为连通分支

拓扑学家的正弦曲线的连通分支正弦曲线是数学中的一种重要曲线，它具有周期性和连续性的特点。

作为一位拓扑学家，我对正弦曲线的连通分支产生了浓厚的兴趣。

在本文中，我将对拓扑学中与正弦曲线相关的连通分支进行介绍和探讨。

首先，我们需要了解什么是连通分支。

在数学中，连通分支是指由连续点构成的曲线或图形中的一部分，它的特点是内部的点可以互相连通而不需要经过外部的点。

对于正弦曲线来说，它的连通分支是指曲线上的一段连续区间，该区间上的点可以通过曲线上其他点进行连通。

在研究正弦曲线的连通分支时，我们需要引入一个重要的概念，即周期性。

正弦曲线具有周期性，意味着在一定的长度范围内，曲线的形状与之后的某个相同长度范围内的形状完全相同。

这种周期性使得正弦曲线的连通分支具有一定的规律性和特殊性。

根据正弦曲线的周期性，我们可以得出一个结论：正弦曲线上的每一段连通分支都是一个完整的正弦函数图像。

这是因为正弦曲线上的每一个点都可以通过曲线上其他点进行连通，而正弦函数图像本身具有连续性和周期性的特点。

在分析正弦曲线的连通分支时，我们发现它们之间存在一种特殊的关系，即连通分支之间可以通过曲线上的某个点进行连接。

这种连接关系使得正弦曲线的连通分支形成了一个整体，而每个连通分支又有自己独特的特点和规律。

例如，我们可以将正弦曲线分割成若干个等长的连通分支，每个分支都是一个完整的正弦函数图像。

这些连通分支之间可以通过曲线上的某个点进行连接，形成一个连续的整体。

通过对这些连通分支的分析，我们可以得出更多关于正弦曲线的性质和规律。

综上所述，拓扑学家对于正弦曲线的连通分支产生了浓厚的兴趣。

通过研究连通分支，我们可以深入探索正弦曲线的特点、性质和规律，进一步理解和应用拓扑学的概念和方法。

正弦曲线的连通分支是一个丰富而复杂的研究领域，我们期待在未来的研究中能够取得更多的突破和发现。

连通分支的定义一、引言连通分支是图论中的一个重要概念，用于描述图中的连通性。

在图中连接在一起的节点构成一个连通分支。

在本文中，我们将详细讨论连通分支的定义、性质以及如何在图中找到连通分支，旨在帮助读者更深入地了解和理解这一概念。

二、定义连通分支是指图中的节点集合，其中的任意两个节点之间都存在一条路径。

换句话说，对于连通分支中的任意两个节点，我们可以通过边来沿路径相互到达。

连通分支是图中的一个最大连通子图，因为它包含了图中所有可以通过路径相互到达的节点。

三、性质连通分支具有以下性质：1. 最大性质连通分支是一个最大连通子图，即它不包含在其他的连通分支中。

换句话说，如果我们将连通分支中的任意一个节点添加到该分支外的节点中，将会破坏连通性。

2. 无向图中的连通分支对于无向图而言，连通分支是无向图中的极大连通子图。

一个无向图可以包含多个连通分支，每个连通分支都是一个独立的连通子图。

3. 有向图中的连通分支对于有向图而言，连通分支是有向图中的极大强连通子图。

强连通子图是指其中的所有节点之间互相可达，即对于连通分支中的任意两个节点，存在一条有向路径可以从一个节点到达另一个节点。

四、寻找连通分支的算法在图中寻找连通分支的算法是一项基本的图算法，下面介绍两种常见的算法：广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)。

