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静电场一、基本要求 1、掌握描述静电场的两个物理量——电场强度和电势的概念，理解电场强度叠加原理和电势叠加原理，熟练掌握用微元法求解一些简单问题中的电场强度。
2、理解静电场的两个重要定理——高斯定理和环路定理，熟练掌握利用高斯定理求解电场强度的条件和方法。
3、掌握利用电势叠加原理和电势的定义式求解带电体的电势。
4、理解导体的静电平衡条件，了解电介质的极化现象及其微观解释，理解各向同性介质中的D 和E 之间的关系和区别。
理解电介质中的高斯定理和安培环路定理。
5、理解电容的定义，并能计算简单几何形状的电容器的电容。
6、了解电场能量密度和电场能量的概念，能用能量密度计算电场能量。
二、主要内容 1、库伦定律：123014q q rF r πε=2、电场强度：0F E q =电场强度的叠加原理：123E E E E =+++… 电荷连续分布的带电体的场强：3014dq E dE r r πε==⎰⎰（1）线状分布：2014ldl rE r rλπε=⎰（2）面状分布：2014sds rE r rσπε=⎰⎰（3）体状分布：2014VdV rE r r ρπε=⎰⎰⎰3、静电场的高斯定理：101nii SE dS q ε=⋅=∑⎰⎰4、静电场的环路定理：0LE dl ⋅=⎰5、电势：P PU E dl ∞=⋅⎰电势的叠加原理：123U U U U =+++… 电荷连续分布的带电体的电势：014dqU dU r πε==⎰⎰（1）线状分布：014ldlU rλπε=⎰（2）面状分布：014sdsU r σπε=⎰⎰（3）体状分布：014VdVE rρπε=⎰⎰⎰6、导体的静电平衡条件电场表述：（1）导体内部场强处处为零；（2）导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直，且0/e E σε=。
电势表述：（1）导体是等势体；（2）导体表面是等势面。
7、电介质中的高斯定理：1nii SD dS q =⋅=∑⎰⎰ 各向同性线性电介质：0rD E E εεε==8、电容器的电容：Q C U =特例：平行板电容器的电容：SC dε= 电容器储能：22111222Q W QU CU C === 9、电场的能量密度：2012e r E ωεε=电场能量：2012e e r V VW dV E dV ωεε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 三、习题及解答1．在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是( D )A.通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发的D.由高斯定理求得的场强是空间所有电荷共同激发的2、半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： （ B ）3、在真空中的A 、B 两平行金属板，相距为d ，板面积为S （S→∞），各带电＋q 和－q ， 两板间的作用力f 大小为( C )4、在静电场中，作一闭合曲面S ，若有 则S 面内必定（D ）A ．既无自由电荷，也无束缚电荷B ．没有自由电荷C ．自由电荷和束缚电荷的代数和为零D ．自由电荷的代数和为零5．关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？（C ）A ．起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断B ．任何两条电位移线互相平行C ．起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交D ．电位移线只出现在有电介质的空间6、一带电体可作为点电荷处理的条件是（C ）（A ）电荷必须呈球形分布。
第五章 真空中的静电场一、思考讨论题1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明： （1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？ （3）电势相等处，场强是否一定相等？（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：（1）不一定。
比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。
（2）不一定。
匀强电场，场强处处相等，而电势不等。
（3）不一定。
点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。
（4）都不可以求。
2、已知某一高斯面所包围的空间内0=∑q ，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？解：由高斯定理∑⎰=⋅=q S d E S1εψ ，0=∑q 仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。
3、已知某高斯面上处处E =0，可否肯定高斯面内0=∑q ，可否肯定高斯面处处无电荷？解：可以肯定。
高斯面上处处E =0，0=⋅⎰S d E S，由高斯定理必有0=∑q 。
4、如图1.1所示，真空中有A 、B 两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d （d 很小），面积均为S ，带电分别为+Q 和－Q 。
关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：2024dQ f πε=； 又有人说，根据f QE =，应有：SQ f 02ε=。
他们说得对吗？你认为f 应等于多少？解：（1）2024dQ f πε=是错误的，因为库仑定律只适用于点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。
（2）SQ f 02ε=也错误。
因为用sqE 0ε=计算的场强是两带电平板产生的合场强，而Eq F =中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。
电荷与图1.1自身产生的场强作用力恒为零。
正确答案是：Sq q S qEdq F 02022εε=⋅==⎰ 5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？解：不能。
练习题7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?解: 这是一个条件极值问题。
设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为()241r qq Q F -=πε由极值条件0d d =q F，得Q q 21=又因为202221d d r q F πε-=<0这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。
7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。
设平衡时两线间夹角2θ很小。
（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：31022⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mg l q x πε式中x 为两球平衡时的距离。
(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少?(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。
小球平衡时，有FT =θsinmg T =θcos由此二式可得mgF =θtan因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到2024x q F πε=可解得31022⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mg l q x πε（2）由上式解出C 10382282130-⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=.l mgx q πε （3） 由于tq q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 31310=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ 带入数据解得-13s m 10401⋅⨯=-.υ合力的大小为2222201222412cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅===d x x d x e F F F x πεθ()23222043241dx xe +=πε令0d d =x F ，即有()()0482341825222232202=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为22d x ±=7-4 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。
第四章 静电场本章提要1．电荷的基本性质两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。
