2019届苏教版(理科数学) 两条直线的位置关系 单元测试

一、选择题1．原点到直线x-y+1=0的距离为 A ．12 B ．32 C ．22D ．322【答案】C【解析】由点到直线的距离公式得d =001222-+=. 2．与直线210x y ++=的距离为55的直线方程为 A ．20x y +=B ．220x y +-=C ．20x y +=或220x y +-=D ．20x y +=或220x y ++=【答案】D3．已知两点A (3,2)和B (−1,4)到直线mx +y +3=0的距离相等，则m 的值为A ．0或12-B ．12或−6 C ．12-或12D ．0或12【答案】B 【解析】依题意得22|35||7|11m m m m +-+=++,∴|35||7|m m +=-,∴22(35)(7)m m +=-,∴2844240m m +-=,∴221160m m +-=,∴12m =或6m =-. 4．已知点(),P a b 是第二象限的点，那么它到直线0x y -=的距离是A ．()22a b - B ．b a -C ．()22b a -D ．22a b +【答案】C【解析】因为(),P a b 是第二象限的点，所以0a <，0b >，所以0a b -<.则点P 到直线0x y -=的距离()222b b a a d -==-. 5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y −4=0上，则x 2＋y 2的最小值是 A ．8 B ．22 C ．2D ．16【答案】A6．已知直线3x ＋2y −3=0和6x ＋my ＋1=0互相平行，则它们之间的距离是 A ．4B ．21313 C ．51326D ．71326【答案】D【解析】解法1：在直线3x ＋2y −3=0上取一点(1,0)，则点(1,0)到直线6x ＋my ＋1=0的距离即为所求．由两直线平行，得3m −12=0，m =4，∴两平行线间的距离为22|61401|77132621364d ⨯+⨯+===+.解法2：直线6x ＋my ＋1=0过定点1(,0)6-，该点到直线3x ＋2y −3=0的距离为221|3()203|632d ⨯-+⨯-=+771326213==即为所求.7．直线2360x y +-=关于点(1，－1)对称的直线方程是 A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0【答案】D二、填空题8．已知两条平行直线1:3450l x y ++=， 2:60l x by c ++=间的距离为2，则b c +=__________． 【答案】38或-2【解析】将1:3450l x y ++=改写为6x +8y +10=0，因为两条直线平行，所以b =8．由221068c -+=2，解得c =30，或c =-10，所以b c +=38或-2. 9．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则的最小值等于__________.【答案】6013【解析】因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，所以表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离．所以的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．容易计算60601325144d =+=，即所求的最小值为．10．已知直线l 与两直线1230l x y -+=：和2210l x y --=：平行且距离相等，则l 的方程为__________. 【答案】210x y -+=11．已知P 为直线y =4x −1上一点，点P 到直线2x ＋y ＋5=0的距离等于原点到这条直线的距离，则点P 的坐标为__________． 【答案】11(,)63-或3(,7)2-- 【解析】依题意可设点P 的坐标为(x ，4x −1)，由题意可知2222|2415||5|2121x x +-+=++，解得16x =或32x =-.当16x =时，4x −1=4×16−1=13-；当32x =-时，4x −1=4×(32-)−1=−7，∴点P 的坐标为11(,)63-或3(,7)2--. 三、解答题 12．已知直线与直线互相平行.（1）求实数的值； （2）求直线与之间的距离. 【解析】（1）∵直线与直线互相平行，∴4a ﹣24=0，得a =6.（2）根据两平行直线间的距离公式，得直线l 1：6x +8y ﹣24=0与直线l 2：6x +8y +11=0之间的距离为22|2411|7268d --==+. 13．已知直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2间的距离为5，求l 1、l 2的方程． 【解析】当l 1、l 2的斜率存在时，∵l 1∥l 2，∴可设两直线的斜率为 .由斜截式得l 1的方程为y ＝ x ＋1，即 x －y ＋1＝0.由点斜式得l 2的方程为y ＝ (x －5)，即 x －y －5 ＝0.由两平行线间的距离公式得()22511k k --+-＝5，解得 ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 则满足条件的直线方程为l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5. 14．已知直线1l ：x −y +3=0，直线l ：x −y −1=0.若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，求直线2l 的方程。

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直， 得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． 所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)． 答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离， 又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________． 解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等， 即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )， 则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________． 解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________． 解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)． 答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________． 解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0， 所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m， 故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3， 当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号． 故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32， 所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65， 所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0， 则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3， 所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。

