北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案

2020北京西城初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．5【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB的长是解题的关键．2．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cos50°C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x ﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为（）A．2 B．8 C．D．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tan A＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．5．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解：AC＝10．①当∠A＝30°时，BC＝AC tan30°＝10×≈5.7．②当∠A＝45°时，BC＝AC tan45°＝10．∴5.7＜h＜10，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义求得相应角度时树的高度是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sin A＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD＝sin A是解题关键．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，则sin A＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tan A的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．3【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．12．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）A．（）米B．（a）米C．（1.5+）米D．（1.5+a）米【分析】过小莉的视点作树的垂线，通过构建直角三角形来求这棵树的高度．【解答】解：如图．过A作CD的垂线，设垂足为E点，则AE＝BC＝a，AB＝CE＝1.5米．Rt△ADE中，AE＝a，∠DAE＝30°，∴DE＝AE•tan30°＝a（米），∴CD＝CE+DE＝（a+1.5）米．故选：C．【点评】此题考查了仰角的定义及通过解直角三角形解决实际问题的能力．构造直角三角形是关键．二．填空题（共3小题）13．如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝10 ．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共18小题）16．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．19．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB＝AC﹣BC，∴，解得，x＝．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．22．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．23．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝3×+（）2﹣2×＝+﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【分析】根据等角对等边得出PB＝AB＝400米，再利用三角函数求出PC的长即可．【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，∴∠PAC＝∠APB．∴PB＝AB＝400米．在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，∴PC＝PB•sin∠PBC＝400×＝200＝346.4≈346（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可．【解答】解：原式＝2×+3×﹣2×﹣＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键．26．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．【分析】设河宽AB为x米．分别解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x．∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝x，∴CD＝BD﹣BC＝x﹣x，∴x﹣x＝30解得x＝15+15≈41．答：河宽AB约为41米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．27．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．28．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如图）在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．∴．在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．∴．答：B处距离灯塔P有海里．（2）海轮到达B处没有触礁的危险．理由如下：∵，而，∴．∴OB＞50．∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．29．计算：．【分析】将cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝代入原式，即可得出答案．【解答】解：∵cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝，∴原式＝+×﹣2×＝+3﹣1＝2+．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角：30°、45°、60°、90°的三角函数值，难度一般．30．计算：．【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行逐一计算即可．【解答】解：，＝，＝，＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及实数的运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．31．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，D为CB延长线上一点，且BD＝2AB．求AD 的长．【分析】先根据∠ABC的正弦值求得BC的长，再根据BD＝2AB，以及勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，∴，BC＝1．∵D为CB延长线上一点，BD＝2AB，∴BD＝4，CD＝5．∴．【点评】本题考查了解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．32．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度．（取1.414，取1.732）【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，又因为BC＝BD+DC，所以分别求出BD，CD就可以．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝50（m）．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴（m）．∴BC＝BD+CD＝＝（m）．答：这栋楼约高136.6m．【点评】此题主要考查了仰角俯角问题，以及利用三角函数关系解直角三角形，题目难度不大，是中考中常考题型．33．计算：﹣tan45°+sin245°【分析】分别把cos60°＝sin30°＝，tan45°＝1，sin45°＝代入原式计算即可．【解答】解：﹣tan45°+sin245°＝（4分）＝．（5分）【点评】此题比较简单，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．。

2022北京西城初三（上）期末数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2分）二次函数22(3)1y x =−+的图象的顶点坐标是( ) A ．(2,1)−B ．(2,1)C ．(3,1)−D ．(3,1)3．（2分）如图，点A 、B 、C 在O 上，OAB ∆为等边三角形，则ACB ∠的度数是( )A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒4．（2分）将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为2()x a b +=的形式，下列结果中正确的是( ) A ．2(4)6x −=B ．2(8)6x −=C ．2(4)6x −=−D ．2(8)54x −=5．（2分）如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为( )A ．4B ．8C ．D ．6．（2分）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x ，那么根据题意可以列方程为( ) A ．2.5(1) 3.2x += B ．2.5(12) 3.2x +=C ．22.5(1) 3.2x +=D ．22.5(1) 3.2x −=7．（2分）下列说法中，正确的是( )A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D ．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．（2分）抛物线2y ax bx c =++的顶点为(2,)A m ，且经过点(5,0)B ，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①0ac <；②0a b c −+>；③90m a +=；④若此抛物线经过点(,)C t n ，则4t +一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,7)−关于原点的对称点坐标为 ． 10．（2分）关于x 的一元二次方程240x mx ++=有一个根为1，则m 的值为 ．11．（2分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160︒的圆弧形窗帘轨道（如图2)需用此材料800mm π，则此圆弧所在圆的半径为 mm ．12．（2分）写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式： ．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(4)22y x =−−+可以看作是抛物线2122y x =+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线21(4)22y x =−−+的过程： ．15．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转(090)αα︒<<︒得到ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠= .（用含α的式子表示）16．（2分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是ABC ∆内的一个动点，满足222.AC AD CD −=若AB =，4BC =，则BD 长的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解方程：2220x x −−=．18．（5分）问题：如图，AB 是O 的直径，点C 在O 内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC ∆中AB 边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长AC 交O 于点D ，延长BC 交O 于点E ； ②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ； ③连接FC 并延长交AB 于点H ． 所以线段CH 即为ABC ∆中AB 边上的高． （1）根据小芸的作法，补全图形； （2）完成下面的证明． 证明：AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，ADB AEB ∴∠=∠= ︒．( )（填推理的依据） AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴， 是ABC ∆的两条高线． AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC ∆的高所在直线． CH ∴是ABC ∆中AB 边上的高．19．（6分）已知二次函数243y x x =++． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象；（3）若点1(0,)A y 和2(,)B m y 都在此函数的图象上，且12y y <，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．20．（5分）如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF DE =，连接FE ． （1）求证：AF AE =；（2）若30DAE ∠=︒，2DE =，直接写出AEF ∆的面积．21．（6分）已知关于x的一元二次方程2(5)620−+++=．x k x k（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于1−，求k的取值范围．22．（5分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数2−，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数5−，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a b>，<，小明胜；若a b=，为平局；若a b小刚胜．（1）若2m=−，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．（5分）如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作⊥于点F．O的切线交AB的延长线于点E，EF AC（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD=，2DE=，求AC的长．24．（5分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：)m之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐m与行进的水平距离x（单位：)的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．（6分）如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，D是AC的中点，DE BC⊥交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若10BC=，求BD的长．AB=，826．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()8y a x h a =−−的顶点为A ，702h <<． （1）若1a =，①点A 到x 轴的距离为 ；②求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A 到x 轴的距离为4，此抛物线与直线21y x =−+的两个交点分别为1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，其中12x x <，若点(D D x ，)D y 在此抛物线上，当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<，求a 的值和h 的取值范围．27．（7分）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明； ②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE ∆绕点C 逆时针旋转(090)αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 在O 上，点P 在O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交O 于点B ，若AP kAB =，则称点P 是点A 关于O 的k 倍特征点． （1）如图，点A 的坐标为(1,0)．①若点P 的坐标为1(2−，0)，则点P 是点A 关于O 的 倍特征点；②在11(0,)2C ，21(2C ，0)，31(2C ，1)2−这三个点中，点 是点A 关于O 的12倍特征点；③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒．点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数1(01)=−+<<的图象上任意一点M，在O上都存在点N，使得点M是y x x点N关于O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C ．【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．【分析】二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠的顶点坐标是(,)h k ．【解答】解：根据二次函数的顶点式方程22(3)1y x =−+知，该函数的顶点坐标是：(3,1)． 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =−+中的h 、k 所表示的意义．3．【分析】先根据等边三角形的性质得到60AOB ∠=︒，然后根据圆周角定理求ACB ∠的度数． 【解答】解：OAB ∆为等边三角形， 60AOB ∴∠=︒，1302ACB AOB ∴∠=∠=︒． 故选：D ．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．4．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【解答】解：2810x x −=−， 28166x x −+=，2(4)6x −=．故选：A ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．【分析】连接BD ．由题意，BCD ∆是等腰直角三角形，故可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD ．由题意，BCD ∆是等腰直角三角形， 8BD =，45CBD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BC ∴= 故选：D ．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6．【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力2017=年全国生活垃圾无害化处理能力(1⨯+年平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：22.5(1) 3.2x +=． 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可． 【解答】解：A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A 不符合题意；B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B 符合题意；C ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C 不符合题意；D ．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D 不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 8．【分析】由抛物线开口和抛物线与y 轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点(5,0)可判断②，由抛物线对称轴为直线2x =可得4b a =−，由0a b c −+=可得5c a =−，从而判断③， 点C 对称点横坐标为4t −可判断④． 【解答】解：抛物线开口向下， 0a ∴<，抛物线与y 轴交点在x 轴上方， 0c ∴>，0ac ∴<，①正确．抛物线顶点为(2,)A m ， ∴抛物线对称轴为直线2x =，抛物线过点(5,0)，∴由对称性可得抛物线经过点(1,0)−，0a b c ∴−+=，②错误，22ba−=， 4b a ∴=−， 50a c ∴+=， 5c a ∴=−(2,)m 为抛物线顶点， 42a b c m ∴++=，485a a a m ∴−−=，即90a m +=，③正确，点(,)C t n 在抛物线上，∴点C 关于对称轴对称点(4,)t n −在抛物线上， 4t ∴−为2ax bx c n ++=的一个根，④错误．故选：B ．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，点(4,7)−关于原点的对称点坐标为(4,7)−， 故答案为：(4,7)−．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数10．【分析】把1x =代入方程240x mx ++=得140m ++=，然后解关于m 的方程． 【解答】解：把1x =代入方程240x mx ++=得140m ++=， 解得5m =−． 故答案为：5−．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．【分析】利用弧长的计算公式即可求解． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为R mm ， 由弧长公式得：160800180Rππ=， 解得：900R =，即此圆弧所在圆的半径为900mm ， 故答案为：900．【点评】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长公式是解题的关键．12．【分析】满足开口向下且对称轴在y 轴左侧可以判断a 、b 的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式． 【解答】解：开口向下， 0a ∴<，对称轴在y 轴左侧，02b a∴−<， 0b ∴<，故抛物线的解析式可以为2y x x =−−，（答案不唯一），故答案为：2y x x =−−，（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13．【分析】根据图形得出A 、B 、C 的坐标，再连接AB ，作线段AB 和线段BC 的垂直平分线MN 、EF ，两线交于Q ，则Q 是圆弧的圆心，最后求出点Q 的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A 点的坐标是(0,2)，B 点的坐标是(1,3)，C 点的坐标是(3,3)，连接AB ，作线段AB 和线段BC 的垂直平分线MN 、EF ，两线交于Q ，则Q 是圆弧的圆心，如图，Q ∴点的坐标是(2,1)，故答案为：(2,1)．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q 的位置是解此题的关键．14．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答． 【解答】解：抛物线2122y x =+的顶点为(0,2)，抛物线21(4)22y x =−−+的顶点为(4,2)， ∴将抛物线2122y x =+绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线21(4)22y x =−−+． 故答案为：将抛物线2122y x =+绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线21(4)22y x =−−+．（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．15．【分析】根据旋转的性质得到AD AB =，ADE B ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到ADB B ∠=∠，求得1902ADE ADB α∠=∠=︒−． 【解答】解：由旋转的性质可知，AD AB =，ADE B ∠=∠，ADB B ∴∠=∠，BAD α∠=，11(180)9022ADE ADB αα∴∠=∠=︒−=︒−， 故答案为：1902α︒−． 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．16．【分析】由222.AC AD CD −=得90ADC ∠=︒，取点H 为AC 的中点，可知DH 和BH 都是定值，从而解决问题．【解答】解：取AC 的中点H ，连接HD ，HB ，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得6AC ===，222AC AD CD −=．90ADC ∴∠=︒，点H 为AC 的中点，3DH CH ∴==，5BH ∴===，BD BH DH −，BD ∴的最小值为532−=，故答案为：2．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，做辅助线构造三角形是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2−的一半的平方．【解答】解：移项，得222x x −=，配方，得22121x x −+=+，即2(1)3x −=，开方，得1x −=．解得11x =+21x =【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如20x px q ++=型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如20ax bx c ++=型，方程两边同时除以二次项系数，即化成20x px q ++=，然后配方．18．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．【解答】解：（1）如图，线段CH 即为所求．（2）AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，90ADB AEB ∴∠=∠=︒．（直径所对的圆周角是直角），AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴，BD 是ABC ∆的两条高线． AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC ∆的高所在直线．CH ∴是ABC ∆中AB 边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点评】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2|2|m <+，求出m 的取值范围即可．【解答】解：（1）2243(2)1y x x x =++=+−，∴对称轴为直线2x =−，顶点(2,1)−−；（2）如图：（3）点1(0,)A y 和2(,)B m y 都在此函数的图象上，且12y y <，2|2|m ∴<+，0m ∴>或4m <−．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．20．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒，求得90ABF ∠=︒，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，得到AEF ∆是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到24AE DE ==，于是得到结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒，90ABF ∴∠=︒，在ABF ∆与ADE ∆中，90AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABF ADE SAS ∴∆≅∆，AF AE ∴=；（2）解：由（1）知，ABF ADE ∆≅∆，BAF DAE ∴∠=∠，90BAF BAE DAE BAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，90FAE ∴∠=︒，AEF ∴∆是等腰直角三角形，在Rt ADE ∆中，90D ∠=︒，30DAE ∠=︒，2DE =，24AE DE ∴==，AEF ∴∆的面积14482=⨯⨯=． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得ABF ADE ∆≅∆是解题的关键．21．【分析】（1）计算根的判别式得到△2(1)0k =+，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到12x =，23x k =+，则31k +<−，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：△2(5)4(62)k k =+−+221k k =++2(1)0k =+，∴此方程总有两个实数根；（2）5(1)2k k x +±+=， 12x ∴=，23x k =+，此方程恰有一个根小于1−，31k ∴+<−，解得4k <−，即k 的取值范围为4k <−．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =−有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．22．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有2种，a b >的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有3种，a b >的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率=小刚获胜的概率即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有2种，a b >的结果有3种， ∴小明获胜的概率为2163=，小刚获胜的概率为3162=； （2）m 为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a b <的结果有3种，a b >的结果有3种，∴小明获胜的概率=小刚获胜的概率3162==． 【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据切线的性质得到AC CD ⊥，DE CD ⊥，得到//AC DE ，90ACD ∠=︒，根据平行线的判定定理得到//EF CD ，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB AC =，2BE DE ==，根据矩形的性质得到2CF DE ==，EF CD ==股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：AC 、DE 是O 的切线，CD 是的直径，AC CD ∴⊥，DE CD ⊥，//AC DE ∴，90ACD ∠=︒，EF AC ⊥，//EF CD ∴，∴四边形CDEF 是矩形；（2）解：AB ，AC ，DE 是O 的切线，AB AC ∴=，2BE DE ==，由（1）知，四边形CDEF 是矩形，2CF DE ∴==，EF CD ==EF AC ⊥，90AFE ∴∠=︒，222AE AF EF ∴=+，222(2)(2)AC AC ∴+=−+，解得5AC =，故AC 的长为5．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．24．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为2(3) 3.3y a x =−+，把(4.5,3.05)B 代入求得抛物线的解析式为21(3) 3.39y x =−−+，当0x =时，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）篮球出手位置A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ，∴点B 表示篮筐，其坐标为(4.5,3.05)，篮球行进的最高点C 的坐标为(3,3.3)；故答案为：(4.5,3.05)，(3,3.3)；（2）设抛物线的解析式为2(3) 3.3y a x =−+，把(4.5,3.05)B 代入得，23.05(4.53) 3.3a =−+， 解得19a =−， ∴抛物线的解析式为21(3) 3.39y x =−−+， 当0x =时， 2.3y =，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．25．【分析】（1）要证明DE 是O 的切线，所以连接OD ，求出90ODE ∠=︒即可，根据已知DE BC ⊥，可得90DEC ∠=︒，所以只要证明//OD BE 即可解答；（2）由（1）可得BD 平分ABC ∠，所以想到过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，进而证明ADF CDE ∆≅∆，可得AF CE =，易证BDF BDE ∆≅∆，可得BF BE =，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD ，DE BC ⊥，90DEC ∴∠=︒， D 是AC 的中点，∴AD CD =，ABD CBD ∴∠=∠，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，//OD BC ∴，18090ODE DEC ∴∠=︒−∠=︒，OD DE ∴⊥， OD 是O 的半径，DE ∴是O 的切线；（2）解：过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由（1）得：ABD CBD ∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，四边形ABCD 内接于O ，180A DCB ∴∠+∠=︒，180DCB DCE ∠+∠=︒，A DCE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()ADF CDE AAS ∴∆≅∆，AF EC ∴=，90DFB DEC ∠=∠=︒，BD BD =，()BDF BDE AAS ∴∆≅∆，BF BE ∴=，设AF EC x ==，则8BE BF x ==+，10AB =，10AF BF ∴+=，810x x ∴++=，1x ∴=，9BF ∴=， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ABD DBF ∠=∠，BFD BDA ∴∆∆∽，2BD BF BA ∴=⋅，290BD ∴=，BD ∴=【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）①把1a =代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令0y =，求出1x 与2x ，进而求解．（2）由当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<可得当12x x x <<时，y 随x 增大而减小，从而可得点A 与点C 重合或点A 在点C 右侧，进而求解．【解答】解：（1）①把1a =代入2()8y a x h a =−−得2()8y x h =−−，∴抛物线顶点坐标为(,8)h −，∴点A 到x 轴的距离为|8|8−=，故答案为：8．②把0y =代入2()8y x h =−−得20()8x h =−−，解得1x h =+，2x h =−，12(x x h h −=+−=∴抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为（2）2()8y a x h a =−−，∴点A 坐标为(,8)h a −，|8|4a ∴−=， 解得12a =或12a =−， 当12a =时，如图，当抛物线开口向上，12a ∴=，21()42y x h =−−，∴点A 坐标为(,4)h −，把x h =代入21y x =−+得21y h =−+，当214h −+−时，解得52h ， 702h <<，∴5722h <．当12a =−时，21()42y x h =−−+，令2121()42x x h −+=−−+，整理得22(24)60x h x h −++−=，∴△22(24)4(6)0h h =−−−−>，整理得52h <−，与题干不符，舍去；综上，h 的取值范围为5722h <． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．27．【分析】（1）①通过证明ACE BCD ∆≅∆，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定FCB ∆和FCD ∆是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF 至点G ，使FG FC =，连接BG ，则得：DCF BGF ∆≅∆，再利用题意证明ACE CBG ∆≅∆，结论可得．【解答】解：（1）①CAE CBD ∠=∠．理由：在ACE ∆和BCD ∆中，90AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆．CAE CBD ∴∠=∠．②证明：90ACB ∠=︒，90ACH ECH ∴∠+∠=︒．CF AE ⊥，90ACH CAH ∴∠+∠=︒．CAH ECH ∴∠=∠．由①知：CAE CBD ∠=∠，ECH CBD ∴∠=∠．CF BF ∴=． 90DCB ∠=︒，90DCF ECF ∴∠+∠=︒，90CDF CBD ∠+∠=︒．CDF DCF ∴∠=∠，CF DF ∴=．2BD CF ∴=．由①知：ACE BCD ∆≅∆，AE BD ∴=．2AE CF ∴=．解：（2）若F 是BD 的中点，2AE CF =仍然成立．理由：延长CF 至点G ，使FG FC=，连接BG ，如图，F ∴是BD 的中点，FD FB ∴=．在DCF ∆和BGF ∆中，DF BF DFC BFG CF GF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCF BGF SAS ∴∆≅∆．CD BG ∴=，DCF G ∠=∠．//CD BG ∴．180DCB GBC ∴∠+∠=︒．将图1中的CDE ∆绕点C 逆时针旋转α，ACD BCE α∴∠=∠=．9090DCB ACD α∴∠=︒−∠=︒−，90ACE ACB BCE α∠=∠+∠=︒+．180180(90)90CBG BCD αα∴∠=︒−∠=︒−︒−=︒+．ACE CBG ∴∠=∠．CD CE =，CE BG ∴=．在ACE ∆和CBG ∆中，AC CB ACE CBG CE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE CBG SAS ∴∆≅∆．AE CG ∴=．FG FC =，2CG CF ∴=．2AE CF ∴=．∴若F 是BD 的中点，2AE CF =仍然成立．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，延长CF 至点G ，使FG FC =，连接BG ，构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．28．【分析】（1）①由题意知13122AP OA OP =+=+=，2AB =，则34AP k AB ==；②由勾股定理得1AC ，假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，则22AE OA =>=，不符合题意，同理判断2C 、3C 即可； ③当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，根据点E 点A 关于O 的12倍特征点，得12AE AB =，由含30︒的直角三角形的性质可得OE ，AE 的长，当点D 在y 轴负半轴同理可得答案；（2）设直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E ，F ，由1111MN k AM k k==−+−−，可知k 越大，1k −的值越小，则111k −+−的值越小，得AM BP =，MN NP =时，k 的值最小，即A 与E 重合，N 与F 重合时，k 的值最小，从而解决问题．【解答】解：（1）①(1,0)A ，1(,0)2P −， 13122AP OA OP ∴=+=+=， (1,0)B −， 2AB ∴=，AP kAB =，34AP k AB ∴==， 故答案为：34； ②11(0,)2C ，(1,0)A ， 11,12OC OA ∴==，1AC ∴==， 假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，∴112AC AE =，22AE OA ∴=>=，不符合题意，∴点1C 不是点A 关于O 的12倍特征点，同理可求出32AC =， 假设点3C 是点A 关于O 的12倍特征点， ∴312AC AF =， 3C ∴为AF 的中点，(0,1)F ∴−， F 在圆上，∴点3C 是点A 关于O 的12倍特征点， 21(,0)2C ， 212AC ∴=， ∴214AC AB =， ∴点2C 不是点A 关于O 的12倍特征点， 故答案为：3C ；③如图，当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，点E 点A 关于O 的12倍特征点， ∴12AE AB =，E ∴是AB 的中点，OE AB ∴⊥，60EAO ∠=︒，30EOA ∴∠=︒，1122AE OA ∴==，12EF OE =，2OE ==，EF ∴=，3(4E ∴，当点D 在y 轴负半轴上时，同理可得3(,4E ，综上：3(4E 或3(,4； （2）设直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E ，F ，MN NP ∴，AM BP ，(1)AM AN MN k AN =−=−， ∴1111MN k AM k k==−+−−， k 越大，1k −的值越小，111k ∴−+−的值越小， ∴当MN AN的值越大，k 的值越小， AM BP ∴=，MN NP =时，k 的值最小，A ∴与E 重合，N 与F 重合时，k 的值最小，C ，D 是直线1y x =−+与x 轴，y 轴的交点，(1,0)C ∴，(0,1)D ， O 到C 和D 的距离都是1，1OC OD ∴==，CD ∴==OG CD ⊥，2CG DG ∴==，2OG ∴==，12FG OF OG ∴=−=−，12224FG k EF −∴===， k ∴， 当点N 在E 点，A 在F 点时，k． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的相关知识，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共i6分，每小题2分）i .如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°，如果 AC = 3, AB = 5,那么 sinB 等于（） 系是（ ）圆心角为60 °,且半径为i2的扇形的面积等于（ ）5.如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的弦，如果/ ACD = 34°，那么/ BAD 等于（） A . 34° B . 46° C . 56° D . 66°6. 如果函数y =X 2+4X -m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）A . m <4B . m v 4C . m >- 4D . m >- 47. 如图，点P 在厶ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ ABP s^ACB , 那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）C .2. 点 A (1, y i ) ,B （3, y 2）是反比例函数y= 图象上的两点，那么y i , y 2的大小关3. C . y i v y 2 A . y i > y 2 抛物线y =（X - 4） 2- 5的顶点坐标和开口方向分别是（B . y i = y D •不能确定A . ( 4,- 5),开口向上 B. (4,- 5),开口向下C . (- 4,- 5),开口向上D . (- 4,- 5),开口向下4. A . 48 n B . 24 n C . 4n D . 2nA •/ AB P —C B •/ APB — ABCC . ABJAP?ACD -8. 如图，抛物线y = ax 2+bx+3 (a ^0)的对称轴为直线x = 1,如果关于x 的方程ax 2+bx9. _____________________________________ 抛物线y = x 2+3与y 轴的交点坐标为 10 .如图，在△ ABC 中，D , E 两点分别在AB , AC 边上，DE // BC ,如果話r , AC =11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P (x , y )与点A (2, 2)在同一个反比例函数的图象上，PC 丄y 轴于点C , PD 丄x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积 等于 _______ .C . 116分，每小题2分)4,那么该方程的另一个根为( 、填空题(本题共12 .如图，直线y1 = kx+n (0)与抛物线y2= ax2+bx+c (a^0)分别交于A (- 1, 0),B (2,- 3)两点，那么当y1>y2时，x的取值范围是13. 如图，O O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120° 那么圆心O到弦AB的距离等于 ______14. 2019-20209月热播的专题片《辉煌中国--圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E,最长的斜拉索CE长577m,记CE与大桥主梁所夹的锐角/ CED为a，那么用CE的长和a的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD二 ________（m）图1苏通长江大桥图2苏通谟江大挤主桥示意蚩15. 如图，抛物线y= ax2+bx+c （a^0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE// AB,并与抛物线的对称轴交于点巳现有下列结论：① a>0；② b>0；③ 4a+2b+c v0；④ AD+CE = 4.其中416. 如图，O O的半径为3, A，P两点在O O上，点B在O O内，tan/ APB= , AB丄AP.如果OB丄OP,那么OB的长为 ________三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17. 计算：2sin30° +cos?45°- tan60°.18. 如图，AB// CD , AC 与BD 的交点为E,Z ABE=/ ACB.(1)求证：△ ABE s^ ACB；(2)如果AB= 6, AE= 4,求AC, CD 的长.19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C i：y=- x2+2x.(1) 补全表格：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标y=- x2+2x(1, 1) (0, 0)(2)将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1, C2,并直接回答: 抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍.20. 在△ ABC 中，AB=AC = 2,Z BAC = 45° .