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第11章狭义相对论(2)

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狭义相对论

狭义相对论

物理学家感到自豪而满足，两个事例： 在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只 要做一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据 的小数点后面添加几位有效数字而已。 ——开尔芬（1899年除夕） 理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都 已经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何发 展的事去做。 ——约利致普朗克的信
由干涉理论，时间差的变化引起的移动条纹数
L1 L2 u 2 N c2 4 对于 L1 L2 22m,u 3 10 m s, 589nm c( t t )
N 0.40
但实验值为 N 0 以太不存在，光速与参考系无关。 该结果说明什么问题呢？
S
P
A
L1
实验结果：条纹无移动(零结果 )。以太不存在，光速与参考系 无关。
干涉条纹
B
地球公转
按照伽利略速度变换
u
A
L2
S
L1 L1 2 L1 t PAP 2 2 c u c u c (1 u c )
P
L1
v c u
2
2
2 L2 L1 t t PBP t PAP c 1 u2 c2 1 u2 c2 干涉仪转90°后 ，时间间隔变成
第 十 三 讲
狭义
相对论
运动是相对的，在研究运动相对性问题时，认识到 了参考系的概念。
本章研究的问题:
在两个惯性系中考察同一物理事件
通常： 实验室参考系 定为S系 运动参考系 定为S’系
1.伽利略相对性原理
从“三大守恒定律”到“牛顿运动定 律”，完成了“经典力学”的构建。几 乎可以用来解释所有宏观、低速运动现 象。 正如欧几里德几何建立在几条基本假设 的基础上， “经典力学的大厦”建立在“伽利略时 空观”的假设上。

大学物理：第11章-相对论1-洛伦兹时空变换和速度合成

大学物理：第11章-相对论1-洛伦兹时空变换和速度合成
两个假设： 1. 力学定律在所有惯性系中形式相同 2. 质量和受力在所有惯性系中保持不变
力学定律：F ma 推论：a在所有惯性系中保持不变 数学上：伽利略变换
1 伽利略变换：
正变换
x' x ut y' y z' z t' t
逆变换
x x'ut' y y' z z'
t t'
y S y' S'
1905年，爱因斯坦发表了具有划时代意义的论文 《论动体的电动力学》，提出了爱因斯坦相对性原理 和光速不变原理，作为狭义相对论的两条基本假设。
1、伽利略变换的困难
1).电磁场方程组不服从伽利略变换 伽利略变换需要修正？
电磁学基本规律不遵从相对性原理？ 修正电磁学
2). 伽利略修正导致一些实验无法观测的新现象 伽利略变换不适于光或电磁波的运动（高速运动）。
az az
在两个惯性系中
a a
2、伽利略变换与绝对时空概念
t t' 得： t t'
即：在S系和S’系中的观察者对任意两事件之间的时 间间隔进行测量，测量结果与参照系无关。
在牛顿力学中，时间是绝对的。
同一根棒在不同参考系中的长度：
L x2 x1
L' x'2 x'1
由伽利略变换得: x2 x1 x于力学定理
速度与参考系有关，相对的
狭义相对 光速， 是绝对的 论力学 时间测量 长度测量 与参考系有关，相对的 质量测量
惯性系等价适用于一切物理定理
2、洛伦兹变换：
相对论的基本原理出发，推导洛仑兹变换 为简明扼要，只考虑沿x方向有相对运动
(1) 时空均匀性，线性变换，一次方程

狭义相对论

狭义相对论

u v ux x u v 1 x2 c y 1 v 2 c 2 u uy u v 1 x2 c
u 1 v 2 c 2 uz z u v 1 x2 c
例3. 在惯性系S中，有两事件同时发生在xx´轴上相 距1.0103 m处，从S ´观察到这两事件相距2.0103 m。 试问由S系测得此两事件的时间间隔为多少？
洛伦兹变换
x
x vt 1 v c
2 2
x
x vt 1 v2 c2
y y
y y
z z
t t vx c 2 1 v c
2 2
z z
t t vx c 2 1 v c
2 2
宇宙速度的数量级： 10 4 m s 1
v c 10
狭义相对论的两条基本假设： • 狭义相对论的相对性原理：在所有惯性系中，物 理定律的表达形式都相同。 • 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速 具有相同的量值c 。
接下来怎么学
医用物理教材：套公式 看书p28
我们：从基本原理出发，看自己是否能 像爱因斯坦一样推理。
也许你行！
2-2-2 时空的相对性
解：
x1
1 v c
x1 vt1
2
x2
1 v c

