浅析阿罗不可能定理

简述阿罗不可能定律阿罗不可能定律（Arro's Impossibility Theorem）是关于群策群力决策的一个重要数学定理。

该定理提出，在特定情况下，群体的意见无法通过一种公平、有效和完全满足各方期望的方式进行决策。

阿罗不可能定律最初由经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）在20世纪50年代提出，并因此获得了诺贝尔经济学奖。

他在研究群体决策时，发现了一些令人意外的结果。

首先，阿罗不可能定律指出，不存在一种决策机制能够同时满足以下四个要求：无独裁性、无个人偏好、完整性和传递性。

简单来说，就是无法找到一种方式，既能确保每个个体的意见得到平等尊重，又能满足所有人的期望。

其次，这一定律还揭示了群体决策中的矛盾和困境。

无独裁性要求每个个体在决策中都有平等的发言权，但这可能导致个人偏好无法得到满足。

而无个人偏好则要求群体的意见能够反映全部个体的优先次序，但这与无独裁性是冲突的。

完整性要求群体必须对所有候选方案能够做出比较，但这可能导致信息过载和决策效率低下。

传递性则要求选择的结果能够按照个体的优先次序传递，但这在多个个体存在时也是困难的。

阿罗不可能定律对社会决策的实践产生了深远的影响。

它帮助我们认识到，寻求公正、公平和高效的群体决策是一个极具挑战性的任务。

在现实中，政治、组织管理和经济决策等领域经常会面临着各种难题和矛盾。

面对阿罗不可能定律，我们可以采取一些策略来提高群体决策的效果。

首先，我们可以通过增加信息共享和讨论的机会，使个体更好地了解其他人的意见和偏好，从而减少信息的不对称性。

其次，引入更灵活和多元的决策机制，例如多轮投票、协商和妥协，可以帮助找到更为综合和满意的解决方案。

此外，建立有效的机制和流程来管理群体决策，包括明确的规则、程序和责任分工，也是提高决策效果的关键。

总而言之，阿罗不可能定律揭示了群体决策中的困境和矛盾，提醒我们在实践中需要谨慎处理这些问题。

虽然完全满足各方期望的决策机制无法实现，但我们可以通过增加信息共享、灵活决策和有效管理等策略来提高群体决策的效果。

民主的博弈论：阿罗不可能定理五四以来，民主与科学一同成为中国人孜孜以求的理想目标。

民主一词源于古希腊的“demos”，原意为人民。

其本意是：在民主制度下，公民拥有超越立法者和政府的最高主权。

而在中国民主观念被简单化、理想化，似乎全民投票就代表了主。

的确，在许多中国人观念里面，民主就是一种投票制度。

然而，我们知道，投票制度采用不同的方法会得到不同结论。

而且，任何一种方法都有操纵选票的策略。

投票制度本身就充斥着内在的矛盾。

实际上，以代议制投票为核心的民主，并不是真正的民主，而是一种具有内在的不可调和的假民主。

通过投票方式，欺骗者可以制造一种虚幻的公平与民意氛围，以此实现他的权力意志或达到其它目的。

比如印度、南美、东南亚一些国家的民选政治的结果往往是只能产生无能、低效和腐败的政府。

对于这种问题，斯坦福大学教授肯尼思•阿罗(K•Arrow) 采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者用专业术语说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究，在《社会选择与个人价值》中，他总结出著名的阿罗不可能定理。

事实上，阿罗本身也是以一种绝对理想的假设状态下的“理想选举”来对这个问题进行研究的。

因此，这个结论实际上意味着：即便在绝对理想状态即每个社会成员的偏好是明确和相对稳定（不受宣传等因素的严重干扰）、没有种种的具体社会政治生活中的消极因素（通过种种宣传工具对对手的诋毁、以经济等手段迫使投票人违背自己的意愿作出选择等等）等的绝对理想情况下，一种能够通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策的方法也是不可能存在的。

