2017-2018北京市各区初三数学期末考试分类汇编-基础题答案

1东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测初三数学学校 班级 姓名 考号考生须知1•本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分•考试时间120分钟. 2 •在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号 3 •试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4 •在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 •5•考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的2. 边长为2的正方形内接于-M ，则二M 的半径是A . 1B . 2C . 一2D . 2 “ 22 _ 23. 若要得到函数 y = x ，1+2的图象，只需将函数 y =x 的图象A . 先向右平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度B . 先向左平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度C . 先向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度D.先向右平移 1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.点 A , B x 2,y 2都在反比例函数y =-的图象上，若 xx 1< x 2v 0，则A .y 2> %>°B .y > y 2>0C . y 2V %<0D . y < y 2<05. A , B 是上的两点，OA=1 , AB 的长是1 n ,则/ AOB 的度数是3A . 30B . 60°C . 90°D . 1202A .①③B .①④ C.②③D .②④6 .△ DEF 和厶ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D , E , F 分别是OA,OB,OC 的中点，若△ DEF 的面积是2,则厶ABC 的面积是 A . 2 B . 4 C . 6D . 827.已知函数y =-x bx c ,其中b >0, c v 0，此函数的图象可以是&小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它 的成活率如移植棵数（n ）成活数（m ）成活率（m/n ） 移植棵数（n ） 成活数（m ） 成活率（m/n ）50470.940 15001335 0.890 2702350.870350032030.915 4003690.923 70006335 0.905 7506620.88314000126280.902下面有四个推断：① 当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890;② 随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900附近摆动，显示出一定的稳定性, 可以估计树苗成活的概率是 0.900;③ 若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵；④ 若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活 18 000棵. 其中合理的是1 E 1/L、填空题（本题共16分，每小题2分）19 .在Rt △ ABC 中，/ C=90 ° COS A = —, AB=6，贝U AC 的长是3210.若抛物线y=x 2x c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度•为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）•经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6 m,则旗杆MN的高度为 _____________ 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为11题图12题图12.如图，AB是、O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交、O于点D.若CD=1,AB=4,则、O的半径是_______________ .第13题图314.、O是四边形ABCD的外接圆，AC平分/ BAD，则正确结论的序号是.①AB=AD; ②BC=CD; ③ AB 二AD ;④/ BCA= / DCA;⑤ BC 二CD15.已知函数y =x2-2x-3，当-1< X W a时，函数的最小值是-4，则实数a的取值范围是16•如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A 8,0 ,C 0,6 ,矩形OABC的对角线交于点P,点M在经过k点P的函数y x>0的图象上运动，k的值X为 _____ , OM长的最小值为_______________ .三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27,每小题7分，第28题8分）417 •计算：2cos30 ^2sin 45 °+3tan 60°+ 1-J2 .18. 已知等腰厶ABC内接于点0, AB=AC,Z BOC=100 °求厶ABC的顶角和底角的度519. 如图，在四边形ABCD中，AD // BC, AB丄BC,点E在AB上，/ DEC =90 °(1) 求证：△ ADE BEC.(2) 若AD=1 , BC=3, AE=2,求AB 的长.20. 在△ ABC 中，/ B=135 ° AB = 2^2 , BC=1.(1)求厶ABC的面积；(2 )求AC的长.21•北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程.语文、数学、外语、体育为必考科目•历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门.（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2 ）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率6722. 如图，在Rt △ ABC 中，/ A=90° Z C=30。

2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷北京市朝阳区2017~2018 学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（试用）2018.1（考试时间120 分钟满分100分）一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）第 1— 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 .1.如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是(A)3cm(B)3.5cm(C)4cm0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 cm(D)7.5cm2.下列事件中，随机事件是(A)任意画一个圆的内接四边形，其对角互补(B)现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式(C) 从分别写有数字1， 2， 3 的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0(D) 通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ）（B）（C）4.小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 25cm 处挂了一个重 1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm 时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是(A) 1.28N(B) 1.6N(C) 2N(D) 2.5N （D ）O2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷5.如图，△ ABC∽△ A’B’C’， AD 和 A’D’分别是△A’D’＝ 3，则△ ABC 与△ A’B’C’的面积的比为(A) 4 ： 9(B) 9 ： 4(C) 2 ： 3(D) 3 ： 2ABC 和△ A’B’C’的高，若AD ＝2，A'AB DC B'D'C'6.如图， AB 为⊙ O 的直径， C， D 为⊙ O 上的两点，若 AB =14， BC=7. 则∠ BDC 的度数是(A) 15 °(B) 30 °(C) 45 °(D) 60 °DA yCAPBBCA'A BOM NO xB'第 6 题图第7题图第8题图7.如图，在△ ABC 中，∠ BAC =90 °， AB=AC=4 ，以点 C 为中心，把△ ABC 逆时针旋转45°，得到△ A’ B’C，则图中阴影部分的面积为(A) 2(B) 2 π(C) 4(D) 4 π8.如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB上移动．若点A、 B 的坐标分别为（﹣2， 3）、（ 1， 3），点 N 的横坐标的最大值为4，则点 M 的横坐标的最小值为(A) － 1(B) － 3(C) － 5(D) －7二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）9. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O，⊙ O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为.CDB'CB C'OEA B AF第 9 题图第 10题图10．如图，把△ ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转，得到△ A B 'C ' ，点 C 恰好在 B 'C '上，旋转角为α，则∠ C '的度数为（用含α的式子表示）．32mA（ x1， y1）， B（x2，y2）， x1< x2<0 ， y1> y2，11. 在反比例函数y的图象上有两点x则 m 的取值范围是.2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷12. 如图， PA ，PB 分别与⊙ O 相切于 A ，B 两点， PO 与 AB 相交于点 C ，PA= 6，∠ APB=60 °，则 OC 的长为 .APOC B第 12 题图第 13 题图13. 如图，双曲线k 与抛物线 yax 2 bx c 交于点 A （ x 1， 1）， （ 2 ， 2 ），yy B x yxk C （ x 3， y 3），由图象可得不等式组 0ax 2 bxc 的解集为.x14. 如图，在平面直角坐标系中，△ COD 可以看作y7 B是△ AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、6AOB 得到D5旋转、位似）得到的，写出一种由△ 4△ COD 的过程：.32AC1-7 -6 -5 -4 -3-2-1O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x15. “的估计 ”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计 落在圆内的米粒数m 与正方形内的米粒数 n ，并计算频率m；在相n同条件下，大量重复以上试验，当m显现出一定稳定性时，就可以4m n估计出 的值为. 请说出其中所蕴含的原理： .n16. 下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.