第七讲 三角函数综问题选讲

三角函数的复习与综合问题解析与证明通过本文，我们将对三角函数进行复习，并解析和证明一些综合问题。

三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用。

本文将围绕三角函数的定义、性质、图像、周期性以及一些典型的综合问题展开讨论。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

我们先来了解它们的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一角的对边与斜边的比值，定义为正弦函数。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一角的邻边与斜边的比值，定义为余弦函数。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一角的对边与邻边的比值，定义为正切函数。

4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，对于一角的邻边与对边的比值，定义为余切函数。

5. 正割函数（sec）：在直角三角形中，对于一角的斜边与邻边的比值，定义为正割函数。

6. 余割函数（csc）：在直角三角形中，对于一角的斜边与对边的比值，定义为余割函数。

二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，包括：1. 周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，而 tan(x) 和 cot(x) 的周期是π。

2. 平移性：对于任意实数 a，sin(x + a) = sin(x)cos(a) + cos(x)sin(a)，cos(x + a) = cos(x)cos(a) - sin(x)sin(a)，tan(x + a) = (tan(x) + tan(a))/(1 - tan(x)tan(a))。

3. 对称性：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)，cot(-x) = -cot(x)，sec(-x) = sec(x)，csc(-x) = -csc(x)。

4. 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)，cot(-x) = -cot(x)，sec(-x) = sec(x)，csc(-x) = -csc(x)。

简单三角恒等变换一、引言（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．二、考点梳理1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=； 正切公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=． 2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=；二倍角的余弦公式：2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 二倍角的正切公式：22tan tan 21tan ααα=-． 3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=． 4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．三、典型问题选讲（一）化简（求值）问题例1 求下列各式的值：⑴︒︒︒80cos 40cos 20cos ； ⑵︒⋅︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan ； ⑶︒+︒10tan 31(50sin ）.分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．解析：⑴[法一]原式=8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 2133=︒︒=︒︒︒⋅︒⋅︒．[法二]原式=8180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒⋅︒︒⋅︒︒． ⑵原式=tan(7050)(1tan 70tan 50)3tan 50tan 70︒+︒-︒⋅︒-︒⋅︒33tan 70tan 50=-+︒︒-370tan 50tan 3-=︒︒．⑶原式=︒︒+︒︒=︒︒+︒10cos )10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin 2sin 50(cos60cos10sin 60sin10)2sin 50cos50cos10cos10︒︒︒+︒︒︒⋅︒==︒︒sin100cos101cos10cos10︒︒===︒︒． 归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当βα±是特殊角时，使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±化简式子．例2 化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222． 分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．解：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sinα． （2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα． 归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=． 例3 已知正实数a ，b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sinπππππ=-+． 分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b 程，从而可求出ab ，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解．解法一：由题设得8sincos sin 55158cos sin cos 5515b a b a ππππππ+=-，则 .33tan 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin 158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b 解法二：22sin cos sin 555a b a b πππϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为， 22cos sin cos tan 5558tan tan .51585153tan tan tan 3.33b a b a b a k k b k a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故解法三：tan 85tan 151tan 5b a b a πππ+=-原式可变形为：，()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即 归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，或sin cos a b αα+()22cos tan a a b b αϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，求 ()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值．分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值．解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++． 解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα ()34k k Z αβππ+=+∈于是有， 223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式． 归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。

三角函数讲义任意角的三角函数及同角三角函数的关系知识点知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。

