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阿罗不可能定理：民主不可能令所有人都满意作者：许亮生来源：《财会信报》2018年第06期“在非独裁的情况下，不可能存在适用于所有个人偏好类型的社会福利函数。
”或者说，“在民主的制度下，不可能得到令所有的人都满意的结果。
”这是阿罗不可能定理，它告诉人们：“少数服从多数”的原则下，一般来说，不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，想要将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序，那是不可能的。
美国经济学家肯尼斯·约瑟夫·阿罗，是1972年度诺贝尔经济学奖得主之一。
1951年，他在自己的经济学经典著作《社会选择与个人价值》一书中，对投票选举方式能否产生合乎大多数人意愿的领导者进行了专项研究，用数学公理化方法和数学逻辑思维认真论证，结果得出一个惊人的结论：在绝大多数情况下是不可能的，随着候选人和选民的增加，投票的“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
同理，要消费者从诸多商品组合中选出完全合乎大多数人意愿的那一款商品也是不可能的。
即便是股份公司的股东对某项决策以投票的方式来表决，也很难做到完全合乎大多数人的意愿。
这是因为，虽然“少数服从多数”成为一个合理的投票规则，但候选人或者候选商品、决策均已经预先被固定，这本身就存在问题，而投票者很难实质表达各自内心的意愿，仅是在参与“程序民主”中，表达了某种受限的民主意愿而已。
成立于1925年的美国克莱斯勒汽车公司，销量仅次于通用汽车公司和福特汽车公司，是美国汽车公司的老三。
20世纪70年代末，由于经营管理不善和石油危机的冲击，公司曾经内外交困、走投无路，濒临破产。
经公司高层反复研究讨论，唯一的出路就是求助政府，申请一笔十几亿美元的担保贷款，但这却阻力重重。
为了走出窘境，克莱斯勒老总艾柯卡对国会说：作为美国史上最大的破产案，对美国将会产生严重的影响。
挽救克莱斯勒公司可以避免工人、汽车商和材料供应商共60万人失业的危险，否则，国家一年就要向失业者支付失业保险费和福利费高达27亿美元！你们可以选择，是愿意现在就付27亿美元失业救济金呢？还是愿意提供十几亿的贷款以便让我们东山再起？为了使贷款申请获得批准，艾柯卡给每一位众议员送去一份各个选区中与克莱斯勒公司有来往的供应商与推销商名单，在全国535个选区中，只有2个选区没有克莱斯勒公司的供应商和推销商。
阿罗的不可能定理阿罗的不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）[编辑]阿罗的不可能定理概述阿罗不可能定理是由1972年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。
1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。
结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。
或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。
一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。
为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。
这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
[编辑]阿罗不可能定理的孕育和诞生阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。
关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候，波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念在此之前．阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
后来，阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。
简述阿罗不可能定律阿罗不可能定律（Arro's Impossibility Theorem）是关于群策群力决策的一个重要数学定理。
该定理提出，在特定情况下，群体的意见无法通过一种公平、有效和完全满足各方期望的方式进行决策。
阿罗不可能定律最初由经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）在20世纪50年代提出，并因此获得了诺贝尔经济学奖。
他在研究群体决策时，发现了一些令人意外的结果。
首先，阿罗不可能定律指出，不存在一种决策机制能够同时满足以下四个要求：无独裁性、无个人偏好、完整性和传递性。
简单来说，就是无法找到一种方式，既能确保每个个体的意见得到平等尊重，又能满足所有人的期望。
其次，这一定律还揭示了群体决策中的矛盾和困境。
无独裁性要求每个个体在决策中都有平等的发言权，但这可能导致个人偏好无法得到满足。
而无个人偏好则要求群体的意见能够反映全部个体的优先次序，但这与无独裁性是冲突的。
完整性要求群体必须对所有候选方案能够做出比较，但这可能导致信息过载和决策效率低下。
传递性则要求选择的结果能够按照个体的优先次序传递，但这在多个个体存在时也是困难的。
阿罗不可能定律对社会决策的实践产生了深远的影响。
它帮助我们认识到，寻求公正、公平和高效的群体决策是一个极具挑战性的任务。