x2 vt 2
2
t2 t1
x2 x1
( x2 x1 ) v(t2 t1 ) 1 v c
3 2
2
1 v c
x2 x1
2
2.0 10
3
1.0 10
1 v c
牛顿的绝对时空观：时间和空间都是绝对的，与 物质的存在和运动无关。

第11章-狭义相对论3

第11章-狭义相对论3
假如飞船返回地球兄弟相见，到底谁年轻就成了 难以回答的问题。
问题的关键是，时间延缓效应是狭义相对论的结 果，它要求飞船和地球同为惯性系。要想保持飞船和 地球同为惯性系，哥哥和弟弟就只能永别，不可能面 对面地比较谁年轻。这就是通常所说的孪生子佯谬 (twin paradox)。
如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度，飞 船就不是惯性系了。这一问题的严格求解要用到广义 相对论，计算结果是，兄弟相见时哥哥比弟弟年轻。 这种现象，被称为孪生子效应。
,
vz
vz
1u2 / c2
1
uvx c2
讨论 1. 当 u 和 vx << c 时，转化为伽利略速度变换。
2. S 系中的光速 vx 即光速不变。
=
c，在
S'
系中
vx
cu
1
uc c2
c,
例1 从地球上观察两飞船分别以 0.9c 的速率沿相反方 向飞行，求一个飞船相对于另一飞船的速率。
解：把 S 系建立在地球上， y
mD mT 为优质煤燃烧值 (2.93×107J/kg) 的 1.15×107 倍，即 1kg 核燃料释放的能量相当于 11500 吨优质煤完全燃 烧所释放的能量，这些煤要一艘万吨轮才能装下。
例2 S系中两个静止质量均为 m0 的粒子 A、B 以速度 v 沿相反方向运动，碰撞后合成为一个大粒子。求这
二、质能关系
1. 相对论动能
在牛顿力学中，外力做功加速质点，速度可增大
至无穷；在相对论中，质量要增大，因此速度不可至
无穷。
质点由静止加速到速率 v 的过程中，外力做功
v
v d(mv)
v
W Fdx
dx vd(mv)

10狭义相对论一解答

10狭义相对论一解答

而与v垂直方向上的线度不变，仍为2R = 2 a， 即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为(椭圆形面积) S ab R 1 (v / c) 2 R R 2 1 (v / c) 2 =7.2cm2
狭义相对论（一）
第十一章 光学
2．一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于 地面以0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站 的上空飞过． (1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是 多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解： (1) 观测站测得飞船船身的长度:
t t ' v2 1 2 c 1.29 10-5 s
狭义相对论（一）
第十一章 光学
三、计算题
1．观察者A测得与他相对静止的Oxy平面上一个圆 的面积是12 cm2，另一观察者B相对于A以 0.8 c (c 为真空中光速)平行于Oxy平面作匀速直线运动， B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？ 解： 由于B相对于A以v ＝0.8 c匀速运动， 因此B观测此图形时与v平行方向上的线度将收缩为 2 R 1 (v / c) 2 2b 即是椭圆的短轴.
狭义相对论（一）
第十一章 光学
4.地球的半径约为R0 = 6376 km，它绕太阳的速率约 为30 km· s-1，在太阳参考系中测量地球的半径在哪 个方向上缩短得最多？缩短了多少？ (假设地球相 对于太阳系来说近似于惯性系) 解： 在太阳参照系中测量地球的半径在它绕太阳公转的 方向缩短得最多．
R R0 1 (v / c) 2
其缩短的尺寸为： R = R0- R R (1
0
1 (v / c) 2 )

