浅谈高中数学竞赛解题思维

ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ 解题技巧与方法１２７ 浅谈高中数学竞赛解题思维浅谈高中数学竞赛解题思维

◎王加白　（宁波市北仑中学，浙江　宁波　３１５８００）

【摘要】高中数学知识抽象性较强，特别是数学竞赛题

目，难度更高，但是只要学生掌握正确的解题思路，就能够

在解答数学题目时做到游刃有余．下文从引导学生学会高

效审题入手，结合具体题目对特殊值解题思维法、逆向解题

思维法以及构造解题思维法进行阐述，以供大家参考．【关键词】高中数学；数学竞赛；解题思维

随着时代的发展和新课改的不断推进，传统的高中数

学教学模式已不再能满足当今时代的教学发展需要．如今

的高中数学教学不再单一地注重数学知识的传授，而更加

注重对学生解题思维的培养．因为只有提升学生自身的解

题思维能力，学生才能够更加深入地学习和理解高中数学

知识，才能够更加娴熟地运用数学知识．笔者结合多年的教

学经验，针对高中数学竞赛解题思维教学进行了深入的分

析与研究，认为可从以下几个方面着手．

一、引导学生高效审题，准确、快速梳理解题条件

众所周知，解题的第一步不是答题，而是审题，审题是

决定学生能够快速而准确解答问题的关键和前提．如果学

生未能够正确领悟题中之意，就盲目地解答题目，这样不仅

难以成功地解答题目，而且还会落入题中陷阱，一叶障目．对

此，数学老师应当重视审题教学，但是，教师注重审题教学

并不是要求或者告诉学生要认真审题．现在诸多数学老师

在帮助学生分析题目时或者在考试之前会口头式地提醒学

生：要注意审题、要认真审题、审题不准答不好题目等．但是

这种口头式的要求起到的作用并不大，从学生们的考试结

果来看，总是存在不少学生因为审题不准而答错题目的情

况．所以，教师在教导学生准确审题时要运用一定的方法．具

体而言，数学老师可以为学生归纳出一定的审题步骤，再引

导学生按照既定的步骤审题．也就是说，将学生们的审题过

程流程化．久而久之，学生就会形成正确的解题习惯．

关于高效审题的具体步骤，可以分为三步．第一步，集中

注意力．集中注意力是学生能够快速而准确审题的关键，只

有注意力集中，学生才能够将题目字里行间的有效信息挖

掘出来，才不至于反复读题．有的学生习惯在读题的过程中

划线，将重要的解题信息标注出来．其实，这种审题方式的作

用并不大，反而还会因为划线耽误时间．当然，集中注意力也

不是读一道题目集中一次注意力，而是在开始考试之前或者在开始答题之前，自己先静心，先将自己投入到一种精力

集中的状态当中，而后才开始答题．如果心中杂念太多，即使

眼睛在看题，心神却早已飞到天外，也是难以实现准确读题

的．第二步，提取关键条件．在集中注意力之后，数学老师再

引导学生提取题目当中的关键条件．需要注意，这里是提取

关键条件，而并非提取关键数据．因为审题和解题的关键在

于构建等价条件，如果题目中的条件不能建立平衡，即使数

据再多也是无法实现正确解题的．所以，学生在审题的过程

当中就需要思考题目给出的条件有哪些，如何建立等价关

系．针对数学学习能力较强的学生，数学老师则要引导其边

读题边思考等价条件．因为数学知识是固定的，题目无论如

何变化，也无法跳出固定的格式，只是形式的变化而已．学生

在能够构建出等价条件之后，就可以在答题纸上列出对应

数据了．这也是高效审题的第三步．之所以将列出数据当作

审题过程的其中一步，是方便学生对自己的审题进行验证，

即通过具体的数据观察自己所建立的等价关系是否成立．

如果成立，则说明自己的审题思路是正确的．当然，这种认定

也存在一定的纰漏，但是等式不成立，则必然说明自己的审

题思路出现错误，这是可以肯定的．而且，此过程与答题过程

合二为一，也是提高解题效率的重要方法．此外，数学老师不

能仅向学生传授具体的审题方法，还要对学生们的审题能

力进行锻炼，这样才能真正达到强化学生审题能力的目的．

比如，数学老师在日常的讲题过程中，就需要限定学生们的

思考时间，以增强学生们的内心紧张感，也是为了提高学生

们的注意力，而后要求学生列出等价条件．时间一到，老师选

取学生，让他阐述自己所列的等价关系，如此逐步锻炼和提

高学生们的审题思维能力．

二、通过具体竞赛题目，锻炼和提高学生自身的解题

思维

正所谓“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行．”想要锻炼

和培养学生自身的解题思维能力，教师就需要通过具体的

竞赛题目引导学生思维，使得学生能够切身领会数学竞赛

解题思维方法．数学解题思维可谓多种多样，但是学生在答

题的过程中，这些不同的解题思维却是穿插考查，而不会连

续考查．这也就为学生们解题增加了一定的困惑性．对此，数

学老师应当帮助学生抽丝剥茧，透彻性地阐述不同的解题

思维，让学生不仅懂得如何作答某一道数学竞赛题目，而且 解题技巧与方法

ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ１２８ 懂得如何作答某一类数学竞赛题目，这才契合高中数学有

效教学的理念．下面笔者就不同类型的高中数学竞赛解题

思维进行举例阐述．１．特殊值解题思维法

所谓特殊值解题思维法，指的就是通过代入特殊值的方式进行解题．这种解题思维方式虽然偏于极端，但却是一种非常有效的解题思维．学生在遇到涉及函数取值范围的这一类题目时，可以采用该方法进行解题．需要注意的是，并不是所有涉及函数范围的题目都可以运用特殊值解题思维，这一点教师需要点明，否则不仅会误导学生思维，还会白白消耗学生们的解题时间．一般而言，特殊值解题思维法主要应用于选择和填空等题目．

