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2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校第69届高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．在等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（）A．3B．27C．D．2432．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（）A．36B．18C．2D．54．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝（）A．15B．7C．8D．165．两圆x2+y2﹣2y+3＝0与x2+y2+2x＝0公共弦所在的直线方程为（）A．2x﹣2y﹣3＝0B．2x﹣2y+3＝0C．2x+2y+3＝0D．2x+2y﹣3＝0 6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm27．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．98．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则数列{a n}的前11项和S11＝（）A．24B．48C．66D．13210．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π11．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．12．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点．14．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）B（a，﹣1），且与l垂直，直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，则a+b＝．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则二面角C﹣BD﹣C1的大小是．16．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0与直线x+2y﹣3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣3．（1）当a＝﹣1时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．（1）求b的值；（2）求sin C的值．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．22．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．参考答案一、选择题（共12小题）.1．在等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（）A．3B．27C．D．243解：等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝a11•a10＝3，故选：A．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或解：由于△ABC中，a2+c2﹣b2＝ac，可得：cos B＝＝＝，由于：B∈（0，π），故B＝，故选：A．3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（）A．36B．18C．2D．5解：化圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，得圆心坐标为（2，2），半径为．圆心到直线x+y﹣14＝0的距离d＝．∴圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为．故选：C．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝（）A．15B．7C．8D．16解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1＝1，∴4a1+a3＝2×2a2，即4+q2﹣4q＝0，即q2﹣4q+4＝0，（q﹣2）2＝0，解得q＝2，∴a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴S4＝1+2+4+8＝15．故选：A．5．两圆x2+y2﹣2y+3＝0与x2+y2+2x＝0公共弦所在的直线方程为（）A．2x﹣2y﹣3＝0B．2x﹣2y+3＝0C．2x+2y+3＝0D．2x+2y﹣3＝0解：根据题意，联立两圆的方程有，两式相减可得：2x+2y﹣3＝0，即两圆公共弦所在的直线方程为2x+2y﹣3＝0；故选：D．6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2＝2R，R＝，S＝4πR2＝12π故选：B．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．9解：x、y满足约束条件的可行域如图：z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故选：A．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则E（0，0，1），F（1，1，0），A（2，0，0），D1（0，0，2），＝（﹣2，0，2），＝（1，1，﹣1），设直线AD1与EF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AD1与EF所成角的余弦值是．故选：B．9．在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则数列{a n}的前11项和S11＝（）A．24B．48C．66D．132解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9＝，∴a1+8d＝（a1+11d）+6，∴a1+5d＝12，即a6＝12．∴数列{a n}的前11项和S11＝a1+a2+…+a11＝（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6＝11a6＝132．故选：D．10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．11．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+a7＝6，a11＝8，∴3a1+12d＝6，a1+10d＝8，解得a1＝﹣2，d＝1．∴a n＝﹣2+（n﹣1）＝n﹣3．∴＝＝．则数列的前n项和＝++…+＝1﹣＝．故选：C．12．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b＝1．∴，当且仅当＝时，等号成立，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点（﹣2，1）．解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7＝0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y＝0和3x﹣y+7＝0的交点，解方程组可得∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）14．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）B（a，﹣1），且与l垂直，直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，则a+b＝﹣2．