2．库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力12122204kq q q q r r==F r r πε 其中922910(N m /C )k =⨯⋅122-1-2018.8510(C N m )4k -==⨯⋅επ3．电场强度q =F E 0q 为静止电荷。
由10102204kq q q q r r==F r r πε 得112204kq q r r ==E r r πε4．场强的计算（1）场强叠加原理电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。
i =∑E E（2）高斯定理电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ∆=∆S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ∆的电场强度通量定义为e cos E S ∆ψ=∆=⋅∆v S θ取积分可得电场中有限大的曲面的电通量ψd e sS =⋅⎰⎰E Ò高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。
即i 01d sq=∑⎰⎰E S g Ò内ε5．典型静电场（1）均匀带电球面0=E （球面内） 204q r πε=E r （球面外）（2）均匀带电球体304q R πε=E r （球体内） 204q r πε=E r （球体外）（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为02E r λπε=（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为2E σε=6．电偶极矩电偶极子在电场中受到的力矩=⨯M P E思考题4-1 020 4qq r ==πεr 与FE E 两式有什么区别与联系。
答：公式q FE =是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。
而公式0204q rπε=E r是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。
第9章 静电场9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F 的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg F =,由于θ很小，故lxmgmg mg x q F 2sin tg 41220=≈==θθπε ∴3/1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛mg l q πε9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E，则有210141AC r q E πε=14299m V 108.103.0108.1109--⋅⨯=⨯⨯⨯=方向沿AC 方向 220241BC r q E πε=14299m V 107.204.0108.1109--⋅⨯=⨯⨯⨯= 方向沿CB 方向∴ C 点的合场强E的大小为：24242221)107.2()108.1(⨯+⨯=+=E E E 14m V 1024.3-⋅⨯=设E 的方向与CB 的夹角为α，则有︒===--7.337.28.11211tg E E tg α 9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为201d 41d RlE λπε=，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相互抵消。
习题9-1图习题9-3图习题9-2图0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰2312sin d 412sin d 412026260R R R R lE y πελθθλπεθλπεππ方向沿y 轴正向。
9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。
设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 20d 41d x xE P λπε=方向沿x 轴正向各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ⎰⎰-+-==11)(20d 41d d L d P P xxE E πε 132289110m V 1041.2102811081103109114----⋅⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=L d d πελ方向沿x 轴方向。
第10单元 静电场（二）第七章 静电场和恒定磁场的性质(二)电势序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ D ]1．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： （A ）电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 （B ）电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 （C ）电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负 （D ）电势值的正负取决于电势零点的选取[ B ]2. 在边长为a 的正方体中心处放置一电量为Q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则 在一个侧面的中心处的电势为： (A)a Q 04πε (B)a Q 02πε(C)aQ0πε (D)aQ022πε[ C ]3. 静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷0q 置于该点时具有的电势能。
(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能。
(C)单位正电荷置于该点时具有的电势能。
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功。
[ C ]4. 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的 (A)在电场中，场强为零的点，电势必为零。
(B)在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。
(C)在电势不变的空间，场强处处为零。
(D)在场强不变的空间，电势处处为零。
[ B ]5．真空中一半径为R 的球面均匀带电Q ，在球心O 处有一带电量为q 的点电荷，如图所示，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离为r 的P 点处的电势为 ：（A ）r q 04πε （B ）)(410RQ r q +πε（C ）rQ q 04πε+ （D ）)(410R q Q r q -+πε[ C ]6．在带电量为-Q 的点电荷A 的静电场中，将另一带电量为q 的点电荷B 从a 点移到b 点， a 、b 两点距离点电荷A 的距离分别为r 1 和r 2 ，如图所示，则移动过程中电场力做的功为 （A ）)11(4210r r Q --πε （B ）)11(4210r r qQ -πε（C ）)11(4210r r qQ --πε （D ）)(4120r r qQ--πε二 填空题1.静电场中某点的电势，其数值等于_____单位正电荷置于该点的电势能_b)(-Q 2r 1r PROqrQ或__单位正电荷从该点移到电势零点处电场力作的功。
一.重要概念及公式 1.电流 2.电动势3磁场及磁感应强度的定义4.毕奥-萨伐尔定律5.无限长载流直导线周围的磁场分布6.圆电流及圆弧电流圆心处的磁场二.典型例题1.电流元l Id 在空间r处产生的磁场为=B d ，该表达式被称为毕奥—萨伐尔定律。
2.用两根彼此平行的半无限长直导线1L ，2L ，把半径为R 的均匀导体圆环联到电源上，如图1所示。
已知直线上的电流为I ，求圆环中心O 点的磁感应强度。
三.课后习题1. 设E 为某电源内部的静电场强度，K E为等效的非静电场场强，ε为电源电动势，则下面公式中错误的是：【 】 （A ）∫⋅+=-ld E（经电源内）ε （B ）∫⋅+=-ld EK（经电源内）ε （C ）∫⋅=LK l d E ε （D ）∫⋅+=LK K l d )E E (ε2.两个载有相等电流I 的线圈，一个处于水平位置，一个处于竖直位置，如图所示，在圆心O 处磁感强度的大小为【 】（A ）0 （B ）R I20µ （C ）R I 220µ （D ）RI0µ 3.边长为L 的正方形线圈，分别以图示两种方式通以电流I （其中cd ab 、与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为【 】（A ）0021==B B ， （B ）LIB B πµ021220==，（C ）022201==B LIB ，πµ （D ） LIB L I B πµπµ02012222==， 4..一密绕的圆形线圈，直径是m 4.0，线圈中通有电流A 5.2时，线圈中心处的T B 41026.1−×=，线圈的匝数是 。
5. 求如下各图所示的载流导线在O 点产生的磁感强度B。
（1） （2）6. 如图所示，一条无限长直导线在一处弯曲成14圆弧，圆弧半径为a ，圆心在O 点处，直线的延长线均通过圆心。
已知导线中的电流强度为I ，求O 点的磁感应强度（需指出方向）。
