直线与圆锥曲线相交的弦长公式(终审稿)

有关圆锥曲线的结论公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

高中数学圆锥曲线弦长公式摘要：1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.提高解题效率的方法正文：在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等曲线。

弦长公式是圆锥曲线中的一个关键概念，掌握它对于解决相关问题具有很大的实用价值。

一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面相交而成的曲线。

根据圆锥的顶点、开口方向和截面形状，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

它们各自具有不同的性质和公式，但在求解弦长问题时，都可以利用相同的弦长公式。

二、圆锥曲线弦长公式的推导设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，圆锥曲线的方程为y=f(x)。

根据两点间距离公式，弦长AB可以表示为：AB = √[(x1-x2) + (y1-y2)]为了求解弦长，我们需要先求出交点A、B的坐标。

将直线的方程y=kx+b代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x的一元二次方程。

解这个方程，可以得到交点A、B的坐标。

三、圆锥曲线弦长公式的应用1.求解直线与圆锥曲线的交点坐标将直线的方程代入圆锥曲线的方程，解出交点坐标。

2.求解弦长利用求得的交点坐标，代入弦长公式，计算得到弦长。

3.求解其他相关问题利用求得的弦长，可以进一步求解其他问题，如弦的中点、弦的垂直平分线等。

四、提高解题效率的方法1.熟练掌握圆锥曲线的性质和公式熟练掌握圆锥曲线的性质和公式，有助于快速解决相关问题。

2.善于运用整体代换、设而不求的思想在解决圆锥曲线问题时，善于运用整体代换、设而不求的思想，可以简化运算过程。

3.多练习、多总结通过多练习，熟练掌握解题方法；通过多总结，不断提高解题效率。

总之，掌握圆锥曲线弦长公式，能够帮助我们解决圆锥曲线相关问题。

直线与圆锥曲线1．相离求最值问题 2．相切求值、求参问题 3．弦长公式若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12x x ，分别为A 、B 的横坐标，则||AB =，12||AB x =-=．若12y y ，分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=4．圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等． 5．面积范围及其最值问题解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值．考点一 相离求最值问题例1．已知点P (a ，b )是圆x 2 + y 2 = 1内不同于原点的一点，则直线ax +by = 1与圆的位置关系是 ．例2．已知P 为抛物线y 2 = 4x 上一个动点，P 到其准线的距离为d ，Q为圆x 2 + (y - 4)2 = 1上一个动点，d + |PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C 1D 2例3．已知点P ，Q 分别是抛物线C ：x 2 = 2p y （p > 0）与圆M ：x 2 + (y- p )2=1上的动点，且| PQ |的最小值为2，则抛物线C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例4．已知点P 是抛物线y 2 = 2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点742A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则|P A |+|PM |的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5例5．已知P 是抛物线y 2 = 4x 上的一个动点，Q 是圆(x - 3)2 + (y - 1)2 = 1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ | + |PN |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D 1例6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y = x 2 - 8x + 2与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C 的方程；（2）设圆C 圆心为C ，点D 坐标为122⎛⎫⎪⎝⎭，，试在直线x - y - 6 = 0上确定一点P ，使得|PC | + |PD |最小，求此时点P 坐标．考点二 相切求值、求参问题例7．已知抛物线y 2 = 2px （p > 0）的准线与圆(x - 2)2 + y 2 = 9相切，则p 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5例8．已知直线：y = kx - k + 1与曲线C ：x 2 + 2y 2 = m 有公共点，则m的取值范围是（ ） A ．m ≥3B ．m ≤3C ．m > 3D ．m < 3例9．过点(0，1)且与抛物线y 2 = 4x 只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条例10．已知双曲线2222100x y a b ab-=>>（，）的两条渐近线均与圆C ：x 2 + y 2- 6x + 5 = 0相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B ．C ．32D例11．椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-1，0)和F 2(1，0)，若该椭圆C 与直线x + y - 3 = 0有公共点，则其离心率的最大值为（ ）A ．B ．CD 例12．已知圆(x - 1)2 + y 2 =34的一条切线y = kx 与双曲线C ：2222100x y a b a b -=>>（，）有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1，)B ．(1，2)C ．，+∞)D ．(2，+∞)例13．已知抛物线C ：y 2 = 8x ，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：x 2 + y 2 - 4x + 3 = 0作切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ADB 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3考点三 弦长例14．在平面直角坐标系xOy 中，直线x + 2y - 3 = 0被圆(x - 2)2 + (y + 1)2 = 4截得的弦长为 ．例15．已知抛物线C ：y 2 = 2px （p > 0），焦点F 到准线l 的距离为2． （1）求P 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线l '交抛物线于点A 、B ，求||AB ． 例16．经过点M (2，2)作直线L 交双曲线2214y x -=于A ，B 两点，且M 为AB 中点．