解：∵直线l的倾斜角为，∴，∵l1经过点A（3，2），B（a，﹣1），且与l垂直，∴，解得a＝0；又直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，∴，解得b＝﹣2．∴a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则二面角C﹣BD﹣C1的大小是30°．解：设O为BD，AC的交点，则OC＝OD＝＝，C1D＝＝．OC1＝＝．设二面角C1﹣BD﹣C的大小为α则sinα＝＝，∴α＝30°，∴二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°．故答案为：30°．16．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0与直线x+2y﹣3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为3．解：由题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组求得消y得5x2+10x+4m﹣27＝0，于是根据韦达定理得，x1+x2＝﹣2，x1•x2＝．∴y1•y2＝•＝[9﹣3（x1+x2）+x1•x2]＝[9+6+]＝．再根据OP⊥OQ，可得•＝x1•x2+y1•y2＝+＝0，求得m＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣3．（1）当a＝﹣1时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，不等式ax2﹣4ax﹣3＞0，即﹣x2+4x﹣3＞0．可化为x2﹣4x+3＜0，即（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，故不等式f（x）＞0的解集为（1，3）．（2）①当a＝0时，不等式ax2﹣4ax﹣3≤0恒成立；②当a≠0时，要使得不等式ax2﹣4ax﹣3≤0恒成立；只需解得：﹣≤a＜0，综上所述，a的取值范围为：[，0]．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．（1）求b的值；（2）求sin C的值．解：（1）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入数据可得b2＝4+25﹣2×2×5×＝17，∴b＝；（2）∵cos B＝，∴sin B＝＝由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2为所求l方程．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD ⊥平面BB1C1C．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C，即2cos C•sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝ab sin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2ab cos C，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．22．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．【解答】解．（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣1≠0，∴＝而S1＝（1﹣a1），∴a1＝∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴a n＝（）n．由b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*），得＝1，＝2，d＝＝1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×1＝n，∴b n＝．（2）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c2+c3+…+c n，则T n＝1•+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n＝＜．。
2019-2020学年辽源市田家炳高级中学高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列{a n}中，各项均为正数，前n项和为S n，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1=1，则S4=()A. 7B. 8C. 15D. 162.已知直线ax−by+c=0(abc≠0)与圆O：x2+y2=1相离，且|a|+|b|>|c|，则|a|，|b|，|c|为边长的三角形是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在3.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)。
若圆C上存在点P，使得∠APB=90º，则m的最大值为()A. 7B. 6C. 5D. 44.等差数列中，，，则此数列前项和等于()A. B. C. D.5.已知圆C1：x2+y2=4，C2：(x−3)2+(y−4)2=25交于A，B两点，则直线AB的方程为()A. 4x−3y−2=0B. 4x−3y+2=0C. 3x−4y−2=0D. 3x+4y−2=06.如下图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为()A. 1∶6B. 1∶5C. 1∶2D. 1∶37.变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是()A. B. C. D.8.如图，A1B1C1−ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A. √3010B. 12C. √32D. √15109.等差数列中，=12，那么的前7项和=A. 22B. 24C. 26D. 2810.如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为()A. 2+3π+4√2B. 2+2π+4√2C. 8+5π+2√3D. 6+3π+2√311.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=4a n+m，且数列{na n}的前6项和等于321，则m的值等于()A. −1B. −2C. 1D. 212.已知圆C方程x2+y2−2x−4y+a=0，圆C与直线x+2y−4=0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为()A. −45B. 12C. 85D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：2x−y+2=0，l2：x+2y−4=0，l3：x−3y−4=0，则经过这三条直线交点的圆的方程为______．14.两直线l1：ax+2y−1=0，l2：(a−1)x+ay+1=0垂直，则a=______ ．15. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为2√2，则AC 1与面ABB 1A 1所成的角为______ ．16. 过点(3,1)作圆C ：x 2+y 2−2x −4y −20=0的弦，其中弦长为整数的共有________条． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数，其中函数的图象在点处的切线方程为． (Ⅰ)用表示出； (Ⅱ)若在上恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)证明：18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.