2022-2023学年四川省遂宁中学高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)

四川省遂宁市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
三、填空题
四、解答题
17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知公比0q >，且11a =，37S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求n S ，并判断2S ，410S -，3S 是否成等差数列，说明理由．
18．新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临选择物理还是历史的问题，某校进行了大数据统计，在1000名学生的问卷调查中，发现有800名学生选择了物理，200名学生选择了历史．
(1)从这1000名学生中按选科比例选出五名学生将选科信息录入系统，同时在这五名学生中抽取两名学生作为组长，写出样本空间；(2)求出（1）中两名组长出自不同选科的概率．
19．如图，四面体SABC 的所有棱长均为2，D ，F 分别为AS ，AB 的中点，且点E 为BC 的三等分点（靠近点B ）．
(1)设向量SA a = ，SB b = ，SC c = ，用a ，b ，c
表示向量DE ；
(1)证明：平面DEP ⊥平面ACP ；(2)求平面ABP 与平面CDP 夹角的余弦值．
22．已知抛物线：()2
20y px p =>的焦点为点2MF =，且点M 到y 轴的距离1，延长(1)求抛物线的方程及线段MN 的长；。

四川省遂宁市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知三维数组，，且，则实数k的值为（）A．﹣2B．2C．D．﹣92．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个红球与至少有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球3．（5分）已知直线x+ay﹣2＝0和直线ax+y+1＝0互相平行，则a等于（）A．±1B．﹣1C．1D．04．（5分）设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，下列命题正确的是（）A．如果m∥β，那么α∥βB．如果α∥β，那么m∥nC．如果m⊥β，那么α⊥βD．如果α⊥β，那么m⊥β5．（5分）过点P（1，1）可以向圆x2+y2+2x﹣4y+k﹣2＝0引两条切线，则k的范围是（）A．k＞2B．0＜k＜7C．k＜7D．2＜k＜76．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a，b分别为91，39，则输出的a＝（）A．3B．7C．13D．217．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好9．（5分）若直线y＝kx与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1的两个交点关于直线2x﹣y+b＝0对称，则k，b的值分别为（）A．，b＝5B．，b＝﹣3C．，b＝﹣4D．k＝2，b＝510．（5分）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，且SA⊥平面ABC，若SA＝AB＝AC＝BC＝1，则球O的表面积为（）A．B．5πC．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若不等式f（）+f（2﹣k（x+2））≤0的解集为区间〖a，b〗，且b﹣a＝2，则k＝（）A．B．C．2D．﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省遂宁市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（）．A . [0，π)B . ∪C .D . ∪2. （2分）“”是“”的（）A . 充要条件B . 必要而不充分条件C . 充分而不必要条件D . 既不充分也不必要3. （2分）命题：中，若，则；命题：若，则方程一定无实根，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .4. （2分）给出下列命题，其中正确的两个命题是（）①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A . ①②B . ②③C . ③④D . ②④5. （2分） (2016高二下·新余期末) 设 =（x，2y，3）， =（1，1，6），且∥ ，则x+y等于（）A .B .C .D . 26. （2分） (2016高一下·揭阳开学考) 已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A . =1B . =1C . y2﹣ =1D . =17. （2分）已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为（）A .B .C . 1D .8. （2分）已知正数x,y满足，则的最小值为（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2016高二上·苏州期中) 设直线l的方程为2x+（k﹣3）y﹣2k+6=0（k≠3），若直线l在x轴、y轴上截距之和为0，则k的值为________．10. （1分）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为________．11. （2分） (2018高二上·北京期中) 如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为________；二面角V－BC－A的余弦值为________。

四川省遂宁市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）有下列四种说法：①命题：“,使得”的否定是“,都有”；②已知随机变量服从正态分布，，则；③函数图像关于直线对称，且在区间上是增函数；④设实数，则满足：的概率为。

其中正确的个数是（）A . 4B . 1C . 2D . 32. （2分） (2015高二上·葫芦岛期末) 过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是A .B .C . 与平面所成的角为D . 四面体的体积为4. （2分） (2016高三上·金华期中) 设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）下列说法正确的是（）A . 三点确定一个平面B . 平面和有不同在一条直线上的三个交点C . 梯形一定是平面图形D . 四边形一定是平面图形6. （2分）如图，F1,F2分别是椭圆(a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以｜OF1｜为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）一动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线y-2=0相切,则动圆必过定点（）A . (4,0)B . (0,-2)C . (2,0)D . (0,-4)8. （2分）(2014·天津理) 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ ，=μ ，若• =1，• =﹣，则λ+μ=（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·湖北模拟) 已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线 x﹣y﹣1=0平行，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·定州期末) 将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A . 1B .C .D .11. （2分）与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是A1B上一动点，则AP+D1P的最小值为（）A . 2B .C . 2+D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·上海期中) 当θ在实数范围内变化时，直线xsinθ+y﹣3=0的倾斜角的取值范围是________14. （1分） (2017高一下·广东期末) 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为________．15. （1分）已知（x﹣1）2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被圆挡住，则a的取值范围________．16. （1分） (2016高二上·定兴期中) 已知椭圆C：9x2+y2=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二上·南阳月考) 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题关于的方程无实根。

高二数学（理科）试题参考答案第1页（共5页）遂宁市高中2022届第三学期教学水平监测数学（理科）试题参考答案及评分意见题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BADDCABCBACC二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.2- 14.48 15.2216.7 三、解答题（本大题70分） 17．（1）解：点F G H ，，的位置如图所示……………………4分（2）如图，连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OH OM MN BH ，，，.因为M N ，分别是BC GH ，的中点………………5分 所以//OMCD ，且12OM CD =………………6分//HN CD ，且12HN CD =……………………7分所以//OM HN ，OM HN =……………………8分所以四边形MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ……………………9分 又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， 所以//MN 平面BDH ……………………10分18．（1）由已知直线l 过定点(1,4)A ……………………1分若截距0m n ==时，则可设:l y kx =……………………2分 因为直线过点，即，所以……………………3分若截距不等于零时，则可设:1x yl m m+=，因为直线过点(1,4)A ……4分 所以直线方程为：50x y +-=……………………5分综上，直线的方程为4y x =或50x y +-=……………………6分高二数学（理科）试题参考答案第2页（共5页）（2）由题意，设直线:(1)4(0)l y k x k =-+<……………………7分令04x y k =⇒=-，令40k y x k-=⇒=……………………8分 则有2141(4)11648(0)222k k S COB k k k k kk--=-⋅==+-<……10分所以当4k =-时，三角形面积最小为8……………………11分 此时直线方程为480x y +-=……………………12分19．（1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =……2分设中位数为x （百分比），经分析中位数x （百分比）应位于第三组内……3分 故有0.10.3(50)0.020.5x ++-⨯=……………………5分所以55x =，故猪肉价格上涨幅度的中位数为55%……………………6分 （2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052010010⨯⨯=……7分“信心不足型”型居民有0.0025201005⨯⨯=人……………………8分 由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人.记：“信心十足型”的四位居民分别为：,,,a b c d ；“信心不足型”的两位居民分别为：,A B 。

四川省遂宁市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大新模拟) 已知命题p：∃x0∈R，使tanx0=2；，命题q：∀x∈R，都有x2+2x+1＞0，则（）A . 命题p∨q为假命题B . 命题p∧q为真命题C . 命题p∧（￢q）为真命题D . 命题p∨（￢q）为假命题2. （2分）已知点A(0,2),B(2,0)，若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分） (2016高一下·福州期中) 同时投掷两枚币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”B . “至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”C . “恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”D . “至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”4. （2分）已知M是的最小值，N＝，则下图所示程序框图输出的S为（）A . 2B . 1C .D . 05. （2分）数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A . 8B . 4C . 2D . 16. （2分）如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·河北期末) 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A . 20种B . 22种C . 24种D . 36种9. （2分） (2015高二下·福州期中) 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A .B .C .D .10. （2分）若实数满足条件则的最大值是（）A . -13B . -3C . -1D . 111. （2分） (2017高一下·郑州期末) 某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表广告费用x（万元）2345销售额y（万元）26m4954根据上表可得回归方程 =9x+10.5，则m为（）A . 36B . 37C . 38D . 3912. （2分）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（）A . 充要条件B . 必要而不充分条件C . 充分而不必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·安平期末) 将直线y=x+ ﹣1绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，则所得直线的方程为________．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．15. （1分）（n，a∈N* ，且n＞a）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为________．16. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的周长，则ab 的最大值是________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分） (2019高一上·青冈期中) 已知函数 .（1）求的值；（2）若，求的值.18. （5分） (2016高二上·汉中期中) 根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1 ， a2 ，…，an ，…，a2015；已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1 ，且函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称．（Ⅰ）求函数y=f（x）表达式；（Ⅱ）已知△ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4 ，∠A=30°，求f（B）．19. （10分）(2020·金堂模拟) 中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：参考数据：.（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率.20. （10分）如图，正三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.21. （10分） (2017高二下·上饶期中) 设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．（1）若a=3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22. （5分）求圆C1：x2+y2﹣2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知点，点关于原点的对称点为，则（ ）(3,0,4)A -A B ||AB =A ．B ．C ．D ．2512105【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,(3,0,4)A -B (3,0,4)B -因此，||10AB ==故选：C2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）.A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件【答案】D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选：D【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.3．设直线，．若，则的值为（ ）()1:210l ax a y +-+=2:30l x ay +-=12l l ⊥a A ．