数列通项公式与求和习题定稿版

第八章 数列8.3 数列的求通项、求和一、数列求通项：1.利用n S 与n a 的关系求通项公式；2.累加法：若已知1a 且()()12n n a a f n n --=≥的形式；3.累乘法：若已知1a 且()()12nn a f n n a -=≥的形式； 4.构造法：若已知1a 且()12,0,1n n a pab n p p -=+≥≠≠的形式qpa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）；二、数列的求和：1.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．4.倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．题型一.数列求通项考点1.已知Sn与an的关系求an1．已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n，那么它的通项公式为a n．2．记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＜0，a n2﹣3a n＝4﹣6S n．（1）求数列{a n}的通项公式；3．设数列{a n}满足a1+3a2+⋯+(2n−1)a n=2n(n∈N∗)．（Ⅰ）求a1，a2及{a n}的通项公式；考点2.累加法1．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＝n+a n﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．考点3.累乘法1．已知数列{a n}的项满足a n+1=nn+2a n，a1＝2，则数列{a n}的通项公式为．考点4.数列构造1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n +1＝2a n +1，且a 1+2a 2＝a 3． （1）求数列{a n }的通项公式；2．已知数列{a n }满足a n ＝3a n ﹣1+3n （n ≥2，n ∈N *），首项a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式；3．已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=an a n+1，则a 2021＝（ ）A ．12019B ．12020C ．12021D ．120224．若数列{a n }满足a n+1=11−a n，a 1＝2，则a 2023＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．12题型二.数列求和考点1.裂项相消1．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=1a n(a n+2)，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．2．已知等差数列{a n}满足：a3＝4，a5+a7＝14，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=1a n2−1，若对于任意n∈N*，数列{b n}的前n项和T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．考点2.错位相减1．设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公比；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2=13，b2b3=127．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点3.分组求和1．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n﹣2a n，求数列{b n}的前n项和S n．2．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足b n={2a n，n=2k−1，2n，n=2k，（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．考点4.讨论奇偶1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n+1−1(n∈N∗)．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+(−1)n log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．2．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1={12a n+n，n为奇数a n−2n，n为偶数（I）求a2，a3；（II）设b n=a2n−2，n∈N∗，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；（Ⅰ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．考点5.隔项成等差、等比1．数列{a n}满足a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．题型三.数列求通项、求和的选填综合1．数列已知数列{a n}中a n＝﹣2n+1，等比数列{b n}的公比q满足q＝a n﹣a n﹣1（n≥2）且b1＝a2，则|b1|+|b2|+|b3|+...+|b n|＝．2．数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+2n+2，则1a1+1a2+⋯+1a20=（）A．1910B．1920C．1021D．20213．已知函数f（n）＝n2cos（nπ），且a n＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100＝（）A．0B．100C．﹣100D．102004．S n为正项数列{a n}的前n项和，已知a n2+a n＝2S n+2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和．（多选）5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，⋯，1n，2n，⋯，n−1n，⋯，以下运算和结论正确的是（ ） A ．a 24=38B ．数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…，是等比数列C ．数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…，的前n 项和为T n =n 2+n4D ．若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =576．已知数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，数列{b n }满足b n ＝log 21a n，则数列{a n b n }的前n 项和为（ ） A ．2n+1−n−22n B ．2n+1−n−22n+1 C ．2n+1−n−12nD ．2n+1−n−12n+1题型四.数列的解答题1．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设T n 为数列{1a n a n+1}的前n 项和，若λT n ≤a n +1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，a7＝14．（1）求数列{a n}的通项公式及S n；（2）若_____，求数列{b n}的前n项和T n．在①b n＝2a n•a n；②b n=a n2+a n+12S n；③b n＝（﹣1）n•a n这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．3．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=a n(a n+1)2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2S n(−2)n(n+1)，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．4．在数列{a n}中，a1=12，对任意的n∈N*，都有1(n+1)a n+1=na n+1na n成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；并求满足S n＜1516时n的最大值．1．在①数列{a n}为递增的等比数列，S3＝7，且3a2是a1+3和a3+4的等差中项，②S n＝2n ﹣1，n∈N*这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由．已知数列{a n}的前n项和为S n，____，b n=a n+1S n S n+1，设数列{b n}的前n项和为T n，是否存在实数k，使得T n＜k恒成立？2．在①S n＝2b n﹣1，②﹣4b n＝b n﹣1（n≥2），③b n＝b n﹣1+2（n≥2）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{a n}为等比数列，a1=23，a3＝a1a2，数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为S n，，是否存在k，使得对任意n∈N*，a n b n≤a k b k恒成立？。

