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兔子繁殖数学建模斐波那契原型今天咱们来讲一个特别有趣的关于兔子繁殖的事儿。
在一个美丽的大草地里，住着一对可爱的小兔子。
这对小兔子是刚刚出生的，它们呀，还没有长大呢。
这个草地就像一个大大的家，有好多新鲜的青草可以吃。
过了一个月呀，这对小兔子长大了一些，不过还不能生小兔子呢。
又过了一个月，这对长大了的兔子就变成了大兔子，这个时候它们就有能力生小兔子啦。
然后呢，这对大兔子就生出了一对小兔子。
现在草地上就有原来的那对大兔子和新出生的一对小兔子啦，一共是两对兔子。
再过一个月呢，新出生的小兔子还没长大，可是原来的那对大兔子又生了一对小兔子。
这个时候呀，最早出生的那对小兔子长大了。
现在草地上就有最早的那对大兔子，它们生的两对小兔子，还有新长大的那对兔子，一共是三对兔子啦。
又过了一个月呢，最早的那对大兔子又生了一对小兔子，之前长大的那对兔子也生了一对小兔子，新出生的小兔子还没长大。
这样算下来呀，草地上就有最早的那对大兔子，它们生的三对小兔子，之前长大的兔子生的一对小兔子，还有两对新长大的兔子，一共是五对兔子了。
咱们这样一个月一个月地数下去，就会发现兔子的数量是这样变化的：1、1、2、3、5……这个数列就是按照一种很有趣的规律在增长呢。
就像我们数自己的手指头一样，一个一个很清楚。
这个规律就和一个很有名的数学东西有关，它叫斐波那契数列。
斐波那契发现了这个规律，就像他发现了一个藏在兔子世界里的秘密。
想象一下，如果这个草地超级大，兔子可以一直这样繁殖下去，那兔子的数量就会按照这个规律变得越来越多。
比如说，如果我们再往后算几个月，按照这个规律，下一个月兔子的对数就是前面两个月兔子对数的和。
像前面是3对和5对，那下一个月就会有8对兔子啦。
这个兔子繁殖的故事就像一个魔法一样，让我们看到了数学在生活里的影子。
我们可以把这个当成一个好玩的游戏，每个月去数一数兔子的数量，然后发现这个神奇的规律。
这样我们就会发现数学不是那么枯燥，而是像这个兔子的故事一样，充满了乐趣。
关于大草履虫的种群数量增长研究在放有10ml 培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔一天统计一次大草履虫的数量。
其种群增长表格和曲线如下：模型的建立根据假设可知，10=N ，增长率1=r ，繁殖i 代后细菌的数量为i N ，繁殖1+i 代后细菌的数量为1+i N ，则有1(1)i iN r N +=+ （1）模型的求解代入以上数据根据等差数列公式即可解得：2ii N = （2）当h t 72=时，726021620t i t ⨯===∆代入（2）即可得， 72h 细菌的数量：2162162N =繁殖n 代后细菌数量为2n 个。
由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
5.2.1. 模型的建立由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
令1R r =+，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus 差分方程如下1i i N RN += （3） 以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：图1 指数增长模拟图由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“J ”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。
对此，进行如下分析与修正：早期细菌增长规律： R=1，种群数量保持稳定； 0<R<1种群数量下降；R=0，此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。
对于R>1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R 中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。
淮阴工学院《数学建模》课程设计班级：计科1091姓名：刘红斌学号： 1094101109选题： A 组第 09 题教师：王小才胡平姜红燕数数理院2011年12月.一年生植物的繁殖摘要本文研究生植物的繁殖问题，根据生植物的繁殖规律建立了一个多年后该植物繁殖数量变化情况的三阶线性常系数差分方程模型。
实验利用MATLAB数学软件采用一维搜索的方法，最终确定了1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b的取值范围，得到了当0.139b<时就不能繁殖的结果。
此模型能够b≥时该植物就能一直繁殖下去，而当0.139很好地解决类似此类预计某项事物发展规律的问题，具有较强的规律性。
关键词：MATLAB，三阶差分方程，一维搜索.一 、问题重述1.1背景资料与条件一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。
这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第二年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。
现在在一片空地上种上0x =500颗某种该植物。
