仿真高考 2018高考数学(理)仿真模拟冲刺卷(C)

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．3132班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．25．则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==，则四面体A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=）A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） ABC ．910D ．41811()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线过点F且依次交抛物线及圆(222x y -+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年浙江高考数学仿真冲刺卷(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．定义集合A ＝{x |f (x )＝2x－1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x＋2)}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1，＋∞)B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[0,2)B [由2x－1≥0得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，由于2x>0，所以2x＋2>2， 所以log 2(2x＋2)>1，即B ＝(1，＋∞)， 所以A ∩∁R B ＝[0,1]，故选B.]2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a 2＋b 2<c 2⇒C 为钝角⇒△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，则当A 为钝角时，有b 2＋c 2<a 2，不能推出a 2＋b 2<c 2，故选A.]3．已知复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于( )A ．2 B.23 C ．－2 D ．－23D [2－b i 1＋2i ＝ 2－b i 1－2i 5＝2－4i －b i －2b 5＝2－2b 5－4＋b 5i ，由题设可得2－2b5＋⎝⎛⎭⎪⎫－4＋b 5＝0，解得b ＝－23，故选D.] 4．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )图1A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面间的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P ­A 1B 1C 1的体积不变 C ．与12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任 意一点，则|MN |的最小值是3－22D [平面ACB 1与平面A 1C 1D 都垂直于BD 1，且将BD 1三等分，故A 正确；由于AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以动点P 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是定值，所以四面体P ­A 1B 1C 1的体积不变，故B 正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，22为半径的球，所以体积为23π，故C 正确；对于选项D ，设内切球的球心为O ，则|MN |≥||OM |－|ON ||＝32－12，当且仅当O ，M ，N 三点共线时取“＝”，而32－12>32－22，故D 错误．] 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈ π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[1,2] C ．(0,1]D ．(1,2)A [函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝m 在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得出0<m <1.]6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若|PH |＝a ，则双曲线的离心率为( ) A.52B.32C.5＋12D.6＋12C [由题意可得点P 的坐标为(b ，a )，又P 在双曲线上，故有b 2a 2－a 2b 2＝1，即b 2a 2＝c 2b2，所以b 2＝ac ，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0， 解得e ＝5＋12(负值舍去)．] 7．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝( )A.43B ．－43C ．－23D ．－3B [由3tan α2＋tan 2α2＝1得tanα21－tan2α2＝13，所以tan α＝23.①由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，展开并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝－2tan α，② 由①②得tan(α＋β)＝－43.]8．已知f (x )＝2x 2－4x －1，设有n 个不同的数x i (i ＝1,2，…，n )满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤3，则满足|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M 的M 的最小值是( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．2A [由二次函数的性质易得f (x )＝2x 2－4x －1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且f (0)＝－1，f (1)＝－3，f (3)＝5，则当x 1＝0，x n ＝3，且存在x i ＝1时，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|取得最大值，最大值为|f (x 1)－f (x i )|＋|f (x i )－f (x n )|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M 的最小值为10，故选A.]9．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( ) A ．数列{x i }可能是等比数列 B ．数列{y i }是常数列 C ．数列{x i }可能是等差数列 D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列C [设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ia，±－2pc i a ，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c ia ，此时数列{x i }为公比为q 的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }为公比为q 的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合韦达定理易得x i ＝pb 2a 2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C.]10．如图2，棱长为4的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )图2A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)B [由于AC 1＝43(定长)，因此要求C 1到平面α距离的最大值，只需求出AC 1与平面α所成角的最大值．设AC 1与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ＝22，因为平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，所以AC 1在与平面α所成的角为θ＋30°的平面β内，且AC 1与平面α，β的交线垂直时，AC 1与平面α所成的角最大，最大值为θ＋30°，所以点C 1到平面α的距离的最大值d ＝AC 1sin(θ＋30°)＝2(3＋2)．]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6展开式中的常数项为________．154[设展开式的第(r ＋1)项为常数项，即T r ＋1＝ C r6(x )6－r²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x6－3r 2为常数项， 则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为T 3＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝154.]12．已知空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．图38π103π [由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上，下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π²1²2＋4π²12＝8π，体积为43π²13＋π²12²2＝103π.]13．若直线x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________． π233 [由题设可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即a ＝32＋a ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝33，所以f (x )＝sin 2x ＋33cos 2x ，则易知最小正周期T ＝π，f (x )max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝233.] 14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为________．920 32 [不放回地从6个球中取3个，概率为C 23C 13C 36＝920.由题意得有放回的取球3次，取到红球的分布列服从二项分布，且取球一次取到红球的概率为12，所以取到红球次数的期望为3³12＝32.] 15．已知整数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≥4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________，x 2＋y 2的最小值是________．24 8 [画出可行域如图中阴影部分所示，易得当x ＝8，y ＝8时，2x ＋y 取得最大值，最大值是24.x 2＋y 2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，所以x 2＋y 2的最小值是8.]16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，向量b 与a －b 的夹角为2π3，则a ²b 的取值范围是________．2－433≤a ²b ≤2＋433 [如图，半径为233的圆C 中，|OA |＝2，∠OBA ＝π3，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b, b 在OA →上投影的最小值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－1，最大值为233＋1， ∴2－433≤a ²b ≤2＋433.]17．已知函数f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________． －5＋42<b <1 [f (x )＝x 2－x －4xx －1(x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为h (x )＝x 2＋x －4xx ＋1(x >0)，所以f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，当且仅当方程x 2＋x －4x x ＋1＝x 2＋bx －2有两个不同的正根，即(1－b )x 2－(b ＋1)x ＋2＝0有两个不同的正根， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－ b ＋1 ]2－8 1－b >0，1－b >0，1＋b >0，解得－5＋42<b <1.]三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)如图4，四边形ABCD ，∠DAB ＝60°，CD ⊥AD ，CB ⊥AB .图4(1)若2|CB |＝|CD |＝2，求△ABC 的面积；(2)若|CB |＋|CD |＝3，求|AC |的最小值． [解] (1)由题意得A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠DCB ＝120°，2分BD 2＝BC 2＋CD 2－2CD ²CB cos 120°＝7，即BD ＝7， ∴AC ＝BD sin 60°＝2213，故AB ＝AC 2－BC 2＝533，S △ABC ＝12AB ²BC ＝536.7分(2)设|BC |＝x >0，|CD |＝y >0，则x ＋y ＝3，BD 2＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝274⇒BD ≥332， ∴AC ＝BD sin 60°＝23BD ≥3，12分当BC ＝CD ＝32时取到．所以|AC |的最小值为3.14分19．(本小题满分15分)如图5，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，M 分别为CC 1和A 1B 的中点，A 1D ⊥CC 1，侧面ABB 1A 1为菱形且∠BAA 1＝60°，AA 1＝A 1D ＝2，BC ＝1.图5(1)证明：直线MD ∥平面ABC ；(2)求二面角B ­AC ­A 1的余弦值．[解] 连接A 1C ，∵A 1D ⊥CC 1，且D 为CC 1的中点，AA 1＝A 1D ＝2， ∴A 1C ＝A 1C 1＝5＝AC ， 又BC ＝1，AB ＝BA 1＝2，∴CB ⊥BA ，CB ⊥BA 1，又BA ∩BA 1＝B ，∴CB ⊥平面ABB 1A 1，取AA 1的中点F ，则BF ⊥AA 1，即BC ，BF ，BB 1两两互相垂直，以B 为原点，BB 1，BF ，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，∴B 1(2,0,0)，C (0,0,1)，A (－1，3，0)，A 1(1，3，0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0.5分(1)证明：设平面ABC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ²BA →＝－x ＋3y ＝0，m ²BC →＝z ＝0，取m ＝(3，1,0)， ∵MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，m ²MD →＝32－32＋0＝0，∴m ⊥MD →，又MD ⊄平面ABC ，∴直线MD ∥平面ABC . 9分(2)设平面ACA 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，AC →＝(1，－3，1)，AA 1→＝(2,0,0)，n ²AC →＝x 1－3y 1＋z 1＝0，n ²AA 1→＝2x 1＝0，取n ＝(0,1，3)，又由(1)知平面ABC 的法向量为m ＝(3，1,0)， 设二面角B ­AC ­A 1的平面角为θ， ∵二面角B ­AC ­A 1的平面角为锐角， ∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ²n |m ||n |＝12³2＝14，∴二面角B ­AC ­A 1的余弦值为14.15分20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln 2x －ax 2. (1)若f (x )在(0，＋∞)上的最大值为12，求实数a 的值；(2)若a ＝3，关于x 的方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.⎝ ⎛⎭⎪⎫提示： ln 2x ′＝1x[解] (1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值． 当a >0时，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增；由f ′(x )<0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12a ＝ln212a －12＝12，解得a ＝2e －2. 7分(2)由12f (x )＝－12x ＋b 知ln 2x －3x 2＋x －2b ＝0，令φ(x )＝ln 2x －3x 2＋x －2b ，则φ′(x )＝1x －6x ＋1＝－6x 2＋x ＋1x ＝ 3x ＋1 －2x ＋1x.9分当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，φ′(x )>0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12上单调递增；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，φ′(x )≤0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减． 方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根， 11分则⎩⎪⎨⎪⎧φ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 12＋116－2b ≤0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－2b >0，φ 1 ＝ln 2－2－2b ≤0，解得－12ln 2＋132≤b <－18.15分21．(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y 2＝34相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA →²NB →为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由． [解] (1)∵e ＝12⇒a 2＝4c 2，又焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y 2＝34相切，根据三角形面积公式得bc ＝32²b 2＋c 2⇒b 2c 2＝34(b 2＋c 2)， 4分即(a 2－c 2)c 2＝34a 2⇒(a 2－c 2)＝3，故c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝k x －1⇒(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.若存在定点N (m,0)满足条件， 则有NA →²NB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋m 2－m (x 1＋x 2)＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(m ＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2＝ 1＋k 24k 2－12 4k 2＋3－ m ＋k 28k 24k 2＋3＋k 2＋m 2 ＝ 4m 2－8m －5 k 2＋3m 2－124k 2＋3， 10分 如果要上式为定值，则必须有4m 2－8m －53m －12＝43⇒m ＝118， 12分验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，0满足NA →²NB →＝－13564. 15分22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝12，都有a n ＋1＝13a 3n ＋23a n ，n ∈N *.(1)求证：12²⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12²⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *；(2)求证：当n ∈N *时，1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n .[证明] (1)∵a n ＋1a n ＝13a 4n ＋23a 2n ≥0，∴a n ＋1与a n 同号．∵a 1>0，∴a n >0.2分∵a n ＋1－1＝13a 3n ＋23a n －1＝13(a n －1)(a 2n ＋a n ＋3)，又a 2n ＋a n ＋3>0，∴a n ＋1－1与a n －1同号． ∵a 1－1<0，∴a n <1，4分∴a n ＋1－a n ＝13a n (a 2n －1)≤0，则0<a n ＋1≤a n ≤a 1＝12，∴a n ＋1a n ＝13a 2n ＋23∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34. 6分 当n ≥2时，a n ＝a 1²a 2a 1²a 3a 2²…²a n a n －1≤12²⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 7分 且a n ＝a 1²a 2a 1²a 3a 2²…²a n a n －1>12²⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 8分又12²⎝ ⎛⎭⎪⎫230≤a 1≤12²⎝ ⎛⎭⎪⎫340， ∴12²⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12²⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *.9分(2)∵1－a n ＋11－a n －a n ＋1a n ＝a n －a n ＋1a n 1－a n ＝13(1＋a n )，又a n ＋1＋1＝13(a 3n ＋2a n ＋3)＝13(a n ＋1)(a 2n －a n ＋3)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝13(a 2n －a n ＋3)≥ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋3＝1112.11分当n ≥2时，a n ＋1＝(a 1＋1)²a 2＋1a 1＋1²a 3＋1a 2＋1²…²a n ＋1a n －1＋1≥32²⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，又a 1＋1＝32²⎝ ⎛⎭⎪⎫11121－1，∴13(a n ＋1)≥12²⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，12分∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n －⎝ ⎛a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3⎭⎪⎫＋…＋a n ＋1a n ＝13[(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋…＋(a n ＋1)]≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1112＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1 ＝12²1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n1－1112＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n ， ∴1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n .15分。

理科数学本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·哈市附中]已知集合{}A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞- B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A = ，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-．故选A ．2．[2018·南阳期末]已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则a b +=（ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】A【解析】由1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，()()21i 1i 20a b ++++=，即()()()2i 1i 22i 20a b a b b +++=+++=，得2020a b b +=+=⎧⎨⎩，解得12a b ==-⎧⎨⎩，则1a b +=-．故选A ．3．[2018·曲靖一中]已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为）A ．2212x y -=B ．2212y x -= C ．2212x y -=D ．2212y x -=【答案】B【解析】c =b =1a =，∴双曲线的方程为2212y x -=，故选：B ． 4．[2018·茂名联考]函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C ，D 错误；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 201cos x y x =>+，所以选项B 错．本题选择A 选项． 5．[2018·凌源一模]已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cmC ．34cmD ．36cm【答案】B【解析】几何体如图，体积为211221121522⎛⎫⨯-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，选B ．6．[2018·朝阳一模]按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（ ）开始输出A结束是否1A =1S =5?S ≤2A A =+1S S =+A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】第一次输出1A =，第二次输出123A =+=，第三次输出325A =+=，选B ． 7．[2018·江西联考]设向量a ，b 满足2=a ，1=b ，且()⊥+b a b ，则向量b 在向量2+a b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．12【答案】D【解析】∵()⊥+b a b ，∴()20+=+=b a b a b b ，∴21⋅=-=-a b b ．∴()2221⋅+=⋅+=b a b a b b ，22+=a b ．设向量b 和向量2+a b 的夹角为θ，则向量b 在向量2+a b 方向上的投影为()()221cos 222θ⋅+⋅+=⋅==+⋅+b a b b a b b b a bb a b．故选D ． 8．[2018·定州中学]将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()129g x g x =，且[]1222x x ∈-ππ，，，则122x x -的最大值为（ ） A ．5512πB ．5312πC ．256πD ．174π【答案】A【解析】函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，若()()129g x g x =，且[]122,2x x ∈-ππ，，则()()123g x g x ==-， 则2232x k ππ+=-+π，k ∈Ζ， 即512x k π=-+π，k ∈Z ，[]1222x x ∈-ππ，，，得1217571912121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭,，，，， 当11912x π=，21712x π=-时，122x x -取最大值5512π，故选A ． 9．[2018·西安期末]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n． ① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++ 等于（ ） A ．()1n n - B ．()21n -C ．2nD ．()1n n +【答案】A【解析】∵k n a k =．当2n ≥ ∴12231n n a a a a a a n ++⋯+=﹣211n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1n n =﹣． 故选：A ．10．[2018·邢台二中]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin 24B π⎛⎫+=⎪⎝⎭2a c +=，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,6【答案】B【解析】由0B π＜＜2a c +=， ∴由余弦定理可得，()22222cos 243b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-，∵2a c +=，当且仅当a c =时取等号，∴01ac ≤＜，则330ac -≤-＜，则214b ≤＜， 即12b ≤＜．∴ABC △周长[)234L a b c b =++=+∈，．故选B ．11．[2018·抚州联考]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -，，MF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】由题意可知，抛物线220y px p =>（）的焦点坐标为02p F （，），准线方程为2p x =-，由M 在抛物线的准线上，则32p-=-，则6p =，则焦点坐标为30F （，），所以MF ==，则294t =，解得32t =±，双曲线的渐近线方程是b y x a =±，将M 代入渐近线的方程332b a =⨯，即12b a =，则双曲线的离心率为c e a ===，故选C ．12．[2018·长郡中学]若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos g x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A．1⎤⎥⎣⎦B．1⎡-⎢⎣⎦C．⎛⎤-∞+∞ ⎥ ⎝⎦⎣⎦D ．(][)11-∞-+∞ ，，【答案】D【解析】设切线1l 的斜率为1k ，则()()1112212211k f x x x x x '==+=++-≥++，当且仅当12x =-时等号成立．设切线2l 的斜率为2k ，则()2cos21k g x a x '==-， 由于总存在2l ，使得12l l ⊥，即总存在2k ，使得121k k =-，故2110k k ⎡⎫=-∈⎪⎢⎪⎣⎭，显然0a ≠，且211k a a ⎡⎤∈---⎣⎦，．