第二节两直线的位置关系A组基础题组1.若直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,则实数m的值为( )A.-1B.0C.1D.22.若直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为( )A. B.4 C. D.23.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)4.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.x+y=05.(2018四川成都调研)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )A. B.C.5D.106.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为.7.以点A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为.8.已知△ABC的一个顶点为A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.9.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.B组提升题组1.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.2.如图,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围是.3.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.4.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.C ∵直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,∴---解得m=1.故选C.2.C ∵l1∥l2 ∴-=≠,解得a=-1,∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,∴l1与l2的距离d=-=.3.B 由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).4.A 由题意知直线l与直线PQ垂直,直线PQ的斜率k PQ=-1,所以直线l的斜率k=-=1.又直线l经过PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.5.D 由题意知P(0,1),Q(-3 0 ∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直 ∴M位于以PQ为直径的圆上.∵|PQ|== ∴|MP|2+|MQ|2=10,故选D.6.答案-或-解析由题意及点到直线的距离公式得=,解得a=-或-.7.答案25解析因为k AB=--=-,k DC=----=-,k AD=---=,k BC=---=,所以k AB=k DC,k AD=k BC,所以AB∥DC AD∥BC 所以四边形ABCD为平行四边形.又k AD·k AB=-1,即AD⊥AB 故四边形ABCD为矩形.故四边形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=--×---=25.8.解析依题意知k AC=-2,又A(5,1),∴l AC:2x+y-11=0,由---可解得C(4,3).设B(x0,y0),则AB的中点M的坐标为,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,由----可解得--故B(-1,-3 ∴k BC=,∴直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.9.解析点C到直线x+3y-5=0的距离d 1==.设与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+m=0 m≠-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d2==,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d3==,解得n=-3或n=9,所以与直线x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.B组提升题组1.答案(2,4)解析由题意可知,若P为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC| 等号成立的条件是点P在线段AC上;|PB|+|PD|≥|BD| 等号成立的条件是点P在线段BD上,所以到A,B,C,D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.由题意知直线AC的方程为2x-y=0,直线BD的方程为x+y-6=0,由--解得即所求点的坐标为(2,4).2.答案 4 +∞解析从特殊位置考虑.如图,∵点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),∴=4,又点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴k FD>,即k FD∈ 4 +∞ .3.解析作出草图,如图,设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',则易得A'(-2,-4),D'(1,6).由反射角等于入射角易得A'D'所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为---=---,即10x-3y+8=0.4.解析(1)直线l 2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离d=---=,所以=, 即=,又a>0,解得a=3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件② 则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×,即c=或,所以直线l'的方程为2x-y+=0或2x-y+=0;若点P满足条件③ 由点到直线的距离公式,有=×,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不符合题意.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得-(舍去);联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得.所以存在点P同时满足三个条件.。