知识点四三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点五三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .知识点六同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.题型一三角函数定义的应用【例1】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.【例2】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；2.角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5题型二三角函数符号的判断【例1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．【例2】若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【过关练习】1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．题型三诱导公式一的应用【例1】求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin －11π6＋cos 12π5·tan 4π.【过关练习】1.求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan －15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32D.323.求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.题型四利用三角函数线求角、解不等式【例1】根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝12；(2)tan α＝－1.【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1) sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32.【例3】当α∈0，π2时，求证：sin α<α<="">【过关练习】1.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<="" αB ．tan α<="" αC ．si n α<="" αD ．cos α<="" α2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.0，π6 B.π6，5π6 C.π6，2π3D.5π6，π题型五求三角函数定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)f (x )＝sin x ·tan x ；(2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2.【过关练习】1. 求函数f (x )＝1－2cos x ＋lnsin x －22的定义域．2．函数y ＝tanx －π3的定义域为( ) A.x |x ≠π3，x ∈R B.?x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.x |x ≠k π－5π6，k ∈Z题型六三角函数知一求二【例1】已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.【过关练习】1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35题型七三角函数平方关系及其应用【例1】已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ.【例2】已知sin α＋cos α＝m ，求sin 3α＋cos 3α的值．【过关练习】1.已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．2.若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cosA －7的值．3.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α的值是( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 题型八三角函数的化简证明【例1】已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【例2】证明三角恒等式cos α1－sin α＝1＋sin αcos α【例3】已知下列等式成立．(1)a sin θ－b cos θ＝a 2＋b 2；(2)sin 2θm 2＋cos 2θn 2＝1a 2＋b 2.求证：a 2m 2＋b 2n 2＝1.【过关练习】1.若α是第三象限角，化简 1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.2.求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.3.已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.课后练习【补救练习】1.若sin θcos θ>0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 2.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 23π________sin 45π；(2)cos 23π________cos 45π；(3)tan 23π________tan 45π.4.函数y ＝lg cos x 的定义域为________________．5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sin α≥22；(2)cos α≤12.6.已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．【巩固练习】1.已知角α的终边上一点的坐标为?sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π62．如果3π4<θ<π，那么下列各式中正确的是( ) A ．co s θ<="" θB ．sin θ<="" θC ．tan θ<="" θD ．cos θ<="" θ3.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D ．(0，π3)∪(5π3，2π) 4.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－3105.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为．6.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________________．7.化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是．8.已知sin α＝15，求cos α，tan α.9.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan－23π4；(3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．10.求证：tan θ·sin θtan θ－si n θ＝1＋cos θsin θ.【拔高练习】1.若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－34π<="">π，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<="">π，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<="">，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<="">π，k ∈Z } 2.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .3.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是． 4.若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为． 5.在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .6.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.7.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．8.证明：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；。

第七讲 三角函数多年来，三角函数试题在全国高考中的题量及其分数都没有较大的变动，每年的分数一般在二十分左右。

试题难度都为中低档题。

主要考察的内容有：三角函数的定义和基本关系式.关于今后几年全国高考对三角函数的命题趋向，我们认为： 1.试题数量及其分数在试卷中所占比例将基本保持稳定。

2.所有试题都是中低档难度试题，而解答题的难度还将略有下降，原因有三个：一是需用时将列出有关公式，这实际上是对解题的关键步骤给出了提示；二是“简单的三角方程”已经改为不作高考要求的选学内容，因而需用解简单的三角不等式的试题将会更加简单；三是新的教学大纲中规定删去了“三角函数中较复杂的恒等变形”，因此，即使在新大纲实施之前，高考命题也会受到它的影响。

3.涉及积化和差与和差化积公式的试题在三角试题中的比例将会明显下降，而同时涉及这两组公式的试题已几乎不可能再出现，因此这两组公式已不再是高考的热点。

4.倍角公式的变形——半角公式、升幂公式与降幂公式考查的可能性较大，掌握这几个公式对解决一些相对复杂的三角变换有好处.由于解斜三角形需要较多的应用平面几何知识，因而今后几年涉及这一类中的高考题，仍将会像前几年的三角解答题那样，仅限于简单的应用正弦定理和余弦定理。

