北京市海淀区一零一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2024北京海淀高三（上）期中数 学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b a a b > （D ）2b aa b+> （4）已知sin ()cos x f x x =，则π()4f '= （A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020届北京市海淀区一零一中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A ．﹣2或﹣1B ．0或1C ．﹣2或1D ．0或﹣2【答案】C【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩ ，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2．已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A ．（4，0） B ．（0，4）C ．（4，-8）D ．（-4，8）【答案】C【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项. 3．已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A ．33-B ．63-C ．63D ．33【答案】B【解析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果． 【详解】 因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈ 即sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=63- 故选 ：B 【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A ．10023-B ．10123-C ．10221-D ．10223-【答案】D【解析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D. 【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数【答案】C 【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7．设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．132x x x << B ．321x x x << C ．312x x x << D ．213x x x <<【答案】A【解析】在坐标系中作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的图象，将1x 、2x 、3x 分别视为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log 1y x =+、3log y x =、2log y x =交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系. 【详解】作函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x 、3x 、2x ，所以132x x x <<． 故选：A ．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题9．已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________． 【答案】3【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,3a b ==±，所以3z i =±，则3z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10．已知函数()13sin cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()1313sin cos cos 2sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ()26k k Z πϕπ-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11．不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >-【解析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立. 【详解】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-. 【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系都为:1:2x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】64251124【解析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以22为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和.【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai 的宽度为122i a +，()1A i +的长度为2122i i a a ++=，所以，数列{}n a 是以22为公比的等比数列，由题意知4A 纸的宽度为5222a =，522a ∴=，51222821242a a ∴===⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，0A 纸的面积为()22211228264222S a dm ==⨯=，又222n n S a =，222111222122222n n n n n n a S a S a a +++⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S 是以642为首项，以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：642；51124. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13．如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，并设OQ OA OB λμ=+，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，设OQ OA OB λμ=+，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题15．已知等差数列{}n a 中，36a =，5826a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)2n a n = ； （2）124432n n n nS +-+=+. 【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为，公差为d ，则解得．所以()112n a a n d n =+-=． （Ⅱ）由（I ）可得所以．【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用，考查计算能力．16．在锐角ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别是a b c ，，，sin 3cos a B b A =． （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）若21a =，5b =，求c 的值．【答案】（Ⅰ）π3A =；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简sin 3cos a B b A =得tan 3A =，解方程即得A 的值；（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到1c =，或4c =．当1c =时，cos 0B <．此时，ABC ∆为钝角三角形，舍去．经检验，4c =满足题意. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， 得sin sin a B b A =．又sin 3cos a B b A =，得tan 3A =．由于π02A <<，所以π3A =． （Ⅱ）21a =，5b =，π3A =，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得221215252c c =+-⋅⋅⋅，即2540c c -+=， 解得1c =，或4c =． 当1c =时，()2221215cos 02121B +-=<⋅⋅．此时，ABC ∆为钝角三角形，舍去． 经检验，4c =满足题意. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．已知函数.()cos22sin 2sin 4xf x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间; （Ⅱ）当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,对任意,t R ∈不等式()22mt mt f x -+≥恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2,T π=3[2,2),(2,2]().4444k k k k k ππππππππ-+-+-++∈Z （Ⅱ）0 4.m ≤≤ 【解析】试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，{|,}4x x k k Z ππ≠-+∈。