则：011a a ⎡⎫⎡⎤⊆---⎪⎢⎣⎦⎪⎣⎭，，即：101a a -≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩1a a ⎧≥≥⎪⎨⎪⎩ 据此有：1a ≥．即实数a 的取值范围为(][)11-∞-+∞ ，，．本题选择D 选项．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十五)答案1．C 【解析】通解 由已知可得(1i)(1i)(1)(1)i m n n n =+-=++-，因为,m n 是实数，所以101n n m -=⎧⎨+=⎩，故21m n =⎧⎨=⎩，即i 2i m n +=+，i m n +在复平面内对应的点为(2,1)，其到坐标C ．优解 2(1i)i 1i 1i 221i m m m m n +==+=+--，故122mm n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21m n =⎧⎨=⎩， 故i 2i m n +=+．i m n +在复平面内对应的点为(2,1)故选C ．2．B 【解析】由已知得(,0][2,)A =-∞+∞ ，(0,2)U A ∴=ð，又(,1)(1,)B =-∞-+∞ ，()(1,2)U A B ∴= ð，故选B ．3．B 【解析】由全称命题的否定为特称命题可知，命题2:,580p x x x ∀∈++>R 的否定为：20,580x x x ∃∈++R ≤，故选B ．4．D 【解析】连续7天中随机选择3天，有3735C =种情况，其中恰好有2天连续，有4+3+3+3+3+4=20种情况，所以所求的概率为204357=，故选D ． 5．A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可知111434 3 29865(9)(6)422a d a a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩，解得1137,2266a d ==，5137674226666a ∴=+⨯=，故选A ． 6．B 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(,0]-∞上单调递增，()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减，且77()()44a f f =-=，99()()55b f f =-=，又4()3c f =，且4790345<<<，c a b >>，故选B ． 7．B 【解析】运行该程序，13π10sin log 1112S =++=，2n =；113311sin πlog 211log 2S =++=+，3n =；1113333π11log 2sinlog 310log 62S =+++=+，4n =； 1111333310log 6sin 2πlog 410log 249log 8S =+++=+=+，5n =，故输出的39log 8S =-，故选B ．8．A 【解析】由题意得函数π()2sin(2)6f x x ϕ=++，因为其图象关于直线0x =对称，所以ππ20π ()62k k ϕ⨯++=+∈Z ，即ππ ()3k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，ππ()2sin(2)2cos263f x x x =++=．当π3π44x ≤≤时，π3π224x ≤≤，所以()y f x =在π3π[,]48上的值域为[．9．C 【解析】由题意作出222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，向量a 在向量b方向上的投影)||z x y ⋅==-a b b ，由可行域知，(,)(2,0)x y ==a 时，向量a 在向量b=；当1(,3)2=a 时，向量a 在向量b方向上的投影最小，且最小值为=，所以z的取值范围是[．=210．D 【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中AD，AB ，AG 两两垂直，平面AEFG ⊥平面ABCE ，BC ∥AE ∥GF ，3AB AD AG BCGF =====，1DE =，根据几何体的结构特征可得AC AF ==，GC BF ==，5CE BE =，BG CF ==4AE =，EF =CE =体中任意两个顶点间距离的最大值为G FEDCB A11．B 【解析】∵22(0)AF F B λλ=>，故2,,A F B 三点共线．在1AF B ∆中，190F AB ∠= ，1|||F B AB =，故1AF B ∆是等腰直角三角形．设2||AF m =，由122AF AF a -=，得12||2||2AF a AF a m =+=+，又1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，∴2||2BF a =， 又122BF BF a -=，∴1||4BF a =，依题意11|||BF AF ，即4)a a m +，1)m a =，在12Rt F AF ∆中，22212||||4AF AF c +=，即22282)4a a c +-=，即2225c a =-，∴25e =- 12．C 【解析】当0x ≤时，1()212x g x x =--，其零点为0和-1．当02x <≤时，有220x -<-≤，则2()(2)12x f x f x -=-+=， 当24x <≤时，有022x <-≤，则4()(2)121x f x f x -=-+=+ 当46x <≤时，有224x <-≤，则6()(2)122x f x f x -=-+=+ 当68x <≤时，有426x <-≤，则8()(2)123x f x f x -=-+=+ 以此类推当222n x n <+≤()n N ∈时，22()(2)12x n f x f x n --=-+=+．结合函数图象可知方程1()02f x x -=在(0,2]，(2,4]，(4,6]，…，(2,22]n n +上的根依次为2，4，6，…，2n +2．即函数1()()2g x f x x =-的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为0，2，4，6，…，2n +2，其通项公式为22n a n =-，前n 项和为(22)(1)2n n n S n n -==-，所以1090S =，C 正确． 13．32【解析】设该点的横坐标为0x ，则由抛物线的定义得00322x x +=，解得032x =．14．35【解析】5(1)ax +=5(1)ax +的展开式的通项为155()k k k k k k T C ax C a x +==，令3k =，则3x 的系数为333510C a a =，同理43()5x x +的展开式正第三项的系数为224354()525C ⨯=，所以3541025a =，35a =．15．1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于所以这个三棱柱的表面积等于132232⨯+⨯⨯=16．]+∞【解析】由题意可得´()e e 1f x m =-=-，所以1m =， 当(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈时，()0,()ln 10f s g t t t >=+>， 由()ln 1kf s t t +≥可得ln 1()t t k f s +≥在(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈上恒成立， 即max ln 1]()t t k f s +≥[， 故只需求出()f x 在(0,)+∞上的最小值和()g x 在(1,e]上的最大值即可， 由1()e f x x x =+可得2221e 1´()e x f x x x -=-=．由´()0f x >可得x >或x <，由´()0f x <可得0x <<或0x <<，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为f = 由()ln 1g x x x =+可得´()ln 10g x x =+>在(1,e]上恒成立，所以()g x 在(1,e]上的最大值为(e)eln e 1e 1g =+=+，所以k =所以实数k 的取值范围是]+∞． 17．【解析】(1)由条件可知，当2n ≥时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，又12a =， （2分）{}n a ∴是首项为2，公比为2的等比数列，2n n a ∴=． （5分）(2)由(1)可知22(1)21n b n n n =+-=+，则(21)2n n c n =+⨯， （6分）23252(21)2n n T n ∴=⨯+⨯+++⨯ ①，23123252(21)2n n T n +∴=⨯+⨯+++⨯ ②， （9分）①-②可得123114(12)62(222)(21)262(21)212n n n n n T n n -++--=++++-+⨯=+⨯-+⨯-1(21)22n n +=-+⨯-，1(21)22n n T n +∴=-⨯+． （12分）18．【解析】(1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1AD DC CB === ,∠ABC =60°, ∴2AB =，∴2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=,∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥． （3分）又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD =AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ． （5分）(2)由(1)知,可分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令FM =λ(0≤λ，则C (0,0,0)，A，B (0,1,0)，M (λ,0,1)，∴ AB,1,0)，BM=(λ, ‒1,1)． （6分）设1n =(x ,y ,z )为平面MAB 的法向量， 由1100AB BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取x =1，则1n‒λ)为平面MAB 的一个法向量，（8分） 易知 n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴ cos θ=1212|||⋅==⋅n n |n n （10分）∵0≤λ∴当λ=0时，cos θ， 当λ时，cos θ有最大值12，∴cos θ∈1]2． （12分）19．