北京市海淀区高三第二学期期末练习
数学
2003．5
学校______________班级______________姓名______________
参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式：
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-
2cos 2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+
2
sin 2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-
棱台体积公式：
)(3
1
S S S S h V '+'+=
台体 其中S ，S ′分别表示棱台的上、下底面的面积；h 表示高
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[sin(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
球体积公式：
33
4
R V π=球
其中R 表示球的半径
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在复平面内，复数i 2
321+-
=ω对应的向量为，复数2
ω对应的向量为。那么向量AB 对应的复数是（）
（A ）1 （B ）-1 （C ）i 3（D ）i 3-
（2）（理科学生作）)3
1
arcsin 21
(tg 的值为（） （A ）223-（B ）223+ （C ）22- （D ）22
（文科学生作）函数x x y 22-=的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（） （A ）{-1，0，3}（B ）{0，1，2，3} （C ）{y|-1≤y ≤3}（D ）{y|0≤y ≤3}
（3）在等比数列}{n a 中，121=+a a ，943=+a a ，那么54a a +等于（） （A ）27 （B ）-27
（C ）81或-36 （D ）27或-27 （4）将函数a
x y +=
3
的图象C 向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象1C ，若曲线1
C 关于原点对称，那么实数a 的值为（）
（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）-3
（5）（理科学生作）在极坐标系中与圆θρsin 8=相切的一条直线的方程是（） （A ）4cos =θρ（B ）4sin =θρ （C ）8cos =θρ（D ）4sin -=θρ
（文科学生作）过点（2，1）的直线中，被0422
2
=+-+y x y x 截得的最长弦所在的直线方程是（）
（A ）3x-y-5=0（B ）3x+y-7=0 （C ）x+3y-5=0（D ）x-3y+1=0
（6）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相同的分配方案共有（）
（A ）252种（B ）112种 （C ）70种 （D ）56种
（7）设平面l = βα平面 ，点A 、B ∈平面α，点C ∈平面β，且A 、B 、C 均不在直线l 上。给出四个命题：
①
βα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AC l AB l ②ABC BC l AC l 平面平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥α
③
ABC l BC AB 平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥β
α④ABC l l AB 平面////⇒
其中正确的命题是（）
（A ）①与②（B ）②与③ （C ）①与③（D ）②与④
（8）函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数。若f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（）
（A ）增函数 （B ）减函数
（C ）先增后减的函数 （D ）先减后增的函数
（9）设双曲线122
22=-b
y a x （a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列。
那么这个双曲线的离心率e 等于（）
（A ）2 （B ）3
（C ）
35 （D ）3
4 （10）设函数a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2（a 为实常数）在区间]2
,0[π
上的最小值
为-4，那么a 的值等于（） （A ）4 （B ）-6 （C ）-4 （D ）-3
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （11）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么这个球的体积为________________。
（12）椭圆19
252
2=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________。 （13）不等式1log 1log 2
12
1-<+x x 的解集为________________。
（14）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 。若a=1，∠B=45°，△ABC 的面积S=2，那么△ABC 的外接圆的直径等于________________。
三、解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12=a ，3311=S ， （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b )2
1
(=，且数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：}{n b 是等比数列；
并求n n T ∞
→lim 的值。
（16）（本小题满分14分）
设在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足b c a ⋅+=+)13(22