北京一零一中学2019-2020年度高三第一学期数学开学摸底一、选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，集合{}|21x A x =≥，{}2|1B y y x ==+，则U A B =I ð（ ）A. {x |x ≤0}B. {x |x ≥0}C. {x |x <1}D. {x |0≤x <1}【答案】D 【解析】 【分析】先计算出集合U ,,A B B ð的结果，然后根据交集的概念即可计算出U A B ⋂ð的结果. 【详解】因为21x ≥，所以0x ≥，所以{}|0A x x =≥，又因为211y x =+≥，所以{}|1B y y =≥，所以{}U |1B y y =<ð，所以{}U |01A B x x =≤<I ð. 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集、补集混合运算，中间涉及到解指数不等式以及函数值域问题，难度较易. 2.设i 是虚数单位，则复数i 221i-+的模为（ ）A.B.C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据i 的性质以及复数的除法运算将221i i-+的表示为a bi +的形式，然后即可计算出复数的模. 【详解】因为()()()()22121112111i i i i i i i --=--=---=-+++-，所以221i i-=+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的模，难度较易.复数进行除法计算时，可依据分母实数化的方法完成求解；已知z a bi =+，则z =3.下列函数中为偶函数的是（ ） A. ()1ln1x f x x -=+ B. ()1cos f x x =- C. ()2xf x -=- D. ()ln f x x =【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的定义域，然后再根据()(),f x f x -之间的关系确定出函数的奇偶性.【详解】A ．因为()1ln1x f x x -=+中101x x ->+，所以定义域为()(),11,-∞-+∞U 关于原点对称， 又因为()()111lnln ln 111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以是奇函数； B ．因为cos y x =是偶函数，所以()1cos f x x =-也是偶函数；C ．因为()2xf x -=-的定义域为R ，()()()2xf x f x f x -=-≠-≠，所以()f x 是非奇非偶函数；D ．因为()ln f x x =定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，难度较易.判断一个函数的奇偶性，首先观察定义域是否关于原点对称，其次才是讨论()(),f x f x -的关系.4.已知a r、b r都是单位向量，则“1λ=±”是“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据“1λ=±”与“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的互相推出情况判断出对应的是何种条件即可.【详解】当1λ=±时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以充分性满足，当()()a b a b λλ+⊥-r r r r 时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以210λ-=或a b ⊥r r ，所以必要性不满足，所以是充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，难度较易.考虑p 是q 的何种条件时，要从两方面分析：充分性、必要性，同时注意是由小范围推出大范围.5.如图，表n 是(2n ﹣1)×(2n ﹣1)的方阵，最外层数字是n ﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）A. 420B. 440C. 460D. 480【答案】B 【解析】 【分析】分析表的结构：由表1开始，每增加一层，表中数据增加的个数为8，16，32，......，由此即可计算出表6中的各数之和.【详解】因为每增加一层，表中数据增加个数为：8，16，32，......，所以表6中数据之和为：()()()()018228338448558+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()22222812345855440=⨯++++=⨯=.故选：B.【点睛】本题考查数与式中的归纳推理，难度一般.处理数与式中的归纳推理，关键是要能找到数或式子的特点，这对分析和归纳问题的能力要求很高.6.狄利克雷函数为F (x )()10x x R x ⎧=∈⎨⎩，为有理数时，，为无理数时，.有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是[]0,1；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c ，使得△ABC 是等腰直角三角形，以上命题正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据()F x 的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在.【详解】①()F x 的定义域为R 关于原点对称，当x 为有理数时，()()1F x F x =-=，当x 为无理数时，()()0F x F x =-=，所以()()F x F x =-恒成立，所以()F x 是偶函数，取非零有理数a ，当x 为有理数时，()()F a x F a x +=-，当x 为无理数时，()()F a x F a x +=-， 所以()()F a x F a x +=-恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 有无数条对称轴； ②因为()F x 的取值只有0,1，所以()F x 的值域为{}0,1；③取有理数()0a a >，当x 为有理数时，()()1F x F x a =+=，当x 为无理数时，()()0F x F x a =+=， 所以()()F x F x a =+恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 是周期函数且无最小正周期； ④设存在()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c 满足条件，根据函数值域可知，,,a b c 的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，(1)不妨设,a b 为有理数，c 为无理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边， 所以2a bc +=，所以c 为有理数，与假设矛盾，故不成立； (2)不妨设,a b 为无理数，c 为有理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边， 所以2a bc +=，所以c 为无理数，与假设矛盾，故不成立， 综上可知：不存在三点使得ABC V 为等腰直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式()()f a x f a x +=-，周期函数对应的形式()()()0f x T f x T +=≠.7.