将△ ABC 绕点A 逆时针旋转口度(0v av 180)得到△ ADE, B, C两点的对应点分别为点D, E, BD , CE所在直线交于点F .(1)当厶ABC旋转到图1位置时，/ CAD = ________ (用a的代数式表示)，/ BFC的度数为_______ ° ；(2)当a45时，在图2中画出△ ADE,并求此时点A到直线BE的距离.21 •运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t( s)满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示.t (s) 00.51 1.52…h (m) 08.751518.7520…(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2) 求小球飞行3s时的高度；(3) 问：小球的飞行高度能否达到22m?请说明理由.22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=[(心0)与直线旳=一」；的交点为A (a, -1)，B(2, b)两点，双曲线上一点P的横坐标为1,直线PA, PB与x轴的交点分别为点M， N,连接AN.(1)直接写出a, k的值；(2)求证：PM = PN, PM丄PN.23. 如图，线段BC长为13,以C为顶点，CB为一边的/ a满足C0S a二一.锐角△ ABC的顶点A落在/ a的另一边I上，且满足sinA=,.求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边•（图中提供的单位长度供补全图形使用）24 •如图，AB是半圆的直径，过圆心0作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在0D 上，/ DCE = / B.（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD = 10，tanB=「，求半圆的半径.225. 已知抛物线G：y=x - 2ax+a- 1 （a为常数）.（1）当a = 3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P （p, q）.①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①② 可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在___________ 的图象上.A. —次函数B.反比例函数C.二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H : y=x2- 2ax+N （a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： ____________________ （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y= kx+b（ k, b为常数，k M 0）中，k= _______ ，b = _____ .226. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y= ax+bx+c (a^0)经过A (- 1, 0),且顶点坐标为B(0, 1).(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设F (t, 0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M i.①抛物线M1的顶点B1的坐标为________ ;②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.A 0-- ■ ------ ■ * X—27. (7分)如图1,在Rt△ AOB 中，/ AOB= 90°,/ OAB= 30°，点C 在线段OB 上,OC= 2BC,AO边上的一点D满足/ OCD = 30° •将△ OCD绕点O逆时针旋转口度(90。

2024北京西城初三（上）期末数 学注意事项1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将考试材料一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 若抛物线23y x x c =++经过点()0,2，则c 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2−2. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球4. 下列关于函数21y x =−的结论中，正确的是（ ）A. y 随x 的增大而减小B. 当0x >时，y 随x 的增大而增大C. 当0x <时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 5. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角α的度数为（ ）A. 60°B. 70°C. 72°D. 75°6. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为x ，则可列出关于x 的方程为（ ）A. ()3.612 5.2x +=B. ()5.212 3.6x −=C. ()23.61 5.2x +=D. ()25.21 3.6x −= 7. 如图，AB 为O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，BE BC =．若40CAB ∠=︒，则BAD ∠的大小为（ ）A. 45︒B. 50︒C. 55︒D. 65︒8. 如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠经过点()1,0−．下面有四个结论：①0a >；②20a b +<；③420a b c ++>；④关于x 的不等式()20ax b c x +−>的解集为10x −<<．其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点()3−2，关于原点的对称点坐标为 ___________． 10. 一元二次方程2250x −=的解为__________．11. 已知O 的半径为6cm ，点P 在O 外，则OP ___6cm （填“>”、“ <”或“=” )12. 若关于x 的一元二次方程260x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为______．13. 写出一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式，y =________．14. 如图，四边形ABCD 内接于O ，110A ∠=︒，则C ∠=________°，依据是________．15. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为l ，“直边长”为d ，“下圆弧”的长为x ，则x =________（用含l ，d 的式子表示）．16. 如图，在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =．把CB 边放在直尺l 上，让三角尺在桌面上沿直尺l 按顺时针方向无滑动地滚动，直到CB 边再一次落到直尺l 上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒ ，记为(),150B ︒．有以下三个结论：①第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为2π；②第二次滚动可记为(),120A ︒；③点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ．上述结论中，所有正确结论的序号是________．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2630x x −+=．18. 已知二次函数2245y x x =−+．（1）将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式；（2）抛物线2245y x x =−+可以由抛物线22y x =经过平移得到，请写出一种平移方式．19. 两个质地均匀的正方体M 和N ，正方体M 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．（1）掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是多少；（2）如果先掷一次正方体M ，再掷一次正方体N 得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日；先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M 和正方体N ，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．20. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −．（1）c =________；（2）画出函数22y x x c =−+的图像；（3）当22x −<≤时，结合函数图像直接写出y 的取值范围．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m −+++=．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ．120ACB ∠=︒，6AB =，求O 的半径．23. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别为()2,5A −，()3,0B −，()1,2C ．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到A B C '''，点A ，B ，C 的对应点分别为A '，B '，C '．（1）画出旋转后的A B C '''；（2）直接写出点C '的坐标；（3）记线段B C ''与线段BC 的交点为G ，直接写出BGC '∠的大小．24. 如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．25. 如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M 和下方拱线N 的最高点均为点C ，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N 的跨径AB 长为14m ，高HC 为6.125m ．HC 右侧的四根立柱在拱线N 上的端点D ，E ，F ，B 的相关数据如下表所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）选取拱线M 上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M 所在的圆；（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N 上的点，求出拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N 上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上．（1）这个抛物线的对称轴为直线________．（2）若132y y y >≥，求t 的取值范围；（3）若无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，直接写出a 的取值范围． 27. 在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明； （3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S −，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −中，有可能是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项c 就是抛物线23y x x c =++与y 轴的交点()0,2，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线23y x x c =++经过点()0,2，∴c 的值为2，故选：A ．2. 【答案】A【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键．【详解】解：A 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A ．3. 【答案】B【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键．【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则A 、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；B 、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；C 、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；D 、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；故选：B ．4. 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y 轴，∴当0x <时，y 随x 增大而减小，A 、C 选项说法错误，当0x >时，y 随x 增大而增大，B 选项说法正确，D 选项说法错误，故选：B ．5. 【答案】C【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为360︒，由将圆五等分得到的图中角α，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为360︒是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得360725α︒==︒， 故答案为：C ．6. 【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．【详解】解：设降尘量的年平均下降率为x ，则 ()25.21 3.6x −=，故选：D ．7. 【答案】D【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到50B ∠=︒，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到65ECB CEB ∠=∠=︒，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：AB 为O90ACB ∴∠=︒，40CAB ∠=︒，904050B ∴∠=︒−︒=︒，BE BC =，18050652ECB CEB ︒−︒∴∠=∠==︒， BD BD =， 65BAD BCE ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．8. 【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由2x =时，0y >，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数1y cx c =+的图像位置关系可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，则①错误．②∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且与x 轴的交点一个为1,−另外一个在2到3之间， ∴12b a−<， ∵a<0∴2b a <−，∴20a b +<，则②正确．③由图象可知，当2x =时，0y >，∴420a b c ++>，则③正确．④()20ax b c x +−>，可变式为2ax bx c cx c ++>+， 令1y cx c =+，∵一次函数1y cx c =+，过点()0,c 和()1,0−，则一次函数1y cx c =+与抛物线2y ax bx c =++图象如图，2ax bx c cx c ++>+的解集为10x −<<．则④正确．故选：D ．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】()2,3−【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：点()3−2，关于原点的对称点坐标为()2,3−， 故答案为：()2,3−．10. 【答案】125,5x x =−=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】2250x −=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =−=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 【答案】>【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．【详解】解：O 的半径为6cm ， 点P 在O 外，6cm OP ∴>．故答案为：>．【点睛】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系．12. 【答案】9【分析】根据一元二次方程根的判别式，Δ0=，构建方程求解．【详解】解：∵260x x k −+=有两个相等的实数根，2(6)413640k k ∆=−−⨯⨯=−=，∴9k =．故答案为：9【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式定理是解题的关键．13. 【答案】22x x +（答案不唯一）【分析】由开口方向可确定a 的符号，由过原点可确定常数项，则可求得答案．【详解】解：设抛物线解析式为2y ax bx c =++(0)a ≠，∵抛物线开口向上，∴0a >，故可取1a =，∵抛物线过原点，∴0c ，∵对称轴没有限制，∴可取2b =，∴一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式可为22y x x =+．故答案为：22x x +．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向由a 的符号决定是解题的关键．14. 【答案】 ①. 70 ②. 圆内接四边形对角互补【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴18070C A ∠=︒−∠=︒， 依据是圆内接四边形对角互补，故答案为：70，圆内接四边形对角互补． 15. 【答案】π12l d −【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出l ，d ，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：3601524BOC ︒∴∠==︒， 15π2π36012l OC OC ∴=⨯⨯=；()()15π2π36012x OC d OC d =⨯⨯−=−， ∴πππ121212x OC d l d =−=−， 故答案为：π12l d −． 16. 【答案】②③【分析】由勾股定理及含30︒直角三角形性质得到相应边及角度的大小，再利用弧长公式即可验证①错误；读懂题意，理解(),150B ︒的含义即可验证②错误；利用旋转性质及弧长公式可求出点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动的路径长，再由实数大小的比较即可确定③正确；从而得到答案． 【详解】解：如图所示：在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，2,AB BC ∴===∴第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为1502ππ2π360BC ⨯⨯=≠，①错误；根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒，记为(),150B ︒可知(),150B ︒的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度，∴三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点C 顺时针旋转了120︒，记为(),120C ︒，如图所示：∴第二次滚动可记为(),120A ︒，②正确；∴在滚动全程中，点A 运动的路径长为15090132π2ππ3603606BA AC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点B 运动的路径长为120902π2π360360AB BC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点C 运动的路径长为15012042π2ππ3603606BC AC ⨯⨯+⨯⨯=；()13850−+=−=<，136∴<； ()()4840−+==<，4866∴<； 综上所述，点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ，③正确； 故答案为：②③．【点睛】本题考查旋转，涉及圆的性质、旋转性质、勾股定理、含30︒直角三角形性质、弧长公式和实数比较大小等知识，掌握旋转性质及弧长公式是解决问题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】13x =，23x = 【分析】根据公式法解方程即可．【详解】解：∵()2641324∆=−−⨯⨯=，∴632x ±===±，∴13x =，23x =∴此方程的解为：13x =+，23x =【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 18.【答案】（1）()2213y x =−+（2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可）【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．（1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式；（2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：2245y x x =−+()2225x x =−+ ()222115x x =−+−+()222125x x ⎡⎤=−+−+⎣⎦()2213x =−+，∴将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式为()2213y x =−+；【小问2详解】解：由（1）中抛物线2245y x x =−+可化为()2213y x =−+，∴抛物线22y x =经过平移得到()2213y x =−+可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 19. 【答案】（1）12 （2）1936【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，正确的列表格是解题的关键．（1）由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果，然后求概率即可；（2）根据题意列表格，然后求概率即可． 【小问1详解】解：由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果， ∵3162=， ∴掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是12； 【小问2详解】 解：由题意列表如下：∴得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率为1936． 20. 【答案】（1）3−（2）作图见解析 （3）45y −≤<【分析】（1）根据题意，将()1,0A −代入表达式解方程即可得到答案；（2）由（1）可知2=23y x x −−，利用描点法作出图形即可得到答案；（3）由（2）中图像，作出图形，利用图像即可得到当22x −<≤时，y 的取值范围． 