数列的通项公式与求和1练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,)3(1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式.(2) 求a2a4一-玄n ■ 2练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)•证明:n(1) 数列｛§L｝是等比数列；n(2) S n 1 = 4a n1 *练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N )3(1)求耳忌⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.1 1已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n • - ,求a n .2 n +n练习5已知数列｛an ｝满足®岭…&an,求歸51 1 n * 练习6已知数列®｝中,印,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式3色」+1｛ ｝2十2十2+…十2等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2a3an5(10n -1)练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9练习4练习练习10求和：+ +… +1 4 4 7(3n - 2) (3n 1)’ 1 1 11练习11求和：1 2 12 3 12 3 n练习12 设｛an｝是等差数列，｛bn｝是各项都为正数的等比数列，且= b^=1 ,fa 1a 5b 3 =13(I)求｛an ｝, ｛b n｝的通项公式；(H)求数列• 的前门项和S n .Sb = 21答案1 4 练习1答案：a2 ,a3 :3 9卩an - 1 4 n _23(3) 16 3 4a4 : -[(-)-1]27n =1n _2练习2 证明：(1)注意到：a( n+1)=S( n+1)-S( n)代入已知第二条式子得：S(n +1)-S( n)=S( n)* (n+2)/n n S( n+1)-nS( n)=S( n) *( n+2) n S( n+1)=S (n )*(2 n+2)S(n +1)/( n+1)=S( n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1 不等于0 所以｛S(n)/n｝是等比数列⑵由⑴知，｛S(n)/n｝是以1为首项，2为公比的等比数列。

第4讲 数列通项公式求法一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21--二、公式法公式法1：等差与等比数列例2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n例3：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n nn .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12-=n s n练习：1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()lg 1n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列，并写出}{n a 的通项公式2：已知数列{}n a 前n 项的和为sn ＝23a n －3，求这个数列的通项公式。

3：已知正项数列{}n a 中，sn ＝21（a n +n a 1），求数列{}n a 的通项公式.三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列的通项公式(教案+例题+习题)第一章：数列的定义与通项公式的概念1.1 数列的定义引导学生回顾数列的定义：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

强调数列的三个要素：项、项数、排列顺序。

1.2 通项公式的概念解释通项公式的定义：数列中第n项与项数n之间的关系式。

强调通项公式的作用：可以确定数列中任意一项的值。

第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的定义引导学生回顾等差数列的定义：相邻两项之差为常数的数列。

强调等差数列的特点：相邻两项的差是固定的。

2.2 等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d解释公式中的参数：an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。

第三章：等比数列的通项公式3.1 等比数列的定义引导学生回顾等比数列的定义：相邻两项之比为常数的数列。

强调等比数列的特点：相邻两项的比是固定的。

3.2 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：an = a1 q^(n-1)解释公式中的参数：an表示第n项的值，a1表示首项的值，q表示公比，n表示项数。

第四章：数列的通项公式求法4.1 观察法介绍观察法求通项公式的方法：通过观察数列的规律，找出通项公式。

举例讲解观察法的应用。

4.2 递推法介绍递推法求通项公式的方法：通过数列的递推关系式，推导出通项公式。

举例讲解递推法的应用。

第五章：数列通项公式的应用5.1 求数列的前n项和引导学生回顾数列的前n项和的定义：数列前n项的和。

讲解利用通项公式求数列的前n项和的方法。

5.2 求数列的特定项的值讲解利用通项公式求数列中特定项的值的方法。

5.3 数列的极限引导学生回顾数列极限的定义：数列项数趋于无穷大时，数列的和或特定项的值的趋近值。

讲解利用通项公式分析数列极限的方法。

第六章：多项式数列的通项公式6.1 多项式数列的定义引导学生回顾多项式数列的定义：数列的每一项都是多项式。

强调多项式数列的特点：每一项都可以表示为变量的幂次乘以系数。

数列通项公式的十种求法例1 已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1，印1，求数列｛a n ｝的通项公式。