已知：△ ABC， AB＝ AC，∠ A＝ 120°.求作：△ ABC 的外接圆 .作法：（ 1）分别以点 B 和点 C 为圆心， AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为O；AB CA（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心， BO 为半径作⊙O.⊙O 即为所求作的圆 .请回答：该尺规作图的依据是.B CO三、解答题（本题共68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-27 题，每小题7 分，第 28 题 8 分）17．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.已知：如图，在△ ABC和△ A'B'C'中，∠ A=∠ A'，∠ B=∠ B'.求证：△ ABC∽△ A'B' C' .证明：在线段A'B' 上截取 A'D=AB ，过点 D 作 DE ∥B'C' ，交 A'C' 于点 E.由此得到△A'DE ∽△ A'B'C' .∴∠ A' DE= ∠B'.A'∵∠ B= ∠ B'，AD E∴∠ A' DE = ∠ B.∵∠ A'= ∠A，B CB'C'∴△ A' DE ≌ △ ABC.∴△ ABC∽△ A'B'C' .小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据，可以判定所作△A' DE 与；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE 与；（3）最后，可证得△ ABC∽△ A'B' C' .18. 如图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形，对角线AC 是⊙ O 的直径， AB= 2，∠ADB ＝ 45° . 求⊙ O 半径的长 .BA COD19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A（3， 3），点 B（ 4， 0），点 C（ 0，﹣ 1）．（1）以点 C 为中心，把△ ABC 逆时针旋转 90°，画出旋转后的图形△ A′B′C；yA（2）在（ 1）中的条件下，1x①点 A 经过的路径AA'的长为（结果保留π）；-1 O1B②写出点 B′的坐标为.-1 C20. 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽 8m. 水面上升 3 米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法.方法一如图 1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为；当 y＝ 3 时，求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题.图1方法二如图 2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为；当 y＝求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题.时，图 221.有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况.（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率.2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y2x 3与双曲线ky交于 M（ a， 2）， N（ 1， b）两点．x（1）求 k，a， b 的值；（2）若 P 是 y 轴上一点，且△ MPN 的面积是 7，直接写出点 P 的坐标．23.如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 中点，点 P 在射线 AB 上，过点 P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F.（1）求证：△ PAF∽△ AED ；（2）连接 PE，若存在点 P 使△ PEF 与△ AED 相似，直接写出PA 的长24.如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，⊙ O 的切线 DE 交 AC 于点 E.（1）求证： E 是 AC 中点；（2）若 AB=10， BC=6，连接 CD ， OE，交点为 F，求 OF 的长 .25.△ ACB 中，∠ C=90 °，以点 A 为中心，分别将线段 AB，AC 逆时针旋转AE，连接 DE，延长 DE 交 CB 于点 F.（ 1）如图 1，若∠ B=30°，∠ CFE 的度数为；（ 2）如图 2，当 30° <∠ B<60 °时，①依题意补全图2；②猜想 CF 与 AC 的数量关系，并加以证明.A D E CFA P BAEDC BO60°得到线段AD，AC B C B图 1图22017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷26．如图，直线 AM 和 AN 相交于点A，∠ MAN ＝ 30°，在射线 AN 上取一点B，使 AB＝ 6cm，过点 B 作 BC⊥ AM 于点 C，D是线段AB 上的一个动点（不与点 B 重合），过点 D 作CD 的垂线交射线CA 于点 E．MNA（1）确定点 B 的位置，在线段 AB 上任取一点 D，根据题意，补全图形；（2）设 AD=x cm， CE=y cm，探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律 .① 通过取点、画图、测量，得到了x 与 y 的几组对应值，如下表：x/cm012345y/cm 5.2 4.4 3.8 3.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt△ CDE斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为cm （结果保留一位小数）．27. 已知抛物线 l 1与 l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y ax28ax7交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB＝ 6；抛物线 l22与 l 1交于点 A 和点 C（ 5，n）.（ 1）求抛物线 l 1， l2的表达式；（ 2）当 x 的取值范围是时，抛物线 l1与 l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线 MN ∥ y 轴，交 x 轴， l1， l 2分别相交于点 P（m， 0）， M， N，当 1≤m≤7时，求线段 MN 的最大值 .28.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （0, 6），点 B 在 x 轴的正半轴上 . 若点 P,Q 在线段 AB上，且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q 的“X矩形”.下图为点 P,Q 的“X矩形”的示意图 .（ 1）若点 B（4,0），点 C 的横坐标为2，则点 B,C 的“X矩形”的面积为.（ 2）点 M， N 的“X矩形”是正方形，① 当此正方形面积为4，且点 M 到 y 轴的距离为 3 时，写出点 B 的坐标，点 N的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为 r 的⊙ O 与它没有交点，直接写出r的取值范围.y y7A 7665P 54433221Q1-1 O 1 2 3 B 4 5 x-1 O 1 2 3 4 5 6 x -1-1备用图北京市朝阳区2017~2018 学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2018.1一、（本共16 分，每小 2 分）号12345678答案C B D C A B B C二、填空（本共16 分，每小 2 分）9．310．9011． m312.313．2x3<x x221，在原点 O 同将△ AOB小，14．答案不唯一，如：以原点O 位似中心，位似比2再将得到的三角形沿y 翻折得到△ COD.15．用率估概率.16．到段两端距离相等的点在段垂直平分上；等腰三角形的角平分、底上的中、底上的高相互重合；等三角形的判定；的定.三、解答（本共68 分，第 17-24 ，每小 5 分，第 25 6 分，第 26-27 ，每小 7 分，第 28 8 分）17．解：（ 1）平行于三角形一的直和其他两相交，所构成的三角形与原三角形相似；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分△ A'B'C' 相似；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）△ ABC 全等 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分18．解：∵ AC是⊙ O 的直径，∴∠ ABC =90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵∠ ADB＝45°，∴∠ ACB =∠ ADB＝ 45° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ AB=2，∴ BC=AB=2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴ ACAB2BC2 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴⊙ O 半径的 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分19. 解：（ 1）如 .yB'AA'1x-1 O 12B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分-1 C（ 2）①5；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2②（－ 1， 3） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2017-2018 年度北京市初三上学期期末数学试卷20.解：方法一方法二y 1 x22x；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分4y1x2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4－ 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分21.解：（ 1）两能灯分灯1，灯 2，灯1亮不亮⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分灯 2亮不亮亮不亮（2）由（ 1）可知，所有可能出的情况共有 4 种，它出的可能性相等，至少有一灯可以亮的情况有 3 种 . 所以， P（至少有一灯可以亮）＝35 分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯422.解：（）把M（，）代入 y2x 3 ，得22a 3，1a2∴ a＝－ 2.5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分把 N（ 1， b）代入y2x 3 ，∴ b＝－ 5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分k，得 2k把 M（－ 2.5， 2）代入y，∴ k＝－ 5.x 2.53 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2） P（ 0， 1）或 P（ 0，－ 7）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分23.（ 1）明：在正方形 ABCD中，∠ D= 90 ，° CD∥ AB，∴∠ DEA=∠ PAE.. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵PF⊥ AE，∴∠ D=∠ AFP.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴△ PAF∽△ AED. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）1 或5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 .24.（1）明：接 OD，∵∠ C=90°， BC⊙ O 的直径，A∴ EC⊙ O 的切，∠ A+∠ B=90°.∵ DE⊙ O 的切，∴ EC=DE， DE⊥ OD.E∴∠ EDA+∠ODB=90°.D ∵ OD＝OB,C∴∠ ODB=∠ B.O ∴∠ EDA=∠A.∴ EA=DE.∴ EA=EC.即 E 是 AC 中点 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯B3分。