1. 广度优先搜索(BFS)广度优先搜索是一种用于遍历或搜索图中节点的算法。

它从一个起始节点开始，逐层地遍历其邻接节点，直到遍历完所有连通的节点。

在遍历过程中，我们可以记录下每个连通分支的节点。

以下是广度优先搜索的基本步骤： 1. 创建一个队列，并将起始节点放入队列中。

2. 从队列中取出一个节点，并标记为已访问。

3. 遍历该节点的所有邻接节点，并将未访问的邻接节点放入队列中。

4. 重复步骤2和步骤3，直到队列为空。

5. 如果还存在未访问的节点，重复步骤2到步骤4。

2. 深度优先搜索(DFS)深度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图中节点的算法。

1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。

3、无向图的各连通分支
成绩10 开启时间 2017年11月19日星期日08:00
折扣0.8 折扣时间 2017年12月9日星期六23:55
允许迟交否关闭时间 2017年12月16日星期六23:55
3.求解无向图的各连通分支
输入：
第一行为图的节点数n（节点编号0至n-1，0<n<=10）
从第二行开始列出图的边，-1表示输入结束
输出：
输出每个连通分支的广度优先搜索序列（从连通分支的最小编号开始），不同分支以最小编号递增顺序列出
sample：
input:
8
0 5
5 2
4 5
5 6
6 2
3 7
0 2
-1
output：
0-5-2-4-6
1
3-7
解题：这题是WA样例2，3，因为按照样例的解法就是这样wa，并不是bfs的问题。

改正方法：将每一个点的邻接点按从小到大的顺序先排一下序，如样例，0的邻接点本该为5，2排完序后该为2，5.
这样，样例的正确答案为：
0-2-5-6-4（好像是这个）
1
3-7。

算法实验题7.9 连通分支问题
«问题描述：
无向图G的极大连通子图称为G的连通分支。

显然，任何连通图只有一个连通分支，即其自身。

而非连通的无向图有多个连通分支。

例如，下图中的图有2个连通分支H1和H2。

对于给定的图G，计算图G的连通分支。

«实验任务：
对于给定的图G，计算图G的连通分支数，以及顶点对间的连通性。

«数据输入：
由文件input.txt给出输入数据。

第1行有2个正整数n和m，表示给定的图G有n个顶点和m条边，顶点编号为1，2，…，n。

接下来的m行中，每行有2个正整数u,v，表示图G的一条边(u,v)。

第m+1行是一个正整数k，表示要计算k对顶点的连通性。

接下来的k 行中，每行有2个正整数s和t，表示要计算顶点对s和t间的连通性。

«结果输出:
将计算出的图G的连通分支数，以及k对顶点间的连通性依次输出到文件output.txt。

如果顶点对s和t属于同一连通分支则输出“Yes”，否则输出“No”。

输入文件示例输出文件示例
input.txt output.txt
13 13 1 2 1 3 1 6 1 7 4 5
4 6
5 6 5 7 8 9 10 11 10 12 10 13 12 13 3 3 Yes No Yes
1 7 6 8 10 13。

第六章习题参考解答1. X 为拓扑空间, 为离散空间, 试证明：Y X 为连通的当且仅当任一连续映象必为常值映射. 其中Y 不少于两个元素.:f X Y →证明: 如果()⇐X 不连通，即存在X 的非空开集U 和V 使得U V X =∪并且U V φ=∩取，并且定义映射合于：1y 2y Y ∈:f X Y →12,(),y x U f x y x V∈⎧=⎨∈⎩ 则对于任何W 开于Y ，因为121211212,,,,(),,,U y W y W V y W y W f W X y W y W y W y W φ−∈∉⎧⎪∉∈⎪=⎨∈∈⎪⎪∉∉⎩当时当时当时,当时则连续并且不是常值映射. 这与已知矛盾.:f X Y →()⇒设连续. 为离散空间.:f X Y →Y 如果不是常值映射,即, :f X Y →12,x x X ∃∈,使12()()f x f x ≠.令= ，1V 1\{()}Y f x 21{()}V f x =, 因Y 离散，则与均为Y 中非空开集. 又因为是连续映射, 1V 2V :f X Y →11)与12()f V −为X 中二非空开集，并且(f V −11()f V −∩12()f V −=112()f V V −=∩1()f φφ−=11()f V −12()f V −=∪112()f V V −∪1()f Y X −==.从而，X 被分解成了两个不相交的非空开集11()fV −与12()f V −的并. 因此, X 不连通. □2. 设X 为拓扑空间, E X ⊂, 则E 不连通当且仅当存在两个非空集合A 与B 使得且E A B =∪A B φ=∩.证明: 设()⇐A φ≠,B φ≠,E A B =∪并且A B φ=∩, 则E A B =∪A B =∪即, E 表成了两个不相交的非空闭集A 与B 的并. 由定理6.1.1, E 是不连通的. ()⇒设E 不连通, 由定理6.4.1(1)与(4)的等价性, 存在E 的不相交的两个非空的既开且闭的子集A 与B 使得E A B =∪, 则E E E ==∩()E A B ∩∪()()E A B E =∩∪∩.记,1A E A =∩1B E B =∩, 则(1) 1A φ≠并且1B φ≠.事实上, 若1A E A φ==∩, 则E X A X ⊂−⊂闭,故E ⊂X A −X A =−. 即, E A A φ==∩. 这与A φ≠矛盾. 从而, 1A φ≠. 同理, 1B φ≠.(2) 1A A =并且1B B =.事实上, 1A E A A =⊂∩, 1A A A ⊂=. 反过来, x A ∀∈,∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 这是因为, 如果1()U A U E A =∩∩∩()E U A =∩∩φ=, 则()E X U A ⊂−∩, 即E ⊂()X U A −∩()X U A =−∩, E ()U A φ=∩∩; 另一方面，因为x A ∈E ⊂并且()U x ∈U ，则x ∈()E U A ∩∩. 这与E ()U A ∩∩ =φ矛盾. 因此, 对∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 故1x A ∈. 从而, 1A A =.同理,1B B =.即, 存在非空集合1A φ≠, 1B φ≠, 11A B A B φ==∩∩且. □ 11A B E =∪3、证明：一个拓扑空间的任何一个既开且闭的连通子集必为这拓扑空间的一个连通分支(连通区).证明：设A 是拓扑空间X 中既开且闭的连通子集，取x A ∈，并记是包含的连通分支，则. 下证：x C x x A C ⊂x A C =.事实上，如果x A C ≠，则\x B C A =φ≠并且A 与B 为中不相交的两个非空的既开且闭子集, 又x C x C A B =∪，这与连通矛盾. 从而，.x C x A C =4、设拓扑空间只有有限个连通分支，证明：每个连通分支都是X 的既开且闭的子集.证明：设，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 仅有的有限个连通分支，则12n X A A A =∪∪ ∪由定理6.1.10和定理6.1.11, ，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 中两两不相交的闭子集. , 因为(1)j j ∀≤≤n 1,ni i j i A =≠∪闭于X ，则 j A =\X 1,ni i j i A =≠∪开于X ，即j A 在X 中既开且闭.5、设X 是一个拓扑空间，是一个开集，G X ⊂E 是G 的一个连通区，证明：b b E G ⊂. 其中：与分别是b E b G E 与的边界.G 证明：6、设X 是一个拓扑空间，证明：X 是局部连通的当且仅当，x X ∀∈U ∀∈()x U ，包含U 的连通分支是点的一个邻域.x7、设X 是一个不可数集合，证明：若在X 上赋予有限余拓扑或者可数余拓扑， 则拓扑空间X 是局部连通空间.8、证明：局部连通空间的开子空间是局部连通的.9、证明：中的任何一个连通的开子集都是道路连通的.n10、设{|}A αα∈Γ是拓扑空间X 中的一族道路连通，证明：如果对于,αβ∀∈Γ，存在Γ中有限个元121,,,,k k αγγγγβ+== 使得(1)i i k ∀≤≤，有1i i A A γγφ+≠∩，则A αα∈Γ∪.11、设X 是一个拓扑空间，X 称为是局部道路连通的，如果，x X ∀∈U ∀∈()x U ，∃点的道路连通邻域V U ; x ⊂X 的一个子集称为是局部连通的，如果它作为X 的子空间是局部道路连通的. 试证明如下一些结论：（1）每个局部道路连通空间都是局部连通空间；（2）如果是从局部道路连通空间:f X Y →X 到拓扑空间Y 的一个连续开映射，则是Y 的局部道路连通子集；()f X （3）积空间X ×Y 是局部道路连通空间当且仅当X 与Y 都是局部道路连通空间；（4）局部道路连通空间X 的开子集是道路连通的当且仅当是G G X 的连通子集.12. 证明: 中开集G 为道路连通的当且仅当G 为连通的.nR 证明: 因为道路连通空间是连通的,所以, 是连通空间. ()⇒G ()⇐由定理4.10,每一点都有道路连通邻域的连通空间是道路连通的,因此,只需证明: ,0,x G δ∀∈∃>0,(),O x G δ⊂且道路连通.()O x δ事实上，因,故G ⊂开nR ,x G δ∀∈∃>使得()y O x δ∀∈.定义映射.其中::[0,1]f G →()(1),[0,1]f t t x ty t =−+∈:[0,1]f G →连续, (0),f x =(1)fy =且((),)f t x ρ===(,)(,).t y x y x ρρδ=≤<从而, 是中连接与f ()O x δx y 的道路.即, 道路连通.由定理 4.10, 是道路连通空间. □()O x δG。

