勾股定理与平方根的数学知识点

第 1 页 共 3 页第二章勾股定理与平方根 教案班级 姓名 学号学习目标：1回顾勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题2平方根及立方根，能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数，会进行实数的有关计算学习难点：勾股定理及其应用，平方根及立方根教学过程：一、知识要点1、勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边。

①c2＝a2＋b2；②a2＝c2－b2；③b2＝c2－a2。

3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

也称二次方根，也就是说，如果x2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。

5、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0，记作0 ；③负数没有平方根。

6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。

公式：( a )2＝a (a ≥0)，a2 ＝a (a ≥0) ， a2 ＝－a(a ≤0)。

8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a 读作“三次根号a ”。

9、开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆算。

10、立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根0。

二、课堂小练习 1、16 的平方根________，64 的立方根_______。

勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

第一章勾股定理1.勾股定理o直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2（其中a、b为直角边，c为斜边）。

o应用：用于直角三角形中的边长计算、证明等。

2.一定是直角三角形吗o如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形。

3.勾股定理的应用o应用于解决实际问题中的直角三角形边长计算。

第二章实数1.认识无理数o有理数：可以表示为有限小数或无限循环小数的数。

o无理数：无限不循环小数，如2、π等。

2.平方根o算数平方根：一个正数x的平方等于a，则x是a的算数平方根。

o平方根：一个数x的平方等于a，则x是a的平方根，正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0本身；负数没有平方根。

3.立方根o立方根：一个数x的立方等于a，则x是a的立方根。

o每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

4.估算与开方o估算：对复杂小数进行近似计算。

o用计算机开平方或立方。

5.实数o实数是有理数和无理数的统称，可以在数轴上表示。

第三章位置与坐标1.确定位置o在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据（横坐标和纵坐标）。

2.平面直角坐标系o由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。

o通常地，两条数轴分别置于水平位置（x轴）与竖直位置（y轴），取向右与向上的方向分别为正方向。

3.轴对称与坐标变化o关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

第四章一次函数1.函数o如果在一个变化过程中有两个变量x和y，且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值，则称y是x的函数。

2.一次函数o形式为y=kx+b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数称为一次函数。

o当b = 0时，称为正比例函数y=kx。

3.一次函数的图像及性质o图像是一条直线，经过点(0, b)和(−kb,0)。

o当k > 0时，y随x的增大而增大；当k < 0时，y随x的增大而减小。

勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理是描述直角三角形边的关系的定理，它由公式a²+b²=c²表示，其中a、b、c分别代表直角三角形的两个直角边和斜边。

这一定理源自古希腊的数学家毕达哥拉斯提出的观察和实验结果。

应用：勾股定理在几何学中的应用非常广泛，可以用于求解直角三角形的边长、计算三角形的面积等。

同时，它还有重要的应用于导出三角函数的定义和性质。

例如，我们可以通过勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度。

如果已知两个直角边的长度分别是a=3和b=4，那么根据勾股定理，可以计算出斜边c的长度：c²=a²+b²c²=3²+4²c²=9+16c²=25c=√25c=5所以，直角三角形的斜边长度为5二、平方根平方根是一种运算，表示一个数的平方根。

对于非负实数x，它的平方根是一个非负实数y，满足y²=x。

平方根的正号由计算的上下文决定。

平方根的运算方法可以通过求解方程x²=y来实现。

实质上，平方根是指数运算的逆运算。

应用：平方根在代数学中的应用广泛，可用于求解方程、计算数值等。

它还在几何学中有重要的应用，例如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的半径等。

在实际应用中，平方根的计算可以通过手算、计算器、计算机等方式进行。

一些常见的平方根的近似值也被广泛使用，例如√2≈1.414，√3≈1.732三、勾股定理与平方根的关系勾股定理和平方根的关系可以通过勾股定理的应用来理解。

当我们需要求解直角三角形的斜边长度时，可以使用平方根运算。

在勾股定理中，由于a²+b²=c²，所以有c=√(a²+b²)。

这个式子告诉我们，当已知两个直角边的长度时，我们可以通过平方根运算来计算斜边的长度。

例如，当已知两个直角边的长度分别为a=3和b=4时，根据勾股定理，我们可以计算出斜边c的长度为c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5这个例子展示了勾股定理和平方根的关系，它们在求解直角三角形边长时密切相关。

勾股定理与平方根理论勾股定理应用在金融市场上，有两个直角三角形最为重要：第一，等腰直角三角形，直角两边皆为1，则其斜边比率将为开方2，即1.414. 第二，直角三角形的直角夹角一边为1，另一边为2，其斜边的长度为开方5即2.236. 转一个计法，开方2的倒数为0.707；开方5的倒数为0.447.就引出两组重要市场比率：1.414和2.236；0.707和0.447 在金融市场黄金比率发挥着极大的作用，我们可以利用勾股定理推演出黄金比率的关系。

