20XX上海春季高考数学试卷点评：助推立德树人 考查学科素养.doc

2023年上海高考数学试卷专家点评2023年上海高考数学试卷专家点评坚持课程改革方向凸显学科育人价值一、结构保持稳定，注重基础考查试卷结构稳定，题型题量与往年保持一致，注重落实“双新”理念，注重对数学基础知识、基本技能和数学思想方法的考查。

考试内容覆盖预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等主题。

全卷有适量的基础题，部分试题源于课本例题、习题，如填空题中的解不等式、数列求和等，对中学数学教学起到了积极的导向作用。

二、遵循课程标准，聚焦核心素养试卷依据课程标准所规定的学业质量水平，聚焦数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养，引导考生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。

如填空题中的二项式定理，需要考生理解二项展开式，并能联系指数函数的单调性解决问题;选择题中的三角问题，探讨正弦函数在两个关联区间上最小值的情况，考生可以借助图像进行分析，对选项进行判断;解答题中的立体几何，证明空间直线和平面的位置关系，考生可运用综合法进行推理，也可借助向量工具进行证明。

三、紧密联系生活，立足实际应用试卷结合新教材内容，联系实际生活，重视数学知识的应用，注重考查考生解决实际问题的能力，引导考生发现数学与实际生活的联系，关注数学在现实生活中的应用，激发学生应用所学知识建设未来的使命感和责任感。

试题的设计有真实的数据，也有合情的假设。

题材涉及经济发展、环境建设等，体现数学学科应用的广泛性。

如以某地区的GDP数据考查对统计中的相关概念的理解;以公园的坡道修建考查阅读理解、根据假设建立数学模型、求解模型并解决问题的能力;以学生的身高和体重数据为研究对象，考查对相关统计概念的理解和解读统计图表的数据分析素养;以汽车企业策划抽奖活动考查对有关概率知识的理解和应用等。

四、巧妙设置问题，激发创新思维试卷以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择方法和策略去解决问题。

绝密★启用前2020上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算：n →∞lim3n +5n 3n−1+5n−1=( )A. 3B. 53C. 35D. 52. “α=β”是“sin 2α+cos 2β=1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 已知椭圆x 22+y 2=1，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB =CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 以上都不正确4. 数列{a n }各项均为实数，对任意n ∈N ∗满足a n+3=a n ，且行列式∣∣∣a n a n+1a n+2a n+3∣∣∣=c 为定值，则下列选项中不可能的是( ) A. a 1=1，c =1 B. a 1=2，c =2 C. a 1=−1，c =4D. a 1=2，c =0第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 集合A ={1,3}，B ={1,2,a}，若A ⊆B ，则a =______．6. 不等式1x >3的解集是 ． 7. 函数y =tan2x 的最小正周期 ．8. 已知复数z 满足z +2z −=6+i ，则z 的实部为______． 9. 已知3sin2x =2sinx ，x ∈(0,π)，则x =______． 10. 若函数y =a ⋅3x +13x 为偶函数，则a = ．11. 已知直线l 1：x +ay =1，l 2：ax +y =1，若l 1//l 2，则l 1与l 2的距离为 ． 12. 已知二项式(2x +√x)5，则展开式中x 3的系数为______．13. 三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB =2，BC =3，AC =4，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．14. 已知A ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，a 、b ∈A ，则|a|<|b|的情况有 种． 15. 已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5五个点，满足A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(n =1,2,3)，|A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n +1(n =1,2,3)，则|A 1A 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______． 16. 已知f(x)=√x −1，其反函数为f −1(x)，若f −1(x)−a =f(x +a)有实数根，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。

2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合 A 1,2,3 ,集合 B 3,4,则A B .2. 不等式 x 1 3 的解集为。