或B ．或C ．D ．0101-11-【答案】A【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.a a 【详解】因为，则，解得或.12l l ⊥()()210a a a a a +-=-=0a =1故选：A.4．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）,,l m n ,αβA ．若，则B ．若，则//,//m n αα//m n//,l m αα⊂//l mC ．若，则D ．若，则,l αβα⊥⊂l β⊥//,l l αβ⊥αβ⊥【答案】D【解析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.【详解】若,可以有或相交，故A 错；//,//m n αα//m n ,m n 若，可以有或异面，故B 错；//,l m αα⊂//l m l m 、若，可以有、与斜交、，故C 错；,l αβα⊥⊂l β⊥l βl //β过作平面，则，又，得，，l n γα= //l n l β⊥n β⊥n β⊂所以，故D 正确.αβ⊥故选:D【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.5．已知直线l ：，若圆上恰好存在两个点P ，Q ，且它们到直线l 的距离都为1，则34120x y +-=称该圆为“完美型”圆，则下列圆中是“完美型”圆的是A ．B ．221x y +=2216x y +=C ．D ．22(4)(4)1x y -+-=22(4)(4)16x y -+-=【答案】D【分析】根据题意，算出到直线l 距离等于1的两条平行线方程为3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0，当圆与这两条直线共有2个公共点时满足该圆为“完美型”圆．由此对A 、B 、C 、D 各项中的圆分别加以判断，可得本题答案．【详解】解：设直线l'：3x+4y+m=0，l'与l 的距离等于1则，解之得m=﹣7或﹣17，即1215m--=l'的方程为3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0,可得当圆与3x+4y﹣7=0、3x+4y﹣17=0恰好有2个公共点时，满足该圆为“完美型”圆．对于A ，因为原点到直线l'的距离d=或，两条直线都与x 2+y 2=1相离,故x 2+y 2=1上不存在点，75175使点到直线l ：3x+4y﹣12=0的距离为1，故A 不符合题意.对于B ，因为原点到直线l'的距离d=或，两条直线都与x 2+y 2=16相交，故x 2+y 2=16上不存在751754个点，使点到直线l ：3x+4y﹣12=0的距离为1，故B 不符合题意.对于C ，因为点（4，4）到直线l'的距离d=或，两条直线都与（x﹣4）2+（y﹣4）2=4相离,故215115（x﹣4）2+（y﹣4）2=4上不存在点，使点到直线l ：3x+4y﹣12=0的距离为1，故C 不符合题意.对于D ，因为点（4，4）到直线l'的距离d=或，所以两条直线中3x+4y﹣7=0与（x﹣4）2151152+（y﹣4）2=16相离，而3x+4y﹣17=0（x﹣4）2+（y﹣4）2=16相交,故（x﹣4）2+（y﹣4）2=16上恰好存在两个点P 、Q ，使点到直线l ：3x+4y﹣12=0的距离为1，故D 符合题意.故选D ．【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入，，依次输入的值为1，2，3，则输出的（ ）2x =2n =a s =A ．10B ．11C ．16D ．17【答案】B【分析】根据循环结构，令依次进入循环系统，计算输出结果.1,2,3a =【详解】解：∵ 输入的，，2x =2n =当输入的为1时，，，不满足退出循环的条件；a 1S =1k =当再次输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；a 4S =2k =当输入的为3时，，，满足退出循环的条件；a 11S =3k =故输出的值为11．S 故选：B7．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位8同学的成绩分析，下列结论错误的是（ ）A ．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分815B ．该同学次测试成绩的众数是分848C ．该同学次测试成绩的中位数是分849D ．该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关8【答案】C【分析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A ，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A 正确；56381815-=>对于B ，散点图中8个数据的众数是48，B 正确；对于C ，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是8分，C 不正确；48对于D ，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且8呈正相关，D 正确.故选：C8．平面过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,，αABCD m α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为11ABB A n α⋂=平面A B C D ．13【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为11CB D ABCD 'm 11CB D 11ABB A 'n 平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作//α11CB D //',//'m m n n ,m n ','m n AD 1D ，连接，则为，同理为，而，则所成的角11D E B C ∥11,CE B D CE 'm 11B F 'n 111,BD CE B F A B ∥∥','m n即为所成的角，即为，故 A.1,A B BD 60︒,m n【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.9．曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）1y =()24y k x =-+k A ．B ．C ．D ．1(,)3+∞5(,)12+∞13(,3453(,]124【答案】D【分析】化简过定点，1y =()24y k x =-+()2,4数形结合求得临界条件分析即可【详解】曲线，是圆心为，半径为的圆的上半部1y =()()22140x y y +-=≥()0,12分，直线过定点，画出图象如下图所示.()24y k x =-+()2,4A 由图可知，直线斜率的取值最大是，设相切时斜率为，则直线方程()413224AB k -==--k，即，即，解得，()42y k x -=-420kx yk -+-=2()223244k k -=+512k =故取值范围为.53(,]124故选：D10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1116916716516【答案】B【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x 、y 点，则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，6x y +<6y x +<作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：02402466x y y x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨>+⎪⎪<-⎩正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，2424576⨯=1218183242⨯⨯⨯=故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率 ，324957616=故选：B11．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，是边长为3的等边三角形，若三棱锥体ABC D ABC -积的最大值为，则该球的表面积为（ ）.92A ．B ．C ．D ．14π12π754π752π【答案】C【分析】根据已知条件做出图像，结合勾股定理即可求出球的半径，从而得到球的表面积.R 【详解】因是边长为3的等边三角形，故由正弦定理得，ABC的外接圆半径，ABC r =又因三棱锥体积的最大值为，D ABC -92故此时点到平面的距离，D ABC 3D ABCABCV d S -==由A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，做出下图，故图中，，，，DE d =OD OA R ==AE r =由勾股定理得：，即，222OE AE OA+=()222d R r R -+=计算得，该球的表面积.R =27544R ππ==故选：C.