人类所能想出的任何办法，都注定无法依赖票选民主的手段达到实质民主的目的。

因为问题就出在选举本身。

阿罗理想选举的第一步是，投票者不能受到特定的外力压迫、挟制，并有着正常智力和理性。

毫无疑问，对投票者的这些要求一点都不过分。

坦白地说，如果一个投票者连这些基本要求都无法满足，那么他要么根本就不是投票而是去捣乱的，要么———精神病院会是更适合他的场所。

简述阿罗不可能定理阿罗不可能定理，简称阿罗定理。

是指在给定正整数n，如果存在正整数N，使得对于每个自然数x， y∈n，都有n-N xy=0。

我相信，这样的定理在我们中学阶段应该都接触过吧。

阿罗不可能定理是数学史上一个很有名的事实。

但它真的有这么神奇吗？要想解决这个问题，我们首先来了解阿罗不可能定理的由来。

阿罗不可能定理是数学界最基本的定理之一，阿罗于1644年发表《数论》。

他的任务是证明所有的数都能被写成两个素数的和。

他证明了所有的正整数都能被写成两个质数的和。

如何证明的呢？一开始他仅仅考虑质数，但是随着质数个数的增加，这种做法变得越来越繁琐。

因此他便证明出：所有的偶数都可以被表示为两个质数的和。

此时人们已经无法再接受“质数比合数多”这种说法了，阿罗想必也很清楚这一点。

因此，人们通常所说的“阿罗不可能定理”其实只是指“所有的奇数都可以被表示为两个质数的和”。

当然这并没有什么错，关键在于证明方法有错。

那是不是说阿罗在证明的时候犯了错误呢？这倒不是，如果你看过《数论》这本书，就会发现阿罗在证明的时候没有采用任何的穷举法，而是使用了穷举法中的“加法原则”，即“对每个大于1的偶数N，都有N-1个小于N的偶数N-1等于N”。

但是在证明的过程中，阿罗却使用了一种非常不精确的方法。

比如，当N是两位数时，他认为这个数一定可以表示成“ 3+5”，而当N是三位数时，他又认为这个数一定可以表示成“ 3+7”。

这样做的后果就是，其实这个数完全可以表示成N-1+N，因此无论怎么表达，阿罗的证明都是正确的。

但是阿罗却将其证明成N-1+N，从而造成了阿罗的证明无效。

如果你将阿罗不可能定理放到《数论》这门课程中去讲，还可以告诉学生，证明一个定理一定要保持精确，否则你的证明会产生意想不到的结果。

同样的例子还有许多。

在证明的过程中，我们需要尽量减少计算量。

在解答的时候，也需要做好充足的准备，否则一个小小的疏忽，就有可能造成证明失败。

简述阿罗不可能定理
阿罗不可能定理是一个由著名数学家艾伦·阿罗制定的定理，它是用来证明一个系统是不可能完全准确表述某一时刻所处环境中所有相关事件发生的顺序的。

它是20世纪一个重要的数学定理，因此它被认为是在证明某些系统的实现中必须要遵守的一个重要的定理。

阿罗的不可能定理的核心是：任何一个系统中，即使不存在逻辑性错误，仍然不可能对一个定义的域作出完全准确的断言。

因为域中的相关事件的发生顺序的关系是连续的，系统也一定会存在着不确定性。

在这里，“不确定性”指的是系统在一个时刻内，不可能有完全无误地判断出三个以上事件发生的完美顺序。

在实际应用中，阿罗不可能定理也拓展到计算机科学领域，进而对计算机信息系统设计中也有着重要的影响。

它指出，只有在系统存在循环、虚拟性或者严格绝对的唯一性之后，系统才能够完全无误地判断出三个相关事件发生的顺序。

它的优势在于可以很好地减少系统的复杂性，提高信息系统的运行效率和可靠性。

总之，阿罗不可能定理对于当代的计算机科学以及信息系统设计具有重要的意义，只有在遵守此定理的基础上才能保证信息系统设计的正确性和合理性，为系统的有效管理和运行提供坚实的保证。