2018.1北京市各区期末考试 数学试题 中档题部分答案2018.1石景山区C D 16．①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ②等底同高的三角形面积相等25．（本小题满分6分） （1）证明：连接CD∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC=90°………………………………………………………1分 ∴∠DAC+∠ACD =90° ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∴∠DAC+∠AB C=90°∴∠A B C =∠A C D …………………………………………………2分 ∵∠AED=∠ACD∴∠A B C =∠A E D …………………………………………………3分（2）解：连接BF∵∠AED=∠ACD=ABC ∠∴tan ∠ACD = tan ∠AED =ABC ∠tan =34∴tan ∠ACD =34=CD AD 即34532=CD∴CD=524………………………………………………………………4分 ∴AC=8 ∵AF=6， ∴F C=2 ∵ABC ∠tan =34=BC AC ，即348=BC ∴BC =6………………………………………………………..…….5分 ∴B F =102……………………………………………………… 6分26．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2过点)01(，-A 和)30(，B .CA∴⎩⎨⎧==+--301n n m解得：2=m∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分 （2）∵抛物线322++-=x x y∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ， 解得：3,121=-=x x∴ 点C 的坐标为)03(，∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BC∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示∴2<t <3 ……………………………………………………………7分2018门头沟区C到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；两点确定一条直线；互相垂直的直径将圆四等分；（圆内接正多边形定义） 25.（本小题满分6分）（1）2.3 ……………………………………………………………………1分 （2）坐标系正确 ……………………………………………………3分 描点正确 ……………………………………………………4分 连线正确 ……………………………………………………5分 （3）2.6 ……………………………………………………………………6分 26. （本小题满分7分）（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分 得出表达式243y x x =-+………………………………………………3分（2）找到位置画出示意图 ① 214x x -=………………………………………………4分②由图象易得当y=0时212x x -=由于该函数图象的对称轴为2x =， 1(,)P x y ，2(,)Q x y ，在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等 所以，当213x x -=时即PQ =3 ∴MP = MN －PN =31222-=………………………………………………5分 ∴112x =代入243y x x =-+，解得54y =………………………………………6分 综上所述：504y ≤≤………………………………………7分2018丰台区16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分 其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OEBF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分 在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==.∵1122ABF S AB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分 其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分 （2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分 （4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.（3）点Q的坐标为（12-）或（12-）．……7分2018顺义区25．解：（1）令x =3，代入2y x =-，则y =1，∴A （3，1），…………………………………………………………….....1分 ∵点A （3，1），在双曲线ky x=（k ≠0）上， ∴3k =．………………………..………………..………………………...3分 （2）………………………………….…..4分（画图）如图所示，当点M 在N 右边时，n 的取值范围是1n >或30n -<<．………6分 26． （1）证明： 连接OD ．………………………………………..1分 ∵EF 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥EF ．……………………………………….……..2分 又∵OD =OC ，∴∠ODC =∠OCD ， ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠OCD ， ∴∠ABC =∠ODC ， ∴AB ∥OD ，∴DE ⊥AB ．…………………………………….………..3分（2）解：连接AD ．…………………………….…………….…4分∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，…………………………………..…5分 ∴∠B +∠BDE =90°，∠B +∠1=90°， ∴∠BDE =∠1， ∵AB =AC ，∴∠1=∠2． 又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3．∴△FCD ∽△FDA …………………………………….6分 ∴FC CDFD DA， ∵tan ∠BDE =12,∴tan ∠2=12, ∴1=2CD DA ，∴1=2FC FD ， ∵CF =3，∴FD =6．……………………………….…7分2018密云区8B 16.经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角。

2017-2018学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）（2017秋•昌平区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2分）（2011•泰州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体3．（2分）（2018•拉萨一模）如图，点B是反比例函数y（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣64．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2分）（2018•资中县一模）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣9 6．（2分）（2019•下陆区模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C 作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．（2分）（2018•内乡县二模）小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）（2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．10．（2分）（2018•锦州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为．11．（2分）（2018秋•徐闻县期末）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE 的周长为．12．（2分）（2017秋•昌平区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为．13．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为．14．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC ＝8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE 的长度是．15．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．（2分）（2018•荆门三模）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）（2017秋•昌平区期末）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．18．（5分）（2017秋•昌平区期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．（5分）（2018秋•临邑县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．AC＝10，cos A，求BC的长．20．（5分）（2017秋•昌平区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．21．（5分）（2018•宜兴市模拟）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC＝4时，求这个正方形的边长．22．（5分）（2017秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）（2019•武侯区模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．24．（6分）（2019•禹州市一模）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D，求AE的长．25．（6分）（2017秋•昌平区期末）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．26．