a n n 2(a n 3n n 1.)例3已知数列｛a n ｝满足a n 12(n 1)5nn(n 1)(a n 3 2n 15^ n!.)丑也 L 西电印，即得数列｛a n ｝的通项公式。

an 1 an 2a2 a1(an殳)n 2时，a n 的表达式，最后再求出数列｛a n ｝的通项公式。

、公式法、累加法a n 1 a n f(n)例2 已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n3n1，a 1 3，求数列｛a n ｝的通项公式。

三、累乘法a n 1 f(n)a n求数列｛a n ｝的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系 a n1 2(n1卅a n 转化为旦口 2(n 1)5n，进而求出 a n例4已知数列｛a n ｝满足a 1 1, a n 印2a 2 3a 3 L (n 1)a n i (n 2)，求｛a n ｝的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 1(n 1)a n (n2)转化为也a nn 1(n2)，进而求出旦也L 乞a ?，从而可得当 an 1 an 2a2四、待定系数法a n 1 pa n q a n 1 pa n f n a n 2 pa n 1 qa n (其中p，q 均为常数)。

例5已知数列｛a n｝满足a n 1 2a n 3 5n, a, 6，求数列的通项公式。

(务 2n 15n)评注：本题解题的关键是把递推关系式a n12a n 3 5n转化为a n, 5n 12(a n5n)，从而可知数列｛a n 5n｝是等比数列，进而求出数列｛a n 5n｝的通项公式，最后再求出数列｛务｝的通项公式。

例6已知数列｛a n｝满足a n i 3a n 5 2n 4，a, 1,求数列｛a n｝的通项公式。

( a n13 3n 1 5 2n 2)评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3a n 5 2n4 转化为a n 1 5 2n 1 23(a n 5 2n 2) ，从而可知数列｛a n 5 2n2｝是等比数列，进而求出数列｛a n 5 2n2｝的通项公式，最后再求数列｛a n｝的通项公式。

数列的通项公式与求和、1练习1 数列｛%｝的前n项为Sn,且a-1, a. &(n =123,|||)3(1) 求a2,a3,a4的值及数列｛a n)的通项公式.(2) 求比.a A H 1 2 3 a2n练习2数列｛4｝的前n项和记为乐已知a们，亦二口Sn( n=1,2JI|).证明: (1数列｛§)是等比数列;练习4 已知数列｛an｝满足印一,a n J二an •，求an・八' 2 n +n1 *练习3已知数列｛an｝的前n项为Sn，&佃-1)(n- N )3⑴求ai,a2 ;⑵求证:数列｛an｝是等比数列.119｛ o ｝ o练习5已知数列 ％ 满足©牛/二化乳求％5 11练习6已知数列®｝中,E 卩二二耳申匕处+ （；严，求an.6 3 2练习8等比数列,的前n 项和Sn= 2”. 1,则5 (10n -1)练习 9 求和：5, 55, 555, 5555 '练习7已知数列｛a n ｝满足:a 亚」，印求数列＜a n ｝的通项公式3色」+1222 Qi SL2 dL3练习10求和:(3n-2) (3n 1)2w1—••n朴32练习12设3n是等差数列，去七 3二 I' (I)求{an}°是各项都为正数的等比数列，且{bn}的通项公式；(n)求数列•“的前门项和33 b5 =21练习2证明： ⑴ 注意到：a( n+1)=S( n+1)-S( n)代入已知第二条式子得：S(n +1)-S( n)=S( n)* (n+2)/n n S( n+1)-nS( n)=S( n) *( n+2) n S( n+1)=S (n )*(2 n+2) S(n+1)/( n+1)=S( n)/n*2又S(1 )/1 =a(1 )/1=1不等于0所以｛S(n)/n)是等比数列⑵ 由⑴知，<S(n)/n ｝是以1为首项，2为公比的等比数列o所以 S(n)/n=1*2A (n-1)=2:A (n-1) 即 S(n)=n*2A(n-1)(*)代入 a(n+1) = S(n)*(n+2)/n 得 a(n +1)=(n+2)*2A(n-1) (n 属于 N) 即a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于 N 且 n>1)又当时上式也成立所以a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于N)由⑴式得:S( n+1)=( n+1)*2A n=(n+1)*2A(H-2)*2 人 2 =(n+1)*2A( n-2)*4对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n1 416 练习1答案：>=1/4、n 工33n=1 n_2答案鵲)7]练习11,,列项相消法1 心+2+3+ ……+n )=1/[n(n+1)/2]=2/[ n(n+1)]所以原式 =1+2/2*3+2/3*4+ ……+2/[ n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3- 1/4)+ ……+(1/F1/( n+1)] =1+2*[1/2-1/( n+1)] =2-2/( n+1)练习12 （错位相减法）1=22 ・尹1 2% 1 =6・ 22答案：解：（I ）9「的公差为d ，”'blY 的公比为q ，则依题意有q V 且q=2所以务T—1 c) — 2[1 +2d +q 421 4d q =13,■ nd J 」 ■ b=q =2a n 2n -1 bT盯Sn £・2川 2n ；32222，①E2 3訓爭爭，②②—①得S1 1 1=221石歹川尹1 2n -12n3。

