数学史纳皮尔对数

纳皮尔

山西大学 欧阳绛

纳皮尔，J．(Napier，John)1550年生于苏格兰爱丁堡；1617年4月4日卒于爱丁堡．数学．

纳皮尔出生于苏格兰的贵族家庭．13岁进入圣安德鲁斯的圣萨尔瓦特学院，曾在那里接受神学教育．他的舅父A．博瑟韦尔(Bothwell)是奥克尼的主教，支持他到国外留学．1571年，纳皮尔回到苏格兰，1572年，与J．斯特林(Stirling)爵士的女儿伊丽莎白(Elizabeth)结婚，并定居在加尔特内斯．1608年迁居爱丁堡附近的梅尔契斯顿堡．1579年，其妻去世，又娶珀思州克罗姆利克斯的A．奇斯霍姆(Chisholm)为妻；第一个妻子有两个孩子，第二个妻子有十个孩子．纳皮尔的遗著是第二个儿子罗伯特(Robert)整理出版的．

纳皮尔是一位地主，他曾试验肥料的使用和饲料的配合，并发现在饲料中加盐的好处．他还发明了螺旋抽水机，用于抽去煤坑中的水(1597)．

纳皮尔还预言将来会有许多种杀伤力强的武器，并提出了设计，画了示意图．他预言将来会造出一种枪炮，它能“清除四英里圆周内所有超过一英尺高的活着的动物”；会生产“在水下航行的机器”；并且会创造一种战车，它有“一只血盆大口”，能“毁灭所经之处的任何东西”．

他大部分时间生活在梅尔契斯顿堡的贵族庄园，并且把大部分精力花在那个时代的政治和宗教论争中，但仍为数学的发展做了许多有价值的工作．自1572年他第一次结婚后不久，就开始搜集资料，写了一本关于算术和代数的论著，此书仅以手稿形式保存下来；纳皮尔死后，儿子罗伯特在H．布里格斯(Briggs)的帮助下抄写，整理成书．1839年，由其后裔M．纳皮尔发表，书名为《算术技巧》(De arte logistica)．从这部著作中看出，纳皮尔研究过方程的虚根；并把它当作是代数学中的秘密．

纳皮尔于1590年左右开始写关于对数的著作，后来发表了两本拉丁文论著：《奇妙的对数定理说明书》(Mirifici logarithmo-rum canonis descriptio，1614)和《奇妙对数定律的构造》(Miri-fici logarithmorum canonis

对数的发明

16、17世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生。在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。

如图1，假定两点P，Q以相同的初速度运动。点Q沿直线CD作匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）。令P与Q同时分别从A,C出发，那么，定义x为y的对数。

用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，x与y的对应关系就是

Y=107710xe1

其中e为自然对数的底数。利用对数，纳皮尔制作了'190~0每隔

的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷。

把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯。他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，是的对数为0,10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。由于我们的数系是十进制，因此他在数值计算上具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20 000及90 000~100 000的14位常用对数表。

根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力。

从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年由法国数学家笛卡尔开始使用。直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用yxayaxlog来定义。他指出“对数源于指数”。然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻。

对数产生的背景论文

高中人教版新课程标准实验教科书《数学1》“对数函数”一节后面的“阅读与思考”介绍了对数的发明，这是教材编者按照课程标准对数学文化方面的要求而设置的，但其在教学实践中却往往被老师们所忽视。据我们一项关于“高中数学实施新课程9年来应用教材中‘阅读与思考’的调查”显示：教师们普遍认为，“对数的发明’表述的是结论性的成果，思想的跳跃度太大，搞不清来龙去脉。”这样，将数学史内容融进课堂教学的立意自然打了折扣。高尔基说：“讲解科学成就的书籍，不仅要阐明人类思维的最终成果，并且要指出人们是如何不断地克服困难和获得正确方法的，从而把读者引到研究工作的过程本身中去。”所以，我们拟循着对数发明的足迹，探索对数思想方法的内涵，了解对数表的发展过程。以期丰富数学课堂文化、促进师生对数学的理解和对数学价值的认识。

1对数发明的背景

15世纪以后，天文和航海引起的大数计算日益激增，繁杂的大数计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，非常需要数学上有一种精确而又简便的计算方法。当时，存在这样的思维倾向，即试图用简单的加减运算替代复杂的乘除运算。这种思想在16世纪开始付诸实践，例如，德国数学家、天文学家约翰·维尔纳(J.Werner，1468~1528)曾尝试用三角函数的和差化积公式(三角学在托勒密时代已比较完善)来满足需要，即计算方法如下：若求小于1的二个数与的乘积可以先由三角函数表查得使的与，然后求出与，再应用上面的公式求出它们和的一半，(未用乘法)就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10的正整数幂表示，因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适用的.但这样做同样繁杂，况且还不能直接应用于除法、乘方和开方。因此，寻找更好的计算方法迫在眉睫.

2对数思想的萌芽

早在公元前3世纪，古希腊著名数学家阿基米德就注意到了下面两数列之间的联系：

《对数与对数运算》教案

授课教师：马吉艳 课时：一个课时 授课对象：高中一年级学生

一．设计思想

本节课是数学必修1第二章基本初等函数（I）2.2.1对数与对数运算的内容，它是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识。通过与指数式的比较得出对数的定义与性质，让学生学会指数与对数的互化并能进行一些简单的对数式求值。通过指数运算性质，根据对数定义，采用逆向思维对对数的乘法运算进行推导，从对数的积运算的推导过程中，用类似的方法得到其他运算性质。在学生基本掌握这些性质后，通过练习与引导推导出换底公式。运用观察、操作来领悟规律，能够使学生充分了解学习的方法和技巧，在交流中突破难点，打破传统教学的死记硬背，增强学生学习兴趣。

二．教学目标

1.知识与技能

（1）理解对数的概念，了解指数与对数的关系；

（2）理解和掌握对数的性质，记住几个重要的公式；

（3）能灵活运用对数运算性质和换底公式进行计算。

2.过程与方法

通过与指数式的比较，引出对数定义与性质。

3.情感、态度、价值观

（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳的能力；

（2）通过对数运算性质的学习，培养学生举一反三、严谨的思维态度；

（3）在学习过程中，让学生树立探究、创新的意识，培养分析问题、解决问题的能力。

三．课程类型

新授课

四．教学重点与难点

（1）重点：对数式与指数式的互化以及对数的运算性质。

（2）难点：对数运算性质的推导与运用。

五．教学方法

讲授法、讨论法、类比分析与发现。

六．教学过程

活动一

创设情景引入新知

教师活动

学生活动

教案设计说明

复习引入：

1.老师带领学生复习指数的定义。

2.复习2.1.2例题8的解答方法，提问“如果反过来求哪一年的人口数可以达到18亿，20亿，30亿„„”该怎样解答呢？

3.根据学生的回答，老师口述：非常好，我们要求x，其实就是知道了底数和幂的值，反过来求指数。这就是我们今天要学习的内容之一对数。