【解析】 (1)由频率分布直方图可知60岁以上（含60岁）的频率为(0.0l+0.01)×10=0.2，故样本中60岁以上（含60岁）的人数为600×0.2=120，故该城市60岁以上（含60岁）的人数为120÷1% =12000． （4分） 所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）． （6分） (2)通解 由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为15，所以从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人,，抽到“老年人”的概率为15，分析可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,P (X =0)=00331464()()55125C =，P (X =1)=11231448()()55125C =，P (X =2)= 22131412()()55125C =， P (X =3)= 3303141()()55125C =．（10分） 所以X 的分布列为EX =0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．（12分）优解 由题意知每次抽到“老年人”的概率都是15，且X ~B (3,15)，P (X =k )=3311()(1)55k k k C --，k =0,1,2,3,所以X 的分布列为故EX =3×15=35． （12分）20．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ==l 被圆O 截得的弦长为2，所以1b =， （2分）221,4,1e b a b =∴==， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=． （4分）(2)设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线1l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8440k x kmx m +++-=，则判别式 222(8)4(14)(44)0km k m ∆=-+->，2214m k ∴<+．2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++，12PQ x x =-=， （6分）原点O 到直线1l的距离1d =则1112OPQS PQ d ∆=⋅==，2214m k ∴+，令214k n +=，则2m n ，22n m ∴=，22142k m +=．N 为PQ 的中点，1224214N x x km x k +∴==-+，122214Ny y my k +==+， 22142k m += ，2N k x m ∴=-，12N y m=，22212N N x y ∴+=． （9分）假设在x 轴上存在两个不同的定点(,0),(,0)()A s B t s t ≠满足题意，则直线NA 的斜率1N N y k x s =-，直线NB 的斜率2N N yk x t=-， 222122212112()()24()()N N N N N N N N N x y x k k x s x t x s t x st x s t x st--∴==⋅=-⋅---++-++． 当且仅当0s t +=，2st =-时，1214k k =-，则s t ==s t ==综上所述，存在两个不同的定点A，(B或(A，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值． （12分）21．【解析】(1)依题意2()ln h x x x bx =+-．()h x 在其定义域(0,)+∞上的增函数，1´()20h x x b x ∴=+-≥在(0,)+∞上恒成立，12b x x∴+≤在(0,)+∞上恒成立． 0x >，12x x ∴+≥12x x=，即x 时等号成立． ∴b的取值范围为(-∞． （2分）设xt e =，则函数()x ϕ可化为2y t bt =+，[1,2]t ∈，即22()24b b y t =+-，∴当12b-≤，即2b -≤≤2y t bt =+在[1,2]上为增函数，当1t =时，函数2y t bt =+取得最小值，且min 1y b =+ 当122b<-<，即42b -<<-时，当2b t =-时，函数2y t bt =+取得最小值，且2min 4b y =-当22b-≥，即4b -≤时，函数2y t bt =+在[1,2]上为减函数，当2t =时，函数2y t bt =+ 取得最小值，且min 42y b =+．综上所述，当2b -≤≤()x ϕ的最小值为1b +； 当42b -<<-时，()x ϕ的最小值是24b -；当4b -≤时，()x ϕ的最小值是42b +． （6分） (2)设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，且120x x <<， 则点M 、N 的横坐标均为122x x x +=． 曲线1C 在点M 处的切线的斜率1122k x x =+，曲线2C 在点N 处的切线的斜率122()2a x x kb +=+， 假设曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行，则12k k =， 即122x x =+12()2a x xb ++， 则22212121122()()()2x x a x x b x x x x --=+-+=222211()()22a ax bx x bx +-+=22121211()()()()ln ln lnx g x g x f x f x x x x -=-=-=， ∴22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x --==++． （9分）设211x u x =>，则2(1)ln ,11u u u u-=>+ ① 令2(1)()ln ,11u r u u u u-=->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++． ∵1u >，∴()0r u '>，∴()r u 在(1,)+∞上单调递增，故()0r u >， 则2(1)ln 1u u u ->+，这与①矛盾，故假设不成立， 故不存在点R ，使曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行． （12分） 22．【解析】(1)由2525ρρ=⇒=，得2225x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． （4分） (2)设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），① 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=，得2412(2cos sin )550,t t αα-+-= （6分）216[9(2cos sin )55]0αα∴∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设1t 、2t ，128AB t t ∴=-=化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=． （10分） 23．【解析】(1)(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-，2()1f x x x ∴=-++∴不等式化为234x x x -+<-+， （2分） ①当1<x -≤0时，不等式化为234x x x -<-+，0x <<；②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+，102x ∴<≤．综上，原不等式的解集为1{}2x x <<． （6分）(2)由已知[1,1]x ∈-，1x ∴≤，又1a ≤，则22222155()(1)(1)11()244f x a x x a x x x x x x x x =-+-++-+=-+=--+≤≤≤．（10分）。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共16页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·乌鲁木齐质检]若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|01x x <<【答案】D【解析】根据集合的交集的概念得到{} |01A B x x =<<，故答案为：D ．2．[2018·海南期末]设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4 C ．()3,2- D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．[2018·赣州期末]()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160 B ．320 C ．480 D ．640【答案】B【解析】()()6622121x x x +-+，展开通项()666166C 21C 2kk k kk k k T x x ---+==⨯⨯，所以2k =时，2462C 2480⨯⨯=；3k =时，336C 2160⨯=，所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．4．[2018·晋城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+【答案】C球的组合体，其表面积为C ． 5．[2018·滁州期末]的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N，若小值为58，则r =（ ） A ．1 B C D ．2【答案】B【解析】设1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以班级 姓名 准考证号 考场号座位号此卷只装订不密封显然其最小值为()26254r ⨯⨯+-58=，B ．6．[2018·天津期末]内，且()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ） A B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,2【答案】C【解析】k ∈Zk ∈Z ，k ∈Z ，∴3162k k ω+<<+，k ∈Z ． 又()f x 的最小正周期大于π，∴，解得02ω<<． ∴ω的取值范围为()1,2．选C ．7．[2018·渭南质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数无极值点，则角B 的最大值是（ ） C D 【答案】C【解析】()2222f x x bx a c ac +++'=-，()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ．8．[2018·荆州中学]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．