在现实中，政治、组织管理和经济决策等领域经常会面临着各种难题和矛盾。
面对阿罗不可能定律，我们可以采取一些策略来提高群体决策的效果。
首先，我们可以通过增加信息共享和讨论的机会，使个体更好地了解其他人的意见和偏好，从而减少信息的不对称性。
其次，引入更灵活和多元的决策机制，例如多轮投票、协商和妥协，可以帮助找到更为综合和满意的解决方案。
此外，建立有效的机制和流程来管理群体决策，包括明确的规则、程序和责任分工，也是提高决策效果的关键。
总而言之，阿罗不可能定律揭示了群体决策中的困境和矛盾，提醒我们在实践中需要谨慎处理这些问题。
虽然完全满足各方期望的决策机制无法实现，但我们可以通过增加信息共享、灵活决策和有效管理等策略来提高群体决策的效果。
阿罗不可能定理举例阿罗不可能定理是由数学家阿罗提出的一个重要结果，它在计算机科学和理论计算机科学领域有着广泛的应用。
该定理指出，在某些情况下，不存在一种算法能够解决某个特定问题。
以下是一些以阿罗不可能定理为题材的例子，用以展示其在不同领域的应用。
1. 加密算法破解：阿罗不可能定理告诉我们，不存在一种算法能够解决所有的加密算法破解问题。
这意味着，无论我们花费多少时间和资源，都无法找到一种算法来破解所有的加密算法，从而保护了我们的个人隐私和机密信息。
2. 数据压缩：阿罗不可能定理也适用于数据压缩领域。
它告诉我们，不存在一种算法能够将任意的数据压缩到更小的存储空间中，同时又能够完全还原原始数据。
这是因为根据定理，存在一些数据模式是无法被压缩的，因此在数据压缩方面，我们需要在压缩率和数据完整性之间做出权衡。
3. 数独问题：数独是一种数字逻辑游戏，玩家需要根据已知的数字，在数独格中填入其他数字，使得每一行、每一列和每一个小格内的数字都不重复。
根据阿罗不可能定理，不存在一种算法能够解决所有的数独问题，即无法通过一种通用的方法解决所有的数独难题。
这使得数独游戏充满了挑战性和乐趣。
4. 旅行商问题：旅行商问题是一个著名的组合优化问题，要求寻找一条路径，使得旅行商能够经过所有的城市，且总路程最短。
根据阿罗不可能定理，不存在一种算法能够在有限时间内解决所有的旅行商问题。
这使得旅行商问题成为了一个困扰研究者多年的难题。
5. 棋类游戏：阿罗不可能定理也适用于棋类游戏。
例如国际象棋，虽然存在计算机程序可以通过搜索算法找到最佳的下棋策略，但由于棋盘上的可能局面数目过大，不存在一种算法能够在有限时间内解决所有的棋局。
这使得棋类游戏成为了人类与计算机对弈的有趣领域。
6. 机器学习：阿罗不可能定理也对机器学习领域有着重要的影响。
根据定理，不存在一种算法能够解决所有的机器学习问题，即无法设计出一种通用的学习算法。
这使得研究者们需要根据具体的问题特点和数据情况，选择合适的机器学习算法来解决实际应用中的问题。
简述阿罗不可能定理
阿罗不可能定理是一个由著名数学家艾伦·阿罗制定的定理，它是用来证明一个系统是不可能完全准确表述某一时刻所处环境中所有相关事件发生的顺序的。
它是20世纪一个重要的数学定理，因此它被认为是在证明某些系统的实现中必须要遵守的一个重要的定理。
阿罗的不可能定理的核心是：任何一个系统中，即使不存在逻辑性错误，仍然不可能对一个定义的域作出完全准确的断言。
因为域中的相关事件的发生顺序的关系是连续的，系统也一定会存在着不确定性。
在这里，“不确定性”指的是系统在一个时刻内，不可能有完全无误地判断出三个以上事件发生的完美顺序。
在实际应用中，阿罗不可能定理也拓展到计算机科学领域，进而对计算机信息系统设计中也有着重要的影响。
它指出，只有在系统存在循环、虚拟性或者严格绝对的唯一性之后，系统才能够完全无误地判断出三个相关事件发生的顺序。
它的优势在于可以很好地减少系统的复杂性，提高信息系统的运行效率和可靠性。
总之，阿罗不可能定理对于当代的计算机科学以及信息系统设计具有重要的意义，只有在遵守此定理的基础上才能保证信息系统设计的正确性和合理性，为系统的有效管理和运行提供坚实的保证。
阿罗不可能定理“阿罗不可能定理”和森的“帕累托⾃由悖论”进⼀步证明了“⼀⼈⼀票”的虚伪性阿罗不可能定理源⾃孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。
早在⼗⼋世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲⼄丙三⼈，⾯对a、b、c三个备选⽅案，有如图的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞c）⼄（b ＞ c ＞a）丙（c ＞ a ＞b）注：甲（a ＞ b ＞c）代表——甲偏好a胜于b，⼜偏好b胜于c。
但若以“⼀⼈⼀票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。
在“⼀⼈⼀票”的投票中选民可以将⾃⼰仅有的⼀张选票投向其中⼀位候选⼈来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选⼈，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是⾮此即彼的表达，还尚且没有⼤问题，最终可以通过对两位候选⼈获得“1”的个数加总对⽐出得票多少⽽排列出谁最受该选民群体的喜欢。
但是，当候选⼈是“三”的情况下，由于每位选民⼿中的选票只有⼀张，若将选票投向其中⼀位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，⽆法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。