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：C 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：22x y x y+=+①曲线围成的图形的面积是；C 2π+②曲线上的任意两点间的距离不超过；C 2③若是曲线上任意一点，则的最小值是．(),P m n C 3412m n +-其中正确结论的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】C【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积C 为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意C 两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；0x ≥0y ≥C 22111()(222x y -+-=当且时，曲线的方程可化为：；0x ≤0y ≥C 22111((222x y ++-=当且时，曲线的方程可化为：；0x ≥0y ≤C 22111()(222x y -++=当且时，曲线的方程可化为：，0x ≤0y ≤C 22111(()222x y +++=曲线的图像如下图所示：C由上图可知，曲线C 从而曲线所围成的面积，故①正确；C 2114222ππ⨯⨯+=+由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即C C ，故②错误；22=>因为到直线的距离为，(,)P m n 34120x y +-=|3412|5m n d +-==所以，34125m n d+-=当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，d (,)P m n C 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为的半圆，C 11(,)22所以圆心到的距离，11(,)2234120x y +-='1710d ==从而，即③正确，'min d d ==min min 34125m n d +-==故选：C.二、填空题13．将某班的60名学生编号为，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机010260⋯,,,抽得的第一个号码为03，则抽得的最大号码是___________.【答案】51【分析】根据总体容量和样本容量，得到抽样间隔求解.【详解】因为总体容量是60，样本容量是5，所以抽样间隔为12，又因为第一个号码为03，所以所有号码是03，15，27，39，51，所有最大号码是51，故答案为：5114．已知实数、满足约束条件，则目标函数的最大值为___________.x y 0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩2z x y =-【答案】4【解析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点时目标函数()2,0B 最大.2z x y =-【详解】由题意可知，约束条件为，0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩故可绘出可行域，如图所示：则，，()0,2A ()2,0B 结合可行域易知：目标函数过点时取最大值，最大值为，2z x y =-()2,0B 2204z =⨯-=故答案为：.415（其中为非零实数）与圆相交于A,B 两点，O 为坐标原点，1by +=,a b 224x y +=且，则的最小值为_____．23AOB π∠=2212a b +【答案】8【分析】根据圆的性质可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，再1d =2221a b +=将变形为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.2212a b +【详解】设圆心的距离为，圆的圆心为，半径，(0,0)O 1by +=d 224x y +=(0,0)O 2r =因为，所以，所以，23AOB π∠=6OAB π∠=112122dr ==⨯=，即，1=2221a b +=因为为非零实数，所以，,a b 212a ->所以2212a b +=221212a a +-221112a a =+-22221112()(122a a a a =+-+-，2222122(11)12a aa a -=+++-2(121)8≥++=当且仅当，时，取得等号，214a =212b =所以的最小值为8.2212a b +故答案为：8.【点睛】本题考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，考查了基本不等式求最值，属于中档题.16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与､不重合），1111ABCD AB C D -M 1AC M A 1C 则下列结论正确的是___________.①存在点，使得平面平面；M 1A DM ⊥11BC D ②存在点，使得平面；M //DM 11B CD③1A DM ④若，分别是在平面与平面的正投影影的面积，则存在点，使得1S 2S 1A DM 1111D C B A 11BB C C M ､12S S =【答案】①②④.【分析】当是中点时，可证明平面平面；②取靠近的一个三等分点记M 1AC 1A DM ⊥1BC D 1AC A 为，可证明平面；③作，则；M //DM 11BCD 11A M AC⊥112A DMS == ④当，．113AMAC =12S S =【详解】①如图1当是中点时，可知也是中点且，，，所以M 1AC M 1A C 11B C BC ⊥111A B BC ⊥1111A B B C B = 平面，所以，同理可知，且，所以平面1BC ⊥11A B C 11BC A M ⊥1BD A M ⊥1BC BD B = 1A M ⊥，又平面，所以平面平面，故①正确；1BC D 1A M ⊂1A DM 1A DM ⊥1BC D ②如图2取靠近的一个三等分点记为，记，，1AC A M 1111A C B D O = 1OC AC N = 因为，所以，11//AC A C 1112OC C N AC AN ==所以为靠近的一个三等分点，则为中点，N 1AC 1C N 1MC 又为中点，所以，且，，O 11A C 1//A M NO 11A D B C 平面，平面，平面，平面，1A M Ë11B CD 1A D ⊄11B CD NO ⊂11B CD 1B C ⊂11B CD 所以平面，平面，且平面，平面，1//A M 11B CD 1A D//11B CD 1A M ⊂1A DM 1A D ⊂1A DM 111A M A D A = 所以平面平面，且平面，1//A DM 11B CD DM ⊂1A DM 所以平面，故②正确；//DM 11B CD ③如图3作，在中根据等面积得：，11A M AC ⊥11AA C1A M ==根据对称性可知：，又1A M DM ==AD =所以是等腰三角形，则③错误；1A DM 112A DMS == ④如图4,图5设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影1AM aAC =1A DM 1111D C B A 111A D M 1A DM 11BB C C 为，所以，，当12B CM 1111122A D M a S S === 122122B CM a S S -===时，解得：，故正确.12S S =13a =故答案为：①②④.三、解答题17．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，ABC ()1,2A -()3,4B -()2,6C -求BC 边上的高所在直线的方程；()1求的面积．()2ABC 【答案】（1）；（2）3330x y +-=【分析】求出直线BC 的斜率，结合直线垂直的性质求出高线的斜率即可()1求出点到直线的距离，以及底BC 的距离，结合三角形的面积公式进行计算即可()2【详解】由题意，直线BC 的斜率，则BC 边上高的斜率，()1()64k 223-==---1k 2=-则过A 的高的直线方程为，即，()1y 2x 12-=-+x 2y 30.+-=的方程为，．()2BC ()y 42x 3-=+2x y 100∴-+=点A 到直线的距离2x y 100-+=d =BC ===则三角形的面积．11S BC d 322===【点睛】本题主要考查了三角形高线的计算，以及三角形的面积的求解，其中解答中结合距离公式以及直线垂直的斜率关系是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．某种机械设备使用年限和相应维修费用（万元）有如下统计数据：x y 使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0已知和具有线性相关关系.x y （1）根据以上数据求回归直线方程；（2）该设备使用8年时，估计所需维修费.（参考公式：，）1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx =-【答案】（1）；（2）万元.1.2308ˆ.0yx =+9.92【解析】（1）根据表格数据计算可得，由此得到回归直线方程；ˆˆ,b a （2）将代入回归直线方程即可求得结果.8x =【详解】（1）由表格数据知：，14.411.42232.542112.3ni ii x y==++++=∑，，2345645x ++++== 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，214916253690nii x==++++=∑，，112.3545ˆ 1.2390516b-⨯⨯∴==-⨯ˆ5 1.2340.08a=-⨯=线性回归方程为：.