【小问1详解】解：抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −，()()20121c ∴=−−⨯−+，解得3c =−，故答案为：3−； 【小问2详解】解：由（1）知2=23y x x −−， 列表：描点、连线，画函数2y x x c =−+图像，如图所示：；【小问3详解】解：题中给出22x −<≤，过()2,0−作2x =−，过()2,0作2x =，如图所示：2=23y x x −−的开口向上，对称轴为1x =，在图像上，当21x −≤≤时，图像是下降的，即y 随x 增大而减小，当1x =时，4y =−；当2x =−时，5y =；在图像上，当12x ≤≤时，图像是上升的，即y 随x 增大而增大，当1x =时，4y =−；当2x =时，=3y −；∴当22x −<≤时，结合函数图像，再由上述计算可知：当1x =时，min 4y =−；当2x =−时，max 5y =；∴当22x −<≤时，结合函数图像得到y 的取值范围是45y −≤<．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、描点法作二次函数图像和利用二次函数图形与性质求y 的取值范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 21. 【答案】（1）见详解 （2）12−或1 【分析】（1）根据24b ac ∆=−即可证明；（2）根据公式法即可得()()122222m m x x ++==，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解； 【小问1详解】解：根据题意，()()222Δ42410b ac m m m ⎡⎤=−=−+−+=≥⎣⎦，∴无论m 取何值，方程总有两个实数根. 【小问2详解】由题意，根据公式法得，()22m x +±==，∴()()122222m m xx +++==，∴()()22222m m +++=⋅，解得：12112m m =−=，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．22. 【答案】【分析】连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示，根据圆内接四边形性质及圆周角定理得到120AOB ∠=︒，再由垂径定理、含30︒的直角三角形性质及勾股定理得到O 的半径．【详解】解：连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示：∴四边形AEBC 是圆的内接四边形，120ACB ∠=︒，60E ∴∠=︒，AB AB =，2120AOB E ∴∠=∠=︒，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，6AB =，∴由垂径定理可知3AD BD ==，1602∠=∠=︒AOD AOB ，90ADO ∠=︒， 在Rt AOD 中，30OAD ∠=︒，设OD x =，则2OA x =，由勾股定理可知3AD ===，解得x =∴O 的半径为．【点睛】本题考查求圆的半径，涉及圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理、含30︒的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 23. 【答案】（1）作图见解析 （2）()2,1C '− （3）90BGC '∠=︒【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出ABC 三个顶点绕点O 顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到A B C '''； （2）由（1）中作出的A B C '''即可得到答案；（3）过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到()HL BDC B D C '''≌，进而DBC D B C '''∠=∠，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：作图如下：∴A B C '''即为所求；【小问2详解】解：由（1）中图形，如图所示：()2,1C ∴'−；【小问3详解】解：在（1）的图形中，过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示：,,90BC B C CD C D BDC B D C '''''''==∠=∠=︒，()HL BDC B D C ''∴'≌，DBC D B C '''∴∠=∠， BEO B EG '∠=∠，在Rt BEO △中，90BEO DBC ∠+∠=︒，则90B EG D B C ''''∠+∠=︒， 在B EG '中，由三角形内角和定理可知90EGB '∠=︒，90BGC '∴∠=︒．24. 【答案】（1）详见解析；（2 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得1902BAC ABC ∠=︒−∠，再由已知及切线的判定定理可得结论；（2）由（1）知90OAF ∠=︒，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D 为AC 的中点，利用中位线定理可得出OD BC ，可证出AOF ABC ∠=∠，得出AOF EBA ∽，利用相似比得出7.2,9.6BE AE ==，最后利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 ∵AB BC =， ∴1902BAC C ABC ∠=∠=︒−∠， ∵12FAD ABC ∠=∠， ∴11909022BAF BAC FAD ABC ABC ∠=∠+∠=∠+∠∠=︒， ∵AB 为O 直径， ∴AF 是O 的切线；【小问2详解】 由（1）知，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥， ∴90OAF ∠=︒， ∴222AF OA OF += 设O 的半径为r ，∵8,4AF DF ==， ∴()22284r r +=+， ∴6r =，∴612,10OA OB OD AB BC OF ======，， 连接AE BD ，，∵AB 为O 的直径，∴,90BD AC AEB ⊥∠=︒， ∵AB BC =， ∴D 为AC 中点， ∴OD BC ， ∴AOF ABC ∠=∠， ∵90AEB OAF ∠=∠=︒， ∴AOF EBA ∽， ∴AO AF OFBE AE AB==， ∴681012BE AE ==， ∴7.2,9.6BE AE ==，∴127.2 4.8CE BC BE =−=−=，∴在Rt AEC 中，AC ===【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 25. 【答案】（1）尺规作图见解析 （2）()()1778y x x =−−+，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析 【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．（1）选取拱线M 上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆即可得到答案；（2）以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，再将D ，E ，F ，B 的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与y 值相等即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示：O ∴即为所求；【小问2详解】解：以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示：拱线N 的跨径AB 长为14m ，高为6.125m ，()7,0A ∴−、()7,0B 、()0,6.125C ，设拱线N 的表达式为()()77y a x x =−+，∴将()0,6.125C 代入表达式得6.12549a =−，解得18a =−，∴拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，∴将4x =代入()()778y x x =−−+得()()4747 4.1258y =−⨯−⨯+=，故点D 在拱线N 所在的抛物线上；将5x =代入()()1778y x x =−−+得()()1575738y =−⨯−⨯+=，故点E 在拱线N 所在的抛物线上； 将6x =代入()()1778y x x =−−+得()()16767 1.6258y =−⨯−⨯+=，故点F 在拱线N 所在的抛物线上；将7x =代入()()1778y x x =−−+得()()1777708y =−⨯−⨯+=，故点B 在拱线N 所在的抛物线上． 26. 【答案】（1）1x =（2）112t −≤<−（3）1603a << 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；（2）先根据已知条件判断出A ，B ，C 所在的位置，然后根据距离对称轴的大小得到取值求解即可；（3）有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时，w 分类讨论求解即可；【小问1详解】 解：对称轴为212a x a −=−=， 故答案为：1x =；【小问2详解】解：∵()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上，且132y y y >≥，又∵13t t t <+<+，抛物线的对称轴为1x =，∴A ，B 两点位于对称轴左侧，点C 位于对称轴右侧，且点A 到对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，点C 到对称轴的距离大于等于点B 到对称轴的距离，即()3111131t t t t ⎧+−≥−+⎨−>+−⎩，解得112t −≤<−； 【小问3详解】解：无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，满足题意，即Δ0≤，∴()22440a a −−⨯⨯≤，化简得()440a a −≤，∵0a >，∴40a −≤，解得4a ≤，∴此时04a <≤；②函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，此时三点中，距离最近的A 和B 不能同时在x 轴下方，临界情况A 、B 两点分别是这两个交点，得0.5=t ，此时t =0.5.带入224y ax ax =−+，解得163a =， ∴此时163a <； 综上所述，1603a <<27. 【答案】（1）45ADM ∠=︒（2）DF AM =，证明见解析；（3）2BK =−【分析】（1）先补全图形，如图所示：取AC 的中点T ，连接DT ，MT ，证明A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45ADM ACM ∠=∠=︒；（2）由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45CDM CAM ∠=∠=︒，证明CE DE =，再证明DEF CEM ≌，可得DF CM =，即可得到结论；（3）如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，可得45CEF CBA ∠=∠=︒，连接BF ，证明90CFB ∠=︒，可得K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，从而可得答案．【小问1详解】解：补全图形，如图所示：∵CM AB ⊥，CD AP ⊥，∴90CDP CMA ∠=∠=︒，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ， ∴12DT AC MT ==，∴A ，C ，D ，M 四点共圆，∴ADM ACM ∠=∠，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45ACM ∠=︒，∴45ADM ∠=︒；【小问2详解】DF AM =，理由如下：如图所示：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45CAB CBA ∠=∠=︒，CM AM BM ==，由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，∴45CDM CAM ∠=∠=︒，∵CE DM ⊥，∴45DCE CDE ∠=∠=︒，∴CE DE =，∵DF AB ，∴DF CM ⊥，∴90DGM CEM ∠=∠=︒，∵CME DMG ∠=∠，∴FDE MCE ∠=∠，而90CEM DEF ∠=∠=︒，∴DEF CEM ≌，∴DF CM =，∴DF AM =；【小问3详解】如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，∴45CFM CBA ∠=∠=︒，连接BF ，∵BGM CGF ∠=∠，∴BMF BCF ∠=∠，∴MGB CGF ∽， ∴MG BG CG FG=，而CGM FGB ∠=∠， ∴CGM FGB ∽，∴CMG CBF ∠=∠，∴90FCB CBF FMB CMF ∠+∠=∠+∠=︒，∴90CFB ∠=︒， ∴142RM RF BM BC ====，而K 为MF 中点，Q 为MR 中点， ∴122QK MR ==， ∴K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，∴当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，在Rt BQR 中，4,2BR QR ==此时BQ ==∴2BK =．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定及基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 【答案】（1）()3,2B −、()2,2C −（2）①2；②)1,0P （3）030α<≤︒或150180α︒≤≤︒【分析】（1）由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −先绕点S 顺时针旋转90︒，再绕点T 逆时针旋转90︒，即可验证；（2）①作出图形，数形结合，分类讨论，由等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可得到答案；②作出图形，由含30︒的直角三角形的性质，求出三角形边长即可得到点P 的坐标；（3）设点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点为点M '，则点M '先绕点T 顺时针旋转α，再绕点S 逆时针旋转α得到点M ，进行分类讨论：①当090α<≤︒时，令1l 和O 相交于G ，连接SG ，过点S 作2l 的垂线，垂足为点H ，易得2sin SG SH α==，根据点M 再O 上，则2l 与O 有公共点，得出01SH <≤，即02sin 1α<≤，即可求解；②当90180α︒<≤︒时，用相同的方法，即可解答．【小问1详解】解：由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −先绕点T 顺时针旋转90︒，再绕点S 逆时针旋转90︒，如图所示：()1,1A ∴−不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；同理可得()3,2B −是由点()1,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()2,2C −是由点()0,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()0,2D −不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点； 故答案为：()3,2B −、()2,2C −；【小问2详解】解∶①令点P 绕点S 顺时针旋转α得到点P '，连接,,,,AP TP PP P Q PQ ''''，∵P 经过一次“60︒对称旋转”得到Q 时，∴,60,,60SP SP PSP TP TQ P TQ ''''=∠=︒=∠=︒，∴,SPP P TQ ''是等边三角形，∴60SP P TP Q ''∠=∠=︒，,SP PP P T PQ '''==，∴SP P TP P TP Q TP P ''''∠−∠=∠−∠，即SP T PP Q ''∠=∠，∵,,SP PP SP T PP Q P T PQ '''''=∠=∠=，∴SP T PP Q ''≌，∴2ST PQ ==；。

北京市西城区九年级(上)期末数学试卷、选择题(本题共16分，每小题2 分)1•如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB= 90° ,如果 AC = 3, AB= 5,那么 SinB 等于( )C BA. 3B .1C. 3百5732 .点 A (1, y ι), B (3, y 2)是反比例函数 y=-图象上的两点，那么y 1, y 2的大小关系是()A.y 1> y 2 B . y 1 = y 2 C. 屮V y D.不能确定3.抛物线y =(-4) 2-5的顶点坐标和开口方向分别是( )A.( 4,- 5),开口向上B.( 4,- 5),开口向下C. (- 4,- 5),开口向上D (- 4,- 5),开口向下4.圆心角为60 °,且半径为12的扇形的面积等于()A. 48 πB. 24 πC. 4 πD. 2 π6 .如果函数y = 2+4- m 的图象与轴有公共点，那么 m 的取值范围是( )7.如图，点P 在厶ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ ABR^△ ACB 那么以下添 加的条件中，不正确的是(AB 是O O 的直径，CD 是O O 的弦，如果∠ ACD≡ 34 ,那么∠ BAD 等于A. 34°B. 46C. 56D. 66A. m≤ 4B . πκ 4C. m≥- 4D. m>- 45.如图,A. ∠ ABP =∠ CB. ∠ APB=∠ ABC C AB = AP? AC D. L BP -CB8 .如图，抛物线y = a 2+b+3 (a ≠0)的对称轴为直线=1,如果关于的方程a 2+b - 8= 0(a ≠0) 的一个根为4,那么该方程的另一个根为(11.如图，在平面直角坐标系 Oy 中，第一象限内的点P (, y )与点A (2, 2)在同一个反比例函数的图象上，PCLy 轴于点C, PDL 轴于点D,那么矩形ODPC 勺面积等于 ________________ .TA12 .如图，直线 y 1 = +n (≠ 0)与抛物线 y 2= a 2+b+c (a ≠0)分别交于 A (- 1, 0), B (2,13 .如图O 的半径等于4,如果弦AB 所对的圆心角等于120°,那么圆心O 到弦AB的距A.— 4B.- 2、填空题(本题共 16分，每小题2分)9 .抛物线y = 2+3与y 轴的交点坐标为10 .如图，在△ ABC 中，D, E 两点分别在 AB AC 边上，DE// BC,如果器=〕 DD Z,AC= 10，那么14. 2017年9月热播的专题片《辉煌中国--圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程 展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国 已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥(如 图1所示)主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD 的中点为E,最长的斜拉索CE 长577m 记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠ CED 为α,那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达 式应为BD=________________ ( m .图2苏通按江大轿主桥示意峑15.如图，抛物线y = a 2+b+c (a ≠0)与y 轴交于点C,与轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标 为B(4, 0)，抛物线的对称轴交轴于点 D, CE// AB,并与抛物线的对称轴交于点 E .现有 下列结论：①a >0 :②b > 0；③4a+2b+c V 0 :④ADFCE = 4 .其中所有正确结论的序号 是 . Al : 9⅛∖416.如图，O O 的半径为3, A , P 两点在O O 上，点B 在O O 内，tan ∠ APB^, AB 丄AP.如果OBL OP 那么OB 的长为 _________ .、解答题(本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题 每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17.计算：2sin30 ° +cos 245°- tan60L1—.*■图1苏通氏江大桥18.如图，AB// CD AC 与 BD 的交点为 E ,∠ ABE=∠ ACB(1) 求证：△ ABE^△ ACB(2) 如果 AB= 6, AE= 4,求 AC CD 的长.(1)补全表格:抛物线顶点坐标与轴交点坐标 与y 轴交点坐标y =- 2+2(1, 1)(0, 0)(2)将抛物线C 向上平移3个单位得到抛物线C 2，请画出抛物线C ，C 2，并直接回答：抛物 线C 2与轴的两交点之间的距离是抛物线 C 与轴的两交点之间距离的多少倍.JJ f二□I- 3- 匕1:一220.在△ ABC 中, AB= AC = 2,∠ BAC= 45° .将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 α 度(OVaV 180) 得到△ ADE B, C 两点的对应点分别为点D, E ，BD CE 所在直线交于点F .(2)当a= 45时，在图2中画出△ ADE 并求此时点A 到直线BE 的距离.21. 运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞(1)当厶ABC 旋转到图1位置时，∠ CAD= _________ (用a 的代数式表示)，∠ BFC 的度数Oy 中，抛物线C ： y =- 2+2.A图行高度h ( m 与它的飞行时间t ( S )满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示.t( S ) 0 0.5 1 1.5 2 … h ( m8.751518.7520…(1) 求h 与t 之间的函数关系式(不要求写t 的取值范围)；(2) 求小球飞行3s 时的高度；(3) 问：小球的飞行高度能否达到 22m ？请说明理由.22. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线y = ' (≠0)与直线y ='.‘；的交点为A(a , - 1), B(2, b )两点，双曲线上一点P 的横坐标为1,直线PA PB 与轴的交点分别为点M N 连接AN (1) 直接写出a ,的值; (2) 求证：PM≡ PN PMLPN23.如图，线段BC 长为13,以C 为顶点，CB 为一边的∠α满足CoS α= 一 .锐角△ ABC 的d顶点A 落在∠α的另一边I 上，且满足SinA =：.求厶ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合24.如图，AB 是半圆的直径，过圆心 O 作 AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D,点E 在OD(图中提供的单位长度供补全图形使用)BD 及AB 边.上，∠ DC— B.(1)求证：CE是半圆的切线；(2)若CD^ 10, tanB=「，求半圆的半径.IJ l25.已知抛物线G y =2- 2a+a- 1 (a为常数).(1)当a= 3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；(2)若记抛物线G的顶点坐标为P (p, q).①分别用含a的代数式表示p, q；②请在①的基础上继续用含P的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 _________ 的图象上.A —次函数 B.反比例函数 C.二次函数(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将(2)中的抛物线G改为抛物线H： y =2-2a+N(a为常数)，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： ________ (用含a的代数式表示)，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y= +b (，b为常数，≠ 0)中，=__________ ，b=________ .26.