已知y =f (x +2)是奇函数，若函数g (x )=f (x )12sin x --有k 个不同的零点，记为x 1，x 2，…，x k ，则x 1+x 2+…+x k =（ ） A. 0 B. kC. 2kD. 4k【答案】C 【解析】 【分析】 根据()f x 与sin12y x =-的对称性，判断出()g x 的对称性，由此即可计算出对应的零点之和. 【详解】因为()2y f x =+是奇函数，所以()f x 关于点()2,0成中心对称，又因为函数sin12y x =-也是关于点()2,0成中心对称， 所以()()sin12g x f x x =--的零点即为函数()f x 与sin12y x =-交点的横坐标，且交点关于点()2,0成中心对称，所以12 (422)k kx x x k +++=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查函数对称性的应用，难度一般.(1)已知函数()y f x a =+是奇函数()y f x ⇔=关于点(),0a 成中心对称；(2)已知函数()y f x a =+是偶函数()y f x ⇔=关于直线x a = 对称.8.所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz 声音的声强（约10﹣12W /m 2）为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L =lgII ，声强级L 的单位名称为贝（尔），符号为B ，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB ）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB .一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ） A. 1万 B. 2万C. 5万D. 10万【答案】D 【解析】 【分析】根据题意以及条件列出关于张飞、士兵的声强的方程，求解出张飞、士兵的声强，根据声强之比确定出这群士兵的人数.【详解】设张飞的声强为1I ，一个士兵的声强为2I ，根据题意可知：12121214010lg,9010lg 1010I I --==， 所以2110I =，3210I -=，所以51210I I =， 所以这群士兵的人数为10万. 故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型以及对数的计算，难度一般.能根据函数模型求解出声强的比是解答本题的关键.二、填空题共6小题9.已知菱形ABCD 的边长为1，∠B =60°，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则AF DE ⋅u u u r u u u r的值为_____. 【答案】38【解析】 【分析】将,AF DE u u u r u u u r 表示为x AD y AB +u u u r u u u r，然后利用向量的数量积计算公式即可求解出AF DE ⋅u u u r u u u r的值. 【详解】因为12DE DA AE AD AB=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，12AF AB BF AB AD=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且18060120BAD ∠=︒-︒=︒，所以221113122242AF DE AD AB AB AD AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r3311cos12048=-⨯⨯⨯︒=.故答案为：38.【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的运用以及向量的数量积运算，对于分析与转化计算的能力要求较高，难度较易.10.已知数列{a n }是单调递减的等比数列，前n 项和为S n ，S 2=3，a 314=，则{a n }的公比q =_____. 【答案】13【解析】 【分析】先根据已知条件计算出等比数列的公比的可取值，再根据数列的单调性确定出公比的值. 【详解】因为3321223a a S a a q q =+=+=，314a =， 所以211344q q +=，所以14q =-或13， 又因为{}n a 是递减数列，所以13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，着重考查了等比数列的单调性的分析，难度较易.分析等比数列的单调性，可从首项和公比的角度入手. 11.知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0，ω>0，|φ|2π<)的部分图象如图所示，则φ的值为_____.【答案】6π- 【解析】 【分析】根据图象直接分析出,,A B ω的值，再根据图象的最高点以及ϕ的取值范围即可计算出ϕ的值.【详解】因为()()24243,122A B --+-====-，422233T πππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22142T ππωπ===，所以13sin 12y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 代入点4,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则23sin 123πϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以22,32k k Z ππϕπ+=+∈，,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以6πϕ=-.故答案为：6π-. 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式中的量，难度一般.对于()()sin ωφf x A x B =++的图象，若函数最大值为M ，最小值为N ，则有,22M N M NA B -+==. 12.关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，则a 的取值范围是__________． 【答案】(—4，0). 【解析】试题分析：，因为关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，所以有三个不同的实数解，，，令，则；令，则；，所以.考点：三次函数的零点问题.13.已知函数f (x )=|lgx |，若f (a )=f (b )(a ≠b )，则函数()225020x x g x ax bx x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，，的最小值为_____.【答案】【解析】 【分析】根据条件先得到,a b 之间的关系，再分别判断()g x 在两段区间上的最小值，最后取其中的较小值作为()g x 的最小值.【详解】因为lg lg a b =，所以不妨令a b <，则有lg lg a b -=， 所以1ab =，()101b a a=<<， 所以()(2302x x g x ax x ax ⎧++≤⎪=⎨⎪+>⎩，，，当0x ≤时，()(233g x x =+≥，取等号时x =当0x >时，()2g x ax ax =+≥=x a=， 综上可知：()min g x =.故答案为：【点睛】本题考查函数与方程以及分段函数的最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.注意将含绝对值的对数值转化为自变量之间的关系.14.已知函数()010x e x f x ln x x⎧<⎪=⎨>⎪⎩，，，则直线y =x +1与曲线()y f x =的交点个数为_____；若关于x 的方程()10f x x a e++=有三个不等实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】 (1). 一个 (2). ()1,0- 【解析】 【分析】（1）作出(),1f x y x =+的图象，根据图象的交点个数即可得到答案； （2）考虑()f x 的图象与1y x a e=--的图象有三个交点时对应的a 的取值范围. 【详解】（1）函数图象如图所示：（注意：x =0取不到）又因为x y e =在0x =处的切线为00y e x e =+，即为1y x =+， 所以交点个数为1个； （2）关于x 的方程()10f x x a e ++=有三个不等实根⇔()f x 的图象与1y x a e=--的图象有三个交点. 如图所示：当1y x a e =--与1ln y x=相切时，设切点为()00,ln x x -， 所以011x e -=-，所以0x e =，所以1ln e a e e-⨯-=-，所以0a =，此时共两个交点， 将1=-y e图象下移时只有有一个交点；将1=-y e图象上移时，有三个交点； 直到当1a =-时，1=-y e的图象与()f x 的图象刚好两个交点， 当1=-y e图象上移时只有2个交点， 故当10a -<<时，()f x 的图象与1y x a e=--的图象有三个交点. 