数学史 第五章+几何学的发展34页PPT

几何变换
01
02
03
平移
将图形在平面内沿某一方 向移动一定的距离。平移 不改变图形的大小和形状 。
旋转
将图形绕某一点旋转一定 的角度。旋转同样不改变 图形的大小和形状。
缩放
将图形沿某一方向放大或 缩小一定的比例。缩放可 以改变图形的大小，但不 改变其形状。
基础几何定理与证明
03
相似与全等
相似
如果两个图形形状相同， 大小可以不同，则它们是 相似的。
近代几何的演变
要点一
总结词
随着科学技术的进步，几何学在近代经历了巨大的变革和 发展。
要点二
详细描述
文艺复兴时期之后，几何学得到了极大的发展。笛卡尔创 立了解析几何，将几何与代数相结合，为微积分学的发展 奠定了基础。同时，欧拉在图论和拓扑学方面做出了重要 贡献，这些领域的研究对数学和物理学的发展产生了深远 影响。在现代，几何学已经渗透到了各个学科领域，如计 算机图形学、量子力学和宇宙学等。
建筑设计中，几何学被广泛应用于平面规划、空间布局、立 面设计等方面，如利用圆形、三角形、矩形等基本几何形状 进行组合和变形，创造出独特的建筑风格和空间效果。
工程绘图
工程绘图是几何学在实践中的重要应用之一，工程师利用 几何学原理进行工程设计和绘图，以确保工程的安全性和 准确性。
在工程绘图中，几何学被广泛应用于机械设计、土木工程 、航空航天等领域，如利用坐标系、向量、线性代数等几 何知识进行计算和分析，为工程设计和施工提供科学依据 。
几何分析与计算复杂性
几何问题往往具有很高的计算复杂性，如何高效地解决几何问题仍然是当前面临的重要 挑战。
几何在交叉学科中的应用
随着科技的发展，几何学在交叉学科中的应用越来越广泛，如何更好地与其他学科进行 交叉融合，发挥几何学的优势和作用，也是当前需要关注和研究的问题。

建筑设计
建筑设计是几何学应用的重要领域之一，建筑师利用几何 学原理设计出各种形状和结构的建筑物，以满足功能和审 美需求。
建筑设计中，几何学主要应用于空间布局、结构分析、材 料排布等方面，例如利用几何原理确定建筑物的平面和立 体布局，分析结构的稳定性和承重能力，以及合理排布建 筑材料以降低成本等。
工程绘图
• 文艺复兴时期的几何学：文艺复兴时期，随着科学和技术的进步，几何学也取 得了重大突破。达芬奇、伽利略和开普勒等科学家将几何学应用于天文学、物 理学和工程学等领域，推动了科学革命的发展。
• 现代几何学：19世纪以后，几何学逐渐向更高维度的空间拓展。非欧几何的 创立和发展，为几何学带来了新的研究方向和应用领域。现代几何学还包括拓 扑学、微分几何、代数几何等分支，它们在理论物理、计算机科学和数据科学 等领域中发挥着重要作用。
射影几何学的兴起
射影几何学是几何学的一个重要分支，其兴起与中世纪欧洲 的大学教育密切相关。射影几何学的研究对象是图形在投影 下的性质和问题，对于当时的建筑、绘画和工程等领域有着 重要的应用价值。
射影几何学的兴起也与当时的哲学思想有关，特别是唯理论 和经验论的争论。唯理论者认为几何学中的公理和定理是自 明的，而经验论者则强调实践和应用的重要性。射影几何学 的兴起体现了当时哲学思想的交锋和碰撞。
非欧几何学的发现
非欧几何学的发现
非欧几何学是指与欧几里得几何学不同的几何体系，其公理体系和欧几里得几何学有所 不同。在19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约 等人分别独立发现了非欧几何学。非欧几何学的发现打破了欧几里得几何学的唯一性，
使得人们开始认识到不同的公理体系可以导致不同的几何体系。
微分几何学的兴起

第五章几何学的发展
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现 了圆锥曲线： [插入图5.24] 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》将圆锥曲 线的性质全部囊括
其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25]
第五章几何学的发展
5.5 坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
• 例如，用公理IV给出下述命题的证明：
• 命题：联接圆内的一点A与圆外一点B的直线段与该圆周
有一个公共点。 图5.33 圆内外两点连线必与圆相交 的证明
事实上，令O为给定圆的圆心，r为半径， C为从O到AB线段的垂线。线段AB上的点 可被分为两类：对于一些点P，OP＜r， 和对于一些点Q，OQ≥r。可证明：对每 一种情况，CP＜CQ。根据戴德金的公设 ，在AB上存在一个点R，使得：所有位
第五章几何学的发展
5.3.2 《原本》中的几何方法
《原本》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几 何证法,等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。