一、选择题1．两直线2x ＋3y − =0和x − y ＋12=0的交点在y 轴上，那么 的值为 A ．−24 B ．6 C ．±6D ．24【答案】C【解析】在2x ＋3y − =0中，令x =0得3k y =，将(0,)3k代入x − y ＋12=0中，解得 =±6. 2．到A (1,3)，B (−5,1)两点的距离相等的动点P 满足的方程是 A ．3x −y −8=0 B ．3x ＋y ＋4=0 C ．3x −y ＋6=0D ．3x ＋y ＋2=0【答案】B【解析】设P (x ，y )，则2222(1)(3)(5)(1)x y x y -+-=++-，即3x ＋y ＋4=0.3．方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线 A ．恒过定点(−2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(−2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线【答案】A4．已知三点A (3,2)、B (0,5)、C (4,6),则△ABC 的形状是 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵|AB |==,|AC |==,|BC |==,∴|AC |=|BC |≠|AB |,且|AC |2+|BC |2≠|AB |2,∴△ABC 是等腰三角形,故选C.5．若直线1l :y = x + +2与直线2l :y =−2x +4的交点在第一象限内，则实数 的取值范围是A ．23k >-B ．2k <C ．223k -<<D ．23k <-或2k > 【答案】C6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于 A ．5 B ．42 C ．25 D ．210【答案】C【解析】设A (x ，0)，B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝()()2204202025-+--==.故选C.7．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是A ．x −3y ＋7=0B ．x −3y ＋13=0C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=0【答案】B 【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0.8．在直线2350x y -+=上求一点P ，使P 点到A (2,3)的距离为13，则P 点坐标是 A ．(5,5) B ．(－1,1) C ．(5,5)或(－1,1) D ．(5,5)或(1，－1)【答案】C【解析】设点P (x ，y )，则253x y +=，由|P A |＝13得(x －2)2＋(253x +－3)2＝13， 即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1, 1) 或P (5, 5)． 二、填空题9．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. 【答案】12【解析】2222149(51)(214)22252()22AB a a a a a a =--+--+=-+=-+， 所以当a ＝12时，|AB |取得最小值． 10．若直线，，能构成三角形，则的取值范围是_________． 【答案】11．直线2490x y -+=关于点A (2，2)对称的直线方程为_________． 【答案】2410x y --=【解析】设所求直线上任一点为(x ,y )，它关于A (2，2)的对称点为(x 0,y 0),则(x 0,y 0)必在直线2x －4y +9=0上，即2x 0－4y 0+9=0.由中点坐标公式得002222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入中,得，即所以直线2x －4y +9=0关于点A (2,2)对称的直线方程为2x －4y －1=0.12．已知直线l 1：2x ＋y −6=0和点A (1，−1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |=5，则直线l 的方程为__________． 【答案】x =1或3x ＋4y ＋1=0.三、解答题13．求过直线2x−y+2=0和x+y+1=0的交点，且斜率为3的直线方程．【解析】方法一：解方程组22010x yx y-+=⎧⎨++=⎩,得1xy=-⎧⎨=⎩,所以两直线的交点坐标为(−1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y−0=3[x−(−1) ,即3x−y+3=0.方法二：设所求直线为l,因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x−y+2+λ(x+y+1)=0(其中λ为常数)，即(λ+2)x+(λ−1)y+λ+2=0 ①,又直线l的斜率为3，所以231λλ+-=-,解得14λ=,将14λ=代入①，整理得3x−y+3=0.14．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【解析】由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点M1(5,1)，同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(－3,5)．由M1与M2两点的坐标可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.令x＝0，得到M1M2与y轴的交点Q(0,7 2 ).解方程组270220x yx y+-=⎧⎨-+=⎩得交点P(,).故点P(,)，Q(0,72)即为所求.15．△ABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，角B ,C 的平分线的方程分别为x-2y =0和x+y-1=0，求BC 所在直线的方程.16．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求此最小值． 【解析】以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．∵正三角形ABC 的边长为a ，∴3(,0),(,0),(0,)222a a a B C A -， 设P (x ，y )，由两点间距离公式，得2222222223||||||()(+)()222a a a PA PB PC x y y x y x ++=+-++++- 22222225333333()46a a x y ay x y a a =+-+=+-+≥.∴当且仅当x =0，y =36a时，等号成立，故所求最小值为a2，此时点P的坐标为3(0,)6a，是正三角形ABC的中心．。