☐前面的问题尚不仅于此，这种情况在现实中就极有可能成为社会选择的最终结果。

而这个结果表现为只有1号的意愿得以实现，那么如果1号改变顺序，还按刚才的方式去进行比较，与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，仍是以1号的选择顺序为转移。

☐可见，在这种情况下利用少数服从多数的投票机制将不能产生一个让所有人满意的结果。

☐阿罗不可能定理——如果一个社会决策机制满足上述性质，那么它必然是一个独裁：所有的社会偏好顺序就是一个人的偏好顺序。

☐满足上述四项条件的公众决策机制是不存在的。

☐如果企图寻找一个把个人偏好加总成社会偏好的方法，我们将不得不放弃阿罗不可能定理中所描述的社会决策机制性质中的一个性质。

☐阿罗不可能定理是对现代公共选择理论的极大支持。

——经济生活中存在的只是一个个特殊的利益集团.☐阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。

阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。

我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。

☐就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。

阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。

如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。

对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C.Campbell）和塔洛克（G. Tullock）。

☐坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。

譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。

也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。

因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。

☐此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。

阿罗不可能定理“阿罗不可能定理”和森的“帕累托⾃由悖论”进⼀步证明了“⼀⼈⼀票”的虚伪性阿罗不可能定理源⾃孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。

早在⼗⼋世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲⼄丙三⼈，⾯对a、b、c三个备选⽅案，有如图的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞c）⼄（b ＞ c ＞a）丙（c ＞ a ＞b）注：甲（a ＞ b ＞c）代表——甲偏好a胜于b，⼜偏好b胜于c。

但若以“⼀⼈⼀票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。

在“⼀⼈⼀票”的投票中选民可以将⾃⼰仅有的⼀张选票投向其中⼀位候选⼈来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选⼈，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是⾮此即彼的表达，还尚且没有⼤问题，最终可以通过对两位候选⼈获得“1”的个数加总对⽐出得票多少⽽排列出谁最受该选民群体的喜欢。

但是，当候选⼈是“三”的情况下，由于每位选民⼿中的选票只有⼀张，若将选票投向其中⼀位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，⽆法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。

不仅如此，“⼀⼈⼀票”在候选⼈个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇⼀律的表达⽽抹杀了选民对每⼀个选择⽀的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。

⽐如下列状况中可以给甲、⼄、丙三⼈每⼈100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c⼀定的分值，以表达偏好程度的不同。

甲（a ＞ c ＞b）. 65 25 10⼄（b ＞ a ＞c）. 50 30 20丙（c ＞ b ＞a）. 40 35 25合计：a获得65+30+25=120b获得10+50+35=95c获得25+20+40=85真实的社会偏好次序为：a ＞ b ＞c. 120 95 85⽽“⼀⼈⼀票”的投票结果若⽤分值来分析如下：甲（a ＞ c ＞b）. 100 0 0⼄（b ＞ c ＞a）. 100 0 0丙（c ＞ a ＞b）. 100 0 0完全把个⼈的社会偏好程度完全抹杀掉了，所得的社会偏好次序为：a = b = c. 100 100 100和前⾯的真实偏好是⽭盾的，所以是不科学的，⽽且是荒谬的。