六年级数学第1讲《速算与巧算-----数列》【知识讲解】1、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（4）特殊项：末项=首项+（项数-1）×公差 首项=末项-（项数-1）×公差公差=（末项-首项）÷（项数-1）（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷22、等比数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之比都相等的数列称为等比数列。

我们将这个比称为公比（我们用 q 来表示），即： 3221211n n n n a a a a q a a a a ---=====【例题选讲、举一反三】例1、找出规律后填出下面数列中括号里的数：(1) 1，3，5，7，( )，11，13，( )，… (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， …(3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28，… (4) l ， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )，…(5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131； 259，…(6) 2，4，8，16，32，64，（ ），（ ） (7)12，18，132，1128，（ ），（ ） 练习1、找出规律后填出下面数列中括号里的数①6，10，14，18，22，…，98；( ) ②1，2，1，2，3，4，5，6；( ) ③ 1，2，4，8，16，32，64；( ) ④ 9，8，7，6，5，4，3，2；( ) ⑤3，3，3，3，3，3，3，3；( ) ⑥1，0，1，0，l ，0，1，0；( ) 例2、 求等差数列3，5，7， 的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题17 数列的通项公式与求和一、单选题（本大题共10小题，共50分）1．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米【答案】A【解析】解：由题意可知所求高度为，17.6910852686.2÷⨯≈所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米， 故选：A2．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为a r 新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A ．B ． ()171a r +()()1711a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦C ． D ． ()181a r +()()1811a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦【答案】D【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计a 为，()171a r +同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为， a ()161a r +孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，a ()151a r +孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，a ()1a r +可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和， ()1a r +1r +此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：()()()()()()()()171716181111111111a r r a S a r a r a r r r r r ⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤=++++++==+-+⎣⎦-+ 故选：D3．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y 元.则y -x 的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2) A ．0 B ．1200C ．1030D ．900【答案】C【解析】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款a 元后，还欠本金及利息为元，a 10000(1 1.5%)a +-第二次还款元后，还欠本金及利息为，a 210000(1 1.5%)(1 1.5%)a a +-+-第三次还款元后，还欠本金及利息为， a 3210000(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)a a a +-+-+-依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即，12111010000(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)0a a a a +-+-+-⋅⋅⋅-+-=即，解得，12121 1.01510000(1 1.5%)1 1.015a -+=⋅-900a ≈故元，1290010800x =⨯=按照单利算利息，12月后，所结利息共元， 100000.01525121830⨯⨯=故元， 10000183011830y =+=所以， 11830108001030y x -=-=故选：C4．已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由有, 当时,,求得,1n =1111262a S a ==-++-174a =-当时,,化简得2n ≥111111(1)26(1)2(1)622nn n n n n n n n a S S a n a n ----⎡⎤=-=-++---++--⎢⎥⎣⎦,当,,所以1111(1)(1)22n n n n n a a +-⎡⎤+-=--+⎣⎦2()n k k N *=∈1122n na -=-+,当,,所以2121222112,222k k k k a a -++=-+=-+21()n k k N *=-∈11222n n n a a -=--+,因为恒成立,所以当当,2()n k k N *=∈,即,当,21222211()()0,2622k k k k p a p a p ++--<∴-+<<-31951616p -<<2()n k k N *=∈,,综上两种情况,有． 221()()0k k p a p a ---<221172326,2244k k p p -+<<-∴-<<72344p -<<5．在数列中, 当时,其前项和为满足,设,数{}n a 11,a =2n ≥n n S ()21n n n S a S =-22log nn n S b S +=列的前项和为,则满足的最小正整数是 {}n b n n T 6n T ≥n A ．12 B ．11 C ．10 D ．9【答案】C【解析】由可得，即，所以数列是等()21n n n S a S =-()()211n n n n S S S S -=--1111n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭差数列，首项为，公差为，则，解得，所以11()111n n n S =+-=1n S n =，数列的前n 项和2222log log n n n S n b S n++=={}n b 22222234512345log log log log log log (1231123n n n T n n ++=+++++=⨯⨯⨯⨯- ．