1．1．2 集合的表示方法1．理解列举法、描述法的定义．2．会用两种方法表示一些简单的集合．1．列举法(1）定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．（2）用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多"或“少"）或有（填“有”或“无”）明显规律．2．描述法（1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是｛x∈I|p（x）｝，其中“x"是集合元素的代表形式，“I"是“x”的范围,“|p(x）”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．（2）描述法的语言形式有以下三种:文字语言，符号语言，图形语言．1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛0，1，2,3，4，5}2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛x∈N|0≤x≤5}或｛x∈Z|0≤x≤5｝(答案不唯一)3．用列举法表示集合需要注意什么？解:(1）元素间用分隔号“,"；(2）元素不重复；(3）元素无顺序;（4)元素不能遗漏．4．用描述法表示集合需要注意什么?解:用描述法表示集合时应注意以下六点：（1）写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号）；（2)说明该集合中元素的性质；（3)不能出现未被说明的字母；(4）多层描述时应当准确使用“且"“或”；（5)所有描述的内容都写在集合符号内;（6)用于描述条件的语句力求简明、准确．用列举法表示集合用列举法表示下列集合：（1）满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；（2）方程（x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；（3）方程组错误!的解组成的集合B；（4）15的正约数组成的集合N．【解】(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0,1,2，所以A＝{－2,－1，0,1，2}．(2）因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3｝．(3）解方程组错误!得错误!所以B＝｛（3,2）｝．（4)因为15的正约数有1，3，5,15四个数字，所以N＝{1，3，5，15}．（1）用列举法表示集合,要注意是数集还是点集．(2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．用列举法表示下列集合：（1)A＝错误!；（2)已知M＝{0，2，3，7}，P＝｛x|x＝ab，a，b∈M，a≠b｝，写出集合P．解:（1）A＝{0,3,4,5}．（2)P＝｛0，6，14，21}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合;(2)不等式2x－3〈5的解组成的集合;(3)如图中阴影部分的点(含边界）的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】(1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2）不等式2x－3〈5的解组成的集合可表示为｛x|2x－3〈5}，即{x|x<4}．（3）图中阴影部分的点（含边界)的集合可表示为{（x，y）|－1≤x≤错误!，－错误!≤y≤1，xy≥0｝．（4）3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的公倍数构成的集合是｛x|x＝12n，n∈N＋}．错误!用描述法表示集合应注意的问题（1）写清楚该集合的代表元素，如数或点等；（2）说明该集合中元素的共同属性;(3)不能出现未被说明的字母；(4）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；（2）被3除余2的正整数集合；（3）使式子1x（x－1）（x＋1)有意义的实数x的取值范围．解：（1）｛x｜x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．（3）{x|x≠0,且x≠－1，且x≠1}．集合的表示方法的综合应用集合M＝｛x|ax2－2x＋2＝0，a∈R｝中只有一个元素，求实数a的值．【解】(1）当a＝0时，方程转化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝｛1｝,满足条件；（2)当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a＝0，即a＝错误!,此时方程有两个相等的实数根．综合(1）(2)可知，当a＝错误!或0时，集合M中只有一个元素．若将本例中“只有一个”改为“有两个"，求实数a的取值范围．解：因为集合M＝｛x｜ax2－2x＋2＝0,a∈R}中有两个元素，则Δ＝(－2)2－8a〉0，即a<错误!．错误!此题容易漏解a＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a＝0时，所给的方程是一个一元一次方程;当a≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对a进行分类讨论．1．设－5∈｛x｜x2－ax－5＝0}，则集合｛x｜x2－5x－a ＝0}中所有元素之和为________．解析：因为－5∈｛x|x2－ax－5＝0｝，所以(－5）2＋5a－5＝0，即a＝－4．所以{x｜x2－5x－a＝0｝＝｛x|x2－5x＋4＝0｝＝｛x｜(x－1）（x－4)＝0｝＝｛1，4}．故集合｛x｜x2－5x－a＝0}中的所有元素之和为5．答案：52．设集合B＝错误!．(1）试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．解：(1)当x＝1时，错误!＝2∈N．当x＝2时,错误!＝错误!∉N．所以1∈B，2∉B．(2)因为错误!∈N，x∈N，所以2＋x只能取2,3，6．所以x只能取0,1，4．所以B＝{0，1，4｝．1．寻找适当的方法来表示集合时,应该“先定元，再定性"．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来,而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解,两者相互兼顾，缺一不可．1．下列集合的表示方法正确的是（)A．{1，2，2｝B．{比较大的实数}C．｛有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0}答案:C2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N｝用列举法表示，正确的是（）A．