC 的中点时，即OA =OC 又由(1)证得OE =OF
∴四边形AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA +∠ACF =21∠ACB +21∠ACD =2
1 (∠ACB +∠ACD )=90° 即∠ECF =90° ∴四边形AECF 是矩形.
因此：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.
［例2］如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.
分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°，∠F AO=30°∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm
二、参考练习
1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.
解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形S
菱形=
2
1
×BD×EF=BF×CD
∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：x2=(8－x)2+62
x =
4
25 ∴6425
682122⨯=⨯+⨯EF EF =7.5
因此，折痕EF 的长为7.5 cm.
2.当平行四边形ABCD 满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).
答案：∠BAC =90°或AC =BD 或OA =OB 或∠ABC +∠ADC =180°或∠BAD +∠BCD = 180°等条件中的任一个即可.
典型例题
例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且
，求：
（1）
的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．
分析 （1）由E 为AB 的中点，，可知DE 是AB 的垂直平分线，
从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴
是AB 的中点，且
，∴
∴是等边三角形，∴
也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，
∴
∴，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．
求证：
分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．
证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且
，∴，∴，
，∴，∴
例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，
，，求的度数.
解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴与为等边三角形. ∴
∵，∴∴
∴
∵，∴为等边三角形. ∴
∵，
∴∴
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证
.
例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．
求证：垂直平分．
分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．
证明：∵四边形、都是矩形
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵，∴在△和△中
∴△≌△∴，
∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形
∴平分∴平分∵
∴垂直平分．