∴ 1.2308ˆ.0yx =+（2）将代入回归直线方程可得：，8x =ˆ 1.2380.089.92y=⨯+=即该设备使用年时，估计所需维修费为万元.89.9219．如图，在直角梯形ABCP 中，AP BC ，AP AB ，，D是AP 的中点，E 、F//⊥12AB BC AP ==分别为PC 、PD 的中点，将△PCD 沿CD 折起得到四棱锥，P ABCD -(1)G 为线段BC 上任一点，求证：平面EFG 平面PAD ；⊥//(2)当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析⊥//⊥【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理得到CD平面PAD，结合EF CD可得到EF平面PAD，接着利用面面垂直的判定定理即可求证；////（2）先利用线面平行的判定定理得到GE平面PAB，EF平面PAB，然后利用面面平行的判定//定理得到平面EFG平面PAB，即可证明结论//【详解】（1）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF CD，⊥⊥ ⊂∵CD PD，CD AD，PD AD＝D，PD、AD平面PAD，⊥∴CD平面PAD，⊥∴EF平面PAD，⊂∵EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD（2）∵G为BC的中点，E为PC的中点，//∴GE BP，⊄⊂∵GE平面PAB，BP平面PAB，//∴GE平面PAB，//由（1）知，EF DC，////∵AB DC，∴EF AB，⊄⊂∵EF平面PAB，AB平面PAB，//∴EF平面PAB，⊂∵EF GE＝E，EF、GE 平面EFG，//∴平面EFG平面PAB，⊂∵PA平面PAB，//∴AP平面EFG．5050 20．某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取人进行统计（已知这个身155cm195cm[155,160)高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组[160,165)...[190,195]，，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185)[185,190)和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人5:2数的比为．1（）补全频率分布直方图；250（）根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数；3[170,180]52（）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本，从样本中任意抽取位男[175,180]生，求这两位男生身高都在内的概率．174.5cm0.3【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全直方图；（2）利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（3）先借助分层抽样的特征求出第四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算公式求解：解：（1）第六组与第七组频率的和为：∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为，则∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种，因此所求事件的概率为．21．如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且ABCP D PA PA AB ⊥//CD AB ．将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设24PA CD AB ===ABCP CD P DC B --PA PB 、中点为．PB E(1)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，BD F EF ⊥PBC F 请说明理由．(2)求直线与平面所成角的正弦值．AB PBC【答案】(1)点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点，即；F BD D :1:3DF FB =【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系如图所示，由平面，则D EF ⊥PBC ，列方程即可得出答案.0,0EF PB EF PC ⋅=⋅=（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的表示方法即可求出答案.AB PBC 【详解】（1）由题知，平面平面，平面平面，ABCD ⊥PDC ABCD ⋂PDC CD =因为，平面，所以平面，PD DC ⊥PD ⊂PDC PD ⊥ABCD 又因为平面，所以，DA ⊂ABCD PD DA ⊥则，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．,,PD DA PD DC DC DA ⊥⊥⊥D 结合已知可得，，，，(2,0,0)A (2,2,0)B (0,4,0)C (0,0,2)P 则中点． 平面，，故可设，PB (1,1,1)E F ∈DB (2,2,0)DB =(,,0)F λλ则，平面，，(1,1,1)EF λλ=---EF ⊥ PBC 0,0EF PB EF PC ∴⋅=⋅= 又，所以，(2,2,2),(0,4,2)PB PC =-=- ()()()2121204120λλλ⎧-+-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得，即，12λ=11(,,0)22F 故点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点，即．F BD D :1:3DF FB =（2）由（1）得是平面的一个法向量，又，11(,,1)22EF =--- PBC (0,2,0)AB = 则得，cos ,EF AB EF AB EF AB ⋅===记直线与平面所成角为，则AB PBC θsin cos ,EF AB θ==22．如图，已知定圆，定直线过的一条动直线与直线()2234C x y +：﹣＝360m x y ++：＝，()10A ﹣，l 相交于，与圆相交于两点，是中点．m N C P Q ，M PQ（1）当与垂直时，求证：过圆心；l m l C（2）当的方程；PQ =l （3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．t =AM AN ⋅t t 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）存在，是定值5-1x =4340x y -+=【分析】（1）根据与垂直写出直线的方程；将圆心代入方程易知过圆心；l m l (0,3)C l C （2）过的一条动直线，应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进(1,0)A -l l x行验证，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长x l (1)y k x =+||PQ =理，则圆心到弦的距离，从而解得斜率来得出直线的方程；C ||1CM =k l （3）当与轴垂直时，要对设，进行验证；当的斜率存在时，设直线的方程为l x t AM AN =⋅l l ，代入圆的方程得到一个二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式求的坐标，再用两(1)y k x =+M 根直线方程联立，求的坐标，由图可知，再讨论是否为定值．N t AM AN =⋅AM AN =- t 【详解】解：（1）由题意可知直线的斜率，由与垂直得直线的斜率，m 13m k =-l m l 3l k =所以直线的方程为．