黄金矩形的几何分析方法：四边形边长为2单位其对角线长度是5的平方根，将这条对角线变成X轴，超出原四边形边长的1.236个单位，超出长度是四边形边长的0.618.换言之，若四边形的横轴是表示时间，纵轴是价格，这条对角线实际上是江恩1X2线，应用在图表分析上，则市场调整的时间便有可能在升市时间的1.236倍后结束。

从另一个角度去考虑，若这种增长方式以两度空间的形成增长，则横向的增长的比率将为2、5、13、34的开方形式无限延伸。

而向上增长的比率为3、8、21、55开方的形式增长。

换言之，平方根比率的增长模式乃是以神奇数字系列排列的单双数的形式延伸开来。

这两度空间可以视为图表上时间与价格的两大角度。

总而言之，在金融市场的价格与时间分析方面，有两套重要比率影响着市场的发展。

第一套黄金比率及其衍生比率第一，黄金比率0.618及其衍生比率：0.618的开方----0.7860.618一次方----0.6180.618二次方----0.3820.618三次方----0.2360.618四次方----0.146第二，黄金比率的0.618的倒数1.618及其衍生比率：1.618的开方----1.2721.618一次方----1.6181.618二次方----2.6181.618三次方----4.2361.618四次方----6.854第二套比率以神奇数字本身的开方数为主。

最重要的是2、3、5的开方以及其衍生的比率。

勾股定理平方数勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中的边与斜边之间的关系。

这个定理可以用一个简单的公式来表达，即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

众所周知，平方数是自然数的平方，即一个自然数乘以它自己得到的结果。

在勾股定理中，a、b和c都可以是平方数。

下面我们就来探究一下，勾股定理中的平方数有哪些有趣的性质和应用。

我们可以发现，勾股定理中的a和b可以是任意的正整数，而c则是由a和b唯一确定的。

这意味着，对于给定的两个平方数a和b，我们可以通过计算得到一个新的平方数c。

例如，当a=3^2=9，b=4^2=16时，根据勾股定理可知c=5^2=25。

这表明，当a和b是平方数时，c也是一个平方数。

我们可以进一步探究勾股定理中平方数的性质。

由于平方数是自然数的平方，因此它们的平方根也是自然数。

在勾股定理中，a和b 可以看作是直角三角形的两条直角边，而c则是斜边，它们的平方根分别是直角边和斜边的长度。

这意味着，如果a和b是平方数，那么直角边的长度也是一个平方数，斜边的长度也是一个平方数。

勾股定理中的平方数还有一个有趣的性质，即它们之间存在一定的规律。

我们可以观察到，勾股定理中的平方数可以形成一个数列。

例如，当a=3^2=9，b=4^2=16时，根据勾股定理可知c=5^2=25，这三个数正好构成了一个等差数列。

同样地，当a=5^2=25，b=12^2=144时，根据勾股定理可知c=13^2=169，这三个数也构成了一个等差数列。

这表明，在勾股定理中，平方数之间存在着一定的数学规律。

除了以上的性质和规律外，勾股定理中的平方数还有许多应用。

例如，在测量和工程领域中，勾股定理经常被用来计算直角三角形的边长和角度。

通过利用勾股定理，我们可以根据已知的边长来求解未知的边长，或者根据已知的角度来求解未知的边长。

这对于测量和设计具有重要的意义。

总结起来，勾股定理中的平方数是勾股定理的重要组成部分。

二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（√a）的性质(√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.知识点五：二次根式的性质√a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

北师大版八上数学知识点归纳第一章勾股定理。

1. 勾股定理。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，三角形三边为5，12，13，因为5^2+12^2=25+144 = 169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。

3. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

第二章实数。

1. 无理数。

- 无限不循环小数叫做无理数。

如√(2)，π等。

2. 平方根。

- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根。

正数a有两个平方根，它们互为相反数，记为±√(a)；0的平方根是0；负数没有平方根。

- 例如，4的平方根是±2，因为(±2)^2=4。

3. 算术平方根。

- 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为√(a)。

0的算术平方根是0。

- 例如，9的算术平方根是3，即√(9)=3。

4. 立方根。

- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根，记为sqrt[3]{a}。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

- 例如，8的立方根是2，因为2^3=8；-8的立方根是-2，因为( - 2)^3=-8。

5. 实数的分类。

- 实数包括有理数和无理数。

有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数；分数分为有限小数和无限循环小数。

无理数是无限不循环小数。

6. 实数的运算。

- 在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算律同样适用于实数。