1 R0v 2 / c 2 2

狭义相对论

狭义相对论

4-1
对所有惯性系， 物理规律都是相同的。
第一节：两个基本假设
principle of special relativity and
Lorentz transformat在io任n 何惯性系中，
光在真空中的速率
都等于同一量值c。
洛仑兹变换(序)
含义 洛仑兹变换是狭义相对论中联系任意两个惯性参考系之间时 空坐标的变换。对高、低速物质运动兼容。 来由 洛仑兹在研究速度小于光速运动系统中的电磁现象时，曾提出 解决时空变换问题的法则及数学形式，但仍受“以太”观念束 缚。爱因斯坦以狭义相对论的两个基本假设为前提，重新导出 这个变换，并赋予明确的物理意义 ，仍称为洛仑兹变换。
牛顿相对性原理（力学相对性原理）：
一切力学规律在不同的惯性系中应有相 同的形式。
牛顿相对性原理源于牛顿的时空观。 牛顿的时空观可通过以下坐标和时间变 换来体现：
引言1: 伽利略变换#
伽利略变换是反映两个相对作 匀速直线运动的参考系（惯性系） 之间的 坐标、速度、加速度变换。
约定：
静系 (S ) 动系 (S )
条件
变换式必须满足狭义相对论的两个基本假设。 时间和空间具有均匀性，变换性质应为线性变换。 对时间和空间不作绝对定义，允许其存在相互依赖的可能性。
约定惯性系
模型 在约定惯性系中进行某一事件的时空坐标变换
相对 沿 方向以匀速 运动 重合开始计时 方向均无相对运动
现推导有相对运动的 X 方向的时空坐标变换式：
不是一个亮点，而是 一个亮弧。
B A
B
2. 若用两种方法测量伴星的运动周期：
一是测量伴星相继两次通过B点所经历的时间；二是测量伴星由B运动到B
所经历的时间（半周期）乘二。两种方法所测得结果不该相等，这是因为在

狭义相对论


x2 x1 令:u t 2 t1
t2 t1 ,
t1 t2
uv c 2
vc
uc
信号传播是一个物理过程，传输时必然伴随能量。因此只要能量传输的速 度不超过 c，则因果关系就不会倒置。
§6.3 相对论的时空理论
3、同时的相对性
1、同时同地事件
t1 t 2，x1 x2
§6.3 相对论的时空理论
三、运动时钟的延缓 根据经典理论： t t2 t1 t'
根据相对论理论：
':
'

t' t2' t1'
——固有时（原时）
v t1
x0
'
v t2
x0
t2
: t
t ' vx' c 2 1 2

t1 x1
§6.2 相对论的基本原理 洛伦兹变换
间隔不变性 （1）时空基本属性的两条基本假设： ① 空间均匀性 选择时空任意一点作为坐标系的原点， 任一时间为起点都不应改变物理规律，即空间是平权的，没 有特殊点存在。 ② 空间各向同性 选择不同取向的坐标轴都不会影响物理 规律，即空间不存在一个特殊的方向，各方向都是平权的。
复习：
相 对 论 的 基 本 原 理
2 2 2
间 隔 不 变 性
洛 伦 兹 变 换
S c (t ) [(x) (y) (z) ]
2 2 2
§6.3 相对论的时空理论
1、相对论时空结构
光锥---间隔分类的几何意义
再论间隔 设第一个事件时空坐标(0,0,0,0),第二个事件任意 (x,y,z,t)则 s 2 c 2t 2 r 2 r 2 x 2 y 2 z 2 , 为空间间隔.

相对论(2)