故答案为：一个；()1,0-. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.注意()()()h x f x g x =-的零点个数⇔方程()()f x g x =的根的数目()(),f x g x ⇔图象的交点个数.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15.以数列{}n a 的任意相邻两项为坐标的点()1,n n n P a a +，均在一次函数y =2x +k 的图象上，数列{}n b 满足1n n n b a a +=-，且10b ≠.（1）求证数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n b 的公比；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为S n ，T n ，若S 6=T 4，S 5=﹣9，求k 的值.【答案】（1）证明见解析，2；（2）8.【解析】【分析】(1)将点代入直线方程即可得到{}n a 递推公式，再根据1n n n b a a +=-即可得到1,n n b b +的关系，即可证明{}n b 为等比数列并求解通项公式；(2)先根据条件求解出,n n S T 的表达式，再根据已知条件即可计算出k 的值.【详解】（1）证明：根据题目条件，可知a n +1=2a n +k ，整理可得a n +1+k =2（a n +k ）；∵b n =a n +1﹣a n =a n +k ；∴有b n +1=2b n ，即数列{b n }是首项为a 1+k ，公比为2的等比数列.（2）解：数列{b n }的前n 项和()()()()11122112n n n a k T a k +-==-+-； 的∴数列{a n }的前n 项和()()121n n n S T nk a k nk =-=-+-； ∵S 6=T 4，S 5=﹣9；∴可列方程组()()()()()()641151216212159a k k a k a k k ⎧-+-=-+⎪⎨-+-=-⎪⎩，解得178a k =-⎧⎨=⎩； ∴8k =. 【点睛】本题考查等比数列的证明以及数列求和的应用，难度一般.等差、等比数列的证明可根据定义完成；形如()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的递推公式，可变形为形如111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭的递推公式.16.已知函数()22sin 2x f x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.【答案】（1）2π，22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0，23π，2π. 【解析】【分析】(1)利用降幂公式以及辅助角公式将()f x 变形为()sin A x ωϕ+，再根据最小正周期和单调增区间的求解公式完成求解；(2)令()0f x =，求解出[]0,2π内满足条件的x 即可.【详解】（1）()()22sin 1cos 2sin 126x f x x x x x π⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭. 221T ππ∴==， 由22,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈. 解得：222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈. .∴函数()f x 单调递增区间为：22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）令2sin 106x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴2,66x k k Z πππ+=+∈或52,66x k k Z πππ+=+∈. 可得：函数()f x 在[]0,2π内的所有零点为：0，23π，2π.【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，难度较易.求解函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间，可根据sin y x =的单调区间，采用整体替换的方法求解出x ωϕ+中的x 范围即为()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间.17.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()21cos 2cos A B C ++=.（1）若2a =，求sin A 的值；（2）求22sin sin A B +的取值范围.【答案】（1）34；（2）33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】(1)先根据条件计算出C 的值，然后利用正弦定理即可求解出sin A 的值；(2)利用降幂公式以及辅助角公式化简22sin sin A B +，将其化简为()cos A x b ωϕ++的形式，然后根据角度计算出取值范围即可.【详解】（1）∵()21cos 2cos A B C ++=， ∴21cos 2cos C C -=，解得cos 1C =-或12， ∵()0,C π∈， ∴1cos 2C =，可得3C π=，∵2a =，∴由正弦定理可得2sin n A C ==3sin 4A =； （2）∵3C π=，A B C π++=， ∴()221cos 21cos 21sin sin 1cos 2cos 2222A B A B A B --+=+=-+121111cos 2cos 21cos 221cos 2232223A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1cos 21,32A π⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∴22133sin sin 1cos 2,2342AB A π⎛⎫⎛⎤+=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，着重考查转化与计算能力，难度一般.(1)正弦定理的运用，一定要注意是在满足齐次的条件之下；(2)解三角形时注意对于隐含条件的使用：A B C π++=. 18.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程；（2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e ≤-.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程；(2)根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，则()11f x x'=-+，所以()10k f '==切，切点()()1,1f ，即()1,1-，所以切线方程为()()101y x --=-，即1y =-.（2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值. 当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增， 若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a <-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则2a e =-. （3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1x a x≤-， 令()ln 1x g x x=-，（0x >） ()21'lnx g x x -+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减，在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e e ==-， 所以11a e ≤-.【点睛】本题考查导数与函数综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立，求解参数范围的两种方法：分类讨论法、参变分离法.19.已知函数247(),[0,1]2x f x x x-=∈-（1）求()f x 的单调区间和值域；(2) 设1a ≥，函数22()32g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值．