另外，这两个定理也很可能在解答几何或结合实际的应用题中使用。

由于2000年的三角解答题的难度已经“略有下降”，因此，今后几年此类试题的难度也将“基本保持稳定”。

在本讲中，我们将注意以下几点：1.以小题为主，中低档题为主，并注重三角函数与其他知识的交汇点处的习题2.适当增大习题中的求值与求范围的题目的比例3.对正、余弦定理的应用力求熟练，并避免繁杂的近似计算4.适当增加一些竞赛题目以供同学们开阔视野 本讲分五个部分第一部分基础题目讲与练： 例1.已知sinθcosθ＝81，且24π<θ<π，那么cosθ－sinθ的值为 A.43 B.23C.－43 D.－23 分析:由于24π<θ<π，所以cos θ＜sin θ,于是cos θ－sin θ＝－23cos sin 21-=θθ-,选D例2.若tanθ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________提示：将分子中的2θ化为单角，分母中的1用sin 2θ＋cos 2θ替换，然后分子分母同除以cos 2θ即可。

三角函数的复习与综合问题解答与证明三角函数是高等数学中重要的概念，也是应用广泛的数学工具。

在本文中，我们将对三角函数进行复习，并探讨一些综合问题的解答与证明。

一、三角函数的复习在开始综合问题的讨论之前，让我们先回顾一下常见的三角函数及其性质。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，表示一个角的对边与斜边的比值。

在一个直角三角形中，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1,1]，并且函数是周期性的，周期为2π。

2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个常见的三角函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。

在一个直角三角形中，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边余弦函数的定义域为所有实数，值域也为[-1,1]，同样是周期性的，周期为2π。

3. 正切函数（tan）正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，表示一个角的对边与邻边之间的比值。

在直角三角形中，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边正切函数的定义域为所有实数，但在一些特殊情况下可能会出现无定义的情况，例如tan(π/2)。

以上是常见的三角函数，它们在解决各种几何和物理问题中扮演着重要的角色。

二、综合问题解答与证明接下来，我们将解答一些综合问题，并对一些性质进行证明。

1. 问题一：证明正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性是其重要性质之一。

我们来证明正弦函数的奇偶性。

证明：考虑正弦函数sin(-θ)，根据正弦函数的定义可知：sin(-θ) = 对边 / 斜边由于在直角三角形中，对边的正负取决于角度θ的正负，而斜边的长度不变，因此可以得知正弦函数满足奇偶性，即sin(-θ) = -sinθ。

因此，正弦函数是奇函数。

2. 问题二：证明余弦函数的周期性余弦函数的周期性是其重要性质之一。

我们来证明余弦函数的周期性。

证明：考虑余弦函数cos(θ + 2π)，根据余弦函数的定义可知：cos(θ + 2π) = 邻边 / 斜边根据三角函数的周期性可知，cosθ与cos(θ + 2π)是相等的，因为它们在直角三角形中的邻边和斜边长度相等。

三角函数与解三角形一、角的有关概念1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕其竝从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.7」按旋转方向不同分为正角、负角和零角.(2)分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所冇与角a终边相同的角，连同角u在内，可构成_个集合S={〃|〃=a + &・360。