（6分）（2017秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m ≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）（2017秋•昌平区期末）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC 边上的一点．（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC，BF＝1，连接CF，则CF的长度为．28．（7分）（2017秋•昌平区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．2017-2018学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）（2017秋•昌平区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：由∠A为锐角，且sin A，得∠A＝45°，故选：C．2．（2分）（2011•泰州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选：A．3．（2分）（2018•拉萨一模）如图，点B是反比例函数y（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6【解答】解：因为矩形AOCB的面积为6，所以k的值为6，故选：B．4．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故选：D．5．（2分）（2018•资中县一模）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣9【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，故选：C．6．（2分）（2019•下陆区模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC75°，故选：D．7．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C 作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【解答】解：连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝25°．∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝50°．∵CD是⊙的切线，∴∠OCD＝90°．∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故选：B．8．（2分）（2018•内乡县二模）小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度路程时间，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；故选：D．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）（2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y，故答案为：y．10．（2分）（2018•锦州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．【解答】解：∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），∵﹣1+3＝2，∴0+3＝3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）11．（2分）（2018秋•徐闻县期末）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE 的周长为16．【解答】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC；∴DE＝DA+EB，∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝P A+PB，∵P A、PB分别是⊙O的切线，∴P A＝PB＝8，∴△PDE的周长＝16．故答案为：1612．（2分）（2017秋•昌平区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线x＝1．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x1．故答案为：直线x＝1．13．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为π．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°60°，的长为 π．故答案为：π14．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC ＝8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE 的长度是4．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB10．由折叠的性质得：BE＝BC＝6，则AE＝AB﹣BE＝4．故答案为：4．15．（2分）（2017秋•昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位16．（2分）（2018•荆门三模）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为1．【解答】解：如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB＝4、BC＝1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB＝90°，则AM＝AC，∴点M表示的数为1，故答案为：1．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）（2017秋•昌平区期末）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．18．（5分）（2017秋•昌平区期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）如图所示：19．（5分）（2018秋•临邑县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．AC＝10，cos A，求BC的长．【解答】解：∵AC＝AB，AB＝10，∴AC＝10．在Rt△ABD中∵cos A，∴AD＝8，∴DC＝2．∴．∴．20．（5分）（2017秋•昌平区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC＝弧BD．∴∠A＝∠BCD；（2）连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD＝8，∴CE＝ED＝4．∵直径AB＝10，∴CO＝OB＝5．在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE3，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．21．（5分）（2018•宜兴市模拟）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC＝4时，求这个正方形的边长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直径AC＝4，∴OA＝OB＝2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB＝90°，∴．22．（5分）（2017秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）【解答】解：由题意：AB＝40，CF＝1.5，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，∴∠AMB＝30°∴∠AMB＝∠MAB∴AB＝MB＝40，在Rt△BCM中，∵∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，∴∠BMC＝30°．∴BC20，∴，∴MC≈34.64，∴MF＝CF+CM＝36.14≈36.1．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）（2019•武侯区模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2+5，即a，∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5，故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，（x﹣5）2+5，所以水面上涨的高度为米．24．（6分）（2019•禹州市一模）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠F AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OCA＝∠F AC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，∵tan D，OC＝3，∴CD＝4，∴OD5，∴AD＝OD+AO＝8，在Rt△ADE中，∵sin D，∴AE．25．（6分）（2017秋•昌平区期末）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是＜＜．【解答】解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：＜＜，故答案为：＜＜．26．（6分）（2017秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m ≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB＝45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3得出m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（3）如图，当直线l1经过点A时，x1＝x3＝0，x2＝2，此时x1+x3+x2＝2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y＝3x﹣3，∴y＝﹣4时，x此时，x1＝x2＝1，x3，此时x1+x3+x2，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2∴＜＜．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）（2017秋•昌平区期末）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC 边上的一点．（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC，BF＝1，连接CF，则CF的长度为．【解答】解：（1）如图1，△BCE即为所求；（2）证明：如图2，∵△CBE由△CAD旋转得到，∴△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠CBE+∠E＝∠CAD+∠E，∴∠BCE＝∠AFE＝90°，∴AF⊥BE；（3）如图3，在Rt△ABC中，BC＝AC，∴AB AC，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，AF＝3，设AD＝x，由旋转知，CE＝CD，BE＝AD＝x由（2）知，∠BFD＝90°＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BFD∽△BCE，∴，∴，∴BD x，CD（3﹣x），∵BC＝BD+CD，∴x（3﹣x），∴x，∴BD，CD，过点C作CM⊥AD于M，∴S△ACD AC×CD AD×CM，∴CM1，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝2，过点F作FN⊥BC于N，∴∠BNF＝90°＝∠AMC，由旋转知，∠CAM＝∠FBN，∴△AMC∽△BNF，∴，∴，∴FN，BN，∴DN＝BD﹣BN，∴CN＝CD+DN，在Rt△CNF中，CF故答案为：．28．（7分）（2017秋•昌平区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为±5；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．【解答】解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∵2＜5，∴点A的“最大距离”为5．②∵点B（a，2）的“最大距离”为5，∴a＝±5；故答案为5，±5．（2）设点C的坐标（x，y），∵点C的“最大距离”为5，∴x＝±5或y＝±5，当x＝5时，y＝﹣7，当x＝﹣5时，y＝3，当y＝5时，x＝﹣7，当y＝﹣5时，x＝3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线x＝﹣5，直线y＝5，直线y＝﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴．。