3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则z 。

4. 若 cos 1，则 sin 。

3 25. 若关于 x 、y的方程组x 2 y 43x ay 无解，则实数 a 。

66. 若等差数列a n的前5项的和为25 ，则a1 a5= 。

7. 若 P 、Q是圆x2 y2 2x 4 y 4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。

8. 已知数列a n的通项公式 a n 3n，则 lima1a2 a3 a n 。

n a n2 n9. 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。

若 xx10. 设椭圆 x 2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。

11. 设 a1, a2 , , a6为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。

12. 设 a ，b R ，函数 f ( x) x a1,2 上有两个不同的零点，则 f 1 的取值b 在区间x范围为。

二、选择题(A) 0, (B) 1, (C) ,0 (D) ,114. 设a R ，“ a 0 ”是“1”的（）。

a(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。

(A) 三角形(B) 长方形(C) 对角线不相等的菱形(D) 六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则A1 A3 A1 P 的取值范围为（）A6 A5 P(A) 0, 8 6 2 (B) 2 2, 8 6 2A7(C) 8 6 2,2 2 (D) 8 6 2, 8 6 2 A8三、解答题A1 A2 17. 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2, AA1 3 .（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小 .A4 A318. 设 a 函数2x aR , f (x) .2x 1（ 1）求a的值，使得 f ( x) 为奇函数；a 2对任意 x R 成立，求a的取值范围. （ 2）若f x219.某景区欲建造两条圆形观景步道M 1、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆M1与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD 60 ，圆 M 1和圆 M 2的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道M 1与 M 2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元。

2024年上海市春季高考数学试卷2024.01一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分) 1.函数f (x )=log 2x 的定义域为__________ 2.直线x -y +1=0的倾斜角为__________ 3.若复数z 满足1iz+=i(i 为虚数单位)，则z =__________ 4.在(x -1)6的二项展开式中，x 4项的系数为__________5.在∆ABC 中，若BC =2，∠A =45°，∠B =30°，则AC =__________6.在等差数列{a n }中，a n =n +c ，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 7<0，则c 的取值范围是__________7.已知实数ab =1，则4a 2+9b 2的最小值为__________8.在△ABC 中，AB =5，AC =7，BC =6，若以B 、C 为焦点，且过A 点的双曲线的离心率=__________ 9.已知f (x )=x 2，g (x )=(),0(),0f x x f x x ⎧⎨--⎩≥＜，则g (x )≤2-x 的解集为__________10.在棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，|AA 1|=3，|BD |=4，且1AB ▪BC-1AD ▪DC=5，则异面直线AA 1与BD 的夹角为__________11.已知正方形展区ABCD 边长为1.2 km ，E 距AB 、AD 的距离都为0.2 km ，F 距BC 、CD 的距离都为0.4 km ，若有一个圆形跑道经过E 、F 两点，且与AD 只有一个交点，则圆形跑道的周长为__________12.已知a 1=2，a 2=4，a 3=8，a 4=16，若对任意实数b 1、b 2、b 3、b 4均满足1414{}{}i j i j a a i j b b i j =+≤<≤+≤<≤，则有序数组{b 1,b 2,b 3,b 4}有个__________二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分) 13.已知a 、b 、c ∈R ，b >c ，则下列不等式恒成立的是( ) A.a +b 2>a +c 2B.a 2+b >a 2+cC.ab 2>ac 2D.a 2b >a 2c14.空间中有两个不同的平面α、β，两条不同的直线m 、n ，则下列说法正确的是( ) A.若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n B.若α⊥B ，m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊥βC.若α//B ，m //α，n //β，则m //nD.若α//B ，m //α，m //n ，则n //β15.有四个礼品盒.已知前三个礼品盒中分别只装了一支钢笔、一本书以及一个笔袋，第四个盒子中钢笔、书、笔袋都有.现随机抽取一个盒子，事件A 为抽中的盒子里面有钢笔，事件B 为抽中的盒子里面有书,事件C 为抽中的盒子里面有笔袋则下面正确的选项是( ) A.A 与B 互斥 B.A 与B 相互独立 C.A 与B ∪C 互斥D.A 与B ∩C 独立16.若函数y =f (x )(x ∈(n ,n +1)，n ∈N )满足f (x +l )=f ’(x )，则称函数y =f (x )为延展函数，已知延展函数y =g (x )和函数y =h (x )，满足当x ∈(0,1)时，g (x )=e x ，h (x )=x 10，给定以下两个命题: ①存在函数y =kx +b (k 、b ∈R ，k ≠0)与y =g (x )有无穷多个交点2②存在函数v =kx +b (k 、b ∈R ，k ≠0)与v =h (x )有无穷多个交点则正确的选项是( ) A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17.已知f (x )=in 3(s x πω+。

2023上海春考数学试卷点评
2023上海春季考试数学试卷可谓是一大考验考生智力的一堂综合性考试，试卷共有四部分，包括立体几何，函数，概率与统计以及解释题，考查考生在解答习题，理解与应用等
方面能力的实践综合素质。