例１　已知ｆ１－ｘ１＋ｘ()＝１－ｘ２１＋ｘ２，则ｆ（ｘ）的解析式可以为

（ ）．

Ａ．ｘ１＋ｘ２ Ｂ．－２ｘ１＋ｘ２ Ｃ．２ｘ１＋ｘ２ Ｄ．－ｘ１＋ｘ２

这道题目的解题思路极为明确，先设１－ｘ１＋ｘ＝ｔ，而后反向

运用ｘ代替ｔ，并代入上述等式，最终可以得出Ｃ选项正确．但是，这种解题方式比较费时耗力．因为上题为函数等式，所以我们可以选择特殊值法进行作答．那么，具体选择哪一个特殊值呢？这就需要根据具体的题目而定．比如这道题中，学生就可以取ｘ＝０作为特殊值，对于后续的计算最为方便．通过特殊值代入可以得出ｆ（１）＝１的结论．此时可以继续将ｘ＝１分别代入Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项的解析式中进行验证，只

有Ｃ选项等于１，则可判断出Ｃ选项为正确答案．如此既提高了解题的速度，又锻炼了学生的解题思维．２．逆向解题思维法

所谓逆向解题思维法，指的是一种将问题倒过来思考的解题方法．很多时候，我们发现正向无法解题，或者说通过正向的方式解题比较困难，我们就可以尝试通过反向的方式进行解题．反向解题就是要调转自己的思维，不要为题目本身所束缚．其实，在上述特殊值解题思维法的举例当中，也应用到了逆向解题思维法．即在特殊值代入构建等式之后，通过将特殊值代入选项的方式进行反向论证，如此也属于是对逆向解题思维的一种应用．逆向解题思维法多应用于题目论证，下面就以证明题为例对此方法进行阐述．例２　已知ａ、ｂ、ｃ是三个正整数，且ｂ－ａ≠ｃ－ｂ，求证：ｃ２－ａｂ－ｂ２＋ａｃ≠ｂ２－ａｃ－ａ２＋ｂｃ．

如果单看这道题目以及给出的题目关系，有些混乱，因此学生解题时会感到毫无头绪．但是通过挖掘题目当中的关键信息，比如ｂ－ａ≠ｃ－ｂ，我们可以断定ａ、ｂ、ｃ之间不成等差数列．如果我们再对最后的证明结果进行变式，就会发现最终的证明结果可以转换为２×（ｂ２－ａｃ）≠ｃ２－ａｂ＋ａ２－ｂｃ．这就相当于是要证明ａ２－ｂｃ、ｂ２－ａｃ、ｃ２－ａｂ三者之间不成等差

关系．搞清楚题目的本意之后，我们就可开始思考合适的解题方法．我们如果从２ｂ≠ａ＋ｃ的角度切入，则难以得出２×（ｂ２－ａｃ）≠ｃ２－ａｂ＋ａ２－ｂｃ的结论，因为我们日常所做题目多

是从繁到简，而绝非从简到繁．所以在解答该道题目时，就应当通过反向的方式解题，即从２×（ｂ２－ａｃ）＝ｃ２－ａｂ＋ａ２－ｂｃ切

入，得出２ｂ＝ａ＋ｃ的结论，此便是逆向解题思维法．３．构造解题思维法

所谓构造解题思维法，指的是根据已有的题目条件进行方程构造、图像构造、函数构造等，进而得出题目结论的一种解题思维方法．其实在高中数学竞赛题目当中，存在诸多条件简单的数学题目．高中学生都清楚，题目条件越简单，解答起来就会越困难，因为题目条件简单，有效条件就会减少，故解答起来难度会有所增加．遇到条件简单的题目，数学老师可以引导学生通过构造的方式进行解题，增加解题的思路和途径，从而使简单的题目条件丰富起来．

例３　求函数ｆ（ｘ）＝５＋ｓｉｎｘ６－ｃｏｓｘ的值域．

这道题目就一句话，条件也只有一个．但是仅通过给出的条件并不能完成对该道题目的作答，所以我们就需要根

据题目构造条件．ｆ（ｘ）＝５＋ｓｉｎｘ６－ｃｏｓｘ可以看作是点（６，５）与点

（ｃｏｓｘ，－ｓｉｎｘ）连线的斜率，如此一来，此道题目也就变换成

为求点（６，５）与点（ｃｏｓｘ，－ｓｉｎｘ）连线斜率的最大值和最小值．仅是这么一个简单的构造转换，就使得这道数学题目有了新的解题方向．高中数学竞赛题目解题思维除了上述提到的三种之外，还包括其他的数学解题思路，比如化繁为简法、有序排列法、关系影射反演法、动静结合法等，此处不再一一赘述．但是无论教师教导学生学习哪一种数学解题思路，首先都要与具体的高中数学题目相结合，才能加深学生对于相关数学解题思维的学习与认识．其次，数学老师要注重引导学生审题，这是保证学生有效运用各种解题思维的前提和关键．最后，还要增加学生的课下练习，从而不断强化学生自身的高中数学解题思维和解题能力．

【参考文献】［１］贺万一．浅谈高中数学竞赛解题思维［Ｊ］．新课程（下），２０１９（０５）：６５．［２］王惠．试探高中数学竞赛解题思维探讨［Ｊ］．中华少

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