2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）若a a n n =∞
→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2a
a n > （B ）2a
a n < （C ）n a a n 1-> （D ）n
a a n 1+< （2）下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+
（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x
=+ （3）设23()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小，则
下列选项错误的是（ ）
（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6
1=d （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ）
（A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥
（B ）当()0f x '≤时，()()f x g x ≤
（C ）当()0f x ''≤时，()()f x g x ≤
（D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤
（5）行列式00000000a b
a b c d
c
d =（ ） （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --
（C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -
（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向
量组123,,ααα线性无关的（ ）
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ）
（A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
（8）若321,,X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，则统计量3
212X X X S -=
服从的分布为（ ）
（A ）)1,1(F (B))1,2(F (C))1(t (D))2(t
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则商品的边际收益为 （10）设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为
（11）设4102=
⎰dx xe a
x ，则=a
（12）二次积分=-⎰⎰dx e x e dy y y x
110)(22
（13）设二次型32312
22132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 （14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0
2,32),(2θθθθx x x f ，其中θ是未知参数，
n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i X c E ，则=c
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限)11ln(])1([lim 21
12x x dt t e t x t x +--⎰+∞→
（16）（本题满分10分）
设平面区域}0,0,41|),{(22≥≥≤+≤=y x y x y x D ，计算
⎰⎰++D dxdy y
x y x x )sin(22π （17）（本题满分10分）
设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x =满足 222224(cos )x x z z z e y e x y
∂∂+=+∂∂，若0)0(=f ，(0)0f '=，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）
求幂级数0(1)(3)n n n n x
∞=++∑的收敛域及和函数.
（19）（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且)(x f 单调增加，1)(0≤≤x g .
证明：（I ）a x dt t g x a -≤≤
⎰)(0，],[b a x ∈； （II ）⎰⎰⎰≤+b
a dt t g a a
b a
dx x g x f dx x f )()()()( （20）（本题满分11分）
设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=为3阶单位矩阵.
（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系；
（II ）求满足E AB =的所有矩阵B .
（21）（本题满分11分）
证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n 00200100 相似. （22）（本题满分11分）
设随机变量X 的概率分布为2
1}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，
（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ；
（II ）求EY .
（23）（本题满分11分）
设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为32}1{,3
1}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为2
1=XY ρ. （I ）求),(Y X 的概率分布；
（II ）求}1{≤+Y X P .
