2018届高三上学期第一次月考数学(文)试题

铜梁一中高三第一次月考数学试题（文科）

第I卷（选择题）

一、选择题

1. 满足 的一个函数是

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】显然只有 C. 满足

2. 已知， ，则的真子集个数为( )

A. 2 B. 3 C. 7 D. 8

【答案】B

【解析】∵A={x|x2-3x-4≤0，x∈Z}={x|-1≤x≤4，x∈Z}={-1，0，1，2，3，4}，

B={x|2x2-x-6>0，x∈Z}={x|x<，或x>2，x∈Z}，

∴A∩B={3，4}，

则A∩B的真子集个数为22-1=3，

故选：B．

点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

3. 函数的最小正周期为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】函数的最小正周期为

故选：C 4. 已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】∵y=图象的对称轴是x=1，

∴−=1①，

又图象过点(−1,7)，

∴a−b+1=7即a−b=6②，

联立①②解得a=2，b=−4，

故选C.

5. 已知，则的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sinα+3cosα=0，①

又∵sin2α+cos2α=1，②

由①②联立解得：cos2α=.

∴cos2α=2cos2α−1=.

故选：B.

6. 已知， 函数的值恒为正，则是的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由题意可得y>0恒成立，即恒成立，即，根据小推大原则，所以是的充分不必要条件。选A.

7. 设集合， ，则 ( )

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】由题意可得，选A................

8. 函数的零点所在的大致区间为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】在函数单增，且.

所以函数的零点所在的大致区间为.

故选B.

9. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）

A. B. 2 C. D. 1

【答案】A

【解析】设与平行的直线与相切，

则切线斜率k=1，

∵∴，

由，得

当时,即切点坐标为P(1,0)，

则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，

∴点(1,0)到直线的距离为：，

∴曲线上的点到直线l:的距离的最小值为.

故选：A.

10. 在中，角对应的边分别为， ，则（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.

【答案】A

【解析】由余弦定理有，代入已知值有 求出，选A.

11. 阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数， 就是，当不是整数时， 是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数.如.

求 的值为（ ）

A. 0 B. -2 C. -1 D. 1

【答案】C

【解析】=−2,−2<<−1,=−1,=0,=1,1<<2,=2，

由“取整函数”的定义可得，

=−2−2−1+0+1+1+2=−1.

故选：C.

点睛：正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”，

首先小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面.

12. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，，，，即，，即所以

，包含0,所以k=0, ,,

,选C。

【点睛】

由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算。

第II卷（非选择题） 二、填空题

13. 命题“”的否定是__________．

【答案】

【解析】特称命题“”的否定为全称命题“ ”。

14. 函数的零点是____________.

【答案】

【解析】由f(x)==0，

得=0，或=0，

解得x1=−，x2=，x3=1，x4=2.

故答案为：

15. 已知，则__________．

【答案】4

【解析】试题分析：由已知等式变形求出的值，所求式子分子分母同除以，利用同角三角函数间的基本关系变形，将的值代入计算即可求出值

考点：三角函数的化简求值；

16. 若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为__________．

【答案】1

【解析】略

三、解答题

17. 设直线的倾斜角为，

（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）由题意可得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值；（2）利用两角和的余弦公式求得的值． 试题解析：（1） ．

（2）利用同角三角函数关系的基本关系可得，，则

18. 已知函数

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在的最大值和最小值.

【答案】（1）见解析（2）函数取得最小值.函数取得最大值11.

【解析】试题分析：（Ⅰ）若求函数的单调区间，首先需要求出的导函数为

，则其两个极值点为，根据导函数特点求出的单调区间．（Ⅱ）分别求出函数在极值点处以及区间端点处的函数值，即可求出函数的最值．

试题解析：（1）．

令,

解此不等式，得．

因此，函数的单调增区间为．

（2）令,得或．

当变化时，，变化状态如下表：

-2

-1

1

2

+

0

-

0

+

-1

11

-1

11

从表中可以看出，当时，函数取得最小值．

当时，函数取得最大值11．

考点：1．导函数；2．函数的单调性．

19. 已知， .

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】解答：

试题分析：(1) 由 ，得到2sinxcosx= ，进而得到(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx= ，所以sinx−cosx=；(2)由(1)得：sinx=,cosx=,tanx=，

利用商数关系化弦为切，带入即可.

试题解析：

(Ⅰ)因为，

所以1+2sinxcosx=,2sinxcosx=,

因为，所以sinx<0，cosx>0，

所以sinx−cosx<0,(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx=，

所以sinx−cosx=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,sinx+cosx=，sinx−cosx=,解得sinx=,cosx=,tanx=

4sinxcosx−cos2x= ==

点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．

2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．

3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.

20. 已知函数. （Ⅰ）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出实数的取值范围；（2）问题转化为−(m+1)x+m+2>0对任意x∈[−1,1]恒成立，设h(x)=x2−(m+1)x+m+2，通过讨论对称轴的范围，求出实数的取值范围.

试题解析：

(1)对称轴x=，且图象开口向上。

若函数g(x)在[2,4]上具有单调性，

则满足⩽2或⩾4，

解得：m⩽5或m⩾9；

(2)若在区间[−1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x−9图象上方，

则只需：>2x−9在区间[−1,1]恒成立，

即−(m+1)x+m+2>0对任意x∈[−1,1]恒成立，

设h(x)=x2−(m+1)x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上

①当⩾1即m⩾1时,h(x)在[−1,1]上是减函数，

所以h(x)min=h(1)=2>0，

所以：m⩾1；

②当−1<<1,即−3

即h(x)min=h()=m+2−>0,解得：

③当⩽−1即m⩽−3时,h(x)在[−1,1]上是增函数，

所以,h(x)min=h(−1)=2m+4>0，解得：m>−2，

此时，m∈∅；

综上所述：.

21. 已知幂函数,且在上单调递增.

(Ⅰ)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;