0‘ 由动量守恒和质量守恒
mv = (m0 + m)ux
− mv = (m0 + m)u
' x
mv 即 ux = m + m0 mv ' 即 u =− = −ux x m + m0
全同粒子A和 发生完全非弹性正碰 全同粒子 和B发生完全非弹性正碰 S: S’:
mv = (m0 + m)ux
− mv = (m0 + m)u
E
可能存在“无质量” 可能存在“无质量”粒子
(m0 = 0)
所以也没有静能
m0c2
只具有动量、能量， 只具有动量、能量， 无 m0 ,
pc
E = cp v v p 由v= 和 E = mc2 m 只以光速运动 ∴v = c
则：
v r c2 p v= E
1. 静能量为 静能量为0.511Mev的电子具有 倍于它的静能的总能 的电子具有5倍于它的静能的总能 的电子具有 量，试求它的动量和速率 。 解：按题意，有： E=5m 按题意，
−13
− 8.199 ×10
−14
3）当P=0.60MeV/C时，其能量为 ，则有 ） 时 其能量为E，
2 E 2 = P 2c 2 + E0 (0.60MeV)2 2 = ´ c + (0.512MeV)2 2 c = 0.622(MeV)2
E=0.789MeV
7、 飞船 中宇航员观察到飞船 正以 、 飞船A中宇航员观察到飞船 正以0.4c的速度尾 中宇航员观察到飞船B正以 的速度尾 随而来。已知地面测得飞船A的速度为 的速度为0.5c。 随而来。已知地面测得飞船 的速度为 。 地面测得飞船B的速度 的速度； 飞船B中测得飞船 求：1) 地面测得飞船 的速度；2) 飞船 中测得飞船 A的速度。 的速度。 的速度

狭义相对论

事件1、事件2 不同时发生！ 事件1先发生！
——同时性的相对性
对不同的参考系，沿相对速度方向配置的同样的两个 事件的时间间隔是不同的。 时间的度量是相对的。19
按速度的定义：
光速
光传播的距离 光传播该距离的时间
空间的度量是相对的。 伽利略变换中，t 不成立。 讨论 1、同时性的相对性是光速不变原理的直接结果； 2、是相对效应。
力学相对性原理 和 绝对时空是直接联系在一起的。 4
二、伽利略坐标变换式
( x, y, z, t )
在两个惯性系中考察同一物理事件：
设有两个参考系 S， S： 令两坐标系的原点重 合时为计时起点。 t 时刻，某质点 到达P点。
沿x轴正向运动。 S系相对于 S 系以恒定的速度 v
y S
S
y v
逆变换
6
三、伽利略速度变 换与加速度变换
dr u dt
u dr dt
t t
ux u x v 正 uy u y u uz z
x a x dv a dt ay a y a a z z
x x vt y y z z t t
2
第1节
牛顿力学回答：
伽利略变换
一、伽利略相对性原理
对于任何惯性系，牛顿定律都成立； 对于不同的惯性系，力学的基本规律——牛顿定律， 其形式都是一样的； ——伽利略（力学）相对性原理 在任何惯性系中观察，同一力学现象将按相同的形 式发生和演变。 谈论某一惯性系的绝对运动或绝对静止是没有意义 的。静止是相对的。不存在任何一个特殊的惯性系。
9
测量距离两端要求同时进行：t
r r
t 0
空间任何两点间的距离，在任何一个惯性参考 系中测量，都是绝对相等的。

狭义相对论的基本原理


3)当 u « c 时，γ→1
x' (x ut)
正变换
y' y
回到伽利略变换
z' z
t' (t ux / c2 )
x x ut y y z z t t
4) u > c 变换无意义, 存在极限速度c .
5) 洛仑兹变换与伽利略变换相比，洛仑兹变换中的时 间坐标和空间坐标相互联系在一起 ，不再是独立的了 。时间与空间的测量都与参照系有关，这种新的时空 观叫做狭义相对论的时空观。
1
t' t ux / c2 (t ux / c2 ) 相对论因子
1 (v / c)2
这种变换是已知事件在S系中的时空坐标（x，y，z，
t）变换成事件在S/系中的时空坐标（x/，y/，z/，t/）
。这种变换称为坐标正变换。
6
由S/系到S系的逆坐标变换为：
S系
x'ut'
x
(x'ut')
x2 y2 z2 c2t 2 (1)
S
u
xx O O’ ’
x2 y2 z2 c2t2 (2)
站在S和S/的人都认为自 己是静止不动的，而且
•由发展的观点：
光速也不变的。
u<<c 情况下，狭义 牛顿力学 y y z z
•由于客观事实是确定的：
x, y, z, t 对应唯一的 x, y, z, t
下面的任务是，根据
设： x x t (3) 上述四式，利用比较
t x t
(4)
系数法，确定系数
。