l 3(1)y x =+将圆心代入方程易知过圆心； (0,3)C l C（2）由于是中点，由垂径定理得，||PQ =M PQ ||1CM =①当直线与轴垂直时，易知，圆心到直线的距离为1，符合题意；l x =1x -(0,3)C =1x -②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，x l (1)y k x =+0kx y k -+=，解得，直线的方程为，即；||1CM ==43k =l 4(1)3y x =+4340x y -+=综上：直线的方程为或；l =1x -4340x y -+=（3）①当与轴垂直时，易得，，又，l x (1,3)M -5(1,3N --(1,0)A -则，，此时；3AM =53AN =5AM N t A ⋅==②当的斜率存在时，设直线的方程为，l l (1)y k x =+代入圆的方程化简得，2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=设，，，(,)M M M x y 11(,)P x y 22(,)Q x y 则，，2122321M x x k k x k +-+==+223(1)1M M k k y k x k +=+=+即，，222233(,)11k k k k M k k -++++222313(,)11k k k AM k k ++=++ 又由得，(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩365(,1313k k N k k ---++则，55(,1313k AN k k --=++ 由图可知，AM AN t AM AN ==-⋅ 2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k k k k k k k ⎡⎤---+=-+⎢⎥++++⎣⎦；225(13)(1)5(13)(1)k k k k ++==++综上：为定值5．t 【点睛】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况，一般是验证特殊，求解一般；（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解，（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用 整体求解，这种方法通常叫做“设而不求”．。

四川省遂宁市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，则p等于（）A .B .C . 2D . 12. （2分） (2018高二上·新乡月考) 在中，若，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知，命题，则（）A . P是假命题;B . P是假命题;C . P是真命题;D . P是真命题4. （2分）(2017·怀化模拟) 等差数列{an}中，a2+a8﹣a12=0，a14﹣a4=2，记sn=a1+a2+…+an ，则s15的值为（）A . 30B . 56C . 68D . 785. （2分）给出下列命题：①若a，b∈R+ ，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；②若a，b∈R+ ， a＜b，则；③若，则ln a＞ln b；④当时，sinx+的最小值为；其中正确命题的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）(2017·赣州模拟) 已知公差不为0的等差数列{an}与等比数列，则{bn}的前5项的和为（）A . 142B . 124C . 128D . 1447. （2分）已知a，b是实数，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则tan∠F1PF2=（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·长春期末) 在中,内角所对的边分别为 ,且 ,若为锐角,则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为:A .B .C .D .11. （2分）若直线mx+ny﹣5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 1或212. （2分）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·邢台期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则 =________．14. （1分）实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=x+2y的最小值是________15. （1分）已知直线：与坐标轴围成的面积为，则数列{ }的前n项和为________．16. （1分）已知k∈N* ，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2016·桂林模拟) 已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．18. （10分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．19. （5分） (2019高一下·大庆月考) 已知等比数列中，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，分别是等差数列的第8项和第20项，试求数列的通项公式及前项和 .20. （10分）如图，在矩形ABCD中，，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上，（1）求证：BC⊥PD；（2）若M为PC的中点，求二面角B﹣DM﹣C的大小．21. （5分）(2017·天津) 设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．22. （10分） (2016高二下·卢龙期末) 已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且• =2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

四川省遂宁市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习四川省遂宁市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案解析）1 过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据题意，结合直线的方程的形式即可得答案．【详解】根据题意，过点且斜率不存在的直线方程为故选：B．2 空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为，则A、B两点间距离为（）A. 2B.C.D. 6【答案解析】 C【分析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|，故选：C．【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题，3 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】利用一般方程表示圆得的不等式求解【详解】由题，则解得故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程，是基础题4 直线和直线平行，则实数a 的值为（）A. 3B. －1C. －2D. 3或－1【答案解析】 B【分析】由a•（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出．【详解】由a•（a+2）+1＝0，即a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1．经过验证成立．∴a＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与D1B所成的角．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），（﹣1，1，0），（1， 1，﹣1），设异面直线AC与所成的角为θ，则cosθ＝|cos|，∴θ．∴异面直线AC与D1B所成的角为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．6 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A. 若，则；B. 若面，面，，则面C. 若，则.D. 若，，则【答案解析】 D【分析】在A中，由线面平行的性质定理得m⊥n；在B中，由线面垂直的判定；在C中，由面面平行的性质定理得；在D中，若由线面垂直、面面垂直的性质定理得或．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是三个不同的平面，知：在A中，若，则；则由线面平行的性质得，故A正确；在B中，若面，面，，则由线面垂直的判定知故B正确；在C中，若，则由面面平行的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得或，故D 不正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7 若实数x，y满足，则的最小值是（）A. 0B. 1C. D. 9【答案解析】 A试题分析：作出可行域如下图所示，当直线过点时，有最小值，此时，故选A．考点：线性规划．8 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．【详解】由已知，可得大圆的直径为y＝3sin x的周期，由T，可知大圆半径为8，则面积为S＝64π，一个小圆的周长故小圆的面积S′＝π•22＝4π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P，故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．