，圧Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.⑵公式3.(1)象限角的表示:①第一象限角的表示:②第二象限角的表示:③第三象限角的表示:④第四象限角的表示:(2)象限角的表示:①终边落x轴非负半轴上的角的表示：_________________________________②终边落x轴非正半轴上的角的表示：_________________________________③终边落x轴上的角的表示：_________________________________ ;④终边落y轴非负半轴上的角的表示：_________________________________⑤终边落y轴非正半轴上的角的表示：_________________________________⑥终边落y轴上的角的表示：_________________________________ ;⑦终边落在坐标轴上的角的表示：________________________________ o二、任意角的三角函数注：1.三角函数的定义屮，当角G终边上的点P(兀，y)是单位圆上的点时，有sin«=y, cos a=x> (ana=¥，但若角a终边上的点P(x, y)不是单位圆上的点时，图屮圆的半径为/-0P= Jx2 + y2 ,则sin a=\ cos a=~,t tan a=\! t X2.已知三角函数值的符号确定角的终边位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.3.在解简单的三角方程或三角不等式时，单位圆中的三角函数线是一个很好的工具.2.三角公式(1).同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2a+cos2a = 1 ；②商数关系：tanct=2^・注：1・在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.2•注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.3.弦切互化法：主要利用公式tan 成正、余弦.4.和积转换法：利用(sin &土cos &)2=l±2sin 0cos 0的关系进行变形、转化.(2).三角函数的诱导公式①把ct+2刼伙WZ)、±兀土a、一a的三角函数化成a的三角函数时，遵循的原则是“函数名不变，符号看象限”；② 把土-±a 、± — ±a 的三角函数化成&的三角函数时，遵循的原则是“函数名改变，符2 2号看象限”；Ljr③ 一般的把——±Q 伙WZ ）的三角函数化成G 的三角函数时，遵循的原则是“奇变偶不变，符2号看象限”（3〉•两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin （么切）=sinacos/^ 土 costzsin"； cos （aT 0 ）=cosacos B ±sinasin/?；tan a 土tan" tanW ）=1Ttanatan/? •（4）・二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2a=2sinacosa •cos2a=cos 2a —sin 2a=2cos 2a — 1 = 1—2sin 2a. 、 2tan alan2（z= " ~•1—tan a <5).有关公式的逆用、变形① tan a + tan p= tan(a±/?)( ITtan <ztan 0).7 1+cos 2a 、 1—cos la ② cos ・@= ----------- , sin a= ----- --- 、2 2③ 1+sin 2a=(sin a+cos a)291—sin 2a=(sin a —cos a)2, sin a±cos a=^/2sin（6）・函数f （a ）=asin a+bcos a （a> /?为常数），可以化为a 1+b 2sin （a+中住m或弘）=寸庄匚产・ cos （a —卩）（其中tan （p注：三角恒等变换的常用方法与技巧1. 变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、己知角的和与差，角的变换是三角恒这种手法通常叫“配凑”.2. 变名：通过变换尽可能减少函数种类、降低次数、减少项数，其手法通常有“切化 弦”、“升幕与降幕”等.3. 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目f-等变换的核心, 如〃=(a+0)—弘 2 0=@+0)—(a —0), a = 2xf,^ = (^^)-| 等,标，其手法通常有：“常值代换”（如1根据需要可换成tan兰.sin2 674-cos2 tz，丄根4 271 71据需要可换成Si陀或C。

（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。

三角函数的复习与综合问题解答一、引言三角函数是数学中重要的概念之一，其在几何图形的研究、物理学中的波动问题等方面都有广泛应用。

本文将对三角函数的基本概念进行复习，并针对一些综合问题进行解答，以帮助读者加深对三角函数的理解与应用。

二、对三角函数的复习1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

在直角三角形中，正弦函数定义为斜边与对应角的比值。

其函数表示为sin(x)，其中x为角度或弧度。

2. 余弦函数余弦函数也是三角函数中的重要函数。

在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。

其函数表示为cos(x)，其中x为角度或弧度。

3. 正切函数正切函数定义为正弦函数与余弦函数的比值，表示为tan(x)，其中x为角度或弧度。

4. 反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度的函数。

常见的反三角函数有反正弦函数（表示为arcsin(x)或sin^(-1)(x)）、反余弦函数（表示为arccos(x)或cos^(-1)(x)）以及反正切函数（表示为arctan(x)或tan^(-1)(x)）等。

三、综合问题解答1. 问题一：已知正弦函数sin(x)=1/2，求解x的值。

解答：根据正弦函数的定义可知，sin(x)等于对边与斜边的比值。

所以，我们可以得到一个特殊角的sin值为1/2，即30度或π/6。

因此，x的解为30度或π/6。

2. 问题二：已知余弦函数cos(x)=√3/2，求解x的值。

解答：根据余弦函数的定义可知，cos(x)等于邻边与斜边的比值。

所以，我们可以得到一个特殊角的cos值为√3/2，即60度或π/3。

因此，x的解为60度或π/3。

3. 问题三：已知正切函数tan(x)=1，求解x的值。

解答：根据正切函数的定义可知，tan(x)等于对边与邻边的比值。

所以，我们可以得到一个特殊角的tan值为1，即45度或π/4。

因此，x的解为45度或π/4。

4. 问题四：已知tan(x)=√3，求解x的值。