5
最后得到洛仑兹坐标变换：
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时序颠倒只能发生于无因果关系的两个事件之间。
§11.4 相对论速度变换
质点相对于
S
系的速度： vx
dx, dt
vy
dy, dt
vz
dz dt
质点相对于
S'
系的速度：vxd dxt,
vy
dy, dt
vz
dz dt
由洛伦兹坐标变换式
得 x (x u )t,y y , z z ,t( t c u 2x )
沿两个惯性系相对运动方向上不同地点发生的两 个事件，若在一个惯性系同时发生，则在另一个惯性 系中观测不同时发生；在前一惯性系相对于后一惯性 系运动后方的那个事件先发生。称为同时的相对性。
t t t 1u2/c2
两个事件的时间间隔，固有时最短。
xx 1u2/c2
x < x' 表明棒的运动长度比静止长度缩短，这个效应 称为长度收缩。棒的静止长度叫固有长度，也叫原长。 与所有运动长度相比，固有长度最长。
1971年，美国空军用两组Cs(铯)原子钟做实验。 发现绕地球一周的运动钟变慢了 203±10 ns，而按广 义相对论预言运动钟变慢 184 ± 23 ns，在误差范围内 理论值和实验值一致，验证了孪生子效应。
四、因果律
不同惯性系中观测的两个事件，时间顺序 (时序) 能否颠倒？
惯性系 S
S'
事件 1 (x1,t1) (x1 ,t1 )
O' x'
vx = 0.9c
O
x
vx1v x u cu 2xv1 0 .9(c 0.(9 )0 .9 0c.9 )1 1..8 8c10.99 c4
所以一个飞船相对于另一飞船的速度为 0.994c，与伽
利略变换的结果 1.8c 很不相同。
例2 原长为 L' 的飞船以速度 u 相对于地面做匀速直线
2. 若 v << c，则 m m0，符 合经典力学。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v / c
相对论力 F dp d(m v )m dv dm v
dt dt dt dt
牛顿第二定律
F
mdv
不再成立。
dt
二、质能关系
1. 相对论动能
在牛顿力学中，外力做功加速质点，速度可增大
S S' u
12
事件 2 (x2,t2)(x2 ,t2 )
t2 t1 (t2t11 ) u c u 2 2/(c x2 2x1)1t 2u 2t1 /c2 1c u 2x t2 2 tx 1 1
t2 > t1 时，可能有 3 种情况 t2 t1 ,t2 t1 ,t2 t1
运动。 有个小球从飞船的尾部运动到头部，宇航员测
得小球的速度恒为 v'，求：(1) 宇航员测得小球运动所
需时间；(2) 地面观测者测得小球运动所需时间。另解
解：(1) tx L
(2) 由 x
v xut
v
得
x xut

LuL v
1u2 /c2
1u2/c2 1u2/c2
S' 系相对于 S 系的速度 y
y' v x
是 u， vx = 0, vy = –c, vz = 0
c
uc
v y
代入洛伦兹速度变换,得 O
x O'
x'
vx u , vy c1 u 2/c2, vz0
v vx2vy2vz2c 光速不变，大小仍为 c
tg |v x ||v y | u /c1 u 2 /c 2 u /c 1 m 2c4m 0 2c4m 2v2c2 得相对论动量能量关系式
m2c2m2v2m 0 2c2
Ek
pc
E
E2p2c2m02c4
m0c2
对于光子，静止质量 m0 = 0，静止能量 E0 = 0， 但是它有动量 p，运动质量 m 和相对论能量 E。
由相对论动量能量关系式得 E = pc，由 E = h = hc/
,
vz
vz
1u2/c2 1uc2xv
逆变换 (带撇和不带撇的量互换，并把 u 换成 –u )
vx

v x 1
u
u v x c2
,
vy
vy
1u2/c2 1ucv2x
,
vz
vz
1u2/c2 1ucv2x
讨论 1. 当 u 和 vx << c 时，转化为伽利略速度变换。
§11.5 相对论动力学基础
一、相对论动量和质量
爱因斯坦相对性原理要求在洛伦兹变换下，物理
规律 (动量定理、动能定理等) 保持不变 (协变性)。 按照经典力学中动量的定义 pm0v，动量定理
在伽利略变换下保持不变；爱因斯坦修改了动量的定
义，使动量定理在洛伦兹变换下保持不变。
相对论动量
pmv
解：能量守恒 EA + EB = Mc2
其中 EA = m0c2，EB = m0c2 + EBk = 7m0c2，所以
M 8 m 0 , M 0 M 1 v 2 /c 2 8 m 01 v 2 /c 2
动量守恒
0 + pB = Mv
v pB M
对 B 应用能量与动量关系 EB 2pB 2c2m0 2c4