不仅如此，“⼀⼈⼀票”在候选⼈个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇⼀律的表达⽽抹杀了选民对每⼀个选择⽀的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。
⽐如下列状况中可以给甲、⼄、丙三⼈每⼈100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c⼀定的分值，以表达偏好程度的不同。
甲（a ＞ c ＞b）. 65 25 10⼄（b ＞ a ＞c）. 50 30 20丙（c ＞ b ＞a）. 40 35 25合计：a获得65+30+25=120b获得10+50+35=95c获得25+20+40=85真实的社会偏好次序为：a ＞ b ＞c. 120 95 85⽽“⼀⼈⼀票”的投票结果若⽤分值来分析如下：甲（a ＞ c ＞b）. 100 0 0⼄（b ＞ c ＞a）. 100 0 0丙（c ＞ a ＞b）. 100 0 0完全把个⼈的社会偏好程度完全抹杀掉了，所得的社会偏好次序为：a = b = c. 100 100 100和前⾯的真实偏好是⽭盾的，所以是不科学的，⽽且是荒谬的。
阿罗不可能定理通俗理解阿罗不可能定理，也叫反馈控制理论不可能定理，是由美国数学家阿尔伯特·阿罗在20世纪60年代提出的一个定理。
它揭示了在反馈系统中有哪些因素是不可能同时出现的，这在工程和自然科学中有着广泛的应用。
在质量保证、自调整和稳定化的应用中，反馈系统是非常重要的一部分。
这个系统对于某些需求和行为模式进行调整和改善。
而阿罗不可能定理告诉我们哪些要素不可能同时出现，这是一个非常有用的指导。
下面，我将详细介绍阿罗不可能定理。
阿罗不可能定理，简而言之，指的是在一个反馈控制系统中，如果我们要达到某些性能要求，那么就不可能同时满足三个条件：快速响应、精确度高和无稳定误差。
这三个条件中，任意两个可以同时满足，但三个条件无法同时满足。
我们先来解释一下这三个条件：1. 快速响应：指的是系统在遭遇干扰时，能够尽快做出反应并加以纠正。
快速响应可以避免系统运行过程中出现大量的误差。
2. 精确度高：指的是系统的输出结果和期望的结果之间的误差较小。
精确度高意味着系统输出的结果比较准确。
3. 无稳定误差：指的是系统在达到稳定状态后，输出结果与期望结果的误差为零。
无稳定误差意味着系统具有足够的鲁棒性。
阿罗不可能定理的意义在于，我们必须根据实际需求做出合理的选择，并且要根据具体情况进行权衡与取舍。
如果我们强求同时满足这三个条件，系统的效果会非常不稳定，也会容易导致系统的失败。
因此，我们应该根据具体情况对条件进行权衡。
比如，如果我们要选择精确度和无稳定误差，那么我们就要放弃快速响应。
反之亦然，如果我们要选择快速响应和精确度，那么我们就要放弃无稳定误差。
总之，阿罗不可能定理为我们提供了一个非常有用的思考方式，能够引导我们在反馈系统设计中做出明智的选择。
我们应该根据具体需求，根据三个条件进行平衡，从而实现一个可靠、高效的反馈系统。
阿罗的不可能定理的推理及学者的评价
为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干(S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V>S>C，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。
设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：
甲：V>C>S
乙：C>S>V
丙：S>V>C
表1 投票悖论
用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：
首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；
然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；
最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。
这样三个人的最终表决结果如下：
V>C，C>S，S>V可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。
这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。
用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系>
i=1，2，…，
m。
即可以按自己的偏好为事件排序。
定义群体的偏好为：其中P 是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。
按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。
注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，B<A；是可传递的，即如果A>B，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。
这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。
他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。
公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则：>
i，u=1，2，… ，m在x上的定义方式无任何限制)。
公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I——独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关)。