在平面直角坐标系Oy中，抛物线M y = a2+b+c (a≠0)经过A (- 1, 0)，且顶点坐标为B(0，1).(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设F (t，0)为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M.①抛物线M的顶点B的坐标为 _______ ；②当抛物线M与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.环27.( 7 分)如图 1,在 Rt △ AoB 中，∠ AoB= 90°,∠ OAB= 30° ,点 C 在线段 OB 上，OG=2BC,AO ⅛上的一点D 满足∠ OC = 30° •将△ OCt 绕点O 逆时针旋转α度(90° VaV 180°)得到△ OC D', C, D 两点的对应点分别为点 C , D ,连接AG , BD ,取AC 的中点M 连接OM(1) _______________________________ 如图2,当C D'// AB 时，a = _______________________________________ ° ,此时OM 和BD 之间的位置关系为__________________________________________ ∣(2) 画图探究线段OM 和BD 之间的位置关系和数量关系，并加以证明.Oy 中，A, B 两点的坐标分别为 A (2, 2), B (2, - 2).对于给定的线段AB 及点P, Q 给出如下定义：若点 Q 关于AB 所在直线的对称点Q'落在△ ABP 的 内部(不含边界)，则称点 Q 是点P 关于线段AB 的内称点.(1) 已知点 P (4,- 1).① 在Q (1,- 1), Q (1,1)两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是 ______________ ; ② 若点M 在直线y =- 1上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M 的取值范围；(2) 已知点C (3, 3),Θ C 的半径为r ,点D (4, 0),若点E 是点D 关于线段AB 的内称 点，且满足直线DE 与ΘC 相切，求半径r 的取值范围.28.在平面直角坐标系北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题(本题共16分，每小题2 分)1.如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB= 90° ,如果 AC= 3, AB= 5,那么 SinB 等于（ ）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 Sin B 的值.【解答】解：•••在 Rt △ ABC 中，∠ ACB= 90°, AC = 3, AB= 5,故选：A.【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键.2. 点A ( 1, y i ), B ( 3, y 2)是反比例函数y =-图象上的两点，那么y I , y2的大小关系是( )A. %> y 2 B . y ι=y 2 C. % V y 2 D 不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把 A 点和B 点坐标代入反比例函数解析式可 计算出y ι, y 2,从而可判断它们的大小.【解答】解：∙∙∙ A (1, y ι), B (3, y 2)是反比例函数y = 1.图象上的两点，∙∙y1=- 一=-6, y2=-=-2,• yγ y 2.故选：C.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y =[(为常数，≠ 0)的图象是双曲线，图象上的点(，y )的横纵坐标的积是定值，即y =;双曲线是关于原点对 称的，两个分支上的点也是关于原点对称.3. 抛物线y =(-4) 2-5的顶点坐标.∙. Sin B =ACAB和开口方向分别是( )A∙( 4,—5),开口向上 B.( 4,—5),开口向下C (—4,—5),开口向上D (—4,—5),开口向下【分析】根据y= a(-h)2+,a>0时图象开口向上，av 0时图象开口向下，顶点坐标是(h,), 对称轴是=h,可得答案.【解答】解：由y =( - 4) 2-5,得开口方向向上，顶点坐标(4,- 5).故选：A.【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y = a (—h) 2+, a>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随的增大而减小，在对称轴的右侧，y随的增大而增大；av0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随的增大而增大，在对称轴的右侧，y随的增大而减小，顶点坐标是(h,), 对称轴是=h,4.圆心角为60 °,且半径为12的扇形的面积等于( )A. 48 πB. 24 πC. 4 πD. 2 π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算.【解答】解：根据扇形的面积公式，得S=…_ = 24π(亦).360故选：B.【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键.5.如图，AB是OO的直径，CD是OO的弦，如果∠ AC= 34° ,那么∠ BAD等于( )A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°【分析】由AB是O O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ ADB= 90° ,又由∠ ACD =34°,可求得∠ ABD勺度数，再根据直角三角形的性质求出答案.【解答】解：∙∙∙AB是OO的直径，∙∙∙∠ ADB= 90∙.∙∠ ACD= 34 .°.∠ ABD= 34∙∙∙∠ BAD= 90o -∠ ABD= 56°,故选：C.【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质•此题比较简单，注意掌握数形结合 思想的应用.6.如果函数y = 2+4- m 的图象与轴有公共点，那么 m 的取值范围是()【分析】根据已知得出方程2+4- m = 0有两个的实数解，即0,求出不等式的解集即可. 【解答】解：•••函数y = 2+4- m 的图象与轴有公共点， ∙方程2+4- m = 0有两个的实数解，即△= 42- 4× 1×(- m ≥ 0，解得：m ≥- 4， 故选：C.【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于 m的不等式是解此题的关键.7. 如图，点P 在厶ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ ABF ^△ ACB 那么以下添加的条件中，不正确的是()【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.【解答】解：A 当∠ ABP=∠ C 时，又τ∠ A =∠ A,∙∙∙ A ABP^△ ACB 故此选项错误;B 当 ∠ APB=∠ ABC 时，又 τ∠ A =∠ A,∙ A ABP^△ ACB 故此选项错误；C 当 AB = AP? AC 即 J =L 时，又 τ∠ A =∠ A,∙∙∙ A ABP^△ ACB 故此选项错误；D 无法得到厶ABP^△ ACB 故此选项正确.故选：D.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.A. m ≤ 4B. πκ 4C. m≥- 4D. m>- 4B.∠ APB=∠ ABCC. AB = AP? ACAB = AC BP =CBBA ∙∠ ABP^∠ C8.如图，抛物线y= a2+b+3 (a≠0)的对称轴为直线=1,如果关于的方程a2+b- 8= 0 (a≠0)C 1【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案•【解答】解•••关于的方程a2+b- 8 = 0,有一个根为4,•••抛物线与轴的一个交点为（4, 0）,•••抛物线的对称轴为=1,抛物线与轴的另一个交点为（-2, 0）,•••方程的另一个根为=-2 .称性.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.抛物线y = 2+3与y轴的交点坐标为—（0, 3）_ .【分析】把=0代入解析式求出y ,根据y轴上点的坐标特征解答即可.【解答】解：当=0时，y=3,则抛物线y = 2+3与y轴交点的坐标为（0, 3）,故答案为：（0, 3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键.Arl ?10.如图，在△ ABC中，D, E两点分别在AB, AC边上，DE// BC,如果.=,AC= 10,那么EC‰ 4【分析】由DE// BC,推出驚籌=容,可得EC‰∣AQ由此即可解决问题.IJD EV Z D【解答】解：∙∙∙DE// BC•辿=塵=2V AC‰ 10 ,•EC= ；_ × 10= 4 ,5故答案为4.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 11•如图，在平面直角坐标系Oy中，第一象限内的点P ( , y)与点A (2 , 2)在同一个反比例函数的图象上,PC⊥ y轴于点C, PD⊥轴于点D,那么矩形ODP的面积等于_4_ .【分析】根据图象得出取值范围即可∙【解答】解：因为直线y ι= +n (≠ 0)与抛物线y2= a 2+b+c (a ≠0)分别交于A ( - 1, 0), B (2,- 3)两点， 所以当y>y 2时，-Ivv2, 故答案为：-Ivv2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围.13•如图O 的半径等于4,如果弦AB 所对的圆心角等于120°,那么圆心O 到弦AB 的距【分析】由圆心角∠ AOB= 120。

北京市西城区九级上学期期末试卷数 学（考试时间共120分钟，满分120分）准考证号：__________ 姓名：________ 座位号：___________ {请同学们保持良好的心态，认真审真，认真答题，切不可马虎应付} 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sinA 的值为A BC ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y 的最小值是44c b -7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是A ．(00)，B ．(10)，C ．(11)-，D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是A ．2m <B ．2m >C ．94m < D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE∥BC若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．－111．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC 绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A' 落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．12．在平面直角坐标系xOy中，过点(65)A，作AB⊥x轴于点B．半径为r r<<的⊙A(05)与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x 轴于点E.（1）当5r=时，EB的长等于；2（2）点E的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23=+-的图象经过点(25)y x bxA，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2y x h k=-+的形式．()15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，点P在AD边上，且PC PB⊥．若AB＝6，DC＝4，PD＝2，求PB的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB⊥B D ，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点BC ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB （结果精确到1取1.73 1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A = （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF∥AB．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图ABCO象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式；（2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF⊥AE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ，①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若23CEDE=，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）； ① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的（DmE（最小值是____；（3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上．①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE.（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH⊥B C 于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐图2备用图图1角，且tan2∠=，求点P的横坐标；ADP（3）点E在x轴的正半轴上，o45OCE∠>，点O与点O'关于EC所在直线对称．作ON⊥EO'于点N，交EC于点M．若EM·EC＝32，求点E的坐标．数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．232=- ........................... 4分= (5)分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A(2，5)， ∴ 4235b +-=． ................................. 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ............... 2分 （2） 令0y =，则有2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． . 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． (5)分∴ ∠D=90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，∴∠BPC=90°，90DPC APB ∠+∠=︒． ∴∠DCP=∠APB． ............. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠．在Rt △PCD 中， CD=2，PD=4， ∴1tan 2PD DCP CD∠==．在Rt △PBA 中，AB=6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=．∴12PA =． ...................................... 4分 ∴PB == ..........................5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ........................................... 1分依题意，得275(1)108x +=． ..................... 2分 整理，得236(1)25x +=． ......................... 3分615x +=±． 解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． .......... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． .............................................. 5分17．解：设河宽AB 为x 米． ..................... 1分 ∵ AB ⊥BC ，∴ ∠ABC=90°．∵ 在Rt△A BC 中，∠AC B=45°， ∴ AB=BC=x ． ....... 2分∵ 在Rt△ABD 中，∠ADB=30°， ∴ BD=33AB x =． (3)分3CD BD BC x x =-=-∴330x x -=． ................................. 4分解得15315x =+≈41．答：河宽AB 约为41米． ......................... 5分 18．解：（1）∵ AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=12， ∴ 162AC AB ==． ................ 1分∵ 在Rt△AOC 中，∠ACO=90°，3cos 5A =，∴ 10OA =． .................... 2分 ∴ 228OC OA AC =-． (3)分（2）2或14． ................................. 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，······················· 1分 ∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ···· 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ··············· 4分 （3）20x -<<． ················ 5分ABCO20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°． ∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF⊥AE，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ·············· 2分 （2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ． ∵ M 为EF 的中点， ∴ MH∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH⊥FC，即MH 是点M 到FC 的距离． ∵ DE=x ，DC=AB=4． ∴ EC=4x -， ∴ 12MH EC =122x =-．即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． ................. 3分②∵△ADE∽△ABF ， ∴ DE BF ADAB=．∴ 24x BF =．∴ 2BF x =，FC=22x +，FH= CH=1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-．HMDFAECB∵ 122MH x =-，∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ...................... 4分 当85x =时，BM长的最小值是． ................. 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DA B =90°． ∵ OD∥BC，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ． ∵ OC=OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ． 在△COD 和△AOD 中， OC = OA ，∠DOC =∠AOD ， OD=OD ，∴ △COD ≌△AOD ．.............................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°． ∴ OC⊥DE 于点C ． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线． ............................ 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．.. . 3分∴ AD DC k ==． ∴ 在Rt △DAE 中，2222AE DE AD k=-=．∴ tan E =22AD AE =． ∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OC E CEk==．∴222OCk=， ∴ 2OC OA ==．∴ 在Rt △AOD 中，2232OD AO AD k=+=．.. ......... 4分∴ 3cos cos OA ABC AOD OD∠=∠==．.. .................. 5分22．解：（1）①③； 2分 （2）2π； 3分 （3）2x --；4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π．例如：在图1中l 2=π+， 在图2中l =6． .. 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，图1 图2∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． ........................ 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m=4． ....................................... 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ..... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． .... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+．7分24．（1）AD BE=，AD BE ⊥． ..................... 2分（2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点， ∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM=∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM=，90AMD EMA ∠+∠=︒．∴ AMDMBMEM=，AMD BME ∠=∠． ·· 3分∴ △ADM ∽△BEM ． ∴AD DMBEEM== ............................... 4分延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ................................... 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时， ∵ △ADM ∽△BEM ， ∴ 2()3ADMBEMS AD S BE∆∆==． ∴ 13BEMADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯=+∴S =（3≤x≤3． (6)分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADMS BM S AM ∆∆==．