【答案】(1) 增区间为1(,1)2，减区间为1(0,)2，值域为[4,3]--；(2) 3[1,]2【解析】 【详解】（1）对函数f(x)求导，得2224167(21)(27)'()(2)(2)x x x x f x x x -+---==-- 令f¢(x)=0解得112x =或272x =，当x 变化时，f¢(x)、f(x)的变化情况如下表：（表略） 所以，当1(0,)2x ∈时，f(x)是减函数；当1(,1)2x ∈时，f(x)是增函数； 当[0,1]x ∈时，f(x)的值域为【-4,-3】（2）对函数g(x)求导，得22'()3()g x x a =-因此1a ≥，当[0,1]x ∈时，22'()3(1)0g x a <-≤因此当[0,1]x ∈时，g(x)为减函数，从而当[0,1]x ∈时有()[(1),(0)]g x g g ∈又2(1)123,(0)2g a a g a =--=-，即当[0,1]x ∈时有2()[123,2]g x a a a ∈--- 任给[0,1]x ∈，1()[4,3]f x ∈--，存在[0,1]x ∈使得10()()f x g x =，则 [4,3]--⊆2[123,2]a a a ---，即21234{23a a a --≤--≥- 解(1)式得1a ≥或53a ≤-解(2)式得32a ≤ 又1a ≥，故：a 的取值范围为312a ≥≥ 20.设S 为有限集合，1A ，2A ，…，2019A 为S 的子集，X 表示集合X 中元素的个数，已知对于每个正整数()12019i i ≤≤，都有15i A S ≥. （1）记()m S 为元素个数为m 的集合，当3m =时，求集合()m S 的所有子集的个数；（2）若一定有集合S 中的某个元素在至少k 个集合i A 中出现，则k 最大值是多少？并加以证明.【答案】（1）8；（2）404，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数；(2)先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据15i A S ≥即可得到元素出现次数满足的不等式，即可求解出k 的最大值.详解】（1）()33S = 有3个元素，所以有328=个子集； （2）不妨设{}1,2,3,...,S n =，而i 在集合1A ，2A ，…，2019A 中出现了i a 次，并且12...n a a a ≤≤≤. 因为121220192019......5n n na a a a A A A n ≥+++=+++≥，所以整数n a 的最小值为404，所以max 404k ≥.令5n =，{}12404...1A A A ====，{}405406808...2A A A ====， {}8098101212...3A A A ====，{}121312141616...4A A A ====， {}161716182019...5A A A ====，则404k =. 综上，k 的最大值为404.【点睛】本题考查集合的子集个数以及集合中的元素个数的判断，主要考查分析与推理的能力，难度较难.一个含n 个元素的集合，其子集个数为2n . 【。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 2019.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥. 若A B =R ，则实数a 的值可以为（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）2-（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是 （A ）y x = （B ）2y x =（C）y x =（D ）|1|y x =-（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若33S a =，且30a ≠，则43S S = （A ）1 （B ）53（C ）83（D ）3（4）不等式11x>成立的一个充分不必要条件是 （A ）102x <<（B ）1x > （C ）01x <<（D ）0x <（5）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为 （A ）35-（B ）35（C ）45-（D ）45（6）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ， AC AB AD λμ=+(λ，)μ∈R . 若λμ+=32， 则||||CD AB = （A ）13（B ）12（C ）1 （D ）2（7）已知函数()322f x x x x k =+--. 若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[0,)+∞（D ）(,0]-∞（8）设集合A 是集合*N 的子集，对于i ∈*N ，定义1, ,()0, .i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈*N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅； ③任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+.其中所有正确结论的序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）①③（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

高三（上）期中数学试卷题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为( )A. 2B. 1C. 0D. −22. 下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =x +√xD. y =|x −1|3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S4S 3=( )A. 1B. 53C. 83D. 34. 不等式1x >1成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<x <12B. x >1C. 0<x <1D. x <05. 如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )A. −35B. 35C. −45D. 456. 在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).若λ+μ=32，则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 13B. 12C. 1D. 27. 已知函数f(x)=x 3+x 2−2|x|−k.若存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)成立，则实数k 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]8. 设集合A 是集合N ∗的子集，对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，给出下列三个结论：①存在N ∗的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N ∗都满足φi (A ∩B)=0且φi (A ∪B)=1；②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)其中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=______ ．10.函数f(x)=x−√x−6的零点个数是______．11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=______．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b⃗ 的始点和终点，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，则p的取值范围为______．14.已知函数f(x)=√2sinωx，g(x)=√2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．17.已知函数f(x)=13ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y= x+1．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设APPC=k．①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APPC=k．19.已知函数f(x)=lnx．