5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角和小于 两直角的一侧相交. 欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论十 碑．它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这 种范式要求一门学科中的每个 命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而 所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被 认为是不证白明的基本原理——公设或公理．这就是后 来所谓的公理化思想。 特点：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成 立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的 方式易于接受；证明顺序自然；
4.2 发展 德沙格(G．Desargues，1591—1661，法国) 1639年《试论圆锥与平面相交结果》 70多个射影几何术语， 无穷远点，无穷远线。 德沙格定理：“如果两个三角形对 应顶点连线共点，那么对应边的交 点共线，反之也成立” 交比不变性定理；对合；调和点组 线可以看作具有无限长半径的圆的 一部分；焦点相合的椭圆退化为圆； 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物 线等等。
5 非欧几何学（罗氏几何） 5.1 背景 欧几里得第五公设（平行公设）：若一直线落在两直线 上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限 延长．它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一 条直线与之平行 证明或失败，或循环论证 萨特里（意大利）、吕格尔（德国）、兰伯特（瑞士）
第五节
几何学的发展
1 几何学简介 2 欧几里得几何学 3 解析几何 4 射影几何学 5非欧几何学 6 黎曼非欧几何 7 拓扑学 8 几何学的统一
1 几何学简介
几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。 中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为 “测地术”。 几何学的发展： 欧几里得几何学（约公元前300年）； 解析几何学（17世纪）； 射影几何学（18世纪）； 非欧几何学（19世纪）； 微分几何学（19世纪）； 黎曼几何学（19世纪）； 拓扑学（19世纪）； 代数几何学（20世纪）； 分形几何（20世纪）

2021/3/12
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➢ 数学的古代史与近代史
一、古代史
①古希腊曾有人写过《几何学 史》，未能流传下来。 ②5世纪普罗克洛斯对欧几里 得《几何原本》第一卷的注文 中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传 记作品和数学著作中，讲述到 一些数学家的生平以及其他有 关数学史的材料。 ④12世纪时，古希腊和中世纪 阿拉伯数学书籍传入西欧。这 些著作的翻译既是数学研究， 也是对古典数学著作的整理和 保存。
百多年。
秦九韶 • 秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙
江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李
冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君
子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81
笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给 读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过 程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新 方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何 那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．
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➢ 解析几何的发展和完善
牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是， 得到了关于“直径”的一般理论。欧拉讨论了坐标轴的平移和 旋转，对平面曲线作了分类。拉格朗日把力、速度、加速度 “算术化”，发展成“向量”的概念，成为解析几何的重要工
他按照各种固体的形状和比重的变化来确定其浮于水中的
位置，并且详细阐述和总结了后来闻名于世的阿基米德原
理：放在液体中的物体受到向上的浮力，其大小等于物体
所排开的液体重量。从此使人们对物体的沉浮有了科学的

详细描述
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。

牛顿的故事
▪ 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一 本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有 超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对 笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后 来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试 的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说： “因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功 也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于 是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复 进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实 的数学基础。
▪ 作业：
▪
▪ 初中平面几何所包含的内容（知识点、问 题、解题方法）
第一章绪论：几何学——时间与空间 的数学
▪ 一、几何学的进步概说
▪ 二、欧氏几何与非欧几何
▪ 三、欧氏空间和坐标几何
▪ 四、微分几何与黎曼几—点、线、面 ▪ 2、解析几何——坐标、有序数对 ▪ 3、非欧几何——第五公设 ▪ 4、射影几何——形状是否改变 ▪ 5、微分几何——度量曲线的长短 ▪ 6、分形几何——现实空间的为数
黎曼几何
▪ 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年 所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中 明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学 的一片新的广阔领域。
▪ 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任 何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中 不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线 可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
1、微分几何的产生
▪ 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连 的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧 拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这 一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点 的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。

四大文明古国：埃及
❖ 光辉灿烂的文明 ❖ 影响较大的：金字塔，纸草书，古文字 ❖ 尼罗河贯穿全景 ❖ 治理尼罗河河水泛滥，他们研究天文发现：河水
上涨与清晨天狼星升起的日子一样，间隔365天， 确立现代公历的基础 ❖ 重新测定河岸的土地，几何特别发达 ❖ 没有上升为理论，直到公元前4世纪后，希腊人 入侵为止
自然数与整数的诞生
分数与小数的诞生
小数点的诞生是后来很久以后的事了，公元635年， 3.1415927记成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元 1593年由德国克拉维斯给出，现代记法诞生。
பைடு நூலகம்负数的诞生：中国西汉出现 （元前200年），用赤筹表示。 欧洲15才世纪出现
四大文明古国：中国
❖ 公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数 学研究
❖ 数的崇拜与禁忌：“1生2，2生3，3生万物”所以 1最神圣，7，8为吉祥数。4，13为一些民族的禁 忌
❖ 中国人崇拜“9”：故宫大门纵横九颗铜星，皇帝 九龙袍，九龙壁，“九九归一，侄极而返”
❖ “60”是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神 ❖ 数的文化：奇为女，偶为男，“一帆风顺，双喜
临门，三阳开泰，四通八达，五彩缤纷，六根清 洁，八面玲珑，九霄云外，十全十美”“一波三 折，两败俱伤，三长两短，四面楚歌，五内俱焚， 六神无主，七上八下，九死一生，十恶不赦”
数学史简介
数学是什么？
如果：你想当经济学家，药学家，化学家， 数 学是统计分析工具
你想当物理学家，数学是微积分
你想当计算机专家，数学是算法语言
你想当建筑学家，数学是几何三视图
你想当数学家，数学就是你的世界
若果你不幸什么都当不了，小心数学就是你的 克星!
第一章：史前数学史