密云区2017-2018学年度第一学期期末考试初三数学试卷下面各题均有四个选项，其中只有一个．．选项是符合题意的. 1. 如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE//BC ，AD=2，DB=1，AE=3，则EC 长A. 23 B. 1 C. 32D. 62. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是 A. 2(2)1y x =++ B. 2(2)1y x =+- C. 2(2)1y x =-+ D. 2(2)1y x =--3.已知点(1,m),(2,n)A B 在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A. 0m n << B. 0n m << C. 0m n >> D. 0n m >>4.在正方形网格中，AOB ∠如图放置.则tan AOB ∠的值为A.2B.125. 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A 为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是A. 点B 在圆内B. 点B 在圆上C. 点B 在圆外D. 点B 和圆的位置关系不确定6.如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为B C A BAOEDCB AA. 20︒B. 40︒C. 80︒D.90︒7.如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，AB=4，AC= 6，将ABC ∆沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是CACAA B C D8. 已知抛物线2y ax bx c =++（x 为任意实数）经过下图中两点M （1，2）、N （m ，0），其中M 为抛物线的顶点，N 为定点.下列结论：①若方程20ax bx c ++=的两根为12,x x （12x x <），则1210,23x x -<<<<； ②当x m <时，函数值y 随自变量x 的减小而减小.③0a >，0b <，0c >.④垂直于y 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，其C 、D 两点的横坐标分别为s 、，则s t +=2 . 其中正确的是A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.12x y =，则x yy + =_________________. 10. 已知A ∠为锐角，且tan A =A ∠的大小为 _______________ 11.抛物线223y x x =-+的对称轴方程是____________________.12. 扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________.13. 请写出一个图象在第一、第三象限的反比例函数的表达式_____________________. .14.在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只 点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有 小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）. 如图2，如果火焰AB 的高度是2cm ，倒立的像//A B 的高度为5cm ， 蜡烛火焰根B 到小孔O 的距离为4cm ，则火焰根的像/B 到O 的距离 是________cm.15. 学校组织“美丽校园我设计”活动.某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园.其中矩形植物园的两邻边之和为4m ，设矩形的一边长为x m ，矩形的面积为y m 2.则函数y 的表达式为______________，该矩形植物园的最大面积是_______________ m 2.16. 下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.以上作图的依据是:__________________________________________________________.三、解答题（共68分，其中17~25题每题5分，26题7分，27、28题每题8分）。

大兴区2017-2018~2017-2018学年度第一学期期末试题初三数学一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的,请将正确选项前的字母填在下表相应的空格内． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1.已知)0(53≠=xy y x ,则下列比例式成立的是A ．35yx=B.yx 53= C.53=y x D.53yx=2.抛物线223y x x =-+的顶点坐标是A. (1，-2)B. (1，2) )C.(-1，2D. (-1，-2)3．在△ABC 中，锐角A 、B 满足223sin cos(15)022A B ο⎡⎤-+--=⎢⎥⎣⎦，则△A BC 是A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 无法确定4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ，若∠DAB=65°，则∠AOC 等于CDBOAA.25°B.30°C.50°D.65°5. 如图：已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD 的值是 A.43B.34C.35D.456.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是 A ．116 B ．14 C ． 316 D ． 5167．已知:如图,点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C ，D ，E （E 在格点上）为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点E 的坐标共有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8.已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是D C BAOA ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）9．△ABC 中，∠C ：∠B ：∠A=1：2：3，则三边之比a ：b ：c= .10．点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，若2x ＞1x ＞1，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）11.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸（阴影）部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积等于 2cm . 12．函数15y x=和的图象如图所示．设点P 在15y x=的第一象限内的图像上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交23y x=-的图象于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交23y x=-的图象于点B ，则三角形PAB的面积为 ．三、解答题（本题共20分，每小题5分） 13.计算：2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒14.如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC 的长15.已知：如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数)0(2>=x xm y的图象交于A （1，6），B （a ，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）直接写出1y ≥2y 时x 的取值范围．16. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。

2018。

1北京市各区期末考试 数学试题 基础题部分答案2018.1石景山区C B 13．5.02-<<-x 14．3515．先以点C 为中心顺时针旋转90º,再以y 轴为对称轴翻折(答案不唯一） 22．（本小题满分5分）解:（1）一次函数y x b =+的图象与x 轴交于点A (2，0)， ∴02=+b ． 可得，2-=b ．∴2-=x y ． …………………………………………………………1分 当3=x 时，1=y , ∴点B （3,1)． 代入xky =中，可得3=k ， ∴反比例函数的表达式为xy 3=． ……………………………………3分 （2）点P 的坐标是（6,0)或(-2，0)． ……….……………………………5分23．(本小题满分5分）（1）证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DAF =∠CDE ， ……………………………………………… 1分∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠CED =90°,……………………………………………… 2分 ∴△ADF ∽△DCE ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DE AFDC AD= ∴326=DC， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB =DC∴A B =9．…………………………………………………………5分24．（本小题满分5分）解：（1)∵二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点（1,—2）. ∴m m 5212+-=-解得1-=m 。

………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522-+=x x yFE DCB A∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ．………………………2分（2)二次函数的表达式6-）1（5222+=-+=x x x y 。

