高一数学必修三模块学分认定试题

模块综合测评(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是( ) A ．1或－1 B ．25或－25C ．1或－25D ．－1或25B [当m >0时，2sin α＋cos α＝2×35＋⎝⎛⎭⎫－45＝25； 当m <0时，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.] 2．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]3．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，可将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π6个单位A [因为f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，函数图像过点⎝⎛⎭⎫7π12，－1，所以－1＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ⇒φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位得到函数g (x )＝sin 2x 的图像，故选A ．] 4．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2 的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数D [f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ，所以T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，故选D ．]5．如图所示是曾经在召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值等于( )A ．1B ．－2425C ．725D ．－725D [依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，因小正方形的面积是125，即(cos θ－sin θ)2＝125，得cos θ＝45，sin θ＝35.即sin 2θ－cos 2θ＝－725.]6．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [因为AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12(6p －q )2＝1236p 2－12p·q ＋q 2＝1236×(22)2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝π12对称D ．关于直线x ＝π3对称C [因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，于是f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为f (x )在对称轴上取到最值， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝1≠0，A 不对； f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3≠0，B 不对；又因为f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝1，C 符合题意；f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3≠±1，D 不对．] 8．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2D [由平行四边形法则得P A →＋PB →＝2PO →，故(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →|，且PO →，PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)， 则(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]． 因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，(P A →＋PB →)·PC →有最小值，最小值为－2.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知|a |＝1，|b |＝2，a ＝λb ，λ∈R ，则|a －b |可以为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3BD [由a ＝λb 可知：a ∥b ，即a 与b 夹角为0或π，|a －b |2＝a 2＋b 2－2|a |·|b |·cos 0＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |＝1＋4－4＝1或|a －b |2＝a 2＋b 2－2|a |·|b |cos π＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |＝1＋4＋4＝9，所以|a －b |＝1或3.]10．下列选项中，值为14的是( )A ．cos 72°cos 36°B ．sinπ12sin 5π12C ．1sin 50°＋3cos 50°D ．13－23cos 215°AB [对于A ，cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故A 正确；对于B ，sinπ12sin 5π12＝sin π12cos π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14，故B 正确； 对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故D 错误．]11．△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，在下列命题中，是真命题的有( ) A ．若a ·b >0，则△ABC 为锐角三角形 B ．若a ·b ＝0，则△ABC 为直角三角形 C ．若a ·b ＝c ·b ，则△ABC 为等腰三角形 D ．若c ·a ＋c 2＝0，则△ABC 为直角三角形 BCD [如图所示△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，①若a ·b >0，则∠BCA 是钝角，△ABC 是钝角三角形，A 错误； ②若a ·b ＝0，则BC →⊥CA →，△ABC 为直角三角形，B 正确； ③若a ·b ＝c ·b ，b ·(a －c )＝0，CA →·(BC →－AB →)＝0，CA →·(BC →＋BA →)＝0，取AC 中点D ，则CA →·2BD →＝0，所以BA ＝BC ，即△ABC 为等腰三角形，C 正确；④因为c ·a ＋c 2＝AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝0，所以AB →·AC →＝0，所以AB →⊥AC →，即D 正确．故选BCD ．]12．对于函数f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，给出下列结论，正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上的值域是⎣⎡⎦⎤34，12 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，3π4上是减函数 D ．函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 CD [由诱导公式可得：f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝12sin 2x ，所以T ＝2πω＝2π2＝π≠2π，A 错误；若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，则2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上的值域是⎣⎡⎦⎤0，12，B 错误；令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，即π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )上单调递减，当k ＝0时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，3π4上是减函数，所以C 正确；令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2(k ∈Z )，函数f (x )＝12sin 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，当k ＝－1时，函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称，故D 正确．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 1[因为a ∥b ，所以(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.所以cos 2θ＝12，因为θ为锐角，所以cos θ＝22，所以θ＝π4， 所以tan θ＝1.]14．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影的数量为________．2105[AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)． 所以AB →在CD →上的投影的数量为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105.] 15．函数y ＝cos 2x －4sin x 的最小值为________；最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)－4 4[y ＝cos 2x －4sin x ＝1－sin 2x －4sin x ＝－(sin x ＋2)2＋5， 因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝－1时，y max ＝－1＋5＝4； 当sin x ＝1时，y min ＝－9＋5＝－4.]16．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<π2，|φ|<π2的部分图像如图所示，A (0，3)，C (2,0)，并且AB ∥x 轴，则cos ∠ACB 的值为________．5714[由已知f (0)＝2sin φ＝3，又|φ|<π2， 所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 由f (2)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2ω＋π3＝0， 所以2ω＋π3＝2k π＋π，k ∈Z ，解得ω＝k π＋π3，k ∈Z ，而0<ω<π2，所以ω＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3，令f (x )＝3，得π3x ＋π3＝2k π＋π3或π3x ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，所以x ＝6k 或x ＝6k ＋1，由题干图可知，B (1，3)． 