第2讲 两条直线的位置关系一、填空题1． “直线：x ＋(a －1)y ＋1＝0与直线：ax ＋2y ＋2＝0垂直”的充要条件是________．解析 由a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 答案 a ＝232．平面直角坐标系中，与点A (1,1)的距离为1，且与点B (－2，－3)的距离为6的直线条数为________．解析 ∵|AB |＝5，∴以A 为圆心，半径为1的圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与以B 为圆心，半径为6的圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝36内切．∴与A 距离为1，与B 距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线． 答案 13．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线一般式方程为________．解析 两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以与直线x －3y－1＝0平行的直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0. 答案 x －3y ＝04．已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，1)处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(π2)＝1.∴a ＝－1. 答案 －15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为________．解析 当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1.又x 0>0，∴x 0＝1.∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝ 2.答案 26．已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号． 答案 35＋21057．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有________个．解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个． 答案 48．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18. 答案 189．直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3,4)的距离之差最大，则P 点 的坐标是________．解析 易知A (4，－1)，B (3,4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0,1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．答案 (5,6)10．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析 设B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值， 此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32，∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)， 即3x －2y ＋5＝0.答案 3x －2y ＋5＝0二、解答题11．求直线a ：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线b 的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得直线a 与直线l 的交点P (3，－2)．在直线a ：2x ＋y －4＝0上找一点A (2,0)．设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3×2＋x 02＋4×0＋y 02－1＝0，y 0－0x 0－2＝43，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85. 由两点式，得直线b 的方程为y －－－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝x －33－45，即2x ＋11y ＋16＝0. 12．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 13．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，又∵l 过点P (0,1)．所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.14. 如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：PM ·PN 为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．(1)证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x0>0)．则PN ＝x 0，PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此PM ·PN ＝1. (2)解 直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x＝y ＝x 0＋22x 0，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12PN ·ON ＋12PM ·OM＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二课时29 直线的位置关系习题课【要点归纳】1、如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等；如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们 平行2、当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于1-；若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0 时，12l l ⊥.3、两条直线的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，1222:0l A x B y C ++=． 构成方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．（＊）4、平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为12PP = ．5、中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩＊的解一组 无数组 无解两直线相交 两直线重合 两直线平行6、点00(,)P x y 到直线l ：0=++C By Ax 的距离： ．7、两条平行直线1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax （21C C ≠）之间的距离为d ，则 【合作探究】例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合； (4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为︒45．