阿罗不可能定理通俗理解阿罗不可能定理，也叫反馈控制理论不可能定理，是由美国数学家阿尔伯特·阿罗在20世纪60年代提出的一个定理。

它揭示了在反馈系统中有哪些因素是不可能同时出现的，这在工程和自然科学中有着广泛的应用。

在质量保证、自调整和稳定化的应用中，反馈系统是非常重要的一部分。

这个系统对于某些需求和行为模式进行调整和改善。

而阿罗不可能定理告诉我们哪些要素不可能同时出现，这是一个非常有用的指导。

下面，我将详细介绍阿罗不可能定理。

阿罗不可能定理，简而言之，指的是在一个反馈控制系统中，如果我们要达到某些性能要求，那么就不可能同时满足三个条件：快速响应、精确度高和无稳定误差。

这三个条件中，任意两个可以同时满足，但三个条件无法同时满足。

我们先来解释一下这三个条件：1. 快速响应：指的是系统在遭遇干扰时，能够尽快做出反应并加以纠正。

快速响应可以避免系统运行过程中出现大量的误差。

2. 精确度高：指的是系统的输出结果和期望的结果之间的误差较小。

精确度高意味着系统输出的结果比较准确。

3. 无稳定误差：指的是系统在达到稳定状态后，输出结果与期望结果的误差为零。

无稳定误差意味着系统具有足够的鲁棒性。

阿罗不可能定理的意义在于，我们必须根据实际需求做出合理的选择，并且要根据具体情况进行权衡与取舍。

如果我们强求同时满足这三个条件，系统的效果会非常不稳定，也会容易导致系统的失败。

因此，我们应该根据具体情况对条件进行权衡。

比如，如果我们要选择精确度和无稳定误差，那么我们就要放弃快速响应。

反之亦然，如果我们要选择快速响应和精确度，那么我们就要放弃无稳定误差。

总之，阿罗不可能定理为我们提供了一个非常有用的思考方式，能够引导我们在反馈系统设计中做出明智的选择。

我们应该根据具体需求，根据三个条件进行平衡，从而实现一个可靠、高效的反馈系统。

阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理，也称为计算不可能定理，是20世纪30年代由英国数学家阿罗提出的一条重要定理。

该定理指出，不存在通用的计算机程序能够解决所有问题。

那么这个定理的具体含义是什么呢？简单来说，就是存在某些问题是无法被计算机解决的，而这些问题通常被称为“不可计算问题”。

这些不可计算问题往往是关于某些数学对象的性质的问题，比如判定某个数是否是素数、判定某个图形是否可彩色等等。

虽然我们可以通过手工计算得到某些特定例子的解，但是我们无法找到一种通用的方法来解决所有这类问题。

这个定理的意义在于，它限制了计算机的能力，告诉我们有些问题是无法被计算机解决的，必须寻找其他方法来解决。

同时，这个定理也推动了计算机科学的发展，促使人们不断探索新的计算方法和算法，以更好地解决各种实际问题。

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1951年阿罗指出的不可能性定理是福利经济学中的第一个不可能性定理，证明了在某些条件下阿罗社会福利函数是不存在的。

实际上，阿罗证明的是阿罗一般性定理(General Possibility Theorem)，该定理证明了阿罗社会福利函数必须至少满座五个合理化的条件，即：1．符合逻辑的个人效用函数的任意性(free triple)；在所有状态中至少有三种选择，关于这三种选择，所有逻辑上可能的个人排序都是可以接受的。

2．社会价值和个人价值选择的正或非负关联性(positive or not negative association)；社会排序随着个人价值判断的变化而同方向变化，或者至少不是反方向变化。

因此，如果在每个人的排序中某个社会状态的排序上升或保持不变，而在这些排序中没有发生其他的变化，那么，我们就可以预期，该社会状态在社会排序中的排序也上升或至少没有下降。

3．无关选择的独立性(independence of irrelevant alternatives)；给定条件下社会所做出的选择只取决于该条件下个人对这些选择的排序。

换言之，如果我们考虑这样的两个个人选择集合，对每一个个人而言，他对于给定条件下特定选择的排序在任何时候都是一样，那么我们就可以要求，在该条件下，当个人的价值判断由第一个排序集合给出时，和当个人的价值判断由第二个排序集合给出时，社会所做出的选择应该是相同的。

4．非强迫性或公民的主权性(non-imposition or citizens’sovereignty)；如果有一组选择x和y，无论所有人的偏好是什么，社会都不会显示出y胜于x，即使所有人都认为y胜于x，社会的排序也仍然是x不差于y，这样的社会排序就是强加的。

该条件要求社会排序必须根据个人排序得出。

5．非独裁性(non-dictatorship)；如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。