48【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S == 不满足条件 3.10S ≥，12n =，6sin 303S =⨯=；不满足条件 3.10S ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯=⨯=； 满足条件 3.10S ≥，退出循环，输出n 的值为24．故选C ． 9．[2018·昌平期末]“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <解集为，cos x x<A ．10．[2018·济南期末]欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）ABCD【答案】B【解析】如图所示，1S=正，23924 Sπ⎛⎫=π=⎪⎝⎭圆9πB．11．[2018·闽侯六中]已知()cos23,cos67AB=，()2cos68,2cos22BC=，则ABC△的面积为（）A．2 B．C．1 D．2【答案】D【解析】根据题意,()cos23,cos67AB=,则()cos23,sin23BA=-︒︒,有|AB|=1，由于,()2cos68,2cos22BC=︒︒()=2cos68,sin68，则|BC|=2，则()2cos23cos68sin23sin682cos452BA BC⋅=-⋅+⋅=-⨯=-，可得：cos2BA BCBBA BC⋅∠==-，则135B∠=，则11sin122222ABCS BA BC B=∠=⨯⨯⨯=△，故选：D．12．[2018·晋城一模]已知定义在R上的可导函数()f x的导函数为()f x'，对任意实数x均有()()()10x f x xf x'-+>成立，且()1ey f x=+-是奇函数，则不等式()e0xxf x->的解集是（）A．(),e-∞B．()e,+∞C．(),1-∞D．()1,+∞【答案】D【解析】()'g x=()g x∴在R上是增函数，又()1ey f x=+-是奇函数，()1ef∴=，()11g∴=，原不等式为()()1g x g>，∴解集为()1,+∞，故选D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-x≤0},N={x|-1<x<1},则M∩N=()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤1}2.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数=()A.iB.iC.-iD.-i3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=()A. B.2 C. D.104.已知等差数列{a n}的公差为2,且a4是a2与a8的等比中项,则a n=()A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951~2016年中国年平均气温变化图.根据上图,下列结论正确的是()A.1951年以来,我国年平均气温逐年增高B.1951年以来,我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来,我国年平均气温都高于1981~2010年的平均值D.2000年以来,我国年平均气温的平均值高于1981~2010年的平均值6.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分看成一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示,则凿去部分的体积为()A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.+1B.C.D. 18.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.6]=3.右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图,则输出a=()A.9B.16C.23D.309.已知函数f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=()A. B.3 C. D.610.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的倾斜角为()A.15°B.30°C.45°D.60°11.若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,3]D.(-∞,4]12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N 两点,若AA1与平面α所成角为45°,则截面A1MN面积的最小值是()A.2B.4C.4D.8二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x,y满足-则z=3x+y的最小值为.14.已知(1+ax)(1+x)3的展开式中x3的系数为7,则a=.15.已知函数f(x)=--则函数f(x)的零点个数为.16.将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1,a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,…,构成的数列为{b n},S n为数列{b n}的前n项和.若S n=2b n-1,则a56=.三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.(12分)已知△ABC的面积为3,AC=2,BC=6,延长BC至D,使∠ADC=45°.(1)求AB的长;(2)求△ACD的面积.18.(12分)某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物的情况,从这一天交易成功的所有订单中随机抽取了100份,按购物金额(单位:元)进行统计,得到的频率分布直方图如图所示.(1)该商家决定对这100份订单中购物金额不低于1 000元的订单按区间[1 000,1 200),[1 200,1 400]采用分层抽样的方法抽取6份,对买家进行售后回访,再从这6位买家中随机抽取3位赠送小礼品.求获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1 200,1 400]的概率.(2)若该商家制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场购物每满200元减40元,每满600元减150元,每满1 000元减300元,以上减免只享受最高优惠.例如:购物金额为500元时,可享受最高优惠80元;购物金额为900元时,只享受最高优惠190元.利用直方图中的数据,计算说明哪种方案的优惠力度更大.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AB=2CD.平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,点E在PC上,DE⊥平面PAC.(1)证明:PA⊥平面PCD;(2)设AD=2,若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°,求DE的长.20.(12分)已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0.(1)直线l1与l2的交点为M,当a变化时,求点M的轨迹C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=e x-ln(2x+a)-b.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0,求a,b的值;(2)当0<a<2时,存在实数x0,使f(x0)<0,求实数b的最小整数值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.23.选修4—5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|+(a≠0,a∈R).(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.2018高考仿真卷·理科数学(二)1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.C9.A10.B11.D12.B13.714.215.316.1 02417.解(1)由S△ABC=3,得S△ABC=6×2sin∠ACB=3,所以sin∠ACB=,∠ACB=30°或150°.又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°.由余弦定理得AB2=12+36-2×26cos150°=84,所以AB==2(2)在△ACD中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°,所以∠CAD=105°.由正弦定理得,所以CD=3+所以S△ACD=AC·CD·sin∠ACD=(3+)×2+1).18.解(1)在这100份订单中,购物金额位于区间[1000,1200)的有10份,位于区间[1200,1400]的有5份,则购物金额位于区间[1000,1400]的订单共有15份,利用分层抽样抽取6份,则位于区间[1000,1200)的有4份,位于区间[1200,1400]的有2份,设事件A表示“获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1200,1400]”,则P(A)=1-(2)由直方图知,各组的频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,方案一:商家最高优惠的平均值为(300×0.1+500×0.2+700×0.25+900×0.3+1100×0.1+1300×0.05)×0.2=150(元);方案二:商家最高优惠的平均值为40×0.1+80×0.2+150×0.25+190×0.3+300×0.1+340×0.05=161.5(元),由于150<161.5,所以方案二的优惠力度更大.19.解(1)由DE⊥平面PAC,得DE⊥PA,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA.又因为CD∩DE=D,所以PA⊥平面PCD.(2)取AD的中点为O,连接PO,因为PA=PD,所以PO⊥AD,则PO⊥平面ABCD,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图,由AD=2得PA=PD=,OP=1,设CD=a,则P(0,0,1),D(0,1,0),C(a,1,0),B(2a,-1,0),则=(-a,2,0),=(a,1,-1),设m=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量,由得--取m=(2,a,3a),由(1)知n==(a,0,0)为平面PAD的一个法向量, 由|cos<m,n>|=,解得a=,即CD=,所以在Rt△PCD中,PC=,由等面积法可得,DE=20.