例2、已知直线022=-+y x l ：，试求：(1)点)1,2(--P 关于直线l 的对称点坐标；(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线2l 的方程； (3)直线l 关于点)1,1(的对称直线方程．例3、已知直线082=+-y x l ：和两点)0,2(A 、)4,2(--B ．(1)在l 上求一点P ，使PB PA +最小； (2)在l 上求一点P ，使PA PB -最大．例4、已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．【课时作业29】1． 已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC=BC ，则点C 的坐标为 . 2．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是 .3.经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程为 .4. 已知直线l 1: 2x-3y+10=0 , l 2: 3x+4y-2=0.则经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3:3x-2y+4=0垂直的直线l 的方程为 .5. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.6. 直线2x －y －4=0上有一点P ，则它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值为 .7. 在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.8. 过点)8,6(P 作两条互相垂直的直线PB PA ,，分别交x 轴正方向于A ，交y 轴正方向于B ，若APB AOB S S ∆∆=，求PB PA ,所在直线的方程.9．（探究创新题）已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.10．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，求点P 到坐标原点距离的取值范围.课时29 习题课 例1 分析：可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手．解：由m m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ． 由163543m m -=+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，2121b b a a ≠，1l 与2l 相交； (2)当7-=m 时，212121c c b b a a ≠=．21//l l ； (3)当1-=m 时，212121c c b b a a ==，1l 与2l 重合； (4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ，311-=m 时，21l l ⊥； (5) 231+-=m k ，mk +-=542． 由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k ．将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45．例2 分析：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线b x y +±=，采取特殊代换法，应熟练掌握．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为),(00'y x P ，则线段'PP 的中点M 在对称轴l 上，且l PP ⊥'．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅+--=-⋅++0221222,1)21(210000y x x y 解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5195200y x 即'P 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛519,52．(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线为2l ，则2l 上任一点),(y x P 关于l 的对称点),('''y x P 一定在直线1l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅++-=-⋅--.02222,1)21(''''y y x x x x y y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=.5834,5443''y x y y x x把),(''y x 代入方程2-=x y 并整理，得：0147=--y x即直线2l 的方程为0147=--y x ．(3)设直线l 关于点)1,1(A 的对称直线为'l ，则直线l 上任一点),(11y x P 关于点A 的对称点),('y x P 一定在直线'l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12,1211y y x x 得⎩⎨⎧-=-=y y x x 2211将),(11y x 代入直线l 的方程得：042=-+y x ．∴直线'l 的方程为042=-+y x ．例3 分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出PB PA +的表达式，再求它的最小值．这样计算量太大也不可行．我们可以求出A 关于直线l 的对称点'A ，从而将AP转化为P A '，从而当B 、P 、'A 三点共线时，PB PA +才最小，对于PA PB -最大也可以利用这样的方法．解：(1)如图，设A 关于l 的对称点为),('n m A则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅-+-=-082222,22n m m n∴2-=m ，8=n ．∴)8,2('-A ∴B A '的的是2-=x ，B A '与l 的交点是)3,2(-，故所求的点为)3,2(-P ．(2)如下图，AB 是方程)2()2(2)4(0-----=x y ，即2-=x y ．代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点)10,12(，故所求的点P 为)10,12(．例4 分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题． 解：如图，设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BC AD =，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+--=+-②①.1613)3(,301003222y x x y 由①、②解得)53,516(D ．