∴ 13BEMADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--9213333(3)232x =-⨯⨯-+33x =+．∴ 33S x =+(33-≤x ≤3)．综上，33S x =+(33-≤x ≤33+)． .............. 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-；1分 ②∵ 当x=0时，y=－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，． ∵ ABCS ∆12c AB y =⋅＝12，∴ AB=6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，． ∴ 4440a a +-=．解得 12a =．∴ 所求二次函数的解析式为2142y x x =+-．......... 2分（2）如图，作DF⊥x 轴于点F ．分两种情况： (ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示． 由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF=1，AF=2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AFADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求．∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ....................... 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG=AP 1，连接DG ，作GH⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(24)P --，， ∴ 点G 的坐标是(64)-，． 在△ADP 1中，5DA =，DP 1＝５， 125AP =，∴ 22211DA AP DP +=． ∴ 1o 90DAP ∠=． ∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠． ∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作D K⊥GH 于点K ，作P 2S∥GK 交DK 于点S ． 设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--．由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=． 解得7161x -±=．∵ P 2点在第二象限， ∴ P 2点的横坐标为71614x --=（舍正）．综上，P 点的横坐标为－2或71614--． .......... 5分（3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ． ∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称， ∴ O O '⊥CE，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ． ∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．∴ OC OM =． ................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=，在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=，∴ OE ET ECOE=．∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=．祝您生活愉快，工作顺心，前程似锦，愿此文帮助到您，谢谢！21 ∴ 2321648OE =+=．∵ 0OE >，∴ 43OE =．∵ 点E 在x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为(43,0))． ...................... 8分。

2023北京西城初三（上）期末数 学满分100分，考试时间120分钟．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是() A.3 B.2 C.－2 D.－32.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.下列事件中是随机事件的是（ ）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是540︒4.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，则B ∠的大小是（ ）A.35°B.45°C.60°D.70°5.抛物线221y x =−+通过变换可以得到抛物线()2213y x =−++，以下变换过程正确的是（ ）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A.215x =B.()115x x +=C.()115x x −=D. ()1152x x −=7. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒得到CDE ，当点A 的对应点D 落在BC 上时，连接BE ，则BED ∠的度数是（ ）A.30°B.45°C.55°D.75°8.下表记录了二次函数()220y ax bx a =++≠中两个变量x 与y 的5组对应值，其中121x x <<．根据表中信息，当02x −<<时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）. A. 726k << B. 726k <≤ C. 823k << D. 823k <≤第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.一元二次方程x 2﹣16＝0的解是_____．10.已知O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，则点P 在O ______（填“内”“上”或“外”）．11.若关于x一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．12.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．13.点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，则m 的值是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．14.已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当1x >时，y 随x 的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点)A 为圆心，1为半径画圆，将A 绕点O 逆时针旋转的()0180αα︒<<︒得到A '，使得A '与y 轴相切，则α的度数是____．16.如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，且AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为2，则CM 长的最大值是_____．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2420x x −+=18. 已知：点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒．求作：直线l ，使其过点C ，并与O 相切．作法：①连接OC ；②分别以点B ，点C 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于O 外一点D ；③作直线CD ．直线CD 就是所求作直线l ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接OB ，BD ，∵OB OC BD CD ===，∴四边形OBDC 菱形，∵点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒， ∴BOC ∠=______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形OBDC 是正方形，∴90OCD ∠=︒，即OC CD ⊥，∵OC 为O 半径，∴直线CD 为O 的切线（_________________）（填推理的依据）．19.已知二次函数2=23y x x −−．（1）将2=23y x x −−化成()2y a x h k =−+的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当12x −<<时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．20.如图，AB 是O 的一条弦，点C 是AB 的中点，连接OC 并延长交劣弧AB 于点D ，连接OB ，DB ，若4AB =，1CD =，求BOD 的面积．21.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是的是______，其中红球的个数是______；（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．22.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，连接AE ，BE ，CE ．（1）求CBE ∠的度数；（2）若ACD 是等边三角形，且30ABC ∠=︒，3AB =，5BD =，求BE 的长．23. 已知关于x 的方程22x 2mx m 90−+−=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，且12x x >，若1225x x =+，求m 的值．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点O 是AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，使O 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ．过点B 作BF AC ∥，交ED 的延长线于点F ．（1）若4AB =，求O 的半径；（2）连接BO ，求证：四边形BFEO 是平行四边形．25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =−++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．（1）点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______；（2）求满足的函数关系2116y x bx c =−++； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =，且320a b c ++=．（1）当0c 时，求t 的值；（2）点()12,y −，()21,y ，()33,y 在抛物线上，若0a c ，判断1y ，2y 与3y 的大小关系，并说明理由．27.如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45APB ∠=︒，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ BP =；（2）求QAP ∠度数；（3）若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP 与CP 之间的数量关系，并证明． 28.给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2−−A ，()5,2B −，()1,4C −．（1）在点()4,0D −，()2,2E ，()6,0F 中，与点O 关于线段AB 双对合的点是______；（2）点K 是x 轴上一动点，K 的直径为1． ①若点A 与点()0,T t 关于K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ABC 上存在一点与K 上任意一点关于K 双对合，直接写出点K 横坐标k 的取值范围．的参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y=（x-2）2+3，当x=2时，最小值是3，故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．3.【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是540︒，是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得C ∠，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】解：C A APD ∠+∠=∠，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，804535C APD A ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，35B C ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线221y x =−+通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线()2213y x =−++，故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数()112x x =−，由此可得出方程．【详解】解：设邀请x 个队，每个队都要赛()1x −场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得(1)152x x −=． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．7.【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得30ABC ACB ∠=∠=︒，根据旋转的性质，得BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，再由等腰三角形和三角形内角和定理得()118030752CBE CEB ∠=∠=︒−︒=︒，即可求得BED BEC CED ∠=∠−∠． 【详解】解：AB AC =，120A ∠=︒，30ABC ACB ∴∠=∠=︒，由旋转得，BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，()118030752CBE CEB ∴∠=∠=︒−︒=︒， 753045BED BEC CED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴=1x −，进而得到抛物线与x 轴的交点，利用交点式得到()()31y a x x =+−，从而得到二次函数表达式为224233y x x =−−+，根据当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点，可得823k <<． 【详解】解：由()()53m m −，、，可得抛物线对称轴5312x −+==−， 又由()()1,01,0x 、以及对称轴=1x −可得13x =−，()()3,01,0∴−、，则设抛物线交点式为()()31y a x x =+−，()()()22312323y a x x a x x ax ax a =+−=+−=+−与()220y ax bx a =++≠对比可得32a −=，解得23a =−， ∴二次函数表达式为224233y x x =−−+， ∴当52x =−时，2557313226y ⎛⎫⎛⎫=−−+−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x =时，2y =； 当=1x −时，()()28131133y =−−+−−=， 78263<<，当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点， ∴823k <<， 故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】x 1＝﹣4，x 2＝4【解析】【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.【详解】解：方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4，解得：x 1＝﹣4，x 2＝4．故答案为：x 1＝﹣4，x 2＝4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 10.【答案】外【解析】【分析】点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <，由此即可判断； 【详解】解：=5r ，8d =， d r ∴>，∴点P 在O 外，故答案为：外．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <是解题的关键．11.【答案】94【解析】【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=−=，解得94c =． 故答案为：94． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12.【答案】6π【解析】【分析】根据扇形的面积公式S =2π360n r 计算，即可得出结果．【详解】解：该扇形的面积S =2606360π⨯=6π． 故答案为6π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．13.【答案】①.6②.(3,6)−−【解析】 【分析】将()3,M m 代入二次函数解析式，得出()36M ，，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，∴2336m =−=， ∴()36M ，，∴点M 关于原点对称的点的坐标是(3,6)−−，故答案为：6，(3,6)−−．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点()36M ，是解题的关键．14. 【答案】22y x x =−(答案不唯一)【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可．【详解】解：图像过原点，∴可以设解析式为：()1y ax x x =−，当1x >时，y 随x 的增大而增大，∴0a >，开口向上，且对称轴112x x =≤， 即12x ≤， ∴可以设二次函数为()1y ax x x =−，满足102a x >≤，均可．故答案不唯一，如：22y x x =−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键． 15.【答案】45︒或135︒【解析】【分析】分析可知：A 在以O 为半径的圆上运动，分情况讨论，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴与点B ，利用勾股定理可知1OB =，进一步可求出旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴与点C ，利用勾股定理可知1OC =，进一步可求出旋转角度为135︒．【详解】解：∵)A ，将A 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到A '∴A 在以O 为半径的圆上运动，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴于点B ，∵A '半径为1，A '与y 轴相切，∴1BA '=，由勾股定理可得：1OB ===， ∴OBA '为等腰直角三角形，∴45BOA '∠=︒，45AOA '∠=︒，即旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴于点C ，∵A ''半径为1，A ''与y 轴相切，∴1CA ''=，由勾股定理可得：1OC ===， ∴OCA ''△为等腰直角三角形，∴45COA ''∠=︒，18045135AOA ''∠=︒−︒=︒，即旋转角度为135︒；故答案为：45︒，135︒【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，理解A 在以O16.1##1+【解析】【分析】连接OM ，PB ，取AO 中点D ，连接CD DM 、、PB ，AB 是⊙O 的直径，可推出90APB ∠=︒和AMO APB ~，由此可知90APB AMO ∠=∠=︒，则M 在以AO 为直径的圆上，当CM 与D 点重合时，CM 最大，根据AB OC ⊥求出CD 长代入即可．【详解】解：连接OM ，PB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴90APB ∠=︒，∵M 为AP 的中点，O 为AB 的中点，∴AMO APB ~，∴90APB AMO ∠=∠=︒，取AO 中点D ，连接CD DM 、，∴M 在以AO 为直径的圆上，∵三角形两边之和大于第三边，且O 的半径为2，∴1DM =，∴当CM 与D 点重合时，CM 最大，∴CM CD DM =+，∵AB OC ⊥，∴CD ==，∴1CM =，1+．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90︒及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】12x =+22x =；【解析】【分析】选用配方法可解此方程.【详解】解：x 2-4x+2=0x 2-4x+4-2=0(x-2)2=2∴x-2=解得：12x =+22x =故答案为12x =，22x =【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.18.【答案】（1）见解析；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【小问1详解】解：补全图形，如图所示；【小问2详解】90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19.【答案】（1）2(1)4y x =−−，()1,4−（2）见解析（3）40y −≤<【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；（3）根据函数图像确定当12x −<<时对应的y 的取值范围即可．【小问1详解】2=23y x x −−22113x x =−+−−2(1)4x =−−．【小问2详解】列表如下：【小问3详解】由图象可得，当12x −<<时，4<0y −≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．20.【答案】52【解析】【分析】设O 的半径为x ，由垂径定理得出BC ，用含x 的式子表示OC ，再根据勾股定理列方程解得半径的长，即可求解．【详解】解：设OD x =，则OB x =．点C 是AB 的中点，OC 过圆心O ，OC AB ∴⊥．4AB =，1CD =，122BC AB ∴==，1OC OD CD x =−=−． 在Rt BCO △中，222OB OC BC =+，222(1)2x x ∴=−+．解得，52x =．52OD ∴=． 1522BOD S OD BC =⋅⋅=∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解题的关键． 21.【答案】（1）0.75，3（2）12【解析】【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；（2）列出表格，利用概率公式计算．【小问1详解】解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75，红球的个数是：40.753⨯=，故答案为：0.75，3；小问2详解】 由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A ）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以31()62P A ==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了利用频率估计概率．