当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分当1=x 时，2-=y , 当-4=x 时，3=y ，∴14≤≤-x 时,y 的取值范围是36≤≤-y 。

2018.1北京市各区期末考试 数学试题 基础题部分 2018.1石景山区3．如图，是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若，则的度数为 （A ）（B ）（C ）（D ）4．如图，在⊙O 中，弦垂直平分半径．若⊙O 的半径为4，则弦的长为 （A ） （B ）（C ） （D ）13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A 和点B ．当时，的取值范围是．14．如图，在△中，，10．若以点C 为圆心，为半径的圆恰好经过的中点D ，则．15．如图，在平面直角坐标系中，△经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△，写出一种由△得到△的过程：．第3题 第4题第13题第14题第15题22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△的面积是2，则点P的坐标是．23．如图，四边形是平行四边形，⊥于点E，⊥交的延长线于点F．（1）求证：△∽△；（2）当2，6，且点E恰为中点时，求的长．24．二次函数的图象经过点．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当时，求y的取值范围．2018门头沟区6.已知，3，4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是A．B．C．D．7. 一个不透明的盒子中装有20张卡片，其中有5张卡片上写着“三等奖”；3张卡片上写着“二等奖”，2张卡片上写着“一等奖”，其余卡片写着“谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为A．B．C．D．13. 如图，在△中，∠60°，⊙O为△的外接圆．如果,那么⊙O的半径为.14. 如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠150°，的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是.15. 如图，在平面直角坐标系中，图形L2可以看作是由图形L1经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由图形L1得到图形L2的过程.22. 如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°, 亭B在点M的北偏东30°,当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思路.23. 已知二次函数．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值.24. 如图，在△中，∠90°，点D是边上一点，以为直径的⊙O与边相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）若2，，求⊙O的半径．2018丰台区7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠140°，那么∠的度数为A．70°B．110°C．140°D．70°或110°8．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…0123…y…30m3…①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.其中正确的是A．①④B．②④C．②③D．③④14．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且= 2. 如果设的长为x（单位：m），绿地的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为；当= m时，绿地的面积最大.23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.24．如图，是⊙O的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交⊙O于点，连接.（1）求证：是⊙O的切线；（2）当时，求的长.2018顺义区8．如图1，点P从△的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△的面积是A．10 B．12 C．20 D．2413．已知矩形中，4，3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边有唯一公共点，则r的取值范围是．14．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：．15．在中，，，，则的长为．22．已知：如图，在△的中，是角平分线，E是上一点，且：=：．求证：．23．如图所示，某小组同学为了测量对面楼的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼的高度．（精确到0.1米）（参考数据：10°≈0.17，10°≈0.98，10°≈0.18，≈1.41，≈1.73）24．已知：如图， 为⊙O 的直径，⊥于E ，∥，连接，．求证：∠∠．2018密云区22. 点P(1，4)，Q （2， ）是双曲线图象上一点. （1）求k 值和值.（2）O 为坐标原点.过轴上的动点R 作轴的垂线，交双曲线于点S ，交直线于点T ，且点S 在点T 的上方.结合函数图象，直接写出R 的横坐标的取值范围.y x-5-4-3-154321-5-4-3-2-15432-2O123. 小明同学要测量学校的国旗杆的高度.如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距20m.小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D 的仰角为，旗杆底部B 的俯角为.（1）求的大小.（2）求国旗杆的高度（结果精确到1m.参考数据22°≈0.37，22°≈0.93，22°≈0.40，14°≈0.24，14°≈0.97，14°≈0.25）DCAB24. 如图，是的直径，C、D是上两点，.过点B作的切线，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F.（1）求证：.（2）若，求长.2018大兴区22. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即的长，小英测量的步骤与测量的数据如下：（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出、两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点，的俯角∠35°,∠45°.请你根据以上数据计算出的长.（可能用到的参考数据：35°≈0.57 35°≈0.82 35°≈0.70）23.已知：如图，是一块边长为2米的正方形铁板，在边上选取一点M，分别以和为边截取两块相邻的正方形板料. 当的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?24. 已知：如图，是半圆的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），（1）求证：是半圆的切线（2）过点O作的平行线，交于点E，交于点F,且4, 6, 求的长．。

2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2019•金乡县模拟）如果3a ＝2b （ab ≠0），那么比例式中正确的是（ ）A ．a b =32B ．b a =23C ．a 2=b 3D ．a 3=b 2 2．（2016•阿坝州）将抛物线y ＝x 2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝x 2﹣2C ．y ＝（x +2）2D ．y ＝（x ﹣2）23．（2017秋•丰台区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．43 4．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 5．（2017秋•丰台区期末）如图，点A 为函数y =k x （x ＞0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．（2017秋•丰台区期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．（2017秋•丰台区期末）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C．140°D．70°或110°8．（2019•保定二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2010•虹口区一模）已知sinα=12，那么锐角α的度数是．10．（2019•滨州模拟）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为．11．（2017秋•丰台区期末）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为cm．12．（2018秋•门头沟区期末）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为．13．（2017秋•丰台区期末）已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式．14．（2017秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．15．（2017秋•丰台区期末）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE，如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为；当BE＝m 时，绿地AEFG的面积最大．16．（2017秋•丰台区期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O 和点P 为圆心，大于12OP 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （3）作直线MN ，交OP 于点C ；（4）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点；（5）作直线P A ，PB ．直线P A ，PB 即为所求作⊙O 的切线．请回答以下问题：①连接OA ，OB ，可证∠OAP ＝∠OBP ＝90°，理由是 ；②直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题，每小题5分，第28题8分）17．（5分）（2017秋•丰台区期末）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°．18．（5分）（2017秋•丰台区期末）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝3，AE＝4，求AC 的长．19．（5分）（2017秋•丰台区期末）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3．（1）用配方法将y ＝x 2﹣4x +3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 ．20．（5分）（2018秋•丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．21．