9 如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A. 三点共线B. 不共面C. 不共面D. 共面【答案解析】 A【分析】先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线．【详解】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．故选：A．【点睛】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力，属于基础题．10 若直线与直线关于点(3,3)对称，则直线一定过定点（）A. (3,1)B. (2,1)C. (5,5)D. (0,1)【答案解析】 C【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．【详解】∵＝k（x﹣1）+1，∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），则，得，即直线l2恒过定点故选：C【点睛】本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．11 坐标原点在动直线上的投影为点P，若点，那么的取值范围为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】动直线过定点M（2，2），由条件得到P在以OM为直径的圆上，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AQ|，判断出点Q与圆的位置关系，再求出线段PQ的范围．【详解】∵动直线过定点M（2，2），点在动直线上的投影为点P，∴∠OPQ＝90°，则P在以OM为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（1，），半径r OM，又∴|AQ|，则点Q在圆外，∴的取值范围为故选：A．【点睛】本题考查了恒过定点的直线方程，圆的轨迹方程，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，确定点P的轨迹是关键，属于中档题12 已知正方形ABCD的边长为4，CD边的中点为E，现将分别沿折起，使得C,D两点重合为一点记为P，则四面体外接球的表面积是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】由题意画出图形，找出四面体P﹣ABE外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．【详解】如图，PE⊥PA，PE⊥PB，PE＝2，△PAB是边长为4的等边三角形，设H是△PAB的中心，OH⊥平面PAB，O是外接球的球心，则OH，PH，则．故四面体P﹣ABE外接球的表面积是S．故选：D．【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13 直线与直线垂直，则实数的值为_____【答案解析】－1【分析】利用垂直得直线的斜率即可求解【详解】直线与直线垂直，则故答案为：【点睛】本题考查直线的位置关系，是基础题14 如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 _____【答案解析】或【分析】利用平均数与方差公式直接求解即可【详解】由题去掉最高与最低分后的测试成绩为82,84,84,86,89，则平均数方差故答案为：或【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，是基础题15 两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____【答案解析】【分析】基本事件总数n，两名男生相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出两名男生相邻的概率．【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n，两名男生相邻包含的基本事件个数m 4则两名男生相邻的概率为p．故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，A,B为切点，若弦AB长的最小值为，则实数的值为_____【答案解析】【分析】当AB最小时，∠AOB最小，PC最小，再利用点到线的距离公式求解即可【详解】∵AB最小等价于∠AOB最小等价于PC最小，而PC最小值是点C到直线的距离．当AB时，∠AOB＝120°，此时PC＝，∴又k，∴k，故答案为：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线长，考查圆的几何性质的合理运用，找到临界位置是关键，属中档题．17 在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB,E是PD的中点.（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PDC⊥平面PAD.【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连结BD交AC于O，连结EO，由三角形中位线的性质可得EO∥PA，结合线面平行的性质可得平面EAC；（2）由面面垂直的性质可得PA⊥CO，由矩形的性质可知AD⊥CD，由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，故平面平面PAD.【详解】（1）连结交于，连结，则是的中位线，所以，又平面，平面，平面；（2），而，又.18 “有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，表示第天主动投案的人数，得到统计表格如下：12345673455567（1）若与具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）判定变量与之间是正相关还是负相关.（写出正确答案，不用说明理由）（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.参考公式：，.【答案解析】 (1) (2) 正相关 (3)7人【分析】（1）先计算，，再利用公式计算，即可求解回归方程（2）利用回归直线的斜率确定正相关（3）将代入回归直线即可预测【详解】（1）根据表中数据，可得，则，又由故所求回归直线方程为（2）正相关（3）当时，根据方程得，故预测第八天有7人【点睛】本题考查回归直线方程，考查计算能力，是基础题19 已知动点M与两个定点的距离之比为；（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M所代表的曲线外一点作该曲线的两条切线，切点分别为B、C，求的正弦值；（3）若点M所代表的曲线内有一点,求过点Q且倾斜角为的直线与此曲线所截得的弦长.【答案解析】 (1) (2) (3)4【分析】（1）设由点点距列关系式得方程（2）由几何关系在中计算，由二倍角公式计算的正弦值；（3）利用点斜式求解直线方程得直线过圆心得到弦长【详解】（1）解：设，由题意有：化简得：（2）因为点到圆心的距离，令圆心为所以在中，则（3）过点倾斜角为的直线方程为该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径，即弦长【点睛】本题考查轨迹方程的求解，考查切线及几何性质，考查弦长公式，是对圆的几何性质得考查，是中档题20 每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”.我市某地将按“泰坦尼克号”原型1:1比例重新修建.为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市20~70岁的人群中抽取了人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组第2组第3组第4组第5组（1）求出的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄在段的概率.【答案解析】 (1)54 (2)2人，3人，1人 (3)【分析】（1）利用频率分布直方图得各组的频率结合回答正确的人数占本组的频率计算（2）确定抽样比得各组人数（3）列举法得没有年龄段在及基本事件总数，利用古典概型求解【详解】（1）第组的人数为：人，第组的频率为：故（2）抽样比为：人第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人（3）记中2人为A1,A2，中3人为B1,B2,B3，中1人为C，则在抽取的人中随机抽取人的所有事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C共15个，其中不含A1,A2的有6个所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率：【点睛】本题考查频率分布直方图及应用，考查分层抽样，考查古典概型，考查计算能力，是中档题21 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，，E是BC的中点，F是上一点，且.（1）证明：平面；（2）求二面角余弦值的大小.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明出，可得出，即有，再证明出平面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角余弦值的大小.