记一棵植物春季产种的平均数为c ,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b ,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b , 活过两个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b ,1岁种子发芽率1a ，2岁种子发芽率2a ，3岁种子发芽率3a ，12310,0.7,0.4,0.2c a a a ====为固定值，b 是变量。
1.2需要解决的问题试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。
二、问题的假设1. 不考虑恶劣的气候环境影响种子春季的种量；2. 不考虑食物链对该植物的影响；3. 不存在自然灾害的破坏；4. 不考虑外部作用使该植物发生突变或变异。
三、符号的说明k x ：第k 年植物数量c ：一棵植物春季产种的平均数 0a ：空地上初始的植物数量 1a ：1岁种子发芽率 2a ：2岁种子发芽率 3a ：3岁种子发芽率b ：1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例四、问题分析.根据所给条件，能够将k 年之后植物的数量表示出来，但是1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b 不能确定，所以本题是在其他条件都确定的情况下，比较在b 的不同取值下，植物数量的变化规律。
兔子繁殖问题数学模型
兔子繁殖问题是一个经典的斐波那契数列问题。
在数学上，斐波那契数列是这样定义的：第一个数和第二个数分别是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，依次类推。
兔子繁殖问题的数学模型可以表示为以下递归关系式：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
其中，F(n)表示第n个月的兔子对数。
这个模型基于以下假设：
1. 每对兔子在出生后的第三个月开始繁殖。
2. 每对兔子每月繁殖出一对新的兔子。
3. 兔子总是雌雄成对出生。
通过这个模型，可以计算出兔子在任意月份的对数。
当n趋近于无穷大时，斐波那契数列的值将趋于一个无限大的极限，这就是著名的斐波那契数列的性质。
在实际应用中，斐波那契数列及其衍生问题广泛应用于生物学、经济学、计算机科学等领域。
例如，在计算机科学中，斐波那契数列常用于解决动态规划问题、回溯算法等问题。
数学建模-动物数量的预测动物数量的预测相关知识点解题方法解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程假设某种动物的数量仅与它们的出生率和死亡率有关，即此类动物在某段时间内的增量为出生量与死亡量的差.设动物的数量为，出生率为，死亡率为（出生率和死亡率分别是单位时间内出生数和死亡属于此动物总数的比），讨论，都是常数，以及，为的线性函数这两种情形动物的繁殖函数.一阶微分方程的初等解法设动物在时刻的数量为，并设它们的出生率和死亡率分别为与.假定它们的出生数与死亡数都和时的动物数及时间成正比，考虑在时间间隔内动物数量的增量，得到一可分离变量的微分方程，解得动物数量与的函数关系.进一步，若和取为的线性函数：，可得另一微分方程，其解则更加符合一般动物增长的规律.根据增量=出生量－死亡量第一步：设动物在时刻的数量为，在时间内动物的增量为.由题意，在这段时间内动物的出生量和死亡量分别为与.得到，即（1）（1）式为变量可分离的微分方程.如果初始条件为，对方程（1）两边积分：得，也即.（2）解题过程记，上述的数学模型为其解，称为马尔萨斯（Malthus）生物总数增长定律.根据这一定律，任何生物都是随时间按指数方式增长.特别当时，生物将无限地增加，而时，生物逐渐减少，趋于灭亡.在生物群体不大时，此定律与实际情况吻合很好，但当群体很大时，它就不适合了.即令，则上式化为即，于是在时间内动物的增量满足，第二步：对，进行修正.设，其中均为正常数.此时出生率和死亡率都不再是常数，而是的线性函数，前者随均匀减小，后者随均匀增加.（3）式的图形称为逻辑斯谛(logisitic)曲线.可以用实验的方法或根据统计数据来确定该图形.注意到，对上式积分：得，解得，（3）其中是时动物的数量.（3）式说明：无论初值是多少，当时，的极限都是第三步：例已知以百万为单位的某种动物数目在1890年时为13，1940年时为50，1990年时为122，试预测2040年时该动物的数目.解以50年为1个时间单位，将=13，=50，=122代入（3）式，可得=13，，于是此类动物的繁殖函数为取，得（百万）即预测2040年该动物的数量约为174（百万）只.。
动物的繁殖与收获数学建模繁殖和收获是动物世界中最基本的生存活动，而在人类社会中，它们也是经济发展和物质生产的重要组成部分。
因此，动物的繁殖和收获问题一直受到人们的广泛关注和研究。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用数学建模方法解决动物的繁殖和收获问题。
首先，让我们来看看动物的繁殖问题。
生物学家发现，动物的繁殖过程是一个复杂的生物学系统，它受到许多因素的影响，如环境、饲养条件、互相作用等。
如何预测一种动物的繁殖趋势和数量呢？这就需要用到数学建模的方法了。
