方程的根与函数的零点 教学教案

《函数的零点与方程的解》教学设计

【教材分析】

1、教材来源：2019年人教A版新教材《普通高中教科书》数学必修第一册第四章第五节函数的应用(二)第一小节。

2、地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程。

【教学目标分析】

1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系。

2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间。

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数。

4.了解中外历史上的方程解法，将思政融入课堂，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【教学重难点】

重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；

难点：零点的概念的形成。

【教学方法】

以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

教学环节（五环） 过程设计 设计意图

读

带领学生了解中外历史上的方程解法，在课堂中融入数学历史，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【提问】你能求lnx=−2x+6方程的根吗？

议（一） 【探究一】方程的根与函数零点的关系

问题1：合作探究，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，完成下列的表格。

方程 3x+3=0 x2−2x−3=0 x2−2x+3=0

函数 y=3x+3 y=x2−2x−3 y=x2−2x+3

函数的图像

方程的的根

函数图像与x轴交点的横坐标

观察：根的个数与图像与x轴交点个数 。

函数的零点概念：

对于一般函数y=f(x), 把使f(x)=0的 叫做函数y=f(x)的 .

追问1：零点是一个点吗？

通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，由特殊到一般，培养数学抽象的核心素养。

练（一） 练一：【算一算，看一看】

(1)函数y=f(x)的图像如右所示，则函数的零点为 ；

方程的根与函数的零点

数学系10级4班骆家玉

一、教学目标：

1、知识与技能：

a、理解函数零点的定义；

b、掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

数学

2、过程与方法：

a、从一元二次方程根的求解以及相应函数图象，探索出零点的概念与方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

b、通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

c、特殊到一般的方法；

3、情感、态度与价值观：

a、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

b、培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

c、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

二、教学重点

零点的概念及零点存在性的判定。

三、教学难点

探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

四、教学手段

PPT

五、教学方法

教法：启发引导、类比、归纳教学 学法：自主探索、探究式、合作交流

六、教学过程设计

（一）引入课题

问题引入：求方程（1）、3x＋2=0 （2）、x2-5x+6=0 （3）、91x2+73x-116=0（4）、lnx+2x-6=0的实数根。

问：一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度，之前我们学习了函数的概念以及函数的性质，思考一下我们能否用函数的思想去刻画方程的根呢？

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

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方程的根和函数的零点（说课稿）

、教材分析：

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能力。

3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。

『重点。难点。关键点』：

1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。

3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。

『教学方法和手段』：

教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）

教学手段：教学软件PPT和几何画板辅助教学。

『教学进程构思及说明』：

置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。

2(1)230xx 2(2)210xx 2(3)230xx

通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）

课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。（反馈课前作业，抽学生回答。）

分析：

1． 方程0322xx的 根为3,121xx，函数322xxy与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322xx的两实根对应与函数与x轴的交点坐标的横坐标。

《方程的根与函数的零点》的教学设计

教学内容：《人教课标A版数学必修I》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。

教学目标：

知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。

教材分析：

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。

本节课要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，是对本章函数知识的加深与总结，同时也是对函数知识的总深拓展。把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。

教学重点难点：

1.重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

2.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。 教学流程：

一、创设情境、引出问题：

1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…