解(1)设M(x,y),由-消去a得曲线C的方程为+y2=1.(y≠-1,即点(0,-1)不在曲线C上,此对考生不作要求)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my-2,由-得(m2+5)y2-4my-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,△ABD的面积S=2|y2-y1|=2-=2,设t=,t∈[1,+∞),则S=, 当t=2,即m=±时,△ABD面积取得最大值21.解(1)f(x)的定义域为-,因为点(0,f(0))在切线x+y+1=0上,所以f(0)=-1,所以1-ln a-b=-1.又因为f'(x)=e x-,所以f'(0)=1-=-1,所以a=1,b=2.(2)∀a∈(0,2),∃x0∈R,使f(x0)<0,即e x-ln(2x+a)-b<0,即b>e x-ln(2x+a).而对x>0,0<a<2,e x-ln(2x)>e x-ln(2x+a),只需∃x0∈R+,使b≥e x-ln x-ln2成立.令g(x)=e x-ln x-ln2,所以g'(x)=e x-,而g'(x)在(0,+∞)上单调递增,g'-2<0,g'(1)=e-1>0,则存在唯一的m,使g'(m)=0,即e m-=0.所以g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(m)=e m-ln m-ln2=-lne-m-ln2=m+-ln2.所以b≥m+-ln2.而m,则1<2-ln2<m+-ln2<-ln2<2,所以b的最小整数值为2.22.解(1)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.(2)将直线l的参数表达式代入曲线C得t2+(4cosα)t+3=0,由Δ=(4cosα)2-4×3>0⇒cos2α>,t1+t2=-4cosα,t1·t2=3,又|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1·t2⇒(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cosα)2=5×3,解得cos2α=,满足cos2α>,所以sin2α=,tan2α=,所以k=tanα=±23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=----①当x>1时,由2x+1≤5得x≤2,故1<x≤2;②当-2≤x≤1时,由3≤5得x∈R,故-2≤x≤1;③当x<-2时,由-2x-1≤5得x≥-3,故-3≤x<-2.综上,不等式的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+--,当且仅当(x-a)0,即-x≤a(a>0)或a≤x≤-(a<0),取“=”,此步对考生不作要求所以,g(a)=,因为=|a|+2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”, 所以,g(a)min=g(±)=2。

全国高考2018届高三仿真试卷（五）数学（理）试题本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，则，故选择C.2. 已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则（）A. 1B. -1C.D.【答案】C3. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是定值，它可以通过方程求得．类似上述过程，则（）A. 3B.C. 6D.【答案】A【解析】由题意结合所给的例子类比推理可得：，整理得：，则，即.本题选择A选项.4. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）学+科+网...A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是棱长为2 的正方体截去以一个以顶点为球心，2为半径的球，所以该几何体的体积为，故选择A.6. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行该程序框图，可知第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；第5次循环：，此时成立，输出结果，故选B.7. 已知实数满足不等式，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值5.本题选择D选项.8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设切点为M,则EM∥PF1,又,所以|PF1|=4r=b,所以|PF2|=2a+b,因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x.本题选择D选项.9. 已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，若函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，根据正弦函数图像可知，则应满足，解得，故选择C.10. 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（）A. 3600B. 1080C. 1440D. 2520【答案】C【解析】由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为种，第二类：将6人平均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为，所以由以上可知，不同的参加方法数共有1440种，故选择C.方法点睛：排列组合中不同元素的分配问题，往往是先分组，再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组，②均匀分组，③部分均匀分组，由于分组的无序性，所以在均匀分组和部分均匀分组时，要注意解序，即剔除顺序.11. 数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足，数列，若为等比数列，则（）A. B. 3 C. D. 6【答案】B【解析】由题意，，则，得,要使为等比数列，必有，得，故选B.【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义、等比数列求和公式，属于难题.判定一个数列为等比数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等比数列；(2) 等比中项法：（），则数列是等比数列；(3) 通项公式：(为常数)，则数列是等比数列.本题先利用方法(3)判定出数列是等比数列后再进行解答的.12. 已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，若，则应有或或，若函数有三个不同的零点，则应满足，故选择B.方法点睛：函数的零点等价于方程的实根，等价于函数图像与轴交点的横坐标.本题先画出函数的图像，在确定分点的取值范围，这里要特别注意端点值能否取得等号.考查数形结合思想在解题中的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，且，，则__________．【答案】【解析】由题，.14. 设，则__________．【答案】2【解析】由于是的系数，所以由两部分构成，一部分是展开式中的与展开式中的相乘所得，另一部分是的展开式中的与展开式中的相乘所得，所以.15. 已知点，是抛物线上的两点，，点是它的焦点，若，则的值是__________．【答案】【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填答案。

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ²B)=P(A)²P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n p p C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是 A.M ∩(N ∪P) B.M ∩[(C I N)∩P] C.[(C I M)∩[(C I N)]∩P D.(M ∩N)∪(N ∩P)2.奇函数y =f(x)(x ≠0)，当x ∈(0，+∞)时，f(x)=x-1，则函数f(x-1)的图象为3.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c =0，a 、b 、c 两两数量积都为-1，则|a|+|b|+|c|等于A.22B.23C.32D.33 4.下列函数中值域是(0，+∞)的函数是ABCDA.15y= B.x 1)21(y -=C.x 21y -=D.121y x-=5.三个数成等差数列，其公差为d ，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d 为A.8B.8或-15C.±8D.±15 6.设a ＞b ＞c ，且ca nc b 1b a 1-≥-+-，则n 的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知0＜θ＜4π，则下列各式中正确的是 A.sin θ＜cos θ＜cot θ B.cos θ＜cot θ＜sin θ C.cot θ＜sin θ＜cos θ D.cos θ＜sin θ＜cot θ 8.如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax+By+C =0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.有如下一些说法，其中正确的是①若直线a ∥b ，b 在面a 内且a ⊄α，则a ∥α；②若直线a ∥α，b 在面α内，则a ∥b ；③若直线a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；④若直线a ∥α，b ∥α，则a ∥b A.①④ B.①③ C.② D.①10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为54，乙答及格的概率为53，丙答及格的概率为107，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为 A.203 B.12542C.25047D.以上都不对 11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 A.1 B.2 C.2 D.22 12.已知曲线S ：y =3x-x 3及点P(2，2)，则过点P 可向S 引切线的条数为 A.0 B.1 C.2 D.3普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(五)第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.