由可得，即，()()21212log 12n n n n n n ++++⨯=-6n T ≥()()212log 62n n ++≥()()7122n n ++≥令，可得函数在上单调递增，而()2231312612824f x x x x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭()f x [)1,+∞，，若，则，则满足的最小正整数是．故()9180f =-<()1040f =>*x N ∈10n ≥6n T ≥n 10选C ．6．已知数列的前项和为，且，，若对任意的，{}n a n n S 15a =116(2)2n n a a n -=-+≥*n N ∈恒成立，则实数的取值范围为 1(4)3n p S n ≤-≤p A ． B ．C ．D ．(2,3][2,3](2,4][2,4]【答案】B【解析】由数列的递推公式可得 ：， ()11442n n a a +-=--则数列是首项为，公比为的等比数列，{}4n a -141a -=12-，111141,422n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯-∴=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭分组求和可得：，211432nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦题中的不等式即恒成立， 2111332np ⎡⎤⎛⎫≤⨯--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦结合恒成立的条件可得实数的取值范围为 p []2,3本题选择B 选项.7．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英5雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当100010比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个1000100100米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米....所以，阿基里斯永远10101追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离0.1为（）A ．米B ．米5101900-510990-C ．米D ．米4109900-410190-【答案】D【解析】根据题意，这是一个等比数列模型， 设， 11100,,0.110na q a ===所以，110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭解得，4n =所以.()4444111001*********1190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--故选：D.8．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】设最上面一层放根，一共放n （n ≥2）层，则最下一层放根，1a ()11a n +-由等差数列前n 项和公式得：，()()1211322n a n +-=∴， 12642=1a n n-+∵,∴n 为264 的因数，且为偶数， 1N a *∈2641n n-+把各个选项分别代入，验证，可得：n =8满足题意. 故选：D9．删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项1,2,3, 是 A ． B ．C ．D ．2062206320642065【答案】B【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个2221,2,3,2,5,6,7,8,3,⋯k 1k +平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方2k 22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯202545数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，2025451980-=2018202538即是原来数列的第项，即为，故选B.2063206310．设数列的前项和为，，且，若，则的最大值{}n a n n S 123n n a a n ++=+1450n S =24a <n 为 A ． B ． C ． D ．51525354【答案】A【解析】，， 123n n a a n +∴+=+()()()121n n a n a n +∴-+=--+是以为公比的等比数列，(){}1n a n -+1-，()()()11121n n a n a -∴-+=-⋅-()()()1311222nn n n S a +--∴=+-⋅当n 为偶数时，无解，当n 为奇数时，，()314502n n n S +==()13214502n n n S a +=+-=，又，，即，()1314522n n a +∴=-125a a +=2154a a ∴=-<11a >即，又n 为奇数，故n 的最大值为 ()32902n n +<51.故选A二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11．设数列满足，且对任意的，满足，,则{}n a 123a =*n N ∈22n n n a a +-≤452nn n a a +-≥⨯2017a =_________【答案】 201723【解析】∵对任意的，满足，，*n N ∈22n n n a a +-≤452nn n a a +-≥⨯∴，2442252()()2252n n n nn n n n n n a a a a a a +++++⨯≤-=-+-≤+=⨯∴．452nn n a a +-=⨯∴20172017201320132009511()()()a a a a a a a a =-+-++-+ 20132009125(222)3=⨯++++． 5042(116)251163⨯-=⨯+-201723=答案： 20172312．数列满足，且，.若{}n a *12121(1,)n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈11a =22a =，则实数__________．sin()(0,)2n a An c πωϕωϕ=++><A =【答案】【解析】由题意，数列满足且，， {}n a 1212n n n n n n a a a a a a ++++=++11a =22a =令，可得，即，解得， 1n =123123a a a a a a =++33212a a =++33a =令，可得，即，解得， 2n =234234a a a a a a =++44623a a =++41a =同理可得 ，可得数列的周期为3， 562,3,a a == {}n a 又由，所以，所以，即， ()sin n a A n c ωϕ=++23w π=23w π=2sin 3n a A n c πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭又由，解得， 12321322232333a Asin c a Asin c a Asin c πϕπϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⨯++=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎩,23A c πϕ==-=所以 A =13．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得13AC DB AB ==到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n ，都有n S ，则a 的最小值为__________． n S a ＜【答案】2．