2.3.3直线与平面垂直的性质定理

α C
B
β
A
D
E
结论
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。
α C
D A B
β
l b b bl
概念巩固
判断下列命题的真假 1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。 × 2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直 线互相垂直。 × 3.两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的 两直线一定分别与另一个平面垂直。×
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
复习引入
直线与平面 垂直的判定 推论
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
a //b, a b
已知a ，b ，求证a //b.
图形语言：
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例1.如图，在正方体 ABCD---A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的 中点，MN 面A1DC. 求证（1）MN // AD1 (2)M是AB的中点
D1 B1
C1
A1
N
o
D C
AMຫໍສະໝຸດ B已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =AB， CD 平面 ，CD ⊥ AB, 且CD ∩ AB =D。 求证：直线CD⊥平面β 。
在平面 中：l a，l c a //c 又a ，c a //，同理b // 又a b=A //
a


B
c
证明： (反证法) 假设a与b不平行 b ， 设求b =O过点O作b//a a ， b

§2.３.３直线与平 面垂直的性质
复习引入
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 平面内的两条 相交直线 直线， 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。 直线与平面 垂直的判定 推论 如果一条 直线垂直于一 个平面， 个平面，那么 它的平行线 平行线也 它的平行线也 会垂直于这个 平面。 平面。
a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
是否成立？ 是否成立？
β
b’ a b
α
O
问题.已知a ⊥ α，b ⊥ α，求证a//b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行Qb ⊥α， 设求b Iα=O过点O作b′//α Qa ⊥α， b′ ⊥α ∴ α 则过一点 有两 O 条直线b与 ′ ⊥α b 这与过一点有且 只有一条直线 与已知平 面垂直矛盾 可见假设 不成立 ∴a//b
练习： 练习：P79 第1、、直线和平面垂直的性质定理： 、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行. 这两条直线平行
β
图形语言： 图形语言：
a
b
α 符号语言： 符号语言： a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
例 1.已 l ⊥α， ⊥ β， 证 //β. 知 l 求 a 证明：设l Iα=A l I β =B ， 在α内过点A取两条直线a和b l Ql Iα=A ∴l与 确 一 平 γ a 定 个 面 QB∈l ⊂ γ 且B∈β b A ∴β与 相交 γ ，设β Iγ =c α =c
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 平面内的任何 一条直线 直线， 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。
1、线面垂直的概念 、

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB

a
l

A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。

【总53】2.3.3 直线与平面垂直的性质三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 教学过程 一、复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 二、导入新课如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2三、新课探究 1、提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？2、讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 四、应用示例例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a ∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB.∴a ∥l.例3 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN ⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN ⊥平面PCD. 五、达标检测1、P 是△ABC 所在平面α外一点，且P 到△ABC 三边．．的距离相等，PO⊥α于O ，O 在△ABC 内，则O 是△ABC 的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的平面是 （ ） A 、平面DD 1C 1C B 、平面A 1DB 1 C 、平面A 1B 1C 1D 1 D 、平面A 1DB3、已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个4、直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、在平面α内 D 、无法确定5、下面各命题中正确的是（ ）A 、直线a ，b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；B 、直线a∥b，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；C 、直线a⊥b，a⊥α，b⊥β，则a⊥β；D 、直线a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ，b 异面.6、对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d.那么这样的直线b 有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、无数条7、从点O 出发的不共面的3条射线OA 、OB 、OC 中，如果∠AOB ＝∠AOC ，则OA 在平面BOC 上的射影落在∠BOC 的________．8、若∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，OC 与α成45°角，则∠AO B ＝________． 9、点A 、B ∈平面α，点P ∉α，线段AP 、PB 在α内的射影长分别为3和5，则线段AB 的最大值是________，最小值是________．10、PD 垂直于正六边形ABCDEF ，若正六边形边长为a ，PD ＝a ，则点P 到BC 的距离为________． 11、边长为a 的正四面体A —BCD ，M 是棱AB 的中点，则CM 与底面BCD 所成的角的正弦值是_______12、如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, 求证：BD 1⊥平面B 1AC;图10证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1. ∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,∴AC ⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.13、 已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE ⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF ⊥DE 交DE 于点F,∵AB ∥CD ，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB ∥α.又BE ⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF ⊥DE,∴OF ∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BDOD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∴OF ⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组5.6.7.8。