满足b(sinB −√2sinC)=(a +c)(sinA −sinC)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥0． (1)求A 的值；(2)若a =√2.求b −√2c 的取值范围．19. 已知圆C:x 2+y 2+4x +4y +m =0，直线l:x +y +2=0．(1)若圆C 与直线l 相离，求m 的取值范围；(2)若圆D 过点P(1,1)，且与圆C 关于直线l 对称，求圆D 的方程．20. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1B 1的中点，AA 1=AB =2，AD =4，过D ，A 1，C 1三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD −A 1B 1C 1．(1)求证：EF//平面A1C1D；(2)求点A到平面A1C1D的距离；(3)若P为A1C1上一点，且AP⊥B1C，求直线AP与平面DA1C1所成角的正弦值．21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=2√2，cos(B+C)=√24(1)求sin C的值；(2)求b的值．22. 已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，a n+2−2a n+1+a n=2，数列{b n}满足b n=a n+1−a n．(1)证明{b n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足a1=2，c n+1=a cn +1，记[x]表示不超过x的最大整数，求不等式[1c1+1c2+⋯+1c2018]>a n−b n的解集．【答案与解析】1.答案：C解析：由4a3+2a4=2a5得q2(q2−q−2)=0，由题意知q=2，则S4=1+2+4+8=152.答案：C解析：>1，从而a2+b2<c2，再由余弦定理得cosC<0，由此得到三角形为钝角三角形．由已知得√a2+b2本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、余弦定理的合理运用．解：∵直线ax−by+c=0(abc≠0)与圆O：x2+y2=1相离，且|a|+|b|>|c|，∴圆心O(0,0)到直线ax−by+c=0(abc≠0)的距离大于半径1，>1，化简可得a2+b2<c2，∴√a2+b2∴a2+b2<c2=a2+b2−2abcosC，∴cosC<0，∴∠C是钝角，故此三角形为钝角三角形，故选：C．3.答案：B解析：根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°，可AB=m，可得m≤6，从而得到答案．得PO=12本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．AB=m，故有m≤6，再由∠APB=90°，即以原点为圆心，|m|为半径的圆与圆C交点，可得PO=12故选：B．4.答案：C解析：试题分析：由于数列是等差数列，所以，解得，所以，因此，故选C ．考点：1.等差数列的性质；2.等差数列求和5.答案：D解析：解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：(x −3)2+(y −4)2=25，即x 2+y 2−6x −8y =0， 则有{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−6x −8y =0，解可得：3x +4y −2=0；即直线AB 的方程为3x +4y −2=0； 故选：D ．根据题意，联立两个圆的方程，化简变形可得相交弦所在直线的方程，即可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系，涉及相交弦的方程计算，属于基础题．6.答案：B解析：本题主要考查了空间想象力，考查了正方体、三棱锥的体积公式。
一、选择题（每题5分）
二、填空题（每题5分）
13. -1 14. 4
π三、解答题 17. （10分） 解：（1）所求直线的倾斜角为135O
,
∴斜率K=-1，
又
经过（-1,2），
∴所求方程为x+y-1=0。
......5分
（2）所求直线在x 轴上的截距是-5，又有斜率K=-1，
∴所求方程为x+y+5=0.......10分
18. （12分）
解：（1）cosB,由正弦定理可得sinAcosB,即得B
为三角形的内角，
∴
(2)
c=2ɑ,由余弦定理2b =222cos ac B a c +-，解得
a c =∴=）设等差数列n
a
的公差为，则，，所以16d a +=解得
，。
所以n
a
的通项公式为
22
1)1
n n =-+）已知圆：
的圆心为
，因直线过点、，所以直线的斜率为，的方程为，即
；）当弦
被点平分时，即。
21.（12分）解:当n=1时,......4分
当时，
......10分
当时,上式也成立.
......12分
22.（12分）（1）连接，
因为EF∥BD，四边形在同一平面上，因为，，是的中点，所以BD⊥AC，ED⊥AC，因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面，FB⊂平面，所以AC ⊥FB。
......6分
（2）取中点，连接，因为，分别是和的中点，所以MH∥DB， MG∥DC，所以平面MHG∥平面ABC，又GH⊂平面，所以GH∥平面......12分。
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数,x y满足约束条件4312,1,33,x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则2z x y=-的最大值与最小值之和为（）A．2B．3C．4D．62．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A．2sin2cos2αα-+；B．sin3cos3αα-+C．3sin3cos1αα-+D．2sin cos1αα-+3．半径为1cm，中心角为150的弧长为（）A．23cm B．23cmπC．56cm D．56cmπ4．已知数列{}n a的通项公式()2019112nnna-⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020nn≤≤≥，前n项和为n S，则关于数列{}n a、{}n S的极限，下面判断正确的是（）A．数列{}n a的极限不存在，{}n S的极限存在B．数列{}n a的极限存在，{}n S的极限不存在C．数列{}n a、{}n S的极限均存在，但极限值不相等D．数列{}n a、{}n S的极限均存在，且极限值相等5．在ABC∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinb A=3cosa B．则B=A．B．4πC．D．6．设变量x，y满足约束条件51x yx yy+≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A ．1-B ．5C ．8D ．97．下列函数中最小值为4的是( ) A ．4y x x =+B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．433xx y =+D ．4lg lg y x x=+8．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23,,34a A C ππ===，则c =（ ）A ．26B ．22C ．62+D ．62-9．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．24 B ．22C ．1D ．211．已知()5,2a =-，()4,3b =--，(),c x y =，若230a b c -+=，则c 等于（ ） A ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．81,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．138,33⎛⎫⎪⎝⎭ D ．144,33⎛⎫⎪⎝⎭12．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13+B ．23C ．122+D ．2二、填空题：本题共4小题13．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .14．已知数列{}n a 的前n 项和满足()2*2n S n n n =-∈N，则4a=______．15．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________．16．某中学初中部共有120名老师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专题12必考必刷解答题之复数1．【北京市通州区2019-2020学年（下）期末】已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z+. 【答案】（1）1i --；（2）15i 22-+. 解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+，∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 2．【江苏省常州市教育学会2019-2020学年下学期期末】已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数.（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围. 【答案】（1）m ＝5；（2）(-∞，2)(5，+∞).（1）因为z 为纯虚数，所以2235815023560m m m m m m m m ⎧==⎧-+=⇒⎨⎨≠≠-+≠⎩⎩或且 综上可得，当z 为纯虚数时m ＝5；（2）因为22i (815)i (56)z m m m m ⋅=-+--+在复平面内对应的点位于第二象限，()2281505332560m m m m m m m m ⎧-+>><⎧⎪⇒⎨⎨><--+<⎩⎪⎩或或，即m ＜2或者m ＞5， 所以m 的取值范围为(-∞,2)(5,+∞).3．【山东省泰安市2018-2019学年下学期期末】已知复数1z 与21(2)8z i +-都是纯虚数，复数21z i =-，其中i 是虚数单位. （1）求复数1z ； （2）若复数z 满足12111z z z =+，求z . 【答案】（1）12z i =-；（2）2455i -. （1）设1()z bi b R =∈，则()22128(2)8z i bi i +-=+-()24(48)b b i =-+-由题意得240480b b ⎧-=⎨-≠⎩. ∴2b =- ∴12z i =-（2）∵12111z z z =+ ∴1212(2)(1)(2)(1)z z i i z z z i i -⨯-==+-+- 2213i i--=-(22)(13)(13)(13)i i i i --+=-+2455i =- 4．【江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年（美术班）上学期期末】莱昂哈德·欧拉(),1707.4.151783.9.18Leonhard Euler ，瑞士数学家、自然科学家.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式10i e π+=，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数e ，圆周率π；两个单位：虚数单位i 和自然数单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+，解决以下问题：（1）试将复数3i e π写成a bi +（a 、b R ∈，i 是虚数单位）的形式； （2）试求复数312+πi e的模. 【答案】（1）122+；（2）2. （1）根据欧拉公式可得31cossin 3322πππ=+=+i ei ； （2）由题意可知31112212πi e ++=+=，因此，312πi e +==. 5．【上海市理工大附中2018-2019学年下学期期末】设复数z 1＝2＋ai (其中a ∈R )，z 2＝3－4i .（1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值； （2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|. 【答案】（1）224i +；（2）52. 解：（1）12z ai =+（其中)a R ∈，234z i =-， 125(4)z z a i ∴+=+-，由12z z +是实数，得4a =．124z i ∴=+，234z i =-，则12(24)(34)224z z i i i =+-=+； （2）由122(2)(34)643834(34)(34)2525z ai ai i a a i z i i i +++-+===+--+是纯虚数， 得640380a a -=⎧⎨+≠⎩，即32a =．135|||2|22z i ∴=+==．6．【辽宁省辽阳市2019-2020学年（下）期末】设复数2312iz i-=+. （1）求z 的共轭复数z ；（2）设a R ∈，1z ai +=，求a 的值.【答案】（1）4755z i =-+；（2）45a =或2a =.解：（1）因为()()()()2231223243647471212125555i i i i i i i z i i i i -----+--=====--++-； 所以4755z i =-+； （2）因为47475555z ai i ai a i ⎛⎫+=--+=-+- ⎪⎝⎭，所以1z ai +==，解得45a =或2a =. 7．【陕西省西安市蓝田县2019-2020学年下学期期末】已知0m ≠，复数()()229z m m i =-+-.（Ⅰ）若z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （Ⅱ）若z 的共轭复数z 与复数85i m+相等，求m 的值. 【答案】（Ⅰ）3m >；（Ⅱ）2m =-.解：（Ⅰ）由题意，22090m m ->⎧⎨->⎩，解得3m >；（Ⅱ）由()()229z m m i =-+-，得()()229z m m i =---，又z 与复数85i m+相等，28295m m m ⎧=-⎪∴⎨⎪-=⎩，解得2m =-.8．【福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年下学期期末质检】已知复数241miz i-=+（m R ∈，i 是虚数单位）. （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设z 是z 的共轭复数，若复数2z i +在复平面上对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.【答案】（1）12m =；（2）32m <-.解：（1）241mi z i -=+=()()24(1)(24)(24)(12)(12)1(1)2mi i m m im m i i i ----+==--++- 若z 是纯虚数，则120,120m m -=⎧⎨+≠⎩12m ∴=. （2）由（1）得，(12)(12),z m m i =--+(12)(12)z m m i ∴=-++，2(12)(32)z i m m i +=-++，又因为复数2z i +在复平面上对应的点位于第四象限，120,320m m ->⎧∴⎨+<⎩∴32m <-.9．【吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年下学期期末】已知复数()()11z m m i m R =++-∈.（1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =- （1）复数()()11z m m i m R =++-∈， 若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．【山东省潍坊市2019-2020学年第二学期期末】在①z 为实数，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：()()2221z m m m i =--+- （1）若________，求实数m 的值；（2）当z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①：1m =-或1m =；选择②：1m ≠-或1m ≠；选择③：2m =；（2）()1,1-.选择①，当z 为实数时，有210m -=， 解得1m =-或1m =，选择②，当z 为虚数时，有210m -≠， 解得1m ≠-或1m ≠，选择③，当z 为纯虚数时，有222010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得211m m m ==-⎧⎨≠±⎩或，∴2m =；（2）因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以222010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<，所以m 的取值范围为()1,1-.11．【上海市徐汇区2019-2020学年下学期期末】已知关于x 的一元二次方程210()x kx k -+=∈R 的两根为12,x x .（1）若1x 为虚数，求k 的取值范围； （2）若12||2x x ，求k 的值.【答案】（1）22k -<<；（2）k 的值为±或0. 解：（1）依题意可得240k ∆=-<，解得22k -<<； （2）因为210x kx -+= 所以12x x k +=，121=x x①0∆≥时，222121212||()444x x x x x x k -=+-=-=，解得k =± ②∆<0时，222121212||[()4]44x x x x x x k -=-+-=-=，解得0k =；综上，k 的值为±或0.12．【江苏省盐城中学2018-2019学年上学期期末】若复数()()12i mi ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，m R ∈ （1）求实数m 的值；（2）若用mi 为实系数方程()2220x a x a +-+=的根，求实数a 的值．【答案】（1）2；（2）2. （1）(1)(2)2(2)i mi m m i ++=-++为纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =．∴实数m 的值是2；（2）mi 为实系数方程22(2)0x a x a +-+=的根，实系数方程虚根成对， 由韦达定理可知，2220a i i -+=-=，且2(2)(2)i i a ⋅-=，即2a =．∴实数a 的值是2．13．【宁夏银川三沙源上游学校2019－2020学年上学期期末】已知1234iz i+=-. （1）求z ；（2）已知23i -是关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值.【答案】（1）5z =；（2）4p =-，13q =. （1）由()()()()123451012343425512354i i i i i i z i i ++-+=+=-==-+-+，得z ==；（2）把23i -代入方程20x px q ++=中，得到：()()521230p q p i -++++=， 即520p q -++=且1230p +=，解得4p =-，13q =.14．【陕西省宝鸡市渭滨区2018-2019学年下学期期末】已知复数1az i i=++，其中i 为虚数单位，a R ∈.（1）若z R ∈，求实数a 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2a =（2）(0,2)a ∈解：（1）由题意，根据复数的运算，可得()()()1(1)11122a i a a a z i i i i i i -=+=+=+-++-， 由z R ∈，则102a-=，解得2a =. （2）由z 在复平面内对应的点位于第一象限，则02a >且102a->，解得02a <<，即(0,2)a ∈.15．【山东省临沂市沂水县2018-2019学年上学期期末】已知复数2()z m mi m R =-∈，若||z z 在复平面内对应的点位于第四象限．（1）求复数z ；（2）若21z az b i ++=+，求实数a ，b 的值． 【答案】（1）z ＝1﹣i ；（2）a ＝﹣3，b ＝4．解：（1）2z m mi =-，||z =422m m ∴+=，得21m =．又z 在复平面内对应的点位于第四象限，1m ∴=-，即1z i =-；（2）由（1）得1z i =-， 21z az b i ∴++=+，2(1)(1)1i a i b i ∴-+-+=-，()(2)1a b a i i ∴+-+=+，∴121a b a +=⎧⎨+-⎩解得3a =-，4b =．16．【上海市上海中学2019-2020学年上学期期末】已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）.（1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -5≥（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，1z -==因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45；所以1z -≥17．【宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年上学期期末】已知复数241miz i+=-，（,m R i ∈是虚数单位）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z +在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围. 【答案】（1）12；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）()()()()()241241221111mi i mi z m m i i i i +++===-++--+， ∵z 是纯虚数，∴120m -=，且210m +≠， 解得12m =. （2）∵z 是z 的共轭复数，所以()1221z m m i =--+， ∴()()2122121221z z m m i m m i +=--++-++⎡⎤⎣⎦()3621m m i =-++，复数2z z +在复平面上对应的点在第一象限，∴360210m m ->⎧⎨+>⎩，解得1122m -<<，即实数m 的取值范围为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 18．【福建省泉州市2018-2019学年下学期期末教学质量跟踪监测】已知复数1i z a b =+（a ，b ∈R ），2i zcd =+（c ，d ∈R ）.（1）当1a =，2b =，3c =，4d =时，求1z ，2z ，12z z ⋅；（2）根据（1）的计算结果猜想12z z ⋅与12z z ⋅的关系，并证明该关系的一般性【答案】（1）1z =25z =，12z z ⋅=2）猜想1212z z z z ⋅=⋅，见解析（1）由题知1z ==，25z ==，所以()()1212i 34i 510i z z ⋅=+⨯+=-+所以12z z ⋅===（2）猜想1212z z z z ⋅=⋅证明：因为1z =2z =，所以12z z ⋅==因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=+⨯+=-++，所以12z z ⋅====，所以1212z z z z ⋅=⋅猜想成立.19．【重庆市2019-2020学年（下）期末】（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+； （2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值.【答案】（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.20．【山东省烟台市莱州一中2018-2019学年（下）第三次质检】已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az +对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.【答案】（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】（I ）=，由题意得解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+21．【江苏省徐州市2019-2020学年下学期期末】复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．【答案】（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 22．【上海市曹杨二中2019-2020学年下学期期末】设,αβ分别是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.（1）求a 的取值范围及αβ+的值；（2）若4αβ-=，求a 的值.【答案】（1）1a >，（2）5.（1）由方程220x x a ++=()a R ∈有两个虚数根所以440a ∆=-<，解得1a >由,αβ是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.可得,αβ，不妨设1α==-+,1β==-所以αβ+（2）由（1）可得αβ-==根据4αβ-=，即4=，解得5a =23．【江苏省宿迁市2018-2019学年下学期期末】已知复数()112z m mi =++，()21z i =+，其中m R ∈，i 为虚数单位.（1）若复数12z z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若复数12z z =对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =.（2）()3,0-（1）由()112z m mi =++，21z i =+得()()12131z z m m i =-+++，又12z z 为纯虚数，所以10m -+=，且310m +≠， 所以1m =.（2）()1232z z m mi ==++，又复数12z z =对应的点在第四象限，所以30m +>，且20m ，所以m 的取值范围是()3,0-.24．【广东省中山市2018-2019学年下学期期末】已知复数2(),43z a i w i =+=-其中a 是（1）若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； （2）若z w是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232019()()...()z z z z w w w w++++； 【答案】（1）1a >；（2）①2；②-1.（1）由题可得：221()2z a i a ai -=+=+，因为复数z 在第一象限，所以21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >.（2）依题意得：22()()(43)43(43)(43)za i a i i i i i ω+++==--+ ()2222223222(43)4843634(3)16(9)a ai i i a ai i a i ai i i ++++++++==--- ()()2246438325a a a a i--++-= 因为z w 是纯虚数，则：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩， 即122133a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪≠-≠⎪⎩或或， 又因为a 是正实数，则2a =.当2a =时，22464833161232525za a ai a i i i i i i ω--++-+-===， 232019232019()()()z z z z i i i i ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()201911i i i -=-25．【北京市大兴区2018-2019学年第二学期期末】已知复数1z a i =+，21z i =-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z -是纯虚数，求a 的值；（Ⅲ）若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2i ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）(1,1)-． （Ⅰ）由题意12z z ⋅2(1)(1)122i i i i i =++=++=；（Ⅱ）由题意12(1)2z z a i -=-+为纯虚数，则10a -=，所以1a =； （Ⅲ）212()(1)111(1)(1)222z a i a i i a ai i i a a i z i i i ++++++-+====+--+，对应点11(,)22a a -+，它是第二象限点，则102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得11a -<<．故a 的范围是(1,1)-．。
友好学校第六十九届期末联考高一数学（文科）试卷说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间为120分钟，分值150分．注意事项：1、答题前，考生将姓名、准考证号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域．2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚．3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试卷上答题无效．4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求，请将所选答案涂在答题卡上）1．设,,a b c R ∈且a b >，则下列关系式正确的是（ ）A ．22a b >B ．a c b c ->-C ．22ac bc >D ．11a b<2．直线10x +=的倾斜角为（ ） A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π32，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．2B ．2πCD ．6π4．已知ABC △中，a =b =60B =︒，那么角A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．90°5．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程25760x x --=的根则三角形的另一边长为（ ）A ．BC ．52D ．136．已知0a >，0b >，131a b+=，则2a b +的最小值是（ ）A ．7+B ．C ．7+D ．147．设m n ，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若m α∥，n β∥，且αβ∥，则m n ∥C ．若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊂，n α⊂，且m α∥，n β∥，则αβ∥8．若直线20mx y --=与直线(2)10m x y +--=互相垂直，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3 C ．32000cm D ．34000cm10．圆221:2880C x y x y +++-=与222:4480C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离11．各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，12321a a a ++=，则345a a a ++=（ ）A ．84B ．52C ．26D ．1312．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ）A ．29B ．2563C ．2569D ．2557第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题卡上．）13．若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2x y =-的最小值是________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n n b a -=+，且22n S n n =-，则数列{}n b 的通项公式n b =________．15．直线50x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于________．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点，则异面直线1D A 与EO 所成角的余弦值为________．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题卡上）17．（10分）已知直线l 经过点(2,1)P ，且斜率为2，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线l 平行，且在y 轴上的截距为3，求直线m 的方程．18．（12分）在等差数列{}n a 中，（1）已知25121536a a a a +++=，求16S 的值；（2）已知620a =，求11S 的值．19．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =-+．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC △的面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD -的体积．21．（12分）在正方体1111A B C D ABCD -中点M 、N 、K 分别是棱11A D 、AB 和BC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BDD B ；（2）求证：平面1C NK ⊥平面11BDD B ．22．（12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．。
2018-2019学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一下学期期末联考数学(理)试题一、单选题1．不等式2320x x -+<的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()2,1-- C ．()(),12,-∞+∞UD ．()(),21,-∞--+∞U【答案】A【解析】因式分解求解即可. 【详解】()()2320120x x x x -+<⇒--<,解得()1,2x ∈.故选：A 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解,属于基础题. 2．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ）A．B．2C ．3 D【答案】D【解析】根据点到直线的距离求解即可. 【详解】点()1,1-到直线10x y -+=2==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.3．已知一组数1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55，按这组数的规律，则x 应为（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,再求解x 即可.易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,故5813x =+=. 故选：C 【点睛】该数列为“斐波那契数列”,从第三项开始数列的每项都为前两项之和,属于基础题. 4．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】化简()()3a b c b c a bc +++-=,再利用余弦定理求解即可. 【详解】()()()2222233a b c b c a bc b c a bc b c a bc +++-=⇒+-=⇒+-=.故2221cos 22b c a A bc +-==.又()0,180A ∈︒,故60A =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形的问题,属于基础题. 5．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．02（，），2 B ．20（，），2 C ．20-（，），4 D ．20（，），4 【答案】B【解析】试题分析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B. 【考点】圆标准方程6．在ABC V 中，已知6845a b C ===︒，，，则ABC V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】ABC V 的面积11sin 6822S ab C ==⨯⨯=故选：B本题主要考查了三角形的面积公式,属于基础题.7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =（ ） A ．55 B ．81C ．90D ．100【答案】D【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由题意得，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以101109101014521002S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故答案为D ． 【考点】1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和．8．过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．5x y +=B ．5x y -=C ．5x y +=或40x y -=D ．5x y -=或04=+y x【答案】C 【解析】【详解】设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k ≠0), 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=14, ∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C. 9．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π【答案】C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C10．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）①若,m ααβ⊥⊥，则m βP ； ②若,,m n ααββ⊥⊂P ，则m n ⊥； ③若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβP ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对， 故选D.11．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5 D ．m =3, n = 5【答案】D【解析】因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知4695,3,322m n m +-==-=∴=. 12．数列{a n }的通项公式a n ＝1n n ＋＋{a n }前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625【答案】C 【解析】a n 1n n ＋＋1n n ＋，前n 项和S n ＝－[(12)＋2－3＋…＋1n n ＋1n ＋－1＝24，故n ＝624.故选C.二、填空题13．设变量x y ，满足条件11x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪，则2z x y =-的最小值为___________【答案】-1【解析】根据线性规划的基本方法求解即可. 【详解】 画出可行域有：因为22z x y y x z =-⇒=-.根据当直线2y x z =-纵截距最大时, 2z x y =-取得最小值.由图易得在()0,1A 处取得最小值1-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.14．若点(),P a b 与()1,1Q b a -+关于直线l 对称，则l 的倾斜角α为_______ 【答案】45o【解析】根据两点关于直线对称，可知PQ 与l 垂直，利用斜率乘积为1-可求得tan 1α=，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角.【详解】由题意知：PQ l ⊥111PQ a bk b a+-==---Q 1l k ∴=，即：tan 1α=又0180α≤<o o 45α∴=o 本题正确结果：45o 【点睛】斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果.15．如图，在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2 ，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________.【答案】3 【解析】如图，取CD 中点E ，AC 中点F ，连接,,BE EF FB ， 由题可知，BCD ∆边长均为1，则BE CD ⊥，ACD ∆中，2,1AC AD CD ===，则AD CD ⊥，得FE CD ⊥，所以二面角A CD B --的平面角即BFE ∠， 在BFE ∆中，312,2BE EF FB ===， 则90BFE ∠=o ，所以3cos FE BFE BE ∠==． 点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角BFE ∠，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．16．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则6a 的值为【答案】2【解析】根据等比数列的性质与基本量法求解即可. 【详解】由题,因为231171616a a a ⋅=⇒=,又等比数列{}n a 的各项都是正数,故74a =.故7622a a ==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系.属于基础题.三、解答题17．求倾斜角为135︒且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点()1,2-； （2）在x 轴上的截距是-5.【答案】（1）10x y +-=（2）50x y ++= 【解析】(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可. (2)利用点斜式求解即可. 【详解】解：（1）∵所求直线的倾斜角为135︒,斜率1K =-, 又∵经过()1,2-,故方程为()211y x -=-⨯+ ∴即方程为10x y +-=.（2）∵所求直线在x 轴上的截距是-5,又有斜率1K =-,故方程为()015y x -=-⨯+ ∴所求方程为50x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.18．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =. （1）求角B ；（2）若32b c a ==，，求a c ，的值.【答案】（1）3B π=（2）a c ==【解析】(1)根据sin cos b A B =与正弦定理化简求解即可.(2)利用余弦定理以及(1)中所得的3B π=化简求解即可.【详解】解：（1）sin 3cos b A a B =Q ,由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =, 即得tan 3B =,B Q 为三角形的内角,3B π∴=.（2）2c a =Q ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,即2222194342a a a a +-⨯⇒==.解得3,23a c =∴=. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题.需要根据题意用正弦定理边化角以及选用合适的余弦定理等.属于基础题. 19．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n nS n n n =-+-++-=++L【解析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（），所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 20．已知圆C ：内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程 【答案】（1）；（2）【解析】(1)已知圆C ：的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0. (2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为, 即 x+2y-6=021．己知数列的前n 项和210n S n n =-，求数列{}n a 的通项.【答案】112n a n =-【解析】根据通项前n 项和的关系求解即可. 【详解】解：当1n =时,111019a S ==-=.当2n ≥时,2211010(1)(1)112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.当1n =时,上式也成立.112n a n ∴=-【点睛】本题主要考查了根据前n 项公式求解通项公式的方法.属于基础题. 22．在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB ．（Ⅰ）已知AB=BC ，AE=EC ．求证：AC ⊥FB ；（Ⅱ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ． 【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.（Ⅱ）设的中点为，连，在CEF V ，CFB V 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面. 试题解析：（Ⅰ）证明：因，所以与确定平面.连接，因为,AE EC D 为的中点，所以，同理可得.又，所以平面， 因为平面，所以. （Ⅱ）设的中点为，连.在CEF V 中，因为是的中点，所以，又，所以.在CFB V 中，因为是的中点，所以，又，所以平面平面， 因为平面，所以平面.【考点】平行关系，垂直关系【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用已知的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.。