e x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；(Ⅱ)求证：f(x)<1．220.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(Ⅱ)已知集合{a1,a2,a3,a4,a5}是“关联的”，且任取集合{a i,a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i,a j}⊆A.若a1<a2<a3<a4<a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；(Ⅲ)集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+9．4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．可以求出A={x|x≤−1}，根据A∪B=R即可得出a≤−1，从而得出a的值可以为−2．【解答】解：∵A={x|x≤−1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，∴a≤−1，∴a的值可以为−2．故选：D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【解答】解：由一次函数的性质可知，y=x在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y=x+√x在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x−1|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=a3，且a3≠0，∴3a 1+3d =a 1+2d ，化为：−2a 1=d ≠0． ∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d=23×2a 1+3×(−2a 1)a 1−2a 1=83． 故选：C ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)； 故选：A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值． 【解答】解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)=cosα=35，故选：B ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过C 作CE//AD ，又CD//AB.可得四边形AECD 是平行四边形．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).可得μ=1，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又λ+μ=32，可得λ=12.即可得出结论．【解答】 解：如图所示，过C 作CE//AD ，又CD//AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)． ∴μ=1，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又λ+μ=32，∴λ=12． 则|CD⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故选：B ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)，转化为x 2−2|x|=k 有根，进而转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点． 【解答】解：∵f(x)=x 3+x 2−2|x|−k 且f(−x 0)=−f(x 0)，∴−x 03+x 02−2|x 0|−k =−(x 03+x 02−2|x 0|−k)整理得x 02−2|x 0|=k ，∴原题转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点， 画出y =x 2−2|x|的图象如下：x =1时y =−1，由图可知，k ≥−1． 故选A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对题目中给的新定义要充分理解，对于i ∈N ∗，φi (A)=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解答】解：∵对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，∴①例如A ={正奇数}，B ={正偶数}，∴A ∩B =⌀，A ∪B =N ∗，∴φi (A ∩B)=0；φi (A ∪B)=1，故①正确；②若φi (A ∩B)=0，则i ∉(A ∩B)，则i ∈A 且i ∉B ，或i ∈B 且i ∉A ，或i ∉A 且i ∉B ；∴φi (A)⋅φi (B)=0；若φi (A ∩B)=1，则i ∈(A ∩B)，则i ∈A 且i ∈B ；∴φi (A)⋅φi (B)=1；∴任取N ∗的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N ∗都有φi (A ∩B)=φi (A)⋅φi (B)；正确，故②正确；③例如：A ={1,2，3}，B ={2,3，4}，A ∪B ={1,2，3，4}，当i =2时，φi (A ∪B)=1；φi (A)=1，φi (B)=1；∴φi (A ∪B)≠φi (A)+φi (B)；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力．直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，可得x=2×3=6．故答案为：6．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数．【解答】解：由题意可知x≥0时，f(x)=x−√x−6=0，可得(√x)2−√x−6=0，解得√x=−2(舍去)或√x=3，∴x=9；函数f(x)=x−√x−6的零点个数是1．故答案为：1．11.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型．直接利用题目所给的数列的前n项和公式求出数列的首项和a5+a6+a7+a8的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=S1=log21=0．则a5+a6+a7+a8=S8−S4=log28−log24=1．故答案为：0；1．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可．【解答】解：由题意可知：a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，其几何意义是b⃗ 在a⃗方向上的投影值，由图形可知：向量b⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，投影值最大，且最大值为3．故答案为：3．13.【答案】[ln33,+∞)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，故p≥(lnnn)max，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，解得x=e，0<x<e时，f′(x)>0,x>e时，f′(x)<0,故函数的单调增区间为(0,e)，函数的减区间为(e,+∞)，所以函数在x=e时函数取最大值，由于n ∈N ∗，当n =3时函数值为ln33，当n =2时函数值为ln22，易知ln33>ln22，所以p 的取值范围是[ln33,+∞)．故答案为：[ln33,+∞)．14.【答案】2π ；π2【解析】 【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型．①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积． ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【解答】解：①当ω=1时，f(x)=√2sinx ，g(x)=√2cosx ，当△ABC 面积最小时， 如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2π，△ABC 的高为√2⋅√22+√22⋅√2=2．所以：S △ABC =12⋅2π⋅2=2π． 当ω=1时，△ABC 面积的最小值为2π；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则2πω=2⋅(√2⋅√22+√2⋅√22)， 解得ω的最小值为π2． 故答案为：2π；π2．15.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，∵a2=3，a3+a4=36，∴3(q+q2)=36，解得q=3．