（1）求直线L 的方程； （2）求线段AB 的长．例17．若抛物线y 2= 2px 的一个焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合．（1）求P 的值；（2）若点P (2，4)是抛物线上一点，点F 为抛物线的焦点，求线段PF 的长．例18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点12P ⎫⎪⎭，，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点E (-1，0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA | = 2|EB |，求直线l 的方程．例19．已知点A 是抛物线M ：y 2 = 2px （p > 0）与圆C ：x 2 + (y - 4)2 = a 2在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，求直线OA 被圆C 所截得的弦长．例20．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （1）当|AM | = |AN |时，求△AMN 的面积；（2）当2|AM | = |AN |2k <．考点四 中点弦问题例21．若椭圆221369x y +=的弦中点是(4，2)，则此弦所在直线的斜率是（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．12-例22．已知直线l 与双曲线x 2 - y 2 = 1交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为C (2，1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．3例23．若椭圆mx 2 + ny 2 = 1与y = 1 - x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB mn的值等于（ ）A ． BC D 例24．如果椭圆221369x y +=的弦被点(2，2)平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）A ．x + 4y = 0B ．x + 4y - 10 = 0C ．x + 4y - 6 = 0D ．x - 4y - 10 = 0例25．已知A (-2，0)，B (2，0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足：||||MA MB -=||||NA NB -=MN 的中点为(6，1)，则k 的值为（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．2例26．双曲线2222100x y a b ab-=>>（，）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为（ ）（例26）B．y =D ．2y x =±例27．求以点(1，-1)为中点的抛物线y 2 = 8x 的弦所在的直线方程．例28．如图，已知抛物线C ：y 2 = 4x 焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．（1）若线段AB 的中点在直线y = 2上，求直线l 的方程； （2）若|AB | = 20，求直线l 的方程．（例28）例29．已知圆22(16O x y +=：，点0)A ，Q 是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ 于点M ，设点M 的轨迹为E ． （1）求轨迹E 的方程；（2）过点P (1，0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB （O 是坐标原点）的面积45S =，求直线AB 的方程．例30．已知椭圆Γ：222210x y a b a b+=>>（）的右焦点为0)，且椭圆Γ 过点(3，1)． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形P AB ，其中顶点P 的坐标为(-3，2)，求△P AB 的面积．例31．已知定点M (1，0)和直线x = -1上的动点N (-1，t )，线段MN 的垂直平分线交直线y = t 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）直线y = kx + b （0k ≠）交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为点P ．点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线．考点五 面积及其最值问题例32．已知抛物线C ：y 2 = 8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点P 在抛物线上，且||PM =|PF ，则△PMF 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32例33．点集22{()|(||1)4}x y x y -+=，表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A ．163+πB ．163+πC ．243+πD ．243+π例34．已知椭圆2212xy +=的左右焦点分别为F 1，F 2，若过点P (0，-2)及F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 2的面积例35．设椭圆方程为22148xy +=，过原点且倾斜角为θ和θ-π（02θ<<π）的两直线分别交椭圆于A ，C 和B ，D 两点． （1）用θ表示四边形ABCD 的面积S ；（2）当02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π时，求S 的最大值．例36．已知圆x 2 + y 2 = 4，圆内定点P (1，0)，过P 作两条互相垂直的弦AC 和BD ，设AC 的倾斜角为α（02α≤≤π）． （1）求四边形ABCD 的面积S ； （2）当S 取最大值时，求α及最大面积．例37．如图，过抛物线C ：y 2 = 4x 上一点P (1，-2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． （1）求y 1 + y 2的值；（2）若y 1≥0，y 2≥0，求△P AB 面积的最大值．（例37）(1)A ，任作两条倾斜角互补的直（1）求证：直线BC 的斜率为定值；（2）求△ABC 的面积S 的最大值．例39．已知椭圆方程为2218y x +=，射线y =（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证：直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．例40．已知椭圆E ：222210x y a b a b +=>>（）的离心率e =，且过点14⎫⎪⎝⎭，． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知A 、B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点，过原点O 作斜率为k （k > 0）的直线交椭圆于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积S 的最大值．。

