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第一讲 圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
1、圆的标准方程与一般方程的互化
（1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
（2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F 4
①当D 2＋E 2－4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12
D 2＋
E 2－4
F 为半径的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2
)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
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（二）点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系：
（1）若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.
（2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.
（3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2（三）温馨提示
1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：
（1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝122x x + ，y ＝122
y y + .
二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法
【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .
