高考全真模拟试卷二数学卷

全国普通高等学校2023届招生统一考试模拟（二）数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题纸上.将条形码横贴在答题纸“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题纸的整洁.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 75i z +=+，则z = A.6i - B.6i +C.32i -D.12i -2.已知集合{}2780U x x x =--≤，{}0,1,2A =，{}2,1,0,1,2,3,4B =--，则()U A B ⋂=ðA.{}0,1,2B.{}3,4C.{}1,3,4-D.{}2,1,3,4--3.下列函数不是偶函数的是 A.()3sin 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()22xxf x -=+C.()21x xf x x =+-D.())lnf x x x =4.使:0p x ∀>，4x a x+≥的否定为假命题的一个充分不必要条件是 A.4a ≥ B.4a ≤C.2a ≥D.2a ≤5.某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为A.1918B.11508C.12708D.186.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm ，碾滚最外侧正上方为点A ，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A 距碾盘的垂直距离约为A.15cmB.cmC.(30-cmD.45cm7.过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为1:4，1V ，正方体的外接球体积为2V ，则12V V =A.9B.9C.3D.98.若200a =，()99lg 101b =，101lg 99c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a c b >> B.c a b >>C.c b a >>D.a b c >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设α为第一象限角，1cos 83πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则 A.51sin 83πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭B.71cos 83πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C.13sin 83πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭D.tan 8πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭10.已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在1x =-处有极值，且极值为8，则A.()f x 有三个零点B.b c =C.曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为340x y ++= D.函数()2y f x =-为奇函数11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线1l ，2l 过点F 与圆()22:21E x y -+=分别切于A ，B 两点，交C 于点M ，N 和P ，Q ，则 A.C 与E 没有公共点B.经过F ，A ，B 三点的圆的方程为2220x y x y +--=C.5AB =D.1369MN PQ +=12.设正整数0110119999k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中{}()0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,,i a i k ∈=.记()01k n a a a ω=+++，当8n ≤时，()()()()129S n n ωωω=+++，则A.()()()19282S n S n n n --=+≥B.()()9101n n ωω+=+C.数列()S n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D.918n n ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()3,1a =-，(),1b m =，若b a >，223a b -=，则m =___________.14.已知随机变量21,2XN σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且10.252P X ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，()20.1P X >=，则112P X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭≤≤_____.15.如图①，在平行四边形ABCD 中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），PC =P BCD -的内切球半径为____________.16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的垂直平分线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，O 为坐标原点，2BP PO =，则C 的离心率为___________；若BMN △的周长为8，则b =______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3tan 2B CA +=. （1）求A ；（2）若ABC △，6AB AC +=a .18.（12分）某校有A ，B 两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从A 餐厅随机抽取了67人，从B 餐厅随机抽取了69人，其中在A ，B 餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.（1）根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？（2）学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了A 餐厅，那么本次到A ，B 餐厅的概率分别为14，34；如果前一次去了B 餐厅，那么本次到A ，B 餐厅的概率均为12.求任意一名学生第3次用餐到B 餐厅的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.19.（12分）在数列{}n a 中，19a =，1312n n a a +=+. （1）证明：数列{}6n a -为等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n S .20.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，点M 在棱AD 上，3AM MD =，12AB BB ==，1BD C M ⊥.（1）求AD ；（2）求二面角11A MC B --的正弦值.21.（12分）已知一动圆与圆()22:318E x y ++=外切，与圆()22:32F x y -+=内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C . （1）求C 的标准方程；（2）直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①()8,1P ；②AP BQ BP AQ ⋅=⋅；③Q 是直线l 与直线10x y --=的交点. 注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.22.（12分）已知函数()e xf x x =，()lng x x x x =+.（1）证明：()()f x g x >；（2）若()()f x a ag x ->恒成立，求实数a 的取值范围.答案及解析一、选择题1.B 解析：()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，故6i z =+. 2.C 解析：由题意得{}18U x x =-≤≤，所以(){}U 1,3,4A B ⋂=-ð..3.C 解析：对于A 项，()cos f x x =-，所以()()()cos cos f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数；对于B 项，()()22x x f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数；对于C 项，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()21211221x x x xx xf x x x f x -⎛⎫--=-=-+=≠ ⎪---⎝⎭，所以()21x x f x x =+-不是偶函数；对于D 项，()f x 的定义域为R ，()))()lnln ln f x x x x x x f x ⎛⎫-=-===，所以())lnf x x x =-是偶函数..4.D 解析：由题得：:0p x ∀>，4x a x +≥为真命题，又44x x+≥，当且仅当2x =时等号成立，反之也成立.所以4a ≤是p 为真命题的充要条件，4a ≥是p 为真命题的既不充分也不必要条件，2a ≥是p 为真命题的既不充分也不必要条件，2a ≤是p 为真命题的充分不必要条件..5.B 解析：分组方法共有()2,2,5，()2,3,4，()3,3,3三种情况，所以分配方法共有225333323497596339742323C C C C C C A C C C 11508A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.. 6.A 解析：由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm 200cm ππ⨯=，碾滚的周长为230cm 60cm ππ⨯=，所以碾滚滚过20010603ππ=圈，即滚过了1036033601203⨯︒=⨯︒+︒，所以点A 距碾盘的垂直距离为()3030cos 18012015cm -⨯︒-︒=..7.A 解析：由圆台上底面与下底面的面积比为1:4，得圆台上底面与下底面的半径比为1212r r =，如图，在1Rt AA P △中，AP =，11A P r =，1A A =，即)2221r =+，解得1r =，则()1128228433V ππ=⨯⨯++=，正方体的外接球半径为2R ==2243V π==，所以12289V V π==..8.B 解析：解法一：设()()()100lg 100f x x x =-+，[]1,1x ∈-，当[]1,1x ∈-时，()()100lg 100lg e 100x f x x x -'=-+++，令()()100lg 100lg e 100xg x x x-=-++⋅+，则()()21200lg e lg e 0100100g x x x '=--<++，所以函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()101991011lg 99lg e lg e lg 9999g -=-+=-，又101299e e 99<<，所以()()10g x g <-<，所以函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()()()()991101lg990100lg100200199lg101lg 101f f f -=>==>==，故c a b >>.故选B 项.解法二：由题意得200100lg10lg100100lg100a ===，99lg101b =.令函数()()200ln f x x x =-，()200200ln 1ln x f x x x x x-'=-=--，当()90,x ∈+∞时，()2001ln 90090f x '<--<，所以()f x 在区间()90,+∞内单调递减，所以()()()99100101f f f >>，所以101ln99100ln10099ln101>>，即1011009999100101>>，所以c a b >>..9.BD 解析：由题意得8πα-也是第一象限角，所以sin 83πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭51sin sin cos cos 828883πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 项错误；71cos cos cos 8883πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 项正确；1331sin sin cos cos 828883πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C项错误；sin 8tan tan 88cos 8παππααπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭.10.AC 解析：由题意得()232f x x bx c '=++，又()1320f b c '-=-+=，又()2118f b c b -=-+-+=，解得33b c =⎧⎨=⎩（舍去）或27b c =-⎧⎨=-⎩，故B 项错误；()32274f x x x x =--+，()()()2347137f x x x x x '=--=+-，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当7,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()30f -<，()10f ->，()10f <，()40f >，所以()f x 有三个零点，故A 项正确；又()23f '=-，()210f =-，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()1032y x +=--，即340x y ++=，故C 项正确；()()3222722f x x x x f x --=--++≠-+，故D 项错误..11.BCD 解析：联立()222421x yx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得()422116x x -+=，因为2x =是方程的一个根，所以C 与E 有公共点，A 项错误；连接EA ，EB ，则EA FA ⊥，EB FB ⊥，所以F ，A ，B ，E 四点在以FE 为直径的圆上，圆的方程为()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，化简得2220x y x y +--=，B项正确；由题得2FA ==，所以2AB EA FA EF ⨯==AB =，C 项正确；设过点F 且与圆()22:21E x y -+=相切的切线方程为1y kx =+1=，解得0k =或43k =-.不妨设1:1l y =，24:13l y x =-+，则4MN =，联立24413x yy x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得298290y y -+=，所以829P Q y y +=，所以10029P Q PQ y y =++=，所以100136499MN PQ +=+=，D项正确..12.ACD 解析：当2n ≥时，()()()()()()198979695S n S n n n n n ωωωω--=-+-+-+-()()()()()949392919n n n n n ωωωωω+-+-+-+-+，又()01981919n n -=⋅+-⋅，所以()9811n n n ω-=+-=，同理()01972919n n -=⋅+-⋅，所以()97211n n n ω-=+-=+，…，()01918919n n -=⋅+-⋅，所以()91817n n n ω-=+-=+，09099n n =⋅+⋅，所以()9n n ω=，所以()()1928S n S n n --=+，A 项正确；012101191009999991k k k k n a a a a +-+=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅++，()()012910112k n a a a a n ωω+=++++++=+，B 项错误；当1n =时，()()()()1129128137S ωωω=+++=++++=，当2n ≥时，()()()()()()()()()112211928912892S n S n S n S n S n S S S n n =--+---++-+=++-+++⨯()296596528912822n n n n ++++⨯+==，当1n =时也符合，所以()29652n nS n +=，所以()9652S n n n +=，所以()()196595691222S n S n n n n n -++-=-=-，所以数列()S n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，C 项正确；()012311199199999819nn n -⨯--==+++++-，911118n n ω⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭，D 项正确..三、填空题13.2314a =+=，221b m =+，31a b m ⋅=-，所以2222244164112a b a a b b m -=-⋅+=-+++=，所以290m -+=，解得m =m =当m =b a =，不符合题意；当m =b a >.所以m =14.0.15解析：由题意知12μ=，所以()()120.1P X P X <-=>=，所以()11110.1522P X P X PX ⎛⎫⎛⎫--=<--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤.15.3解析：如图，过点D 作DE BC ∥，且DE BC =，连接PE ，CE ，由题意可知PD BD ⊥，BC BD ⊥，所以BD ⊥平面PDE ，所以BD PE ⊥，所以CE PE ⊥，所以2PE ==.又BD ⊂平面BCED ，所以平面BCED ⊥平面PDE .取DE 的中点O ，连接OP ，则OP ⊥平面BCED ，且OP =，所以三棱锥P BCD -的体积111223323P BCD BCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯=△.又12222BCD S =⨯⨯=△，122PBC PCD S S ==⨯=△△122PBD S =⨯=△，所以三棱锥P BCD -的表面积(22BCD PBD PCD PBC S S S S S =+++=△△△△，设三棱锥P BCD -的内切球半径为r ，则33V r S ===.16.12 解析：由2BP PO =，可得23BP b =，13OP b =，连接PF ，在Rt POF△中，由勾股定理得222OP OF PF +=，所以2221233b c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223b c =，所以2223a c c -=，即224a c =，所以C 的离心率12c e a ==.在Rt BOF △中，1cos 2OF c BFO BF a ∠===，所以60BFO ∠=︒.设直线MN 交x 轴于点F '，交BF 于点H ，在Rt HFF '△中，由2cos HFFF a c BFO'===∠，所以F '为C 的左焦点，又MB MF =，NB NF =，所以BMN △的周长等于FMN △的周长，又FMN △的周长为4a ，所以48a =，解得2a =，所以1c =，故b ==17.解：（1）由题得3sin 3cos 2222sin 3tan 2sin cos 222A AA A A A πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3cos24sin cos 22sin 2AA A A =，又0A π<<，所以022A π<<， 所以0cos12A <<，0sin 12A <<，所以23sin 24A ==，所以sin22A =，所以23A π=，故23A π=.（2）由题得11sin 222bc A bc =⨯=4bc =，又2226AB AC AB AC AB AC +=++⋅=，所以2222cos63b c bc π++=，故22610b c bc +=+=， 由余弦定理得22212cos 1024142a b c bc A ⎛⎫=+-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以a =18.解：（1）零假设为0H ：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出22⨯列联表如下：()220.0051361563526 4.8817.879676921115x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，根据小概率值0.005α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.（2）设事件i A =“第i 次在A 餐厅用餐”，事件i B =“第i 次在B 餐厅用餐”，其中1,2,3i =， 由题意i A 与i B 互斥，且()()1112P A P B ==，()2114P A A =，()2134P B A =；()2112P A B =，()2112P B B =， 由全概率公式得()()()()()21211211111324228P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=， ()()22518P B P A =-=，又()3234P B A =，()3212P B B =， 由全概率公式得()()()()()3232232335119848232P B P A P B A P B P B B =+=⨯+⨯=. 19.（1）证明：由1312n n a a +=+，得1123n n a a ++=，即()11261666333n n n n a a a a ++--=-==-， 又163a -=，所以60n a -≠，所以数列{}6n a -是以3为首项，13为公比的等比数列. （2）解：由（1）可知，12116333n n n a --⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭，所以2163n n a -=+，故263n n n na n -=+，设数列{}6n 的前n 项和为n P ，数列23n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 所以数列{}n na 的前n 项和n n n S T P =+， 所以()()216126332n n n P n n n +=+++=⨯=+，10211112333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①111111123333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①-②得1121211111333333n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123911272312233443n n n n n T n --⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎛⎫⎛⎫=--⨯=-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭， 故数列{}n na 的前n 项和22272333443n n n n n S T P n n -+=+=++-⨯. 20.解：（1）连接CM ，由题意得1CC BD ⊥，又1BD C M ⊥，111CC C M C ⋂=，所以BD ⊥平面1C CM ， 又CM ⊂平面1C CM ，所以BD CM ⊥，在Rt BDC △和Rt CMD △中，因为BDC CMD ∠=∠，所以Rt Rt BDC CMD △△，所以MD DCDC BC=，又3AM MD =，所以4BC MD =， 即22244MD DC AB ===，所以1MD =，即44AD BC MD ===.（2）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，所以以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可得()0,0,0D ，()1,0,0M ，()14,0,2A ，()10,2,2C ，()4,2,0B ， 则()11,2,2MC =-，()13,0,2MA =，()3,2,0MB =， 设平面11A MC 的法向量为()111,,m x y z =，由1111111220320m MC x y z m MA x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取13z =-，得()2,4,3m =-， 设平面1BMC 的法向量为()222,,n x y z =，由122222220,320n MC x y z n MB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取23y =，可得()2,3,4n =--， 20cos ,2929m nm n m n⋅===⋅，所以21sin ,129m n =-=， 故二面角11A MC B --的正弦值为2129. 21.（1）解：设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，则ME r =+MF r =ME MF EF -=<，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以2a =26c =，即a =3c =，所以2221bc a =-=，所以C 的标准方程为2218x y -=，x ≥（2）证明：若①②⇒③：由题可设直线():81l x m y -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，01y ≠， 由直线l 与C 交于A ，B 两点，所以m -<<联立()228118x m y x y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩得()()()222828880m y m m y m ---+--=，所以()122288m m y y m -+=-，()2122888m y y m --=-，由AP BQ BP AQ ⋅=⋅，得AP AQ BP BQ =，即01120211y y y y y y --=--， 由题知1AQ BQ ≠，所以1APBP≠，即P 异于AB 的中点，所以122y y +≠，即1m ≠， 得()()()2212121201212228162222681112822128m y y y y y y m y m m y y y y m m ----+--==-+=-+=--+-+----，又()0081x m y -=-，所以0081x m y -=-，故00061811y x y =----，化简得0010x y --=，所以点Q 在直线10x y --=上，又Q 是l 上的点，所以③成立. 若①③⇒②：设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，01y ≠，则0010x y --=.由P ，A ，B ，Q 四点共线，设AP AQ λ=，BP BQ μ=，其中0λ>且1λ≠，0μ<， 则0181x x λλ-=-，0111y y λλ-=-，0281x x μμ-=-，0211y y μμ-=-， 又点A 在C 上，所以221118x y -=， 所以2020811181x x λλλλ-⎛⎫⎪--⎛⎫⎝⎭-= ⎪-⎝⎭，整理得()()222000088161480x y x y λλ-----+=， 又0010x y --=，所以()2220088480x y λ--+=，同理()2220088480x y μ--+=，所以2222004888y x λμ==-+， 又0λ>，0μ<，所以λμ=-，故AP AQ μ=-，BP BQ μ=， 所以AP BP AQBQμ==，故AP BQ BP AQ ⋅=⋅，即AP BQ BP AQ ⋅=⋅成立，所以②成立. 若②③⇒①：由题设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ''，()00,Q x y ，由AP BQ BP AQ ⋅=⋅，得AP BPAQ BQλ==， 又点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段AB 延长线上一点， 所以设AP AQ λ=，BP BQ λ=-，其中0λ>且1λ≠，则011x x x λλ'-=-，011y y y λλ'-=-，021x x x λλ'+=+，021y y y λλ'+=+，又点A 在C 上，所以221118x y -=，所以20201181x x y y λλλλ'-⎛⎫⎪'--⎛⎫⎝⎭-= ⎪-⎝⎭，整理得()()2222200008821616880x y x xy y x y λλ''''-----+--=， 同理()()2222200008821616880x y x xy y x y λλ''''--+--+--=，所以()00002161621616x x y y x x y y ''''--=---，故00880x x y y ''--=，将001x y =+代入得()0880x y y x '''-+-=， 所以8080x y x ''-=⎧⎨'-=⎩故81x y '=⎧⎨'=⎩即①()8,1P 成立.22.（1）证明：即证e 1ln xx >+恒成立，设()e 1ln xh x x =--，()1e xh x x'=-，显然()h x '在区间()0,+∞内单调递增， 又121e 202h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10h '=->，所以存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即001e x x =，00ln x x =-.当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()000001e 1ln 1xh x h x x x x =--=+-≥， 又01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0012x x +>，故()()0001110h x h x x x =+->>≥，所以e 1ln xx >+，即()()f x g x >.（2）解：由()()f x a ag x ->，得()e ln xx a a x x x ->+，0x >，当0a ≤时，e 0x x a ->，所以()e ln x x a a x x x ->+，即()e ln 1xx a x x x >++，设()ln 1t x x x x =++，则()2ln t x x '=+，且()2e 0t -'=，当()20,ex -∈时，()0t x '<，()t x 单调递减；当()2e ,x -∈+∞时，()0t x '>，()t x 单调递增，所以()()22e1e0t x t --=->≥，所以()ln 10a x x x ++≤，所以()e ln 1xx a x x x >++，即()()ln f x a a x x x ->+成立；当0a >时，令()e xu x x a =-，0x >，则()()1e 0xu x x '=+>，所以()u x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()00u a =-<，()()e 10au a a =->，所以存在唯一()00,x a '∈，使得()00u x '=，即00e 0x x a ''-=， 当()00,x x '∈时，()0u x <，由()e ln xx a a x x x ->+， 得()e ln xx a a x x x -+>+，即e ln 0xaa x a x-+-->， 设()e ln xa p x a x a x =-+--，则()2e 0x a ap x x x'=---<， 所以()p x 在区间()00,x '内单调递减， 所以()()0000e ln ln 0x ap x p x a x a a x a x ''''>=-+--=-->'，解得01e x '<. 当()0,x x '∈+∞时，()0u x >，即e 0xx a ->， 由()e ln xx a a x x x ->+，得()e ln xx a a x x x ->+，即e ln 0xa a x a x --->，设()e ln x a q x a x a x =---，则()2e x a a q x x x'=+-， 由e 0xx a ->得e 0xa x ->，所以()2e 0x a aq x x x'=+->，所以()q x 单调递增， 所以()()0000e ln ln 0x aq x q x a x a a x a x ''''>=---=-->'，解得01e x '<，由00e x a x ''=，得0111e e 01e e e ex a x -''=<=， 综上，实数a 的取值范围为11e ,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。

2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1­B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1­B 为锐二面角，故二面角A -CA 1­B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（ ）A ．4B．C ．12D．2. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 设为虚数单位，且，则（ ）A．B．C．D．4.在等差数列中，，，那么等于（ ）A ．44B ．40C ．20D．5. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是（）A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对6.方程所有根之和为（ ）A．B．C．D．7. 下列说法正确的是（ ）．A ．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，4，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，29的第70百分位数是23D ．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为188. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A ．图中a 的值为0.015B ．样本的第25百分位数约为217C ．样本平均数约为198.4D ．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为1082023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)四、解答题9. ______．10. 已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.11. 已知非零向量满足x 2+x +=0,x ∈R ．记△=2-4，下列说法正确的是___.（只填序号）①若△=0，则x 有唯一解；②若△>0，则x 有两解；③若△<0，则x 无解．12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，，且当时单调递减，则的解集为______．13. 为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛.为了解学生的竞赛成绩（竞赛成绩都在区间内）的情况，随机抽取n 名学生的成绩，并将这些成绩按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中，，三组的频率成等比数列，且成绩在的有16人.(1)求n 的值；(2)在这n 名学生中，将成绩在的学生定义为“冬奥达人”，成绩在的学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整：男生女生合计冬奥达人30非冬奥达人36合计并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由；(3)用样本估计总体，将频率视为概率，从该校学生中随机抽取2人，记被抽取的2人中“冬奥达人”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望.参考公式：，其中.临界值表：0.0500.0250.0100.0013.841 5.024 6.63510.82814. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．15. （1）已知，试比较与的大小；（2）求证：对任意，均有.16. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，若，，的面积为，求的值.。

一、单选题二、多选题三、填空题1.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）A ．2B ．-2C．D．2.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题： ①当为正三角形时，的值为；②存在点，使得；③若，则等于；④的最小值为，则等于或.其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③C ．①③D ．②③④3.如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）A．B．C．D．4. 已知的通项公式为恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．1B．C．D．5. 椭圆与(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率6. 已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m <－1或1<m <B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <27. 下列关于x 的不等式有实数解的有（ ）.A．B．C．D．8. 已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（ ）A ．为奇函数B ．在上的解析式为C ．的值域为D．2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)四、解答题9. 若复数z =为纯虚数（），则|z |=_____.10.已知集合，集合，则_______．11. 已知焦点在x 轴上的椭圆离心率为，则实数m 等于 _____．12.四面体的三条棱两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题：①不存在点，使四面体三个面是直角三角形；②存在点，使四面体是正三棱锥；③存在无数个点，使点在四面体的外接球面上；④存在点，使与垂直且相等，且.其中真命题的序号是___________.13. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.14.已知凸五边形内接于半径为1的圆，且，，，，，求证：.15. 若，解不等式．16.若，求的最大值.。

一、单选题二、多选题1. 某学校、两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两班数学兴趣小组成绩的平均值及方差①班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩②班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩③班数学兴趣小组成绩的标准差大于班成绩的标准差④班数学兴趣小组成绩的标准差大于班成绩的标准差其中正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2. 如图，在三棱锥中，，，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．3. 设和是两个集合，定义集合，且，如果，，那么A．B．C．D．4. 已知数列满足：，，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（ ）A ．2iB ．-2iC ．2D ．-27. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于A ，B 两点，若，且，则的离心率为（ ）A．B．C．D．8.将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A．B．C．D．2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题三、填空题四、解答题9. 已知为等差数列且满足，为等比数列且满足，，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．数列的公差为2C．D ．数列的公比为10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．的最大值为1B．的图象关于点对称C ．在上单调递增D ．存在，使得对任意的都成立11.已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（ ）A．B ．1C ．2D ．312.是定义在R 上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ）A ．4是函数的一个周期B．当时，C ．当时，的最大值为D ．函数在上有1012个零点13. 设复数z 满足（i 为虚数单位），则____________．14.已知函数，则_____.15. 如图，在中，，，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D点重合），若的面积为，，则实数m ＝________，的最小值为________．16. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）.17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.18. 已知函数.(1)求的单调递增区间;(2)当时,求的值域.19. 如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点､分别是､的中点，是线段上的点.（1）求证：平面平面；（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.20. 如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于轴垂直的直线与椭圆交于，与抛物线交于两点，且（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．21. 在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项的积为，且，是数列的前项和，且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.。

２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。

2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

一、单选题二、多选题1.已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3.已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104. 下列命题中的真命题是A ．若，则向量与的夹角为钝角B．若，则C ．若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D ．命题“，”的否定是“，”5.已知等差数列满足，则不可能取的值是（ ）A．B．C．D．6. 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E 和某小行星M 绕太阳S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R ，则下列选项中与行星M 的轨道半径最接近的是（参考数据：）（）A．B．C．D．7. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为A．B．C．D．8. 已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）A．B．C．D．9. 拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一个点反射，沿直线射出，经过点，则（ ）A．B．C ．延长交直线于点，则，，三点共线2022年全国新高考II卷仿真模拟试卷（二）数学试题 (2)2022年全国新高考II卷仿真模拟试卷（二）数学试题 (2)三、填空题四、解答题D ．若平分，则10. 在正方体中，，则（ ）A．B ．与平面所成角为C．当点在平面内时，D．当时，四棱锥的体积为定值11. 关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A．B．C．D ．212. 如图是函数的部分图象，则（）A．B．C．D．13. 函数，如果为奇函数，则的取值范围为__________14.已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，为坐标原点，若，则___________.16. 在中，角，，对应的边分别为，，且.(1)求角；(2)，，点在上，，求的长.17. 乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A 与事件B 是否相互独立；(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及期望．18. 已知椭圆：（）的离心率为，点是椭圆的上顶点，点在椭圆上（异于点）.（Ⅰ）若椭圆过点，求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在，.19. 如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F 在线段BC上，且，为的中点，为的中点.(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，M，N分别是，的中点．（1）求证；（2）若，求点N到平面的距离．21. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：010(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(2)设，求函数的值域；。