若BC AD //，则⎪⎩⎪⎨⎧==,,BC AD k k BC AD 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=--④③.31)3(,0032222y x x y由③、④式解得)3,2(D ．故D 点的坐标为)53,516(或)3,2(． 1． 11(,0)22．（2，3）3. 4360x y --=.解析:设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.4. 2x+3y-2=0.解析：解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得交点（-2，2）.又由l ⊥l 3，且332l k =，得到23l k =-， 所以直线l 的方程为22(2)3y x -=-+，即2x+3y-2=0.5.－4和－36. 32.解析:找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， 所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-= 7. 解:∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即, 解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或.8. 解：设)0,0)(,0(),0,(>>b a b B a A ，则AB ：1=+bya x ，即0=-+ab ay bx 。

第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系A组　基础巩固1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线( ) A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内解析：如图所示，因为l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m.所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的．答案：B2．三棱锥S-ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交 B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质定理可知EF∥BC.答案：B3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.答案：B4．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4解析：对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②.答案：B5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B6．(2014·浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面成立的是( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A 中，由m ⊥n ，n ∥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误；B 中，由m ∥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误；C 中，由m ⊥β，n ⊥β可得m ∥n ，又n ⊥α，所以 m ⊥α，正确；D 中，由m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误．答案：C7．线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：如图所示，AC ⊥α，AB ∩α＝B，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝AB ，所以∠ABC ＝60°，12它是AB与平面α所成的角．答案：C8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④9．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④10.如图所示，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形有________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.所以△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.所以△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个11．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：012.如图所示，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P 到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解：(1)因为PD⊥平面BCD，所以BD是PB在平面BCD内的射影．所以∠PBD为PB与平面BCD所成的角．因为BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又因为CD的长等于点P到BC的距离，所以BP ＝CD .设BC ＝a ，则BD ＝a ，BP ＝CD ＝a ，2所以在Rt △BPD 中，cos ∠DBP ＝.22所以∠DBP ＝45°，即PB 与平面BCD 所成角为45°.(2)如图所示，过点B 作BE ⊥CD于点E ，连接PE .由PD ⊥平面BCD 得PD ⊥BE ，又PD ∩CD ＝D ，所以BE ⊥平面PCD .所以∠BPE 为BP 与平面PCD 所成的角．在Rt △BEP 中，由(1)知：BE ＝a ，BP ＝a ，222所以∠BPE ＝30°，即BP 与平面PCD 所成角为30°.B 组　能力提升13．点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH 平行的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：C14．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．不能保证该直线与平面垂直的是( )A．①② B．②C．②④D．①②④解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．答案：C15．如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：由题知，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A，B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．答案：平行或相交16.如右图，已知：M，N分别是△ADB和△ADC的重心，点A不在平面α内，B，D，C在平面α内．求证：MN∥α.