试卷具有较强的实际性，考题包含的数学知识涉及到数学的各个领域，例如概率与统计、立体几何、函数等，根据考题的难度，很好地考查了考生在基础数学知识与数学思维方法
运用能力。

几何题目设置灵活，有利于考生深入体会立体几何有关的知识，以及偏微分方
程等高等数学基础知识，极具挑战性。

客观题命题多样，同时广泛考查了函数的定义，概念，基本性质，基本运算，斜率原则等
考查内容，深入考查了考生的数学思维能力，要求考生在把握概念上做到举一反三。

解答题多选择函数解析方法，大部分都是多项式解析，不同函数的区别也比较明显，考察
考生能够分析并正确把握函数的性质，有利于考生运用函数建立数学模型，找出解决方案，展示自己的专业竞争力。

综上所述，2023上海春考数学试卷的设计充分考察了考生的基础数学知识，基本性质，
基本运算，数学思维方法以及对数学知识的深入理解等方面的能力，不只是一套关于数学
的考试，更是一场考验考生智力的一堂综合性考试，能有效地发掘及培养学生的数学分析
能力，提高学生的创新能力和数学素养。

章金读上海市届春季高考数学试卷专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）、《挑战高考压轴题•高中数学》（新一版2020）《数学初高中衔接•讲与练》、《数学初高中衔接•练与考》（2021）。

近年来，他先后在北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地为师生授课。

本文重在推数学课堂教学内容，兼顾问题解决教学。

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2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析上海春季高考数学试卷答案真题解析2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析数学试卷和答案正在整理和发布当中，考生可收藏本页。

稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。

（二）统一文化考试1。

统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。

语文、数学每科目总分150分。

外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。

统一文化考试成绩总分为450分。

根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。

其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。

2。

统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。

统一文化考试均在标准化考场进行。

3。

统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。

市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。

考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。

（三）志愿填报1。

考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。

其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。

上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．26．已知函数，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．已知数列{a n }是公差为2的等差数列．（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为： ==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解： =1， =1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上， 则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1能求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g（2）方法一：，，由，则在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．7月25日21 / 21。

