线性方程组和行列式共72页

式中 k1 , k2 , , kn 是将序列 1, 2, , n 的元素次序交换 k 次所得到的一个序列， 号表示对 k1 , k2 , , kn 取遍
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）

2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
§1.4 线性方程组的求解
2011. 9. 26
回顾 n阶行列式的计算方法
1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 定理对行列式进行降阶计算； 4.递推公式法； 5.析因法； 6.归纳法； 7.加边法(升阶法)；

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = bn Di 当D 0时有唯一解: xi = (i = 1, …, n), D a11 a12 … a1n a11 … a1,n1 b1 a21 a22 … a2n a21 … a2,n1 b2 Dn 其中D = … … … … , … = … … … … . an1 an2 … ann an1 … an,n1 bn
xn
n 1
此结论要记住！
行列式的几何意义Fra bibliotek 二阶行列式 a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22

=(a12, a22) =(a11, a21)
sin a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1
a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22 =以,为邻边的平行四边形的有向面积 其中(,)逆时针方向为正，顺序针方向为负
例5 计算 n 阶行列式

方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数

Dn 1
n n 1 2
1 2 n .
证毕
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例4
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解:
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
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第三节 n阶行列式的定义
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一、概念的引入
由三阶行列式定义知： （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
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例如
a13 a 21a 32
(2)
n
2

1
12 n .
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证明（1） Dn 1 a1 p a 2 p a np
t
1 2
n
要是不为0的项需 pi i ，即 p1 p2 pn 1,2,, n 为标准排列，其逆序数 t = 0
Dn ( 1)0 a11a22 ann 12 n
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
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1 2 3 4
例6
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
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解
D 2 2 ( 2)
(1) 当＝0 或 ＝2时，D 0