【详解】（1）由题意知，等腰直角三角形中，中线，且，在直三棱柱中，底面，、平面，从而知，，一方面，在中，因为，，则.由，可得，从而可知，又，则得，由此可得，即有.另一方面，由，，，得平面，又平面，则知.综上，，且，又，故平面，得证之；（2）由题意，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，且有、、、、，从而有、、，由，可得，记为平面的一个法向量，则有，取，得.又由（1）知平面，故可取为平面的一个法向量，那么可得.因此，二面角余弦值的大小为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22 已知过定点(1,1)且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点A、B，点满足.（1）若以原点为圆心的圆E与△ABC有唯一公共点，求圆E的轨迹方程；（2）求能覆盖△ABC的最小圆的面积；（3）在（1）的条件下，点在直线上，圆E上总存在两个不同的点M,N使得为坐标原点），求的取值范围.【答案解析】 (1) (2) (3)【分析】（1），得在直线上，求出，确定圆的半径则方程可求（2）由几何关系得能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆，计算，则圆的面积可求（3）由，则有OP与MN互相垂直平分，得利用点在直线上得的不等式求解【详解】（1）因为，所以在线段的垂直平分线上，即在直线上，故以原点为圆心的圆与有唯一公共点，此时圆的半径故：圆的方程为（2）由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边，故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB 为直径的圆由于点，所以故该圆的半径为所以能覆盖该三角形的最小圆面积（3）（O为坐标原点），则有OP与MN互相垂直平分，所以圆心到直线MN距离小于1.即又又，代入（1）得所以实数的取值范围为【点睛】本题考查圆的方程，考查向量的几何应用，考查转化与推理能力，准确将向量转化是关键，是中档题。

2022年四川省遂宁市西宁中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}中，a2=2，a4=6，则前4项的和S4等于（）A．8 B．10 C．12 D．14参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件先求出等差数列的首项和公式，求出前4项的和S4．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a4=6，∴，解得a1=0，d=2，∴．故选：C．2. 复数 ( )A． B． C． D．参考答案：A3. 已知命题：实数满足，命题：函数是增函数。

若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（）A． B． C．D.参考答案：A略4. 某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，则此校数学成绩在分的考生占总人数的百分比为（）A．31.74﹪B．68.26﹪ C．95.44﹪ D．99.74﹪参考答案：C5. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（）A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0参考答案：B【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．【解答】解：∵原命题和逆否命题互为等价命题，逆命题和否命题互为等价命题，∴四种命题真命题的个数为0或2或4个，故选：B．6. 函数（）的部分图象如图所示，则函数表达式为()A． B．C． D．参考答案：B7. 函数,的最大值为( ).A. B. C.D.参考答案：D略8. 直线过点（-4,0），倾斜角的正弦值为，其斜率为 ( )A. B. C. D.参考答案：D9. 阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B10. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】平面的基本性质及推论．【分析】在A中，由PQ∥SR，知P、Q、R、S四个点共面；在B中，由PQ∥SR，知P、Q、R、S四个点共面；在C中，由QR∥PA，知P、Q、R、S四个点共面；在D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四个点共面不共面．【解答】解：在A中，由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥AC，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；在B中，由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥A'C'，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故B不对；在C中，因为PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PR∥BS，QS∥BD，即QR∥PA，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；在D中，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，QR∥BD，PS∥AB，因为AB与BD相交，所以QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；故选：D．【点评】本题考查四点是否共面的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数为纯虚数，则实数a 的值等于．参考答案：12. 若二次函数y＝－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是__________．参考答案：(－∞，2]∪[3，＋∞)13. 一个正方体的一条体对角线的两端点坐标分别为P(-1, 2, -1), Q(3, -2, 3), 则该正方体的棱长为_____参考答案：略14. 下列四个结论，其中正确的有．①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；③一个样本的方差是s2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组样本数据的总和等于60；④数据a1，a2，a3，…，a n的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4δ2．参考答案：①②③④考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中平均数、中位数以及样本的平均数与方差的关系，对每一个命题进行分析判断即可．解答：解：对于①，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，都等于，∴①正确；对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a，这一组数的平均数变为﹣a，方差s2不改变，∴②正确；对于③，一个样本的方差是s2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，∴这组样本数据的平均数是3，数据总和为3×20=60，∴③正确；对于④，数据a1，a2，a3，…，a n的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为（2δ）2=4δ2，∴④正确；综上，正确的命题序号是①②③④．故答案为：①②③④．（填对一个给一分）．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题目．15. 等差数列中，是其前n项和，，，则的值为．参考答案：402216. 已知点P（﹣1，1）和点Q（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点，则实数m的取值范围是．参考答案：m＜﹣或m．【考点】直线的斜率．【分析】直线l：x+my+m=0即x+m（y+1）=0，令，可得直线经过定点M（0，﹣1）．利用斜率计算公式可得k PM=﹣2，k MQ=．根据直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点，可得＜﹣2或．解出即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0即x+m（y+1）=0，令，解得x=0，y=﹣1．∴直线经过定点M （0，﹣1）．k PM==﹣2，k MQ==．∵直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点，∴＜﹣2或．解得m＜﹣或m．故答案为：m＜﹣或m．17. 已知函数_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。