首先，建立一个简单的数学模型，考虑到动物种群数量增长的主要因素包括出生率和死亡率，可以使用如下的微分方程来描述：$dN/dt = rN - dN$其中N表示动物种群的数量，r表示每个体单位时间内出生的平均数，d表示每个体单位时间内死亡的平均数。
这个微分方程使用了一阶线性微分方程的形式，它可以用基本的数学工具进行求解，例如欧拉方法、Runge-Kutta方法等。
通过模拟运行，我们可以预测各自平衡时种群数量的增减规律，以及系统的稳定性和灵敏性。
然而，在实际应用中，由于动物群体内部自身组成成份及其生态环境的复杂性，微分方程中可能需要设定多个参数，因此，需要精细处理动物种群中的生态因素，从而使模型更加真实准确。
接着，让我们考虑到养殖业中的动物收获问题。
在养殖业中，动物的收获是指对动物进行捕捞、捕猎、屠宰等活动，以取得相应的经济利益。
如何确定一个适当的收获量？这也需要用到数学建模的方法。
以渔业为例，渔业的经济效益主要取决于捕获的鱼类数量和价格，以及运输成本等，因此，可以建立一个简单的收获经济模型，它可以用来预测在不同条件下的最优捕捞量（例如，最大化不同的经济指标，如利润、产量等）。
在收获经济模型中，主要需要确定的参数包括捕捞成本、售价、捕捞时间、渔场规模等，以及考虑到其他因素的影响，比如，环境保护、渔业法规、还鱼和放流措施的操作等因素，这些因素需要在模型中进行适当的处理，以保证模型本身的可靠性。
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
问题：
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。
动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。
第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。
假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头。
（1）编程，计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物数量，50年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？
（2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k ，有)1(+k X ≈1λ)(k X （1λ是莱斯利矩阵L 的唯一正特征值）。
请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k 的值。
（3）如果每五年平均向市场供应动物数c ＝[]T s s s
，在20年后农场动物不至灭绝
的前提下，计算c 应取多少为好？
提示：现在给大家作出如下问题分析：
在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为：
)0(1x ＝1000， )0(2x ＝1000， )0(3x ＝1000 以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量
X ＝T x x x ][321
表示。
以五年为一个时间段，记
)(k X ＝T k k k x x x ][)(3)(2)(1
为第k 个时段动物数分布向量。
当k ＝0，1，2，3时，)(k X 分别表示现在、五年后、十年
后、十五年后的动物数分布向量。
根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k 个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。
由此得第一年龄组在第k ＋1个时间段的数量如下：
)1(1+k x ＝4)
(2k x ＋3)(3k x 同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式
)1(2
+k x ＝0.5)(1k x ， )1(3+k x ＝0.25)(2k x 建立数学模型如下：
)
1(1+k x ＝4)(2k x ＋3)(3k x )1(2
+k x ＝0.5)(1k x （k ＝0，1，2，3） )1(3+k x ＝0.25)(2k x
改写成矩阵形式
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++)(3)(2)(1)1(3)1(2)1(1025.00005.0340k k k k k k x x x x x x （k ＝0，1，2，3） 由此得向量)(k X 和)1(+k X 的递推关系式
)1(+k X
＝L )(k X
其中矩阵 L ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡025.00005.0340 称为莱斯利矩阵，进一步有
)1(+k X
＝1+k L (0)X
（3）
如果每个五年平均向市场供应动物c ＝[]T s s s
，分析动物数分布向量变化规律可知 )1(X
＝L )0(X －c )2(X
＝L )1(X －c )3(X
＝L )2(X －c )4(X
＝L )3(X
－c 所以有 )4(X ＝4L )0(X
－（3L ＋2L ＋L ＋I ）c 考虑20年后动物不灭绝，应有
)4(X
＞0
即有 （3L ＋2L ＋L ＋I ）c ＜4L )0(X
由于c 是常数向量，简单求解不等式组，可取c=T 152]
152 [152。