二、几何学的变革
1、近代几何学的进展 2、非欧几何学的诞生 3、射影几何学的繁荣 4、几何学的统一
4、几何学的统一
二、几何学的变革
非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的 平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空 间观念的最深刻的革命。
首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的 影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间 观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念 提出了挑战。
但现在的我们，通过历史的眼光回溯，便会很容易 地发现，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观 点。那就是:
一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；
变换与变换不变性；
仅关心几何图形的相交与结构关系, 不涉及度量问题。
二、几何学的变革
1、近代几何学的进展
解析几何 的基本思想是在平面上引进所谓坐标的概 念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间 建立一一对应关系。以此方式可以将一个代数方程与 一条平面曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代 数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何 结果。
黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。 他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认， 而且显示了创造其他非欧几何的可能性。
2、非欧几何的诞生
二、几何学的变革
贝尔特拉米的模型： “伪球面”
它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。 罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的
“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基 几何立刻就有了现实意义。
Н. И. Лобачевский 1792-1856
2、非欧几何的诞生
二、几何学的变革
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是 一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：

数学史简介ppt
虽然毕达哥拉斯学派发现了无理数，但他们却严 禁泄露这一重要的发现，原因是这一发现彻底摧毁 了学派赖以安身立命的根本信念：“万物皆数”。 他们认为：“人们所知道的一切事物都包含数，因 此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事 物”。但要注意，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整 数，而分数是被看作两个整数之比。但是很不幸， 是他们自己发现了正方形的对角线与边的长度之比 不能用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表 示，也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即 有理数）使它平方后等于2，这就动摇了他们“万物 皆数”的根本信念。他们无法解释到底世界发生了 什么事情，学派内部引起了极大的思想混乱。
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奇妙的自然数
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数， 是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样 自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认 真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。 聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自 然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的 了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。 数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人 的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。 有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加 法，从1一直加到100数，学史谁简介算ppt 不到就不准回家。
随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心目
中取得合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论。关
于实数理论现在已广泛应用于科学技术和日常生活之
中。
数学史简介ppt
中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆 周率的计算。不过由于中国古算与古希腊数学有 着不同的传统，希腊人总是将数与形截然分开， 对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度。中国算 学中数与形是有机统一的，中国人自始至终对关 于无限的问题总是泰然处之，能够正视无理数。

简单形式，我们将从它的方程出发，研究它
的图形.
柱面
本章的知识结构为：
图形
→
方程
锥面
椭球面
方程 → 图形 双曲面
旋转曲面
抛物面
第五章 二次曲线的一般理论
在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质， 以及二次曲线方程的化简与判别，并给出二 次曲线的分类.
本章的知识结构为：二次曲线的几何性质→
渐进方向中心渐进线 切线直径主直径主方向
（黎曼：双曲几何，罗氏：椭圆几何）
五.几何学的尖端----拓扑学的产生（1900年～）
﹜ ﹛ 初等代数
解析几何
数学分析
初等数学
高等数学
初等几何
高等代数
﹛平面几何
初等几何 立体几何
﹛ 解析几何 平面解析几何 空间解析几何
高等几何
微分几何
拓扑学
解析几何的基本思想是用代数的方
法来研究解决几何问题，其主要内容可 示意如下：
•作者按照怎样的路线游览故 宫？完成课后题一。
•其中重点介绍了哪座宫殿？ 介绍了哪些方面的情况？说 明顺序怎样？运用了哪些说 明方法？突出了哪些特点？
•为什么重点介绍太和殿？
假如你和老师一
起到故宫游览，老师 已先行来到太和门， 你如何从天安门到太 和门与老师汇合？找 出第3小节中提到的景 点名称，找出交代方 位变化的词语，对照 故宫示意图做说明。
距离、夹角等计算公式.
点位式
本章的知识结构为：平面的方程 一般式
点向式 →直线的方程 一般式
点法式 → 相关位置
射影式
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
本章介绍柱面、锥面、旋转曲面与二次曲
面，其中柱面、锥面、旋转曲面具有较为突