下载文档原格式
第八章：专题拓展8.2：实验操作型（解析）一：题型解读（一）：题型特点：常见的形式有裁剪与拼接，折叠与对称，平移与旋转，作图与测量等，重点考查学生的实践能力和创新意识。
（二）：命题趋势：在动手操作的过程中，让学生感受到数学学习的乐趣和价值，经历“数学化”和“在创造”的过程不断提高学生的创新意识和综合能力，一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题，解答题较多。
二：方法清单题型一：裁剪、拼接、作图五种基本作图分割与拼接问题通常先给出一个图形，然后让你用直线或弧线将图形分成特殊形式或面积相等的几部分，解决这类问题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解。
例1：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D。
求作∠ABC的平分线，分别交AD、AC于P、Q两点，并证明AP＝AQ。
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）例2：下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。
已知：直线l 及直线l 外一点P 。
求作：直线PQ ，使得PQ ∥l作法：如图① 在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；② 在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；③ 作直线PQ 。
所以直线PQ 就是所求作的直线。
根据小东设计的尺规作图过程。
1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）2) 完成下面的证明。
证明：∵AB ＝ AP ，CB ＝ CQ ，∴PQ ∥l （ 中位线平行 ）（填推理的依据）。
题型二：折叠与对称图形的折叠属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件。
另外，折叠还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质。
该类题型综合性较强，但是难度不大。
例1：如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，并且，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4，将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△DE B '（点B '在四边形ADEC 内），连接B A '，则B A '的长为题型三：平移与旋转以图形的平移或旋转为背景，多与相似三角形的判定和性质结合。
第八章：专题拓展
8.1：观察归纳型
一：题型解读
（一）：题型特点：
根据已有的图形与数字提供的信息或解题模式，通过观察、实验、归纳、类比等直观地发现事物的共同特征，或者发现变化的趋势，据此去猜想一般性的结论，并对所作出的猜想进行验证。
考查的形式分为三类：
✧数式的规律探索问题；
✧几何图形中的规律探索问题；
✧点的坐标的规律探索问题。
（二）：命题趋势：
主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在联系，考查学生的逻辑推理能力，试题形式多样。
二：方法清单
题型一：数式的规律探索题
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般思路是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
解数字或数式规律探索题的方法：
1)标序号；
2)找规律，分别比较各部分与序号数（1、2、3、4、……、n）之间的关系，把其蕴
含的规律用含序号数的式子表示出来；
3)根据找出的规律表示出第n个数式。
几个常用的数字归纳：
✧正整数：1、2、3、4、5、6、……、第n个数为n；
✧正偶数：2、4、6、8、10、12、……、第n个数为2n；
✧正奇数：1、3、5、7、9、11、……、第n个数为2n－1；
✧1、4、9、16、25、36、……、第n个数为n²；
✧ 1、8、27、64、125、……、第n 个数为n ³；
✧ 1×2、2×3、3×4、4×5、5×6、……、第n 个数式为n(n ＋1)；
✧ 正整数和：1＋2＋3＋4＋……＋n ＝()()12
1≥+n n n ； ✧ 正奇数和：1＋3＋5＋7＋……＋2n ＝()12≥n n ；
✧ 正偶数和：2＋4＋6＋8＋……＋2n ＝()()11≥+n n n 。
例1：把已知0>a ，a
S 11=，112--=S S ，231S S =，134--=S S ，451S S =，……（即当n 为大于1的奇数时，11-=
n n S S ；当n 为大于1的偶数时，11--=-n n S S ），按此规律，=2018S 。
（用含a 的代数式表示）
例2：观察以下等式：
第1个等式：120112011=⨯++
； 第2个等式：131213121=⨯++； 第3个等式：14
2314231=⨯++； 第4个等式：15
3415341=⨯++； 第5个等式：
164516451=⨯++； ……
按照以上规律，解决下列问题：
1) 写出第6个等式： ；
2) 写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明。
题型二：几何图形中的规律探索题
图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用
相应的式子描述图形的变化所反映的规律。
例1：下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，……，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )
A. 73
B. 81
C. 91
D. 109
例2：把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑦个图形中三角形的个数为( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
题型三：点的坐标变化规律探索题
图形再直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决此类题时应先分析图形的变
化规律，求出一些点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例1：如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△11C AB 的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将△11C AB 绕点1B 顺时针旋转到△211C B A 的位置，点2C 在x 轴上，将△211C B A 绕点2C 顺时针旋转到△222C B A 的位置，点2A 在x 轴上，……，依次进行下去。
若点A(2
3，0)，B(0，2)，则点2016B 的坐标为 。
例2：如图，在平面直角坐标系中，点A(3，1)在射线OM 上，点B(3，3)在射线ON 上，以AB 为直角边作Rt △1ABA ，以1BA 为直角边作第二个Rt △11B BA ，以11B A 边为直角边作第三个Rt △211A B A ，……，依此规律，得到Rt △201820182017B A B 的纵坐标为 。
三：习题
（一）：选择题
1. 按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6
a -，……，第n 个单项式
是( ) A. n a B. n a - C. ()n n a 11+- D. ()n n a 1-
2. 如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形。
第1幅
图中“•”的个数为1a ，第2幅图中“•”的个数为2a ，第3幅图中“•”的个数为3a ，……，以此类推，则19
3211111a a a a ++++ 的值为(
) A. 2120 B. 8461 C. 840589 D. 760
431
（二）：填空题
3. 一列数1a ，2a ，3a ，……满足条件：2
11=a ，()为整数，且n n a a n n 2111≥-=-，则=2016a 。
4. 在求8
765432333333331++++++++的值时，张红发现：从第二个加数起每一个
加数都是前一个加数的3倍，于是她假设： 8765432333333331++++++++=S ，①
然后在①式的两边都乘3，得
987654323333333333++++++++=S ，②
②－①得1339-=-S S ，即1329
-=S ，所以2139-=S 。
得到答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出20164321m m m m m ++++++ 的值？如能求出，其正确答案是 。
5. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有
阴影，依此规律，第n 个图案有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）。
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝﹣x 的图
象分别为直线1l 、2l ，过点(1，0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，
过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1
l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，……，依此进
行下去，则点2017A 的坐标为 。
7. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形111C B OA 的两边在坐标轴上，以它的对
角线1OB 为边作正方形221C B OB ，再以正方形221C B OB 的对角线2OB 为边作正方形332C B OB ，……，以此类推，则正方形201620162015C B OB 的顶点2016B 的坐标是 。