（5分）（2017秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1于双曲线y=k x的一个交点为P（m，2）．（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．22．（5分）（2017秋•丰台区期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．（5分）（2017秋•丰台区期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离．24．（5分）（2019•新宾县模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且OE EB =23，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当OB ＝2时，求BH 的长．25．（6分）（2017秋•丰台区期末）如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ，已知AB ＝4cm ，AD ＝2cm ，设A ，E 两点间的距离为xcm ，△DEF 面积为ycm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如表：x /cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …y/cm2 4.0 3.7 3.9 3.8 3.3 2.0…（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．26．（7分）（2019•都江堰市模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，求BC﹣AC的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP＝OQ，直接写出点Q的坐标．27．（7分）（2017秋•丰台区期末）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C 为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．28．（8分）（2018•江阴市二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，√32），P 2（0，﹣2），P 3（√5，0）中，⊙O 的“离心点”是 ． ②点P （m ，n ）在直线y ＝﹣x +3上，且点P 为⊙O 的“离心点”，求点P 的横坐标m 的取值范围．（2）⊙C 的圆心在y 轴上，半径为2，直线y =−12x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围．2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2019•金乡县模拟）如果3a ＝2b （ab ≠0），那么比例式中正确的是（ ）A ．a b =32B ．b a =23C ．a 2=b 3D ．a 3=b 2 【解答】解：∵3a ＝2b ，∴a ：b ＝2：3，b ：a ＝3：2，即a ：2＝b ：3，故A ，B 均错误，C 正确，D 错误．故选：C ．2．（2016•阿坝州）将抛物线y ＝x 2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝x 2﹣2C ．y ＝（x +2）2D ．y ＝（x ﹣2）2【解答】解：∵抛物线y ＝x 2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），∴所得抛物线的解析式为y ＝x 2+2．故选：A ．3．（2017秋•丰台区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．43 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴AC =√52−32=4，∴tan A =BC AC =34．故选：B ．4．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：观察图象可知，AC≈0.618AB，DE≈0.618CD，∴按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②，故选：B．5．（2017秋•丰台区期末）如图，点A为函数y=kx（x＞0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意可知：S△AOB=12|k|＝2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝4．故选：D．6．（2017秋•丰台区期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得：AB=√32+12=√10，AC＝2，BC=√12+12=√2，∴BC：AC：AB＝1：√2：√5，A、三边之比为1：√2：√5，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比√2：2√2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：√5：2√2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：√5：√13，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．7．（2017秋•丰台区期末）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C．140°D．70°或110°【解答】解：如图1，∠ACB=12∠AOB＝70°；如图2，∠ADB=12∠AOB＝70°，∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．故选：D ．8．（2019•保定二模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…3﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y ＝ax 2+bx +c 的开口向下；②抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝﹣1； ③方程ax 2+bx +c ＝0的根为0和2；④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2； 其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④【解答】解：设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ， 将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得： {a −b +c =3c =09a +3b +c =3， 解得：{a =1b =−2c =0，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）＝（x ﹣1）2﹣1， 由a ＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线x ＝1，故②错误； 当y ＝0时，x （x ﹣2）＝0，解得x ＝0或x ＝2， ∴方程ax 2+bx +c ＝0的根为0和2，故③正确；当y ＞0时，x （x ﹣2）＞0，解得x ＜0或x ＞2，故④正确； 故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2010•虹口区一模）已知sin α=12，那么锐角α的度数是 30° ． 【解答】解：∵角α是锐角，且sin α=12， ∴∠α＝30°．故答案为：30°．10．（2019•滨州模拟）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 23π ．【解答】解：l =nπr 180=60π×2180=23π． 故答案为23π．11．（2017秋•丰台区期末）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ′B ′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ′B ′的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ′B ′的距离为 10 cm ．【解答】解：∵AB ∥A 'B '， ∴△ABO ∽△A 'B 'O ， ∴AB A′B′=25是相似比，∴点O 到A ′B ′的距离=52×4=10， 故答案为：1012．（2018秋•门头沟区期末）如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 1 ．【解答】解：过点O 作OH ⊥AB 与点H ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝60°， ∵O 为三角形外心，∴∠OAH ＝30°， ∴OH =12OA ＝1， 故答案为：113．（2017秋•丰台区期末）已知函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 y =2x或y ＝x 2﹣4x +5 ．【解答】解：∵函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点， ∴该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数， ∴符合题意的函数的表达式可以为y =2x 或y ＝x 2﹣4x +5． 故答案是：y =2x或y ＝x 2﹣4x +5．14．（2017秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 （2，0） ．【解答】解：已知A （0，0），B （2，2），C （4，0），如图：可设：AB 的垂直平分线解析式为：y ＝kx +b ，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：{b =22k +b =0，解得：{k =−1b =2，所以AB 的垂直平分线解析式是y ＝﹣x +2，设AC 的垂直平分线解析式为x ＝m ，把（2，2）代入解析式，可得：x ＝2， 所以AC 的垂直平分线解析式是x ＝2，∴过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）．15．（2017秋•丰台区期末）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地的矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE ，如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为 y ＝﹣2x 2+8x +64（0＜x ＜8）， ；当BE ＝ 2 m 时，绿地AEFG 的面积最大．【解答】解：设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，由图形可得：y ＝﹣2x 2+8x +64（0＜x ＜8），解析式变形为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+72， 所以当x ＝2时，y 有最大值，故答案为：y ＝﹣2x 2+8x +64（0＜x ＜8），2．16．（2017秋•丰台区期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O 和⊙O 外一点P ． 求作：过点P 的⊙O 的切线． 作法：如图， （1）连接OP ；（2）分别以点O 和点P 为圆心，大于12OP 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；（3）作直线MN ，交OP 于点C ；（4）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点； （5）作直线P A ，PB ．