【解析】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，n n a 2n ≥，21111333n n n a --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，n n b 2n ≥22n n b -=故，其中，121123n n n n S S ---⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭2n ≥由累加法可得 121121222123111223332313n n n S --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-，1223n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，也符合该式，故，1n =11S =1223n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭故对任意的恒成立，故即a 的最小值为2. 2n S <1n ≥2a ≥故答案为：2.14．对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =（a n ），12n 1a +n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[]=______． 12121111S S S ++⋯+【答案】20【解析】由题可知，当时，化简可得，0n S >1n >1111[()2n n n n n S S S S S --=-+-2211n n S S --=当22111,1n S a ===所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即2{}n S 2nn S n S =∴=又时，1n>22n S =<<=记 12121111S S S S=++ 一方面1]1)20S >-=->另一方面11)]11)21S <+++=+= 所以 2021S <<即 []20S =故答案为20三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．已知等比数列的前项和为成等差数列，且{}n a n ()*234,2,,4n S n N S S S ∈-. 2341216a a a ++=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和.2(2)log n an b n =-+1{}nb n n T 【答案】(1) (2) 12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭32342(1)(2)n n T n n +=-++【解析】（1）设等比数列的公比为， {}n a q 由成等差数列知，， 23424,,S S S -324224S S S =-+所以，即.432a a =-12q =-又，所以，所以， 2341216a a a ++=231111216a q a q a q ++=112a =-所以等比数列的通项公式.{}n a 12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）知 ，1()2(2)log(2)n nb n n n =-+=+所以 11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前 项和：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 11111111111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 32342(1)(2)n n n +=-++所以数列的前项和 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 32342(1)(2)n n T n n +=-++16．设数列的前n 项和为， {}n a n S 11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q -=∈≠≠-（1）求证：数列是等比数列；{}n a （2）若，是否存在q 的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若*q N ∈{}n a 能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若q ∈R [3,)q ∈+∞{}n a 存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在 【解析】（1）n=1时，，11a S a ==时，（n=1也符合） 2n ≥()1111n n n n n n aa S S q q aq q---=-=-=-，，即数列是等比数列． ()1n n a aq n N -+∴=∈1n na q a +∴={}n a （2）若则4321n n n n a a a a =++()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥可设，两边同除以得： 4321n n n n >>>1n q 3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若则4321n n n n a a a a =++()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥可设，，， 4321n n n n >>>3q ≥ 334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++∴不成立．4321n n n n a a a a =++17．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；② {}n a {}n b {0,1,2},n a n ∈∈*N .记数列的前项积为 . 1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N {}n b n n T （1）若，求；112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====4T （2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若1234,,,a a a a 1234,,,b b b b 1234,,,a a a a 不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值.11b =2021T 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.43128T =()10201002021max 12T ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】（1），， 12211(1)||242a a b b =-⋅-=-232321(1)||244a ab b =-⋅-=-334433(1)||2416a ab b =-⋅-=∴43128T =（2）不存在，假设存在，设公差为1234,,,b b b b d 若，则，公差，矛盾； 10b >2340,0,0b b b <<>210d b b =-<430d b b =->若，则，公差，矛盾. 10b <2340,0,0b b b >><210d b b =->430d b b =-<∴假设不成立，故不存在.