有向图的强连通分支有向图的连通性包含两个部分，强连通与弱连通。

强连通：对有向图中一个顶点对w v ,，如果存在v 到w 和w 到v 的路，则称w ，v 是连通的。

若图中任意两点都是连通的，则称图G 为强连通图。

弱连通图：对有向图),(E V G =，如果对图中任一顶点对v 和w ，有一个顶点序列m u u u ,,,21 ，使m u w u v ==,1，并且对于1,,2,1-=m i ，或者E u u i i ∈+),(1，或者E u u i i ∈+),(1，则称图G 是弱连通的。

强连通分支：有向图的一个强连通分支是一个最大的强连通子图。

等价关系S ：对于V 中的w v ,，vSw ⇔从v 到w 有路，从w 到v 也有路。

则由S 所确定的每一个等价类V ~以及其中点对所决定的关联边构成了图G 的一个强连通分支。

凝图：有向图G 的强连通分支p S S S ,,,21 中每一个都能收缩为一点，产生一个新的没有回路的有向图。

称为G 的凝图，用),(E V G ''='表示。

其中V '有p 个元素p s s s ,,,21 ，),(j i s s 在E '中⇔从i S 中某顶点到j S 中某顶点的有一条边。

与无向图中求图的连通分支相类似，可以借助DFS 来寻找，但在有向图中情况却要复杂得多。

DFS 树中除树边、向后边外，可能还有向前边和交叉边。

且由交叉边的性质知，交叉边是从右到左的。

关系£：v £w ⇔在DFS 搜索中，遇到v 之后才遇到w ，并且w 不是v 的子孙。

我们把这个关系读着v 在w 的左边。

引理3.4如果v和w是在V中，并且E(，则必有v£w或者v，w,v∈w)之中的一个顶点是另一个顶点的子孙。

OLDEST(v):v是树中的一个顶点，OLDEST(v)是T中从v出发沿着树边、回边和交叉边能到达v的最早（最接近于根部）的祖先。

流体网络复习资料=|E|是分支数。

在图中，若用箭头标明了边是有方向性的，则称这样的图为有向图，否则称为无向图。

具有n个顶点，n(n-1)/2条边的图，称为完全无向图。

具有n个顶点，n(n-1)条弧的有向图,称为完全有向图。

完全无向图和完全有向图都称为完全图。

同构：若图G=（V，E）和G′=（V′，E′）的顶点集合之间保持关联性质的条件下一一对应，则G和G′成为同构。

度在图中，一个顶点依附的边或弧的数目，称为该顶点的度。

入度：在有向图中，一个顶点依附的弧头数目，称为该顶点的入度。

出度：一个顶点依附的弧尾数目，称为该顶点的出度。

握手定理：若图中有 n 个顶点，e 条边或弧，第i 个顶点的度为di，则有：子图：若有两个图G1和G2, G1=(V1,E1), G2=(V2,E2),满足如下条件：V2V1 ，E2 E1，即V2为V1的子集，E2为E1的子集，称图G2为图G1的子图。

赋权图（网）：在图的边或弧中给出相关的数，称为权。

权可以代表一个顶点到另一个顶点的距离、风阻、压力、流量等，带权图一般称为网。

连通图：在无向图中，若从顶点i 到顶点j 有路径，则称顶点i 和顶点j 是连通的。

若任意两个顶点都是连通的，则称此无向图为连通图，否则称为非连通图。

强连通图：在有向图中，若从顶点i到顶点j有路径，则称从顶点i和顶点j是连通的，若图中任意两个顶点都是连通的，则称此有向图为强连通图，否则称为非强连通图。

连通分量：无向图中，极大的连通子图为该图的连通分量。

显然，任何连通图的连通分量只有一个，即它本身，而非连通图有多个连通分量。

强连通分量：有向图中，极大的强连通子图为该图的强连通分量。

显然，任何强连通图的强连通分量只有一个，即它本身，而非强连通图有多个强连通分量。

回路：闭合的链称为回路。

若回路中除始、末节点重合外，无其它重复节点，则称为基本回路。

树：不含回路的连通图，称为树。

组成树的边称为树枝。

树中仅有一条分支与其相关联的节点，称为悬挂点。

)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。

证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。

<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。

求证G 为连通图。

证明：反证法，假设G 为非连通图。

设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。

<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。

其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。

证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。

证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。

<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。