证明：如图所示，连接AM ，AN 并延长分别交BD ，CD 于点P ，Q ，连接PQ.因为M ，N 分别是△ADB ，△ADC 的重心，所以＝＝2.AM MP AN NQ 所以MN ∥PQ .又PQ ⊂α，MN ⊄α，所以MN ∥α.17.如图所示，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝a ，点E 2在PD 上，且PE ：ED ＝2∶1.那么，在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？证明你的结论．证明：如图所示，当F 为PC 的中点时，BF ∥面AEC .取PE 的中点M ，连接FM ，有FM ∥CE .　①由EM ＝PE ＝ED 知：E 是MD 的中点，12连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连OE ，所以BM ∥OE . ②由①②知：平面BFM ∥平面ACE .又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC .因此当F 为PC 中点时满足题意．。

2019江苏高考两条直线的位置关系专题练习（附答案）两条直线在空间中存在3种关系。

以下是两条直线的位置关系专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.(2019镇江调研)点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为________.[解析] 利用中点坐标公式，得x=23-1=5，y=24-2=6.[答案] (5，6)2.(2019淮安模拟)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=________.[解析] 直线x-2y+5=0与2x+my-6=0互相垂直，=-1，m=1.[答案] 13.(2019盐城检测)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________.[解析] 当两条平行直线与A，B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大.A(1，1)，B(0，-1)，kAB==2，两条平行直线的斜率k=-，直线l1的方程是y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.[答案] x+2y-3=04.(2019南京盐城调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m，1)到直线4x-3y-1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y3表示的平面区域内，则m=________.[解析] 点P(m，1)到直线4x-3y-1=0距离为4，=4，则m=6或m=-4.又P在2x+y3表示区域内，m=-4舍去.取m=6.[答案] 65.已知+=1(a0，b0)，点(0，b)到直线x-2y-a=0的距离的最小值为________.[解析] 点(0，b)到直线x-2y-a=0的距离d==(a+2b)=(3+2)=.当a2=2b2且a+b=ab，即a=1+，b=时取等号.[答案]图826.如图82，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________.[解析] 直线AB的方程为x+y=4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(-2，0).则光线经过的路程为|CD|==2.[答案] 27.(2019无锡模拟)已知a0，直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直，则ab的最大值为________.[解析] 依题意a2+(b+2)(b-2)=0，得a2+b2=4，又2aba2+b2=4，当且仅当a=b=取等号.ab2即ab的最大值为2.[答案] 28.(2019苏州模拟)直线l被两直线l1：4x+y+6=0，l2：3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l的方程为________.[解析] 法一：由题设知l经过坐标原点，因为x=0不满足条件，故设直线l：y=kx.由解得l与l1交点的横坐标x1=-.由解得l与l2交点的横坐标x2=.由x1+x2=-+=0解得k=-.故直线l的方程为y=-x.法二：设直线l与l1，l2的交点分别是A，B，设A(x0，y0).A，B关于原点对称，B(-x0，-y0).又A，B分别在l1，l2上，①+得x0+6y0=0，A，B都在直线x+6y=0上，直线l的方程是x+6y=0.[答案] x+6y=0二、解答题9.已知直线l1：(m+3)x+4y=5-3m，l2：2x+(m+5)y=8，问m为何值时，l1∥l2；l1与l2重合；l1与l2相交；l1与l2垂直?[解] 由(m+3)(m+5)=42，且-8(m+3)2(3m-5)，得m=-7，当m=-7时，l1l2.②当(m+3)(m+5)=42，且-8(m+3)=2(3m-5)，得m=-1，当m=-1时，l1与l2重合.由知，当m-1且m-7时，l1与l2相交.由2(m+3)+4(m+5)=0，得m=-，当m=-时，l1与l2垂直.10.(2019镇江中学检测)已知直线l：(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3，4).(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.[解] (1)直线l的方程可化为a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0，由得直线l恒过定点(-2，3).(2)设直线l恒过定点A(-2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.又直线PA的斜率kPA==，直线l的斜率kl=-5.故直线l的方程为y-3=-5(x+2)，即5x+y+7=0.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

教课资料范本江苏省 2019学年高一数学暑期作业第八天两直线的地点关系（含分析）苏教版编辑： __________________时间： __________________第八天两直线的地点关系1.直线 l 1： A1 x＋ B1y＋ C1＝0， l 2：A2x＋B2y＋C2＝0：① l 1∥l 2? A1B2－ A2B1＝0，且 A1C2－ A2C1≠0；② l 1⊥l 2? A1A2＋ B1B2＝0；③ l 1∩l 2≠ ?? A1B2－ A2B1≠0.2.含参数的动向直线要关注其方向确立，仍是经过定点．1.求过点 A(2 ，－ 3) ，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2.直线 l 经过原点，且经过另两条直线2 x＋3y＋8＝0， x－ y－1＝0的交点，求直线l的方程．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3.如下图，已知三角形的极点为A(2,4) ， B(1 ，－ 2) ， C( －2,3) ，求边 BC上的高AD所在的直线的方程．