（3）由题意， 且 110b =>43424140,0,0,0,k k k k b b b b ---><<>设，， 111||24n n n q a a +=-113,,,1424n q ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭1n n nb q b +=得，进一步得1n n n b q b +=⋅21n n n n b q q b ++=⋅⋅显然的值从大到小依次为1n n q q +⋅3911,,,,4162L （ⅰ）若，则，则不可能11n n q q +⋅=111n n q q +=⎧⎨=⎩112(,)(2,0)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩（ⅱ）若，则或， 134n n q q +⋅=1134n n q q +=⎧⎪⎨=⎪⎩1341n n q q +⎧=⎪⎨⎪=⎩则或不可能112(,)(2,0)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩112(,)(2,1)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩（ⅲ）若，则，则不可能1916n n q q +⋅=13434n n q q +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112(,)(2,1)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩∴（当或取得）112n n q q +⋅≤112(,)(2,0)(,)(0,2)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩112(,)(0,2)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩从而， 212n n b b +≤∴.1111121122111111,22222n n n n n n nb b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅=≤⋅≤⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2021123202113520212462020||||||T b b b b b b b b b b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L≤210102100911111111222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L123101010091008112++++++++⎛⎫= ⎪⎝⎭L L 2101010201001122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当：取得）{}n a 2,0,2,0,2,0,L L 又 ，∴20210T >()10201002021max12T ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背基础知识】1.数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==4.等差数列性质：若n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，则 ①()n m a a n m d =+-；②若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：若n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，则①n mn m a a q -=；②若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a =③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列（其中1q ≠-或n 不是偶数）；【讲一讲基本技能】1.必备技能：（1）等差数列的判定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法（2）等比数列的判定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法 （3）数列通项公式求法：①观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式. ⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示. 2.典型例题 例1设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.(Ⅰ)求的值； (Ⅰ)求数列的通项公式.例2【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n+1，S n ，S n+2是否成等差数列．例3已知各项都为正数的数列满足，.（I ）求；（II ）求的通项公式.{}n a 11a =211(21)20n n n n a a a a ++---=23,a a {}n a【练一练趁热打铁】1.已知数列{}n a 满足： 11a =， ()*122n n a a n n N +=+-∈. （Ⅰ）求证：数列{}1n a n +-是等比数列； （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 2. 【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .数列的求和【背一背基础知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q qq ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)分组转化法:有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法:这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法:这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法:利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}若为等差数列，则1anan ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1an －1an ＋1.常见的拆项公式：①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)；④1n ＋n ＋k＝1k (n ＋k －n)．2.典型例题例1【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = .例2【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.例3已知{an}是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【练一练趁热打铁】1. 【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．2.已知在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式；(2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S3. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解答题（12*5=60分）1.【2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟】各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设数列满足，求数列的前项和.2．在数列中，，.（1）证明是等差数列；（2）求数列的前项和.3.设正项等比数列{}n a ， 481a =，且23,a a 的等差中项为()1232a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-， n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T . 4.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.5.【2018年江西省抚州市高三八校联考】在等差数列中，，，为等比数列的前项和，且，，，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.。