勾股定理的证明的方法
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做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为c,再做三
个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即
2 2 1 2 1 a2 b2 4 ab 二 c2 • 4 ab 2 2 2
2 2 ，整理得 a +b =c .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
1 ab 等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上,
B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
••• Rt AHAE 也 R
t AEBF, 【证法1】（课本的证明）
a b
a b a b
A b
F
a E b B •••ZAHE = ZBEF.
••• ZAEH + ZAHE = 90 o,
• ZAEH + ZBEF = 90 o
• ZHEF = 180 o-90o= 90 Q
•四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2.
••• Rt AGDH 也 Rt AHAE,
• ZHGD = ZEHA.
••• ZHGD + ZGHD = 90 Q
• ZEHA + ZGHD = 90 Q
又••• ZGHE = 90 Q
• ZDHA = 90 o+ 90 Q= 180 o.
• ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 a b ".
a b2 =4 -ab c2 222
2 . •a +b =c .
【证法3】(赵爽证明)
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角
1 ab
三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
••• Rt ADAH 也 Rt AABE, • ZHDA = ZEAB.
•••/HAD + ZHAD = 90o,.・.ZEAB + /HAD = 90 o,
C
A H E b
G a、b （b>a）,斜边长为c.再 使E、A、C三点在一条直线上. ••• ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
EF = FG =GH =HE = b -a , ZHEF = 90 o.
••• EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于
（b -a 2.
1 4 ab b -a 2
【证法4】（1876年美国总统 Garfield证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 〔ab
等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使
T Rt AEAD 也 Rt ACBE, . ZADE = ZBEC.
T ZAED + ZADE = 90o,.ZAED + ZBEC = 90 Q
./DEC = 180 o—0o= 90o
.ADEC是一个等腰直角三角形，
1 2 c
它的面积等于2 .又T /DAE =
90 o ZEBC = 90 o
.AD /BC.. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
1 , 2 1 , 12 a - b 2 ab c 2 . 2 2 ...2' f 2 2 a +b = c
【证法5】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边长分别为 做一个边长c的正方形.把它们拼成如图所示多边形， 过点Q作QP /BC ,交AC于点P.
过点B作BM JPQ，垂足为M ;再过点
F作FN JPQ，垂足为N.
••• ZBCA = 90 o, QP /BC TMPC = 90 o，
T BM JPQ，. /BMP = 90 o，
.BCPM是一个矩形，即Z MBC = 90 o
T ZQBM + ZMBA = zQBA = 90 o， A、 ZABC + Z/IBA = ZMBC = 90 o. zQBM = ZABC，
又T /BMP = 90 o,zBCA = 90 o, BQ = BA = c ,
• Rt ABMQ 也 Rt ABCA.
同理可证Rt AQNF也Rt AAEF
【证法6】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长 分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.
T D、E、F 在一条直线上,Rt AGEF 也 Rt AEBD,
• zEGF = /BED ,
T zEGF + zGEF = 90 ° /./BED + zGEF = 90
••• ZBEG =180 o—0o= 90Q
又 T AB = BE = EG = GA = c ，
• ABEG是一个边长为c的正方形.
••• ZABC + JCBE = 90 o.
••• Rt AABC 也 Rt AEBD, • ZABC = zEBD.
• ZEBD + ZCBE = 90 o.即 ZCBD= 90 o
又T zBDE = 90 o，zBCP = 90 o, BC = BD = a .
• BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG 日 疋
2 2 1 a +b =S+2 疋一ab, 设多边形GHCBE的面积为S,则 2
• a2 +b2 =c2 个边长为b的正方形.
2 1 c = S 2 -ab 2
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结
BF、CD.过 C 作 CL JDE，
交AB于点M，交DE于点
L. 三占
- k
八\、
K ••• AF = AC , AB = AD ,
ZFAB = JGAD ,
••• AFAB 也 AGAD ,
1 2 a ••• AFAB的面积等于2 ,
AGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
2 •••矩形ADLM的面积=a .
2 同理可证，矩形 MLEB的面积=b .
•••正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
...c2 =a2 +b2，即 a2 +b2 =c2.
【证法8】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为 a、b、c的正
方形，把它们拼成如图所示形状， 使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号 （如图）
•/ ZTBE = ZABH = 90 o，. ZTBH = ZABE . 又••• ZBTH = ZBEA
= 90 o, BT = BE = b ， ••• Rt AHBT 也 Rt AABE. /• HT = AE
= a .
••• GH = GT -HT = b -a.
又••• J3HF + ZBHT = 90 o，
ZDBC + ZBHT = ZTBH + ZBHT = 90 o，
• J3HF= ZDBC .
•/ DB = EB -ED = b -a，ZHGF = ZBDC = 90 o,
• Rt AHGF 也 Rt ABDC •即 S7 = S2 .
过 Q 作 QM !AG，垂足是 M.由/BAQ = ZBEA = 90 o，
可知 ZABE= ZQAM，而 AB = AQ = c，所以 Rt AABE 也 Rt AQAM
又 Rt AHBT 也 Rt AABE.所以 Rt AHBT 也 Rt AQAM .即 S* = SJ 由 Rt AABE 也 Rt AQAM，又得 QM = AE
= a，/AQM = ZBAE .
•/ ZAQM + ZFQM = 90 o，ZBAE + /CAR = 90 o，ZAQM = ZBAE， • ZFQM = ZCAR . B
b T
8 D
6
1 3
F 4 2 C
5 c M总 b a
2
ab a
b2 ab
1 i
形 ABCD
把正方形 b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD .把正方 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 a b 2ab ；
ABCD划分成上方右图所示的几个部分，
1 2 =4 ab c 2 2 = 2ab + c2.
a2 +b2 =c2 ABCD的面积为 则正方形
a2 b2 2ab =2ab - c2 2 (a +b )
垂足为E，DE交AF于H.
••• Rt ADHA 也 Rt
ABCA. 又 VXQMF = ZARC = 90 o, QM = AR = a . Rt AQMF 也 Rt AARC 即 S4 = S6
..c2 =S S2 S3 S4 S5 a2 = S S6 b2 = & S7 S8
* ? ?
又・・ S7 = S2 S8 = S5 S4 = S6
又.
2 2
-a b = S1 S6 S3 S7 S8 = Si S4 S3 S2 S5=c2
即 a2 b2 =c2
【证法9】（辛卜松证明）
【证法10】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a）,斜边长为c.再 做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形•过A作AF山C , AF交GT 于F, AF交DT于R.过B作BP 1AF ,垂足为P.过D作DE_与CB的延长线垂直，
■/ ZBAD = 90 o,zPAC = 90 o, •••ZDAH = ZBAC.
又••• ZDHA = 90o,zBCA = 90 o,
AD = AB = c ,A
a a
b b
b
设直角D
a C