2020年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间 120 分钟．试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴 在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．若集合{}1,3A =，{}1,2,B a =，若A B ⊆，则a =________. 2．不等式13x>的解集是________. 3．函数tan 2y x =的最小正周期为________. 4. 已知复数26z z i +=+，则z 的实部为________. 5．已知()3sin 2sin ,0,x x x π=∈，则x =________. 6．函数133xx y a =⋅+为偶函数，则a =________. 7．两条直线1:1l x ay +=，212:1l ax y l l +=，若∥，则12l l 与的距离为________.8．二项式(52x ，则3x 的系数为________.【答案】1. 3 2. 1|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3. 2π4. 25. 1arccos 36. 17.8. 109．在△ABC 中，D 是BC 的中点，2,3,4AB BC AC ===，则AD AB =________. 【答案】194【解析】法一：因为2,3,4AB BC AC ===，所以22224311cos 22416A +-==⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 因此，AD AB =()22111119224222164AB AC AB AB AB AC +⎛⎫⋅=+⋅=+⋅⋅=⎪⎝⎭. 法二：因为2,3,4AB BC AC ===，所以2222341cos 2234B +-==-⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以12AD AB BD AB BC =+=+， 因此，AD AB =22111192232244AB AB BC ⎛⎫+⋅=+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭. 法三：在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 平方后，2211131(422416)24164AB AC AD ⎛⎫+==+⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 在△ABD中，32,,2AB BD AD ===所以3194cos BAD +-∠==，因此，AD AB=19cos 224AD AB BAD ⋅⋅∠=⨯=.10．已知{}3,2,1,0,1,2,3,,A a b A =---∈，则满足a b <的情况有________种. 【答案】18 【解析】枚举法11．已知12345,,,,A A A A A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，1121n n n n A A A A n +++⋅=+，其中123n =，，，则15A A 的最小值为________.【答案【解析】设120A A a =>，因为12230A A A A ⋅=12232A A A A ⋅=，所以232A A a=，且1223A A A A ⊥； 同理，3432a A A =，4583A A a=，且2334A A A A ⊥，3445A A A A ⊥. 要使得15A A 最小，则需如图排布（将A 1置于原点处）此时，532823a A a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即5223a A a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 因此215A A =222224223493a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当a =时取得等号.12. 已知函数()f x =()f x 的反函数为1()f x -，若方程1()()f x a f x a --=+有实数根，则实数a 的取值范围为________.【答案】3[+4∞，）【解析】因为1()y fx a -=-与()y f x a =+互为反函数，所以“方程1()()fx a f x a --=+有实数根”意味着“函数1()y f x a -=-的图像与函数()y f x a =+的图像有公共点”，互为反函数的图像关于直线y=x 对称，问题转化为：函数()y f x a =+的图像与直线y=x 有公共点，求a 的范围.即方程()f x a x +=有实数根，x =等价于方程21a x x =-+在01x x a⎧⎨-⎩≥≥上有解.当12a >时，112a -<，21131224a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭≥，所以34a ≥；当12a ≤时， ()21(1)1a a a ---+≥，所以2(1)0a -≤，无解； 综上，34a ≥.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．1135lim 35n nn n n --→∞++的值为 ( ) Ａ．3 Ｂ．53 Ｃ．35Ｄ．5 【答案】D14．“αβ=”是22sincos 1αβ+=的 ( )Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 【答案】A15．已知椭圆221,2x y +=垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，垂直于y 轴的直线交椭圆于C D ，两点，且AB CD =，则两直线交点P 所在的曲线是 ( )Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 【答案】B【解析】方法一：依据图形对称性，选项D设(),()A s t C m n ，，，则()P s n ，， 因为AB CD =，所以t m =，又22221(1)21(2)2s t m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，将（1）—（2）х2得22212s n -=， 因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.方法二：设sin )sin )A C ααββ，，，，则sin )P αβ，, 因为AB CD =，所以sin αβ=，平方后，22sin 2cos αβ=，即221cos22sin αβ-=-，设()P x y ，，则sin x y αβ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以cos sin y αβ==⎩代入上式，因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.16．对于数列{}n a 有3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=，下列选项中不可能的是的 ( )Ａ．11,1a c == Ｂ．12,2a c == Ｃ．11,4a c =-= Ｄ．12,0a c == 【答案】B 【解析】因为123n n n n a a c a a +++=，所以312n n n n a a a a c +++-=，又3n n a a +=，所以212n n n a a a c ++-=， ①同理2123n n n a a a c +++-=，即212n n n a a a c ++-=， ②②-①，22121()0n n n n n a a a a a +++-+-=， 因此，10n n a a +-=或120n n n a a a ++++=，当10n n a a +-=时，数列{}n a 为常数列，D 正确；当120n n n a a a ++++=时，12n n n a a a +++=-，且212n n n a a a c ++=-，于是12,n n a a ++是方程2n x a x ++20n a c -=的两个根， 由∆≥0，得2340n a c -<，经检验选项A ，C 符合.