弦长公式二、证明弦长= = 其中为直线斜率，（ , ），（ , ）为直线与曲线的两交点证明方法如下：假设直线为：圆的方程为：，假设相交弦为AB，点A为（ , ）点B为（ , ）则有把，分别代入，则有：证明的方法也是一样的证明方法二这是两点间距离公式因为直线所以将其代入得到弦长公式二=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2=-2px，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚=2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2=-2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三编辑d = = = = ..........................................................1式关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

d = ......................................................................................2式在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的b^2-4ac ，a为二次项系数。

补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。

2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分即可。

直线与抛物线的弦长公式
抛物线被直线所截的弦长公式是x1+x2+p，弦长公式一般指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式，是数学、几何学中通过平切圆锥（一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

弦长公式二：
抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物。

线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2。

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-
﹙y1+y2﹚。

关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即二次曲线）。

一般直接用公式解决弦长问题时,计算量大,容易出错,这正是高考命题需要考查学生计算能力的一个重要方面。

我们通常用“设而不求”的方法，可得到其弦长公式。

这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。

本文将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，用它来解题可以简化运算过程。

假设设直线l的方程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的方程代入二次曲线方程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是方程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。

圆锥曲线是一种由圆锥曲线构成的曲线，它是由一个圆锥曲线的两个曲线段组成的，其中一个曲线段是圆锥曲线，另一个曲线段是圆弧曲线。

圆锥曲线的弦长公式是用来计算圆锥曲线的弦长的一种公式，它可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性。

圆锥曲线的弦长公式是：s=2π√(a²+b²+ab)÷3，其中a和b分别是圆锥曲线的两个曲线段的半径，π是圆周率，s是圆锥曲线的弦长。

首先，圆锥曲线的弦长公式是基于圆锥曲线的特性来推导出来的，它的推导过程很复杂。

它是由圆锥曲线的两个曲线段组成的，一个曲线段是圆锥曲线，另一个曲线段是圆弧曲线，而圆锥曲线的弦长是由圆锥曲线的两个曲线段的半径和圆周率组成的。

其次，圆锥曲线的弦长公式可以用来计算圆锥曲线的弦长，这对于理解圆锥曲线的特性很重要。

圆锥曲线的弦长公式可以帮助我们计算出圆锥曲线的弦长，从而更好地理解圆锥曲线的特性。

最后，圆锥曲线的弦长公式也可以用来计算圆锥曲线的体积。

圆锥曲线的体积是由圆锥曲线的两个曲线段的体积之和组成的，而每个曲线段的体积又是由圆锥曲线的弦长公式计算出来的。

因此，圆锥曲线的弦长公式也可以用来计算圆锥曲线的体积。

总之，圆锥曲线的弦长公式是一种用来计算圆锥曲线的弦长的公式，它可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，也可以用来计算圆锥曲线的体积。