又3a1=3，解得a1=1，∴a n=3n−1．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，3n<243，解得：n<5．∴满足S n<121，n的最大值为4．【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a3+a4=36，可得3(q+q2)=36，解得q.又3a1=3，解得a1，进而求得数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，即可得出结论．16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√3 2=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)max+m≤0，由于x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]．当2x+π3=π2时，即x=π12时，m+1≤0时，实数m的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．17.【答案】解：(Ⅰ)f ′(x)=ax 2+2x +b ，∵曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y =x +1， ∴{f′(0)=1f(0)=1，解得：{b =1c =1； (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)f(x)=13ax 3+x 2+x +1，①当a =0时，f(x)=x 2+x +1不存在极大值，不合题意， ②当a >0时，f ′(x)=ax 2+2x +1， 令ax 2+2x +1=0，(i)当△=4−4a ≤0即a ≥1时，不合题意， (ii)当△=4−4a >0即0<a <1时，方程ax 2+2x +1=0有2个不相等的实数根， 设方程两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 1)为极大值；③当a <0时，△=4−4a >0恒成立， 设方程两根为x 1，x 2且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值， 则a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)． 法二：f ′(x)=ax 2+2x +1， 若函数f(x)存在极大值，则{a ≠0△=4−4a >0，解得：a <1且a ≠0， 故a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定a 的范围即可，法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，a =7，b =5，c =8．利用余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈(0,π)，所以sinA =√1−(12)2=√32；(Ⅱ)①由APPC =k ．根据正弦定理CPsinA =APsin∠ACP ， 所以k =APCP =sin∠ACP sin∠A =sin∠ACPsin π3=2√33sin∠ACP ， 由于点P 为射线AB 上的一个动点(与点A 不重合)， 所以∠ACP ∈(0,2π3)，所以k 的取值范围为(0,2√33]． ②由于P 为射线AB 上的一个动点，所以k 的取值只要在区间(1,2√33)上即可， 故k =32时，满足条件．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值． (Ⅱ)①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围． ②根据共线的条件求出在区间(1,2√33)上即可．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．理由如下：由f(x)=lnxe x ，得f′(x)=1x−lnxe x；因为x∈(0,1)，所以1x>0，lnx<0，因此1x−lnx>0．又因为e x>0，所以f′(x)>0恒成立．所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.由题意可得，x∈(0,+∞)，因为f′(x)=1x−lnxe x，再令g(x)=1x−lnx，则g′(x)=−1x2−1x<0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．因为g(1)=1>0，g(e)=1e−1<0，所以存在唯一实数x0，使得g(x0)=0，其中x0∈(1,e)．x，f′(x)，f(x)变化如下表所示：所以f(x0)为函数f(x)的极大值．因为函数f(x)在(0,+∞)有唯一的极大值．所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0．因为1x0=lnx0，所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0=1x0⋅e x0．设m(x)=xe x,x∈(1,e)，m′(x)=(x+1)e x>0，故m(x)在(1,e)上单调递增，故m(x)>m(1)=e．因为x0∈(1,e)，所以f(x)max=1x0e x0<1e<12．所以f(x)<12．【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题．(Ⅰ)对f(x)求导，判断f′(x)的符号，即可得函数的单调性；(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.求f(x)的最大值即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ){2,4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2,4，6，8}，{4,6，8，10}，{2,4，8，10}．{1,2，3，5，8}是“独立的”．(Ⅱ)记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1={a2,a3,a4,a5}，A2={a1,a3,a4,a5}，A3={a1,a2,a4,a5}，A4={a1,a2,a3,a5}，A5={a1,a2,a3,a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A1={a2,a3,a4,a5}，不是“关联子集”，否则a1=a2，同理可得若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同时含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2={a1,a3,a4,a5}一定不是“关联子集”，同理A4={a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5=a3+a4，即a5−a4=a3−a2；a1+a5=a2+a4，即a5−a4=a2−a1；a1+a4=a2+a3，即a4−a3=a2−a1；所以a5−a4=a4−a3=a3−a2=a2−a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．(Ⅲ)不妨设集合M={a1,a2,…,a n}(n≥5)，a i∈N∗，i=1，2，…，n，且a1<a2<⋯<a n，记T ={t|t =a i +a j ,1≤i <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有C n2=n(n−1)2个元素，假设结论错误，即不存在x ∈M ，使得x >n 2−n+94，所以任取x ∈M ，x ≤n 2−n+94，因为x ∈N ∗，所以x ≤n 2−n+84，所以a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n+82−1=n 2−n 2+3，所以任取t ∈T ，t ≤n 2−n 2+3，任取t ∈T ，t ≥1+2=3，所以T ⊆{3,4，…，n 2−n 2+3}，且T 中含有C n2=n(n−1)2个元素，(i)若3∈T ，则必有a 1=1，a 2=2成立，因为n ≥5，所以一定有a n −a n−1>a 2−a 1成立，所以a n −a n−1≥2， 所以a n +a n−1≤n 2−n+84+n 2−n+84−2=n 2−n 2+2，所以T ={t|3≤t ≤n 2−n 2+2,t ∈N ∗}，所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−2，因为4∈T ，所以a 3=3，所以有a n +a 1=a n−1+a 3，矛盾； (ii)若3∉T ，则T ⊆{4,5，…，n 2−n 2+3}，而T 中含有C n 2=n(n−1)2个元素，所以T ={t|4≤t ≤n 2−n 2+3,t ∈N ∗}所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−1，因为4∈T ，所以a 1=1，a 2=3， 因为n 2−n 2+2∈T ，所以n 2−n 2+2=a n−2+a n ，所以a n−2=n 2−n+84−2，所以a n +a 1=a n−2+a 3，矛盾，所以命题成立．