设有两个命题：①不等式|x|+|x-1|＞m 的解集是R ；②函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是_________.14.已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则y cx a +的值等于___________.15.过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为41，那么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为___________.16.设F 为椭圆1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)的一个焦点，已知椭圆长轴的两个端点与F 的距离分别为5和1，如果点P(a ，6)在直线y =kx 的上方，则k 的取值范围是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知复数z 1=x+ai ，z 2=x+bi(b ＞a ＞0，x ＞0)的辐角主值分别为α、β，求tan(β-α)的最大值及对应的x 的值.18.(本小题满分12分)如图，α—ι—β是120°的二面角，A 、B 两点在棱上，AB =2，D 在平面α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB =90°，C 在平面β内，三角形ABC 是直角三角形，∠ACB =90°，∠ABC =60°.求： (1)三棱锥D —ABC 的体积；(2)直线BD 与平面β所成的角的正弦值；(3)二面角D —AC —B 的平面角的正切值.19.(本小题满分12分)一次数学测验共有10道选择题，每题都有四个选择肢，其中有且只有一个是正确的.考生要求选出其中正确的选择肢，只准选一个选择肢.评分标准规定：答对一题得4分，不答或答错倒扣1分.某考生确定6道题是解答正确的；有3道题的各四个选择肢中可确定有1个不正确，因此该考生从余下的三个选择肢中各题分别猜选一个选择肢；另外有1题因为题目根本读不懂，只好乱猜.在上述情况下，试问： (1)该考生这次测试中得20分的概率为多少?(2)该考生这次测试中得30分的概率为多少?20.(本小题满分12分)椭圆C1：1b y a x 22=+(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，P 是双曲线C2：1by a x 22=-的右支(x 轴上方)上的一点，线段AP 交椭圆于C ，PB 的延长线交椭圆于D ，且C 平分AP.(1)求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角；(2)当双曲线C 2的离心率e 为何值时，直线CD 恰过椭圆C 1的右焦点?21.(本小题满分12分)设曲线C ：y =x 2(x ＞0)上的点P 0(x 0，y 0)，过P 0作曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1(x 1，y 1)，然后再过P 1作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 2(x 2，y 2)，依次类推，作出以下各点：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…，P n ，Q n+1，…，已知x 0=2，设P n (x n ，y n )(n ∈N *). (1)求出过点P 0的切线方程；(2)设x n =f(n)，求f(n)的表达式；(3)设S n =x 0+x 1+…+x n ，求∞→n lim S n .22.(本小题满分14分)设f(x)的定义域为x ∈R 且x ≠2k ，k ∈Z ，且)x (f 1)1x (f -=+，如果f(x)为奇函数，当0＜x ＜21时，f(x)=3x . (1)求)42001(f(2)当21k 2+＜x ＜2k+1(k ∈Z)时，求f(x)；(3)是否存在这样的正整数k ，使得当21k 2+＜x ＜2k+1(k ∈Z)时，log 3f(x)＞x 2-kx-2k 有解？仿真试题(五)一、选择题1.B 阴影部分的元素在集合M 中而不在集合N 中.2.D 用图象平移或直接求出f(x-1)的解析式即得.3.C 利用a+b =-c 平方得.4.B5.C6.C 用基本不等式2b a +≥b1a 12+(a ＞0,b ＞0)变形得. 7.A 由tan θ=θθcos sin ＞sin θ得.8.C 利用AC ＜0，BC ＜0研究横纵截距. 9.D10. 分为三种情况计算，再求和. 11.D12.D 设S 的切线方程，令切线过点P 可求得. 二、填空题 13.1≤m ＜214.2 用特值法易得所求值. 15.2 16.k ＜35由题意知a+c =5,a-c =1(c =22b a -),从而a =3,c =2,P(3,5),做k ＜35. 三、解答题17.解：由题设知tan α=x a ，tan β=x b 且0＜α＜β＜2π，∴tan(β-α)=xab x ab tan tan 1tan tan +-=βα+α-β. 5分∴x ＞0，x ab ＞0且x ²xab=ab 为定值，∴当且仅当x =x ab ，即x =ab 时，x+xab取得最小值2ab .此时tan(β-α)取最大值ab2a b -. 12分18.解：(1)过D 向平面β作垂线，垂足为O ，连接OA 并延长至E. ∵AB ⊥AD ，OA 为DA 在平面β内的射影，∴AB ⊥OA.∴∠DAE 为二面角β--αl 的平面角.∴∠DAE =120°.∴∠DAO =60°. ∵AD =AB =2，∴DO =3.∵△ABC 是有一个锐角为30°的直角三角形，斜边AB =2，∴S △ABC =23.又D 到平面β的距离DO =3， ∴V D-ABC =21. 4分(2)由(1)可知，∠DBO 为直线BD 与平面β所成的角，∴sinDBO =46BD DO =. 8分 (3)过O 在平面β内作OF ⊥AC ，交AC 的反向延长线于F ，连结DF ，则AC ⊥DF ，∴∠DFO 为二面角D-AC-B 的平面角.又在△DOA 中，OA =2cos60°=1，即∠OAF =∠EOC =60°， ∴OF =1²sin60°=23.∴tanDFO =OF DO =2.12分19.解：(1)设可确定一个不正确选择肢的试题答对为事件A ，乱猜的一题答对为事件B.1分 则P(A)=31，P(B)=41，则得分为20分的事件相当于事件A 独立重复试验3次没有1次发生而且事件B 也不发生.3分 其概率为03C (1-31)3(1-41)=92. 6分答：在这次测试中得20分的概率为92. (2)得分为30分的事件相当于事件A 独立重复试验3次有2次发生且事件B 不发生或事件A 独立重复试验3次只有1次发生而且事件B 发生. 8分其概率为185916141)311)(31(C )411)(311()31(C 213223=+=-+--. 11分 答：该考生在这次测试得30分的概率为185. 12分20.解：(1)由已知A(-a,0)、B(a,0)，设P(x 0,y 0)、C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，x 0＞a,y 0＞0，则x 1=2y y ,2a x 020=-.将C(2y ,2a x 00-)代入椭圆方程得4by a )a x (22220=+-. ∵1bya x 220220=-，消去y 0，得x 0=2a 或x 0=-a(舍)，将x 0=2a 代入双曲线方程得y 0=b 3,∴P(2a,b 3).∴k PD =k PB =ab3a x y 00=-.∴PD 的方程为y =a b 3(x-a)，代入椭圆方程得2x 2-3ax+a 2=0,解得x 2=2a或x 2=a(舍).∵x 1=2a x 0-,∴x 1=x 2. ∴CD 的倾斜角为90°.6分(2)当直线CD 过椭圆C 1的右焦点F 2(c,0)时，x 1=x 2=c ，则a =2c ，∴b =c 32c 2a =-,即a 23b =在双曲线中半焦距27ac ,a 272b 2a c ='=∴=-=' ，这时CD 恰过椭圆C 1的右焦点.12分 21.解：(1)∵k 0=2x 0=4，∴过点P 0的切线方程为4x-y-4=0. 3分 (2)∵k n =2x n ，∴过P n 的切线方程为y-x n 2=2x n (x-x n ).5分将Q n+1(x n+1,0)的坐标代入方程得-x n 2=2x n (x n+1-x n ). ∴21x x 2x x n 1n n 1n =⇒=++. 7分故｛x n ｝是首项为x 0=2，公比为21的等比数列. ∴x n =f(n)=2²n )21(，即f(n)=1n )21(-.9分(3))211(4S 211)211(2S 1n n 1n n ++-=⇒--=，∴)211(4lim S lim 1n n n n +∞→∞→-==412分22.解：(1)∵f(x+2)=-)x (f )1x (f 1=+,∴f(x)是周期为2的周期函数.∴413)41(f )41500(f )42001(f ==+=. 5分(2)∵Z k ,1k 2＜x＜21k 2∈++,∴,0＜1k 2＜x 21,1k ＜2＜x 21---- 0＜2k+1-x ＜21.∴f(2k+1-x)=32k+1-x.又f(2k+1-x)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x+1)=.)x (f 1 ∴f(x)=.3)x 1k 2(f 11k 2x --=-+10分(3)log 3f(x)＞x 2-kx-2k,∴x-2k-1＞x 2-kx-2k,x 2-(k+1)x+1＜0.(*)∴△=k 2+2k-3.①若k ＞1且k ∈Z 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+++-+-+.1k 2＜x＜21k 2,23k 2k 1k ＜x＜23k 2k 1k 22但是21k 2＜1k 21k 2k 1k ＜23k 2k 1k 22++=++++-+++.∴x ∈Ф.②若k =1，则△=0，(*)式无解. ∴不存在满足条件的整数k. 14分。

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2018年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B 错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解 (1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解 (1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明 (方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.解 (1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。