三、解答题（本大题74分）本大题共有５题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）已知底面ABCD 为正方形的四棱锥P ABCD -,底面边长为3，PD ABCD ⊥面，若AD 与BP 夹角为60．（1）求PD 的长度；（2）求四棱锥P ABCD -的体积． 【解析】（1） 因为AD BC ∥，所以PBC ∠为异面直线AD 与BP 所成角（或其补角）由AD 与BP 夹角为60，所以PBC ∠=60．PD ABCD PD BC BC PCD BC PC BC ABCD ABCD CD BC ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊂⎬⎭⎪⇒⊥⎭面面面底面为正方形，在直角△PDC 中，PBC ∠=60，=3BC ，所以=6BP ， 在直角△PDB 中， =6BP，BDPD （2） 四棱锥P ABCD -的体积为11==33P ABCD ABCD V PD S -⋅⋅⋅18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =；（1）若已知{}10=70n S a ，成等差数列，求{}n a 的通项公式 （2）若{}41=8n a a ，成等比数列，求>100n n S a 时n 的最小值. 【解析】（1） 已知{}n a 成等差数列，所以1101010()==702a a S +，因为11a =，所以1013a =，公差10141013a a d -==-，因此，{}n a 的通项公式为141(1)3n n a a n d -=+-=；（2） 若{}n a 成等比数列，首项11a =，41=8a ，所以公比1=2q ，因此，11=2n n a -，112=112nn S --，代入>100n nS a ，化简得2101n >， 因为672=642=128，，所以满足>100n n S a 时n 的最小值为7.19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(),0B x ，现要建设另一座垃圾投放点()2,0t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离；（1）若60,t =求()()()606060108095f f f ，，，并写出()60f x 的函数解析式；（2）定义：将()t f x 与坐标轴围成的面积估计为扔垃圾的便利程度，问：垃圾投放点2ω要建立在何处才能比建在中点时更加便利？ 【解析】（1）()()()60606010=60105080806020951209525f f f -==-==-=，，，()60f x 的函数解析式为()60|60|[090]=120(90120]x x f x x x -∈⎧⎨-∈⎩，，，，；（2）由(1)知()60f x 与坐标轴围成的面积为2011=60+6030=903022S ⨯⨯⨯⨯， 而()t f x 的函数解析式为()||[060]2=120(60120]2t t x t x f x t t x ⎧-∈+⎪⎪⎨⎪-∈+⎪⎩，，，，，()t f x 与坐标轴围成的面积为22111203=+(120)()=60+60602224t S t t t t -⨯⨯-⨯⨯-⨯，据题意，当0S S <时，垃圾投放点2ω比在中点时更加便利，即2360+1203090304t t ⨯-⨯<⨯，解得2060t <<. 因此，垃圾投放点2ω要建立在()20,0和()60,0两点之间，才能比建在中点时更加便利.20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）已知抛物线2y x =上动点()00,M x y 过M 分别作两条直线交抛物线于,P Q 两点，交直线x t =交于,A B 两点.（1）若点M M 到抛物线焦点的距离； （2）若1,(1,1),Q(1,1)t P =--，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 若点M M 的横坐标为2，依据抛物线的定义，点M 到抛物线焦点的距离等于到准线的距离， 因为抛物线2y x =的准线方程为1=4x -，所以点M 到抛物线焦点的距离为19244+=； （2） 设2(,)M a a ,直线MP 方程为：11(1)1y x a -=-+，令1x =-，得=A y 11a a -+； 直线MQ 方程为：11(1)1y x a +=--，令1x =-，得=B y 11a a +--， 因此A B y y ⋅=11a a -⨯+1=11a a +⎛⎫-- ⎪-⎝⎭为常数； （3） 设2(,)M a a ,(,)A t s ，1(,)B t s直线MA 方程为：2()a sy s x t a t--=--， 因为2y x =，代入上式整理得22220a s sa aty y a t a t---+=--，所以=P M y y ⋅2sa at a s--，即=P y sa ta s --；同理=Q y 11ata st s as a s--=--； 因此P Q y y ⋅=sa t a s -⨯-1a st as --=22222(1)+(1)sa s ta st sa s a s-+-++， 假设存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，记常数为k ，则22222(1)+=(1)sa s ta st k sa s a s-+-++，整理得，222(1)(1)()()0s k a s k t a s k t --+-+-=对于变量a 恒成立，当且仅当22(1)=0(1)()0()0s k s k t s k t -⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得1k t ==，因此假设存在1t =，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数1.21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知A R ⊆,对于定义域为D 的函数，任意,t A x D ∈∈,恒有()(),f x t f x +≥则称函数()f x 具有性质A .（1）若{}=1A -，判断()=,()2f x x g x x -=是否具有性质A ；（2）已知()=01A ，，[)1()=+,,f x x x a x∈+∞，若()f x 具有性质A ，求正实数a 的范围； （3）{}=2A m -，，m 为整数，()f x 是定义在整数集上的函数，若仅当()f x 为常值函数时，()f x 具有性质A ，求m 的所有可能值.【解析】（1）当{}=1A -，即1t =-时，若()=f x x -，则(1)=1f x x --+x -≥，恒有()(),f x t f x +≥所以()f x 具有性质A ；若()2g x x =，则(1)=22g x x --2x <，所以()g x 不具有性质A. （2）若[)1()=+,,f x x x a x∈+∞具有性质A ， 不等式[)11,,x t x x a x t x+++∈+∞+≥，()01t ∈，恒成立， 不等式[)210,,x tx x a +-∈+∞≥，()01t ∈，恒成立，（视作关于x 的二次函数） 记函数[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，，其图像为对称轴1=,022t x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭的抛物线， 因为0a >，[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，上单调递增，最小值为2()1h a a at =+-，所以只需210at a +-≥在()01t ∈，恒成立，（视作关于t 的一次函数） 只需当0t =时，210a -≥即可，所以1a ≥.（3） 征解。