22.【答案】（1）60︒（2）4【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到CB CE =,60BCE ∠=︒，进而证明BCE 为等边三角形，即可得到答案；（2）首先证明ACE DCB ≅，之后在Rt ABE 中根据勾股定理得到BE 的长．【小问1详解】 解：将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ，CB CE ∴=，60BCE ∠=︒，BCE ∴△是等边三角形，60CBE ∴∠=︒．【小问2详解】解：ACD 是等边三角形，AC DC ∴=，60ACD ∠=︒ ，ACE DCB ∴∠=∠，又CB CE =，ACE DCB ∴≅ ，AE BD ∴=，5BD =，5AE ∴=．60CBE ∠=︒，30ABC ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，∴在Rt ABE 中，B E3AB =，4BE ∴=．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关定理是解题的关键．23.【答案】（1）见解析；（2）4−．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出0∆>，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）解方程，再由12x x >，1225x x =+，即可得到关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【小问1详解】证明：()()222419m m ∆=−−⨯⨯−224436m m =−+360=>．∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：解方程，得22622m m x ±±==，12x x >，13x m ∴=+，23x m =−．1225x x =+，()2335m m ∴+=−+．4m ∴=−．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．24.【答案】（1）4；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接OD ，由⊙O 与AB 相切于点A ，与BC 相切于点D ，得到90ODC OD DC ∠=︒=，，由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理求出BC =O 的半径．（2）连接AD ，交OB 于点H ，由AE 是⊙O 的直径，得到90ADE ∠=︒．根据AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，证得90AHO ∠=︒．得到OB EF ∥．即可证得四边形BFEO 是平行四边形．【小问1详解】解：连接OD ，如图．∵在ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，∴⊙O 与AB 相切于点A ，45ACB ∠=︒．∵OD 是⊙O 的半径，⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC OD DC ∠=︒=，．∵4AB =，∴由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理得：BC =．∴ 4OD DC ==−．∴⊙O的半径是4．【小问2详解】证明：连接AD ，交OB 于点H ，如图．∵AE 是⊙O 的直径，∴90ADE ∠=︒．∵AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，∴BD AB ABO DBO =∠=∠，．∴OB AD ⊥．∴90AHO ∠=︒．∴AHO ADE ∠=∠．∴OB EF ∥．∵BF AC ∥，∴ 四边形BFEO 是平行四边形．【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．25.【答案】（1）()0,70A ，()40,30P ；（2）21370162y x x =−++； （3）18m【解析】【分析】（1）70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ，即可得到点A 、P 的坐标； （2）用待定系数法求解即可；（3）由60m OC =，先求出直线BC 的表达式，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ，用含未知数m 的式子表示MN ，再根据二次函数的性质进行判断即可．小问1详解】 解：70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ， ()0,70A ∴，()40,30P ；【小问2详解】 解：把()0,70A ，()40,30P 代入2116y x bx c =−++【得，270130404016c b c =⎧⎪⎨=−⨯++⎪⎩， 解得，3270b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，21370162y x x ∴=−++； 【小问3详解】解：60m OC =，∴设直线BC 的表达式为()600y kx k =+≠， 把()40,30P 代入，得304060k =+， 解得，34k =−， 3604y x ∴=−+，设213,70162M m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭到BC 竖直方向上的距离最大，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ， ∴3,604N m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， 213370601624MN m m m ⎛⎫∴=−++−−+ ⎪⎝⎭21910164m m =−++()22213618181016m m =−−+−+()21811810164m =−−++()2112118164m =−−+()2118016m −−≤， ∴当18m =时，MN 最大，即水平距离为18m 时，运动员与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．26.【答案】（1）34（2）231y y y <<【解析】【分析】（1）由320a b c ++=，0c ，可得320a b +=，根据对称轴为直线2b x a=−即可求解； （2）根据320a b c ++=，求得对称轴2b x t a ==−的范围，再将点()12,y −根据对称性转化到对称轴右侧，再根据0a c 得抛物线开口向上，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【小问1详解】当0c 时，得320a b +=， 32b a ∴=−， 332224a b t a a −∴=−==； 【小问2详解】320a b c ++=， 32a c b +∴=−， 333222444a cb ac c t a a a a +−+∴=−=−==+， 0a c >>， 1044c a ∴<<， 314t ∴<<， 点()12,y −关于直线x t =的对称点的坐标是()122,t y +，72242t ∴<+<． 1322t ∴<<+．0a >，∴当x t >时，y 随x 的增大而增大．231y y y ∴<<．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．27.【答案】（1）画图和证明见解析；（2）135°（3）CP =，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS 证明BCP ACQ ≌即可证明AQ BP =； （2）连接QP ，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到45CQP CPQ ∠=∠=︒．再证明APQ CPB ∠=∠．由全等三角形的性质得到CQA CPB ∠=∠．则可以推出45APQ PQA ∠+∠=︒，利用三角形内角和定理即可得到180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；（3）如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．证明ANK BNP ≌．得到KAN PBN ∠=∠，AK BP =，则AK BP ∥．进一步证明135KAP ∠=︒．得到KAP QAP ∠=∠．由此证明KAP QAP ≌，得到KP QP =．在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，则KP QP ==，即可证明CP =．【小问1详解】补全图形，如图所示．证明：∵ 线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴90CP CQ PCQ =∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴BCP ACQ ∠=∠，∵AC BC =，∴()SAS BCP ACQ ≌∴AQ BP =；【小问2详解】解：连接QP ，如图所示．由（1）可得PCQ △是等腰直角三角形，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴45CQA PQA ∠∠=︒＋．∵45APB ∠=︒，∴APQ CPB ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得CQA CPB ∠=∠．∴45APQ PQA ∠+∠=︒．∴180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；【小问3详解】解；CP =，理由如下：如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．∵N 为线段AB 的中点，∴AN BN =．∵ANK BNP ∠=∠，∴()SAS ANK BNP ≌．∴KAN PBN ∠=∠，AK BP =．∴AK BP ∥，AK AQ =．∴180KAP APB ∠+∠=︒．∵45APB ∠=︒，∴135KAP ∠=︒．∵135QAP ∠=︒，∴KAP QAP ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得AQ BP =，∴AK AQ =，∵AP AP =，∴()SAS KAP QAP ≌．∴KP QP =．∵在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，∴KP QP ==．∵2KP NP =，∴CP =．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】（1）D ，F ；（2）①2−−t ≤≤2−+52−k ≤≤12或3k ≤≤3+ 【解析】【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；（2）①由双对合定义可知随着直径GH 的端点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围．【小问1详解】 由双对合定义可知：12MN PQ MN PQ =，， ()1,2−−A ，()5,2B −，6AB AB x ∴=，轴，()4,0D −，()6,0F ，46OD OF OD AB OF AB ∴==，，，，∴O 关于线段AB 的双对合点是D ，F ；故答案为D ，F ；【小问2详解】①设GH 是K 上任意一条直径，则1GH =．设点1A 是与点A 关于K 双对合的点，将点A 和点1A 分别关于点G ，H 对称后重合的点记为2A ，所以点G ，H 分别是2AA 和12A A 的中点．由三角形中位线的知识，可知1AA 22GH ==．随着点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），将它记为S ．因为点A 与点()0T t ，关于K 双对合，所以当S 与y 轴相交时，可求得t 的值为2−−2−+所以t 的取值范围是2−t ≤≤2−②当ABC 上的一点在AC 上时，如图，则K 上离AC 最近的点到AC 的距离为：1112k ⎛⎫−−+≤ ⎪⎝⎭时存在，解得5122k −≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离BC 最近的点到BC 的距离不大于1， 即K 到BC 的距离不大于32， AC AB 6==，B C 45∠∠∴==︒，即BC 与x 轴的的夹角为45°，∴交点()30M ，，这时MK ≤，即33k ≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离AB 最近的点到AB 的距离大于1，不存在；综上所述：52−k ≤≤12或3k ≤≤3+【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键．。

2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。

2021-2022学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2.二次函数y=2(x−3)2+1的图象的顶点坐标是( )A. (−2,1)B. (2,1)C. (−3,1)D. (3,1)3.如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是( )A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘4.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2=b的形式，下列结果中正确的是( )A. (x−4)2=6B. (x−8)2=6C. (x−4)2=−6D. (x−8)2=545.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为( )A. 4B. 8C. 2√2D. 4√26.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为( )A. 2.5(1+x)=3.2B. 2.5(1+2x)=3.2C. 2.5(1+x)2=3.2D. 2.5(1−x)2=3.27.下列说法中，正确的是( )A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(2,m)，且经过点B(5,0)，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；②a−b+c>0；③m+9a=0；④若此抛物线经过点C(t,n)，则t+4一定是方程ax2+bx+c=n的一个根．其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④9.在平面直角坐标系xOy中，点(4,−7)关于原点的对称点坐标为__________.10.关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有一个根为1，则m的值为_______.11.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160∘的圆弧形窗帘轨道(如图2)需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为__________mm.12.写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：__________.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为__________.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12(x−4)2+2可以看作是抛物线y=12x2+2经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由抛物线y=12x2+2得到抛物线y=−12(x−4)2+2的过程：__________.15.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α(0∘<α<90∘)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE=__________.(用含α的式子表示)16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是△ABC内的一个动点，满足AC2−AD2=CD2.若AB=2√13，BC=4，则BD长的最小值为__________.17.解方程：x2−2x−2=0.18.问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB 边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H.所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．(1)根据小芸的作法，补全图形；(2)完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB=∠AEB=______∘.(______)(填推理的依据)∴AE⊥BE，BD⊥AD.∴AE，______是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19.已知二次函数y=x2+4x+3.(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)画出此函数的图象；(3)若点A(0,y1)和B(m,y2)都在此函数的图象上，且y1<y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20.如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF=DE，连接FE.(1)求证：AF=AE；(2)若∠DAE=30∘，DE=2，直接写出△AEF的面积．21.已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0.(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于−1，求k的取值范围．22.有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数−2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数−5，m，5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b.若a<b，小明胜；若a=b，为平局；若a>b，小刚胜．(1)若m=−2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；(2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23.如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F.(1)求证：四边形CDEF是矩形；(2)若CD=2√10，DE=2，求AC的长．24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y(单位：m)与行进的水平距离x(单位：m)之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m.(1)图中点B表示篮筐，其坐标为______，篮球行进的最高点C的坐标为______；(2)求篮球出手时距地面的高度．⏜的中点，DE⊥BC交BC的延25.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=8，求BD的长．.26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x−ℎ)2−8a的顶点为A，0<ℎ<72(1)若a=1，①点A到x轴的距离为______；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；(2)已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y=−2x+1的两个交点分别为B(x1,y1)，C(x2,y2)，其中x1<x2，若点D(x D,y D)在此抛物线上，当x1<x D<x2时，y D总满足y2<y D< y1，求a的值和h的取值范围．27.如图1，在△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD.点F在线段BD上，连接CF交AE于点H.(1)①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE=2CF；(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α(0∘<α<90∘)，如图2.若F是BD的中点，判断AE=2CF 是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点． (1)如图，点A 的坐标为(1,0).①若点P 的坐标为(−12,0)，则点P 是点A 关于⊙O 的______倍特征点；②在C 1(0,12)，C 2(12,0)，C 3(12,−12)这三个点中，点______是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60∘.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标； (2)若当k 取某个值时，对于函数y =−x +1(0<x <1)的图象上任意一点M ，在⊙O 上都存在点N ，使得点M 是点N 关于⊙O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C.把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：根据二次函数的顶点式方程y=2(x−3)2+1知，该函数的顶点坐标是：(3,1).故选：D.根据二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标是(ℎ,k)，即可得解．本题考查了二次函数的性质.解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a(x−ℎ)2+k中的h、k所表示的意义．3.【答案】D【解析】解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60∘，∴∠ACB=12∠AOB=30∘.故选：D.先根据等边三角形的性质得到∠AOB=60∘，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．4.【答案】A【解析】解：x2−8x=−10，x2−8x+16=6，(x−4)2=6.故选：A.先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.【答案】D【解析】解：如图，连接BD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=90∘，BC=CD，∴BD是⊙O的直径，△BCD是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为4，∴BD=2×4=8，在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2BC2，∴BC=√22BD=√22×8=4√2，即正方形ABCD的边长为4√2.故选：D.连接BD.由正方形的性质得，∠BCD=∠ABC=90∘，BC=CD，再由圆周角定理得BD是⊙O的直径，△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解决问题.本题考查了正多边形和圆，圆周角定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：依题意得：2.5(1+x)2=3.2.故选：C.设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力=2017年全国生活垃圾无害化处理能力×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故选项A错误；B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故选项B正确；C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故选项C错误；D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故选项D错误，故选：B.