公理3 社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则P—一致性原则：如果对X
中的两个事件X和Y，对于所有的i都有x <
i Y，那么X < s Y。
这里x < i Y表示X > i Y不成立。
就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。
)
公理4 没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。
(数学上称为原则D——非独裁原则：不存在某个i，使得阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称为“社会福利函数”)。
这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则(majorily rule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。
不难看出，大多数人是偏好X 胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。
按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transitivity)，即大多数人偏好X胜于Z。
但实际上，大多数人偏好Z胜于X。
因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。
结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这就是“投票悖论”，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这两难境地。
那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。
简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由——否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济——否则将导致垄断。
人们对社会的认识达到一个新的高度。
因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。
李特尔、萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。
事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。
怎样综合社会个体的偏好，怎样在理论上找到一个令人满意的评价不同社会形态的方法，成为一个世界性难题。
这时候出现了阿马弟亚·森(Amartya Kumar Sen，1933一)从20世纪60年代中期起，森在工具性建设方面的贡献减少了这种悲观主义色彩。
森在这方面的研究推动了规范经济学跨越这个障碍向前发展。
他的研究工作不仅丰富了社会选择理论的原则，而且开辟了一个新的、重要的研究天地。
森1970年的著作《集体选择和社会福利》是其最重要的一部著作，它使许多研究者恢复了对基本福利的兴趣。
另外这本书还具有哲学的风格，为规范问题的经济分析提供了一个新的视角，克服了阿罗不可能定理衍生出的难题，从而对福利经济学的基础理论作出了巨大的贡献。
森所建议的解决方法其实非常简单。
森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解。
比如，假定所有人均同意V项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为表2，仅仅甲的偏好由于同意“V并非最佳”而V和C的顺序互换了一下，别的都不变。
表2 投票悖论的解决
在对V和C两种方案投票时，C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于V(C>V)；同理，在对V 和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(S>V)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(C>S)。
这样，C>S—S>V—C>V，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。
森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；
(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；
(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。
森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。
一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。
这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足“偏好逆转”假设和“弱帕累托”假设，就必定是独裁的。
特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。
艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。