直线P A ，PB 即为所求作⊙O 的切线． 请回答以下问题：①连接OA ，OB ，可证∠OAP ＝∠OBP ＝90°，理由是 直径所对圆周角是直角 ； ②直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是 经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．【解答】解：①连接OA ，OB ，可证∠OAP ＝∠OBP ＝90°，理由是：直径所对圆周角是直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；②直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题，每小题5分，第28题8分）17．（5分）（2017秋•丰台区期末）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°． 【解答】解：原式＝2×√32+√22−√3， =√3+√22−√3， =√22．18．（5分）（2017秋•丰台区期末）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝3，AE ＝4，求AC 的长．【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴AD DB=AE EC，即23=4EC，解得：EC ＝6，∴AC＝AE+EC＝4+6＝10；19．（5分）（2017秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．20．（5分）（2018秋•丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．21．（5分）（2017秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1于双曲线y=k x的一个交点为P（m，2）．（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1于双曲线y=kx的一个交点为P（m，2），∴把P（m，2）代入一次函数解析式得：2＝m+1，即m＝1，∴P的坐标为（1，2），把P坐标代入反比例解析式得：k＝2；（2）根据题意得：当a＞b时，n的取值范围为n＜0或n＞2．22．（5分）（2017秋•丰台区期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）【解答】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．23．（5分）（2017秋•丰台区期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P 的坐标为（1，3.6）、点A （0，2）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3.6， 将点A （0，2）代入，得：a +3.6＝2， 解得：a ＝﹣1.6，则抛物线的解析式为y ＝﹣1.6（x ﹣1）2+3.6， 当y ＝0时，有﹣1.6（x ﹣1）2+3.6＝0， 解得：x ＝﹣0.5（舍）或x ＝2.5， ∴BC ＝2.5，答：水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m ．24．（5分）（2019•新宾县模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且OE EB=23，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）当OB ＝2时，求BH 的长．【解答】证明：（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点， ∴∠AOC ＝90°， ∵OA ＝OB ，CD ＝AC ， ∴OC 是△ABD 是中位线， ∴OC ∥BD ，∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°， ∴AB ⊥BD ， ∵点B 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的切线；解：（2）由（1）知，OC ∥BD ， ∴△OCE ∽△BFE ， ∴OC BF=OE EB，∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4，OE EB=23，∴2BF=23，∴BF ＝3，在Rt △ABF 中，∠ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S △ABF =12AB •BF =12AF •BH ， ∴AB •BF ＝AF •BH ， ∴4×3＝5BH ， ∴BH =125．25．（6分）（2017秋•丰台区期末）如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ，已知AB ＝4cm ，AD ＝2cm ，设A ，E 两点间的距离为xcm ，△DEF 面积为ycm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）确定自变量x 的取值范围是 0≤x ＜4 ；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如表： x /cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y /cm 24.03.73.93.83.32.0…（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为 0或2 cm ．【解答】解：（1）∵点E 在AB 上， ∴0≤x ＜4， 故答案为：0≤x ＜4；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝2，CD ＝AB ＝4，∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADE +∠AED ＝90°， ∵EF ⊥DE ，∴∠AED +∠BEF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠BEF ， ∵∠A ＝∠B ＝90°， ∴△ADE ∽△BEF ， ∴AD BE=AE BF，∵AE ＝x ，∴BE ＝AB ﹣AE ＝4﹣x ， ∴24−x=x BF，∴BF =x(4−x)2， 当x ＝1时，BF =32，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2−32=12，y ＝S 矩形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △BEF ﹣S △CDF ＝8−12×2×1−12×3×32−12×4×12=3.75≈3.8， 当x ＝2时，BF ＝2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝0，此时，点F 和点C 重合，y ＝S 矩形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △BEF ＝8−12×2×2−12×2×2＝4.0 故答案为：3.8，4.0（3）描点，连线，画出如图所示的图象，（4）由图象可知，当x ＝0或2时，△DEF 面积最大， 即：当△DEF 面积最大时，AE ＝0或2， 故答案为0，2．26．（7分）（2019•都江堰市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点（2，3），对称轴为直线x ＝1． （1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴交于点C ，求BC ﹣AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP ＝OQ ，直接写出点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点（2，3），对称轴为直线x ＝1， ∴{−4+2b +c =3b 2=1，解得{b =2c =3，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，设直线l与对称轴交于点M，则BM＝AM．∴BC﹣AC＝BM+MC﹣AC＝AM+MC﹣AC＝2MC＝2；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点为（1，4），∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，∴新抛物线的顶点为（1，0），∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为（x，y），则y＝﹣x2+2x+3，点Q的坐标为（x，y﹣4），则y＞y﹣4．∵OP＝OQ，∴x2+y2＝x2+（y﹣4）2，∴y2＝（y﹣4）2，∵y＞y﹣4，∴y＝﹣（y﹣4），∴y＝2，∴y﹣4＝﹣2，当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±√2，∴点Q的坐标为（1+√2，﹣2）或（1−√2，﹣2）．27．（7分）（2017秋•丰台区期末）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C 为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG=12BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC=√2，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴ACAE =AFAC，∴AC 2＝AE •AF ， ∴AE •AF ＝2．28．（8分）（2018•江阴市二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”．（1）当⊙O 的半径为1时， ①在点P 1（12，√32），P 2（0，﹣2），P 3（√5，0）中，⊙O 的“离心点”是 P 2、P 3 ． ②点P （m ，n ）在直线y ＝﹣x +3上，且点P 为⊙O 的“离心点”，求点P 的横坐标m 的取值范围．（2）⊙C 的圆心在y 轴上，半径为2，直线y =−12x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围． 【解答】解：（1）①∵P 1（12，√32），P 2（0，﹣2），P 3（√5，0）， ∴OP 1＝1，OP 2＝2，OP 3=√5， ∴点P 1在⊙O 上，不符合题意，∵过P 2的切线长=√22−12=√3，√3＜2， ∴P 2是，⊙O 的“离心点”，∵过P 3的切线长=√5−1=2，2＝2， ∴P 3是⊙O 的“离心点”， 故故答案为P 2、P 3．②如图1中，设P （m ，﹣m +3）．当过点P的切线长为2时，OP＝5，∴m2+（﹣m+3）2＝5，解得m＝1或2．观察图象可知1≤m≤2．（2）①如图2中，当点C在y轴的正半轴上时，经过点B（0，1）时，A（2，0），当AC＝2√5，点A是“离心点”，此时C（0，4），观察图象可知当⊙C的纵坐标y c满足3＜y c≤4时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；②如图3中，当点C在y轴的负半轴上时，BC＝2√5时，点B是“离心点”，此时C（0，1﹣2√5）．如图4中，当⊙C 与直线y =−12x +1相切时，设切点为N ．由△CNB ∽△AOB 可得：CN AO=OB AB，∴22=√5，∴OB =√5，∴C （0，1−√5），观察图象可知当⊙C 的纵坐标y c 满足1﹣2√5≤y c ＜1−√5时，线段AB 上的所有的点都是“离心点”；综上所述，⊙C 的纵坐标y c 满足3＜y c ≤4或1﹣2√5≤y c ＜1−√5时，线段AB 上的所有的点都是“离心点”；。