{1，2,3｝B．｛0，1，2，3｝C．｛－2,－1，0，1，2｝D．｛－3,－2,－1，0,1，2，3}解析:选B．满足－3≤x≤3的自然数有0，1，2，3．3．用列举法表示集合A＝｛y｜y＝x2－1，－2≤x≤2,且x∈Z}是________．解析:因为x＝－2，－1，0,1，2，所以对应的函数值y＝3，0,－1，0,3，所以集合A用列举法表示为｛－1，0，3}．答案：{－1，0，3}4．集合A＝{(1，2)，（0,3）}中共有________个元素．答案：2［A 基础达标］1．已知集合A＝{x∈N|x〈6},则下列关系式错误的是（）A．0∈A B．1．5∉AC．－1∉A D．6∈A解析：选D．A＝｛x∈N｜x<6}＝{0,1，2，3,4，5｝．2．下列集合中，不同于另外三个集合的是（)A．{x｜x＝1｝B．{x｜x2＝1}C．｛1} D．{y|(y－1)2＝0}解析：选B．{x｜x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B．3．集合错误!用描述法可表示为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D．由3，错误!，错误!，错误!，即错误!,错误!，错误!，错误!，从中发现规律，x＝错误!，n∈N＋，故可用描述法表示为错误!．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝｛4,5｝，M＝｛x｜x＝a＋b,a∈A,b∈B｝，则M中元素的个数为（)A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5｝，M＝｛x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以M中的元素有：5，6，7，8,共4个．故选B．5．已知M＝｛(x，y）|2x＋3y＝10,x，y∈N}，N＝｛（x，y)｜4x－3y＝1,x，y∈R｝，则( )A．M是有限集，N是有限集B．M是有限集,N是无限集C．M是无限集，N是无限集D．M是无限集，N是有限集解析：选B．因为M＝｛（x,y)｜2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{（2，2)，(5，0）}，所以M为有限集．N ＝{(x ,y )｜4x －3y ＝1,x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．已知集合A ＝{－1，0，1｝，集合B ＝｛y ｜y ＝｜x |，x ∈A }，则B ＝________．解析：因为｜－1|＝1，故B ＝｛0，1}．答案：｛0，1｝7．已知集合A ＝｛m ＋2，2m 2＋m ｝，若3∈A ，则实数m 的值为________．解析：因为3∈A ,所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3．当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意,舍去；当2m 2＋m ＝3时,解得m ＝－错误!或m ＝1（舍去）,当m ＝－错误!时，m ＋2＝错误!≠3，符合题意．所以m ＝－错误!．答案：－328．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2，3}，则a －b ＝________．解析：由A ＝｛2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，错误!因此a ＝5，b ＝6．故a －b ＝－1．答案：－19．选择适当的方法表示下列集合：（1)大于2且小于6的有理数；（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}．(2)用描述法表示该集合为{(x,y）｜y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；或用列举法表示该集合为｛（0，4)，（1，3)，（2，2),（3,1)，(4,0)｝．10．含有三个实数的集合A＝错误!，若0∈A且1∈A，求a2 017＋b2 017的值．解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0，所以错误!＝0,即b＝0．又1∈A，可知a2＝1或a＝1．当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性,知a＝1不合题意．当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a＝－1，b＝0，所以a2 017＋b2 017的值为－1．[B 能力提升］11．已知集合A＝｛1，2,4}，则集合B＝｛（x,y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为( ）A．3 B．6C．8 D．9解析:选D．集合B中的元素有(1,1），（1，2)，(1，4)，（2,1），（2，2）,(2,4)，（4，1)，(4，2)，（4，4），共9个．故选D．12．已知x，y为非零实数，则集合M＝错误!为( ）A．{0，3｝B．｛1，3}C．{－1,3｝D．{1，－3}解析：选C．当x>0,y〉0时，m＝3;当x<0，y<0时，m＝－1；当x〉0，y<0时,m＝－1；当x〈0,y>0时，m＝－1．故M＝{－1,3}．13．对于任意两个正整数m,n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝｛（a,b）|a※b＝12,a∈N＋，b∈N＋}中的元素的个数．解：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a，b同奇偶时,根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a,b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点（6，6)，这时有2×5＋1＝11（个）;若a，b一奇一偶,有12＝1×12＝3×4,每种可以交换位置,这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个）．错误!（选做题）设y＝x2－ax＋b，A＝｛x|y－x＝0｝,B＝｛x｜y －ax＝0}，若A＝｛－3，1}，试用列举法表示集合B．解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－（a＋1）x＋b＝0．因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1．由根与系数的关系得错误!解得错误!所以y＝x2＋3x－3．将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x －3＝0，解得x＝－3±2错误!,所以B＝{－3－23，－3＋2错误!}．。