mc2
m0c2
m0c2 1v2 / c2

根据动能定理，得相对论动能 Ek = mc2 – m0c2
讨论 (1) 当 v << c 时
1v 12/c211 2c v2 28 3c v4 4 11 2c v2 2
E k m 2 c m 0 c2 m 0 c2 1 v 1 2/c2 1 1 2m 0 v2 所以牛顿力学中的动能公式是相对论动能公式在低 速情形下的近似。
dx dt

dx dt dt dt



dx dt

u

,
1
u c2
dx dt

dy
dy
dy dt

dt dt
dt

dt

1

u c2
dx dt

相对论速度变换
v x

vx 1
u
uv x c2
,
vy
vy
1u2/c2 1uc2xv
当
u c2
x2 t2
x1 t1
1
时，出现时序颠倒。
当
u c2
x2 t2
x1 t1
1
时，出现时序颠倒。
若事件 2 是事件 1 的结果，则事件 1 向事件 2 传递
了某种信号， vS

x2 x1 t2 t1
是信号传递的速度，
因为 uc, vSc，所以有因果关系的事件不能发 生时序颠倒。
问题的关键是，时间延缓效应是狭义相对论的结 果，它要求飞船和地球同为惯性系。要想保持飞船和 地球同为惯性系，哥哥和弟弟就只能永别，不可能面 对面地比较谁年轻。这就是通常所说的孪生子佯谬 (twin paradox)。
如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度，飞 船就不是惯性系了。这一问题的严格求解要用到广义 相对论，计算结果是，兄弟相见时哥哥比弟弟年轻。 这种现象，被称为孪生子效应。
至无穷；在相对论中，质量要增大，因此速度不可至
无穷。
质点由静止加速到速率 v 的过程中，外力做功
W
v
Fdx
v
d(mv) dx
v
vd(mv)
v0
v0 dt
v0

v v0
vd
m0v 1v2 / c2

v v0
d

v d(mc2)
v0
设想有一对孪生兄弟，哥哥告别弟弟乘宇宙飞船 去太空旅行。在各自的参考系中，哥哥和弟弟的细胞 分裂周期都是2.4年。但由于时间延缓效应，在地球上 的弟弟看来，飞船上的哥哥的细胞分裂周期要比 2.4 年长，他认为哥哥比自己年轻。而飞船上的哥哥认为 弟弟的细胞分裂周期也变长，弟弟也比自己年轻。
假如飞船返回地球兄弟相见，到底谁年轻就成了 难以回答的问题。
2. S 系中的光速 vx 即光速不变。
=
c，在
S'
系中
vx
cu

1

uc c2
c,
例1 从地球上观察两飞船分别以 0.9c 的速率沿相反方 向飞行，求一个飞船相对于另一飞船的速率。
解：把 S 系建立在地球上， y
y'
把 S' 系建立在建立在其中 u= –0.9c vx= 0.9c
一个飞船上，S' 系相对于 S 系的速度 u = –0.9c，
(2)当 v c 时，Ek ，根据动能定理，将一个静质 量不等于零的粒子加速到光速须做无穷大的功，即
物体速度有一极限 c 。
2. 相对论能量、质能关系：
粒子静能： E0 = m0c2 粒子运动时的总能量：E = mc2
这就是相对论质能关系，它是相对论最有意义的结论。
能量守恒
质量守恒
统一
Ei m ic2常量 mi 常量
核反应满足能量守恒 m01c2 + Ek1 = m02c2 + Ek2
即
Ek2 – Ek1 = – (m02 – m01) c2
所以核反应释放的能量 E = –m0c2
经过核反应后粒子静质量的减少，叫质量亏损。
原子能开发就是利用与质量亏损相应的能量。
三、相对论能量与动量的关系：
把 m m0
化成