根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点以及求概率的方法，对四个选项逐一判断即可．本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，故①正确．∵抛物线顶点为A(2,m)，∴抛物线对称轴为直线x=2，∵抛物线过点(5,0)，∴由对称性可得抛物线经过点(−1,0)，∴把(−1,0)代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=0，故②错误，=2，∵−b2a∴b=−4a，∴把b=−4a代入a−b+c=0，得5a+c=0，∴c=−5a，∵(2,m)为抛物线顶点，∴4a+2b+c=m，∴4a−8a−5a=m，即9a+m=0，故③正确，∵点C(t,n)在抛物线上，∴点C关于对称轴对称的点(4−t,n)在抛物线上，∴4−t为ax2+bx+c=n的一个根，故④错误，综上可知，所有正确结论的序号是①③．故选：B.由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点(5,0)可判断②，由抛物线对称轴为直线x=2可得b=−4a，由a−b+c=0可得c=−5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4−t可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．9.【答案】(−4,7)【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点(4,−7)关于原点的对称点坐标为(−4,7)，故答案为：(−4,7).利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案．此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标都互为相反数.10.【答案】−5【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有一个根为1，∴把x=1代入方程x2+mx+4=0，得：1+m+4=0，解得：m=−5.故答案为：−5.把x=1代入方程x2+mx+4=0得1+m+4=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11.【答案】900【解析】解：设此圆弧所在圆的半径为R mm，=800π，由弧长公式得：160πR180解得：R=900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900.设此圆弧所在圆的半径为R mm，根据已知条件，利用弧长的计算公式即可求解．本题考查了弧长的计算公式的应用，熟记弧长公式是解题的关键．12.【答案】y=−x2−x，(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴左侧，∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a<0，∴b<0，故抛物线的解析式可以为y=−x2−x(答案不唯一)，故答案为：y=−x2−x(答案不唯一).满足抛物线开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13.【答案】(2,1)【解析】解：从图形可知：A点的坐标是(0,2)，B点的坐标是(1,3)，C点的坐标是(3,3)，如图连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线分别为MN、EF，两线交于点Q，则点Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是(2,1)，故答案为：(2,1).根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．本题考查了确定圆的条件，坐标与图形的性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．14.【答案】将抛物线y=12x2+2绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y=−12(x−4)2+2.(答案不唯一)【解析】解：抛物线y=12x2+2的顶点为(0,2)，抛物线y=−12(x−4)2+2的顶点为(4,2)，∴将抛物线y=12x2+2绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y=−12(x−4)2+2.故答案为：将抛物线y=12x2+2绕顶点(0,2)顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y=−12(x−4)2+2.(答案不唯一).根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．15.【答案】90∘−12α【解析】解：由旋转的性质可知，AD=AB，∠ADE=∠B，∴∠ADB=∠B，∵∠BAD=α，∴∠ADB=∠B=12(180∘−α)=90∘−12α，∴∠ADE=90∘−12α，故答案为：90∘−12α.根据旋转的性质得到AD=AB，∠ADE=∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB=∠B，利用三角形的内角和定理求得∠B=90∘−12α，即可求得∠ADE.本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：如图取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=√52−16=6，∵AC2−AD2=CD2.∴∠ADC=90∘，∵点H为AC的中点，∴DH=CH=3，∴BH=√CH2+BC2=√32+42=5，∵BD≥BH−DH，∴BD的最小值为5−3=2，故答案为：2.由AC2−AD2=CD2得∠ADC=90∘，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．本题主要考查了勾股定理的应用，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，作辅助线构造三角形是解题的关键．17.【答案】解：移项得x2−2x=2，配方得x2−2x+1=2+1，即(x−1)2=3，开方得x−1=±√3.解得x1=1+√3，x2=1−√3.【解析】先把常数项−2移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，得到方程x2−2x+1=3，对等号左边进行配方，再开方即可求出结果.本题考查配方法解一元二次方程．18.【答案】解：(1)如图，线段CH即为所求．(2)90；直径所对的圆周角是直角；BD.【解析】【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．(1)根据要求作出图形即可；(2)利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．【解答】解：(1)见答案；(2)∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB=∠AEB=90∘.(直径所对的圆周角是直角)，∴AE⊥BE，BD⊥AD.∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90；直径所对的圆周角是直角；BD.19.【答案】解：(1)∵y=x2+4x+3=(x+2)2−1，∴函数图象的对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1)；(2)由x2+4x+3=0，得x=−1或x=−3，∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)、(−3,0)，当x=0时，y=3，∴二次函数图象与y轴交于点(0,3)，则画出此函数图象如图所示：(3)∵点A(0,y1)和B(m,y2)都在此函数的图象上，且y1<y2，∴3<m2+4m+3，∴m>0或m<−4.【解析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．(1)将函数解析式化为顶点式即可得出结果；(2)求得函数与x轴、y轴的交点坐标，结合函数顶点坐标画出函数图象；(3)由题意可得3<m2+4m+3，求出m的取值范围即可．20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90∘，∴∠ABF=90∘，∴∠ABF=∠D，在△ABF与△ADE中，{AB=AD∠ABF=∠D BF=DE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴AF=AE；(2)8.【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．(1)根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90∘，求得∠ABF=90∘，利用SAS 得△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．【解答】解：(1)见答案；(2)由(1)知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90∘，∴∠FAE=90∘，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D=90∘，∠DAE=30∘，DE=2，∴AF=AE=2DE=4，∴△AEF的面积=12×4×4=8.21.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(k+5)]2−4(6+2k)=k2+2k+1=(k+1)2≥0，∴此方程总有两个实数根；(2)∵x=k+5±√(k+1)22，即x=k+5±(k+1)2′∴x1=2，x2=k+3，∵此方程恰有一个根小于−1，∴k+3<−1，解得k<−4，即k的取值范围为k<−4.【解析】(1)计算根的判别式得到Δ=(k+1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；(2)解方程得到x1=2，x2=k+3，则k+3<−1，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22.【答案】解：(1)画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果有3种，∴小明获胜的概率为26=13，小刚获胜的概率为36=12；(2)m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，(答案不唯一)理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果有3种，∴小明获胜的概率=小刚获胜的概率=36=12.【解析】(1)画树状图，共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率=小刚获胜的概率即可．此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】(1)证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴∠ACD=∠CDE=90∘，∵EF⊥AC，∴∠CFE=90∘，∴∠DEF=360∘−∠ACD−∠CDE−∠CFE=90∘，∴四边形CDEF是矩形；(2)解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB=AC，BE=DE=2，由(1)知，四边形CDEF是矩形，∴CF=DE=2，EF=CD=2√10，∵EF⊥AC，∴∠AFE=90∘，∴AE2=AF2+EF2，∵AE=AB+BE=AC+2，AF=AC−EF=AC−2，∴(AC+2)2=(AC−2)2+(2√10)2，解得AC=5，故AC的长为5.【解析】(1)根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到∠ACD=∠CDE=90∘，根据EF⊥AC 得∠CFE=90∘，则∠DEF=90∘−，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据切线的性质得到AB=AC，BE=DE=2，根据矩形的性质得到CF=DE=2，EF=CD= 2√10，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)(4.5,3.05)；(3,3.3)；(2)由于篮球行进的最高点C的坐标为(3,3.3)，则设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3.3(a≠0)，把B(4.5,3.05)代入得，3.05=a(4.5−3)2+3.3，解得a=−1，9(x−3)2+3.3，∴抛物线的解析式为y=−19当x=0时，y=2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．(1)根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m.即可得到答案；(2)设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3.3(a≠0)，把B(4.5,3.05)代入得抛物线的解析式为y=(x−3)2+3.3，当x=0时，解方程即可得到结论．−19【解答】解：(1)∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为(4.5,3.05)，篮球行进的最高点C的坐标为(3,3.3)；故答案为：(4.5,3.05)，(3,3.3)；(2)见答案．25.【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90∘，∵D是AC⏜的中点，∴AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BC，∴∠ODE=180∘−∠DEC=90∘，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图过点D作DF⊥AB，垂足为F，由(1)得：∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180∘，∵∠DCB+∠DCE=180∘，∴∠A=∠DCE，∵∠DFA=∠DEC=90∘，∴△ADF≌△CDE(AAS)，∴AF=EC，∵∠DFB=∠DEC=90∘，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△BDF≌△BDE(AAS)，∴BF=BE，设AF=EC=x，则BF=BE=BC+EC=8+x，∵AB=10，∴AF+BF=10，∴x+8+x=10，∴x=1，∴BF=9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵∠ABD=∠DBF，∠ADB=∠DFB=90∘，∴△BFD∽△BDA，∴BD2=BF⋅BA=9×10=90，∴BD=3√10.【解析】(1)要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE=90∘即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC=90∘，所以只要证明OD//BC即可解答；(2)由(1)可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF=CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF=BE，然后进行计算即可解答．本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．26.【答案】解：(1)①8；②把y=0代入y=(x−ℎ)2−8得0=(x−ℎ)2−8，解得：x1=ℎ+2√2，x2=ℎ−2√2，∵x1−x2=ℎ+2√2−(ℎ−2√2)=4√2，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4√2；(2)∵y=a(x−ℎ)2−8a，∴点A坐标为(ℎ,−8a)，∵点A到x轴的距离为4，∴|−8a|=4，解得：a=12或a=−12，∵当x1<x D<x2时，y D总满足y2<y D<y1，∴当x1<x<x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a=12，y=12(x−ℎ)2−4，∴点A坐标为(ℎ,−4)，把x=ℎ代入y=−2x+1得y=−2ℎ+1，当−2ℎ+1≤−4时，解得：ℎ≥52，∵0<ℎ<72，∴52≤ℎ<72.当a=−12时，y=−12(x−ℎ)2+4，令−2x+1=−12(x−ℎ)2+4，整理，得x2−(2ℎ+4)x+ℎ2−6=0，∴Δ=b2−4ac=(−2ℎ−4)2−4(ℎ2−6)>0，整理得ℎ<−52，与题干不符，舍去，综上可知，h的取值范围为52≤ℎ<72.【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．(1)①把a=1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解；②令y=0，求出x1与x2，进而求出x1与x2的差即可得解；(2)由当x1<x D<x2时，y D总满足y2<y D<y1可得当x1<x<x2时，y随x增大而减小，分两种情况讨论，进而求解．【解答】解：(1)①把a=1代入y=a(x−ℎ)2−8a，得y=(x−ℎ)2−8，∴抛物线顶点坐标为(ℎ,−8)，∴点A到x轴的距离为|−8|=8，故答案为：8.②见答案．(2)见答案．27.【答案】解：(1)①∠CAE=∠CBD.理由：在△ACE和△BCD中，{CA=CB∠ACE=∠BCD CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS).∴∠CAE=∠CBD.②证明：∵∠ACB=90∘，∴∠ACH+∠ECH=90∘.∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH=90∘.∴∠CAH=∠ECH.由①知：∠CAE=∠CBD，∴∠ECH=∠CBD.∴CF=BF.∵∠DCB=90∘，∴∠DCF+∠ECF=90∘，∠CDF+∠CBD=90∘.∴∠CDF=∠DCF，∴CF=DF.∴BD=2CF.由①知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD.∴AE=2CF. (2)若F是BD的中点，AE=2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG=FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD=FB.在△DCF和△BGF中，{DF=BF∠DFC=∠BFG CF=GF，∴△DCF≌△BGF(SAS).∴DC=BG，∠DCF=∠G.∴CD//BG.∴∠DCB+∠GBC=180∘.∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD=∠BCE=α.∴∠DCB=90∘−∠ACD=90∘−α，∠ACE=∠ACB+∠BCE=90∘+α.∴∠CBG=180∘−∠BCD=180∘−(90∘−α)=90∘+α.∴∠ACE=∠CBG.∵CD=CE，∴CE=BG.在△ACE和△CBG中，{CA=BC∠ACE=∠CBG CE=BG，∴△ACE≌△CBG(SAS).∴AE=CG.∵FG=FC，∴CG=2CF.∴AE=2CF.∴若F是BD的中点，AE=2CF仍然成立．【解析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，平行线的判定与性质，延长CF至点G，使FG=FC，连接BG，构造全等三角形是解(2)题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．(1)①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；(2)延长CF至点G，使FG=FC，连接BG，则得△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结则论可得．28.【答案】解：(1)①34；② C3;③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∴AE =12AB ，∴点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，∴AE AB =12，∴E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB ，∵∠EAO =60∘，∴∠EOA =30∘，∴AE =12OA =12，EF =12OE ，在Rt △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，∴OE =√OA 2−AE 2=√32，∴EF =√34，∴E(34,√34)；(2)k 的最大值为2+√24，k 的最小值为2−√24.【解析】【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的相关知识，含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．(1)①由题意知AP =OA +OP =1+12=32，AB =2，则k =AP AB =34；②由勾股定理得AC 1=√OC 12+OA 2=√52，假设点C 1是点A 关于⊙O 的12倍特征点，则AE =√5>2OA =2，不符合题意，同理判断C 2、C 3即可；③设直线AD 交⊙O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，根据点E 点A 关于⊙O 的12倍特征点，得AEAB =12，由含30∘的直角三角形的性质可得OE，AE的长；(2)设直线y=−x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由MNAM =k1−k=−1+11−k，可知k越大，1−k的值越小，则−1+11−k的值越大，得AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即A与E重合，N与F重合时，k 的值最小，当点N在E点，A在F点时，k有最大值，从而解决问题．【解答】解：(1)①∵A(1,0)，P(−12,0)，∴OA=1，OP=12，∴AP=OA+OP=1+12=32，∵B(−1,0)，∴AB=2，∵AP=kAB，∴k=APAB =34，故答案为：34；②∵C1(0,12)，A(1,0)，∴OC1=12，OA=1，∴AC1=√OC12+OA2=√52，假设点C1是点A关于⊙O的12倍特征点，∴AC1AE =12，∴AE=√5>2OA=2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的12倍特征点，同理可求出AC3=√AC22+C2C32=√(12−1)2+(−12−0)2=√22，假设点C3是点A关于⊙O的12倍特征点，∴AC3AF =12，∴C3为AF的中点，∴F(0,−1)，∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的12倍特征点，∵C2(12,0)，∴AC2=12，∴AC2AB =14，∴点C2不是点A关于⊙O的12倍特征点，故答案为：C3；③见答案；(2)设直线y=−x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM=AN−MN=(1−k)AN，∴MN AM =k1−k=−1+11−k，∵k越大，1−k的值越小，∴−1+11−k的值越大，∴当MNAN的值越大，k的值越大，∴AM=BP，MN=NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y=−x+1与x轴，y轴的交点，∴C(1,0)，D(0,1)，∵O到C和D的距离都是1，∴OC=OD=1，∴CD=√12+12=√2，∵OG⊥CD，∴CG=DG=√22，∴OG=√OC2−CG2=√22，∴FG=OF−OG=1−√22，∴k=FGEF =1−√222=2−√24，∴k的最小值为2−√24，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为2+√24.。