【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题； (Ⅰ)根据题意即可求解；(Ⅱ)根据题意，A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}，A 3={a 1,a 2,a 4,a 5}，A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}，A 5={a 1,a 2,a 3,a 4}，进而利用反证法和等差数列的定义求解； (Ⅲ)不妨设集合M ={a 1,a 2,…,a n }(n ≥5)，a i ∈N ∗，i =1，2，…，n ，且a 1<a 2<⋯<a n ，记T ={t|t =a i +a j ,1≤t <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，进而利用反证法求解；。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}2. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =xx+1 B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10=15，且S 2=S 7，则a 8=( )A. 6B. 7C. 8D. 9 4. 不等式x 2−2x −3<0成立的一个充分不必要条件是 ( )A. (−1,3)B. (−2,0)C. (−12,32)D. (−1,4)5. 设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是( )A. −75B. −15C. 15 D. 756. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 37. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ⩽1x +2x ,x >1，设a ∈R ，若关于x 的方程f(x)=a|x −1|有且仅有一个实数解，则a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (2√6−4,3)C. (1,2√3−1)D. (2√6−4,2√3−1)8. 设集合A ={a, b}，集合，若A ∩B ={0}，则A ∪B 等于( )A. {−1,0,3}B. {−2,0,3}C. {0,3,4}D. {1,0,3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若向量a ⃗ =(1,k)，b ⃗ =(−2,6)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数k = ______ ． 10. 已知函数f(x)={x(x +4),x <0,x(x −4),x ≥0,则该函数的零点的个数为________．11. 若数列{a n }的前n 项和为S n =log 3(n +1)，则a 5=_________．12. 已知两个单位向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，则a ⃗ +b ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为___________．13.若函数f(x)=x+a2x , g(x)=x−lnx，对任意x1∈[1e,1]，存在x2∈[1e,1],使得g(x1)≤f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．14.已知ω>0，函数f(x)=cos(ωx−π3)过点(π2,0)，则ω的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且6a2，1，4a1成等差数列，3a6，a3，3a2成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n=log31a n，记c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期。

北京市海淀区2019届高三上学期期中数学试卷（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|ln x|，f（﹣x）=ln|﹣x|=ln x=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sin x，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．3.函数满足，则的值是（）A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b即可得出．函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A. 7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n +1＞a n ，可得：n +1+＞n +，化简解出即可得出．数列{a n }单调递增⇔a n +1＞a n ，可得：n +1+＞n +，化为：a ＜n 2+n ．∴a ＜2． 故选：C ． 8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ）A.B.C.D. 不能确定的【答案】A【解析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2023北京海淀高三（上）期中数 学2023.11本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}2A x x =<，{}1,2B =，则A B =(A)(),2−∞ (B) (2],−∞ (C){}1(D){}1,2(2)若复数z 满足2i 1iz ⋅=+，则z = (A)1i −− (B) 1i −+ (C) 1i −(D) 1i +(3)下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞ 上单调递增的是 (A)ln y x = (B)3y x = (C)tan y x =(D)2x y =(4)已知向量a ，b 满足)1(2a =，，12()b −=−， ，则a b ⋅= (A)-5 (B)0 (C)5(D)7(5)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，则24·a a 的最大值为 (A)94(B)3 (C)9(D)36(6)设4log 6a =，2log 3b =，32c =，则 (A)a b c >> (B)c b a >> (C)b a c >>(D)b c a >>(7)“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)在ABC ∆中，sin sin 2B A =，2c a =，则|(A)B ∠为直角 (B) B ∠为钝角 (C) C ∠为直角(D) C ∠为钝角(9)古典吉他的示意图如图所示.0A ，B 分别是上弦枕、下弦枕，121(9)i i A =⋅⋅⋅，，是第i 品丝.记i a 为i A 与1i A −的距离，i L 为i A 与0A 的距离，且满足1L i i X L aM−−=，i =1，2，…，19，其中L X 为弦长(0A 与B 的距离)，M 为大于1的常数，并规定00L =.则 (A)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2LX M− (B)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为1M M − (C)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为21M M − (D)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2(1)LM X M −(10)在等腰直角三角形ABC 中，AB =2，M 为斜边BC 的中点，以M 为圆心，MA 为半径作AC ̂，点P 在线段BC 上，点Q 在AC ̂上，则AP MQ + 的取值范围是(A)[0(B)[02+，(C)[2(D)2[−+第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。