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________( 参照时间 60分钟满分100分)班级 ________姓名________成绩________家长署名________一、选择题 ( 每题 5分，共 30分)1. (*)P－2,2)且垂直于直线2x－y＋＝的直线方程为()过点 ( 1 0A. 2 x＋ y＋2＝0B. 2 x＋ y－5＝0C.x＋2y－＝D.x＋2y＋＝0 2072. (*)直线2x＋(m＋1) y＋4＝0与直线 mx＋3y－2＝0平行，则 m＝()A. 2B. －3C. 2 或－3D. －2或－33. (*) 已知点 A(1,2) ， B(3,1) ，则线段 AB 的垂直均分线的方程是()A. 4 x －2y ＋ ＝ 0B. 4 x －2y － ＝ 5 5 0C. x ＋2y － ＝D. x －2y － ＝0554.(*) 已知直线 l 1：(k －3) x ＋(5 － k) y ＋1＝0与 l 2 ：2( k －3) x －2y ＋3＝0垂直，则 k的值是()A.1或3B.1或5C. 1 或4D.1或215. (**)若三直线2x ＋3y ＋8＝0， x －y －1＝0， x ＋ ky ＋k ＋2＝0订交于一点，则 k 的值为()1A. －2B. －21 C.2 D. 26.(***) 设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋ my ＝0和过定点 B 的动直线 mx － y － m ＋3＝0交P x ，y )( 点 P 与点 A ， B 不重合 ，则△ PAB 的面积最大值是()于点 ( )A. 25B. 55C. 2D. 5二、 填空题 ( 每题 5分，共 20分)7.(*) 以 A(2,4) ， B(1 ，－ 2) ， C( －2,3) 为极点的三角形中，则边 BC 上的中线所在直线的方程为 ________．8.(**) 若直线 l 经过点 (1,3) ，且经过另两条直线2 x ＋3y ＋5＝0， x － y ＋1＝0的交点，则直线 l 的方程为 ________．9. (**) 与直线 l ：x ＋y －1＝0对于点 P(1,2) 对称的直线方程为 ________．4 / 910. (**)若直线 l ：y＝kx－ 3x＋3y－＝的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是与直线2 6 0________．三、解答题 ( 第11、12题每题 16分，第 13题18分)11.(**)已知直线 l 1：y＝kx ＋2k＋1与 l 2：y＝－ x＋4的交点在第四象限，求 k的取值范围．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________12. (**)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1) y＋a2－1＝0.(1)试判断 l 1， l 2能否平行；(2)若 l 1⊥l 2，求 a的值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________13.(***)已知点A是x轴上的动点，作一条直线经过点M(2,3) ，且垂直于 MA，此直线交 y轴于点 B，过 A，B分别作 x，y轴的垂线交于点 P，求点 P的坐标(x， y) 知足的关系．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________第八天两直线的地点关系教材例题回首练1. 2 x ＋ y －1＝02. 2 x －y ＝03. 3 x －5y ＋14＝0暑限期时检测1. C分析：由于过点 P( －2,2) 且垂直于直线2x －y ＋1＝0，所以所求直线的斜率为－1 2，1则所求直线的方程为 y －2＝－ 2( x ＋2) ，即x ＋2y －2＝0. 应选 C.2. C分析：由于直线 l 1：2x ＋(m ＋1) y ＋4＝0与直线 l 2 ：mx ＋3y －2＝0平行， m ＝－12m ＋1 4应选时明显不平行， m ≠－时，＝≠，解得 m ＝或 m ＝－3. C.1m3223 －2 13. B分析：线段 AB 的中点为 2， ，k AB ＝ 1＝－ ，2 －123－1所以线段 AB 垂直均分线的斜率为 k ＝kAB ＝2，3所以线段 AB 的垂直均分线的方程是 y － 2＝2( x －2) ，即4x －2y －5＝0. 应选 B.4. C分析：由题意得 2( k －3) 2－2(5 － k) ＝0，整理得 k 2 －5k ＋4＝0，解得 k ＝1或 k ＝4. 应选C.2x ＋3y ＋8＝0， x ＝－ 1， 5. B分析：依题意，解得x －y －1＝0，y ＝－ 2，所以两直线2x ＋3y ＋8＝0和 x － y －1＝0的交点坐标为 ( －1，－ 2) ．1由于直线 x ＋ky ＋ k ＋ 21＝0,2 x ＋3y ＋8＝0和 x －y －1＝0交于一点，所以 k ＝－ 2.6. C分析：动直线 x ＋my ＝0，令 y ＝0，解得 x ＝0，所以此直线过定点 A(0,0) ．动直线 mx － y －m ＋3＝0，即 m( x －1) ＋3－ y ＝0，令 x －1＝0,3 － y ＝0，解得x ＝ ， y ＝ ，所以此直线过定点 B ．1 3 (1,3)m ＝ 时，两条直线分别为 x ＝ ， y ＝ ，交点 P1 3＝× ×＝2.3(0,3) ，21 3 1 m ≠0时，两条直线的斜率分别为－， m ，m1则－ × m ＝－ 1，所以两条直线互相垂直．m当PA ＝PB 时，△ PAB 的面积获得最大值．由 2PA ＝ AB ＝ 12＋32＝ 10.125解得 PA ＝5. 所以 S △PAB ＝ 2PA ＝2.5综上可得△ PAB 的面积最大值是 2.x －5y ＋ ＝0y ＝ 18 21x ＋y － ＝0 π π7. 7 8. ＋9.10. ，61313 5 6 211. 解：解方程组y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－ x ＋4，－ 2k ＋3x ＝ k ＋1 ，得6k ＋1y ＝ k ＋1.由于交点在第四象限，－ 2k ＋3k ＋1>0，1所以 6k ＋1所以－ 1<k<－ 6.k ＋1<0，12. 解： (1) 当 a ＝1时， l 1： x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0， l 1， l 2 不平行；当a ＝0时， l 1： y ＝－ 3， l 2：x －y －1＝0， l 1，l 2不平行；当a ≠ 且 a ≠ 时，两条直线可化为 l 1：y ＝－ a x － ， l 2 ：y ＝1x －(a ＋1)．131－a2a 1若l 1∥ l 2 ，则－ ＝，解得 a ＝－ 1.21－a综上可知当 a ＝－ 1时， l 1∥l 2，不然 l 1，l 2不平行．2(2)由 A 1A 2 ＋B 1B 2＝0得 a ＋2( a －1) ＝013.解：如图，由于 PA ⊥x 轴，点 P 的坐标为(x ，y) ，所以设点 A 的坐标为(x, 0) ．由于 PB ⊥y 轴，所以点 B 的坐标是 (0 ， y) ．由已知得 k MA ＝33－y( x ≠2) ， k MB ＝2.2－x由于 MA ⊥MB ，所以 k MA ·k MB ＝－ ，133－y 即·2＝－ 1( x ≠2) ，2－x化简得2x ＋3y －13＝0( x ≠2) ．当x ＝2时，由2x ＋3y －13＝0，知 y ＝3时点 P 与点 M 重合．综上，知点 P 的坐标(x ， y) 所知足的条件是2 x ＋3y －13＝0.9 / 9。