所以CA →＝(－2，3)，CB →＝(－1，3)， 所以|CA →|＝7，|CB →|＝2，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝527＝5714.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎡⎦⎤－π2 ，0上的最大值． [解] (1)因为a ∥b ，所以32cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22， 所以－22≤f (x )≤12， 所以f (x )max ＝12.18．(本小题满分12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥B ． [解] (1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2. (3)证明：由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β， 所以a ∥B ．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2 ，求cos φ的值．[解] (1)因为a·b ＝0，所以a·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， 所以cos φ＝sin φ.所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－1112 π的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x＝2cos 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4. 所以当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1. 22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255 . (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2 ，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. [解] (1)因为|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)， |a －b |2＝⎝⎛⎭⎫2552＝45， 所以2－2cos(α－β)＝45，得cos(α－β)＝35. (2)因为－π2<β<0<α<π2， 所以0<α－β<π. 由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.。

模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高一年级有35个班，每个班的56名同学都是从1到56编的号码．为了交流学习经验，要求每班号码为14的同学留下进行交流，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，2x ，x ≤0，输入自变量x 的值，输出对应函数值的算法中所用到的基本逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．顺序结构、条件结构C ．条件结构D ．顺序结构、条件结构、循环结构3．用秦九韶算法计算当x ＝0.4时，多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋6x 3＋7x 2＋1的值时，需要做乘法运算的次数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 4．下列说法正确的是( )A ．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B ．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”C ．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率5．如图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A ．35B ．125C ．65D ．1856．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为( )A ．20B ．30C ．40D ．507．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )A ．30B ．25C ．20D ．158．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S 3的概率是( )A ．23B ．13C ．34D ．149．阅读下列程序： INPUT x IF x ＜0 THEN y ＝2 *x ＋3 ELSEIF x ＞0 THEN y ＝－2 * x ＋5 ELSE y ＝0 END IF END IF PRINT y END如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．910．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．211．如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)．去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1＞a 2B ．a 1＜a 2C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关12．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A．90 B．75C．60 D．45二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是奇数为事件A，事件A的对立事件是__________．14．102,238的最大公约数是________．15．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y＝b x＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温均为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量均为__________件．16．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__________人．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)有一段长为11米的木棍，现要折成两段，每段不小于3米的概率有多大？18．(本小题满分12分)某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100),8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图．19．(本小题满分12分)对某400件元件进行寿命追踪调查，情况分布如下：寿命(h)频率[500,600)0.10[600,700)0.15[700,800)0.40[800,900)0.20[900,1 000]0.15合计 1(1)列出寿命与频数对应表；(2)计算元件寿命在[500,800) h以内的频率．20．(本小题满分12分)由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问，对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；(3)在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．21．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．22．(本小题满分14分)(2012·陕西高考，文19)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．参考答案一、1．解析：由于分段间隔相等，是系统抽样． 答案：D 2．B 3．A 4．D5．解析：阴影部分的面积约为120200×22＝125.答案：B6．解析：样本落在[15,20]内的频率是1－5(0.04＋0.1)＝0.3，则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100＝30.答案：B7．解析：抽样比是15030 000＝1200，则样本中松树苗的数量为1200×4 000＝20.答案：C 8．答案：A解析：如图，设点P 为AB 的靠近点B 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于3S，则点P 只能在AP 上选取，由几何概型的概率公式，得所求的概率为2233AB AP AB AB ==.9．解析：输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝2×(－2)＋3＝－1，则输出－1. 答案：B10．解析：该程序框图的运行过程是： S ＝2，i ＝1 i ＝1≤2 010成立S ＝1＋21－2＝－3 i ＝1＋1＝2 i ＝2≤2 010成立 S ＝1＋(－3)1－(－3)＝－12i ＝2＋1＝3 i ＝3≤2010成立 S ＝1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－12＝13i ＝3＋1＝4 i ＝4≤2 010成立 S ＝1＋131－13＝2i ＝4＋1＝5 ……对于判断框内i 的值，n ∈N ，当i ＝4n ＋1时，S ＝2；当i ＝4n ＋2时，S ＝－3；当i ＝4n ＋3时，S ＝－12；当i ＝4n ＋4时，S ＝13.由于2 011＝4×502＋3，则S ＝－12.该程序框图中含有当型循环结构，判断框内的条件不成立时循环终止，即i＝2 011时开始不成立，输出S ＝－12.答案：B11．解析：去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分是81,85,85,84,85，则平均数是a 1＝15(81＋85＋85＋84＋85)＝84；乙选手得分是84,84,86,84,87，则平均数是a 2＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85＞84，所以a 1＜a 2.答案：B12．解析：设样本容量是n ，产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则36n ＝0.300，所以n ＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90. 答案：A二、13．向上的点数是偶数14．解析：利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是34. 答案：3415．解析：x ＝10，y ＝38，回归直线必过点(x ，y )，则有38＝－2×10＋a ^，解得a ^＝58，所以回归方程为y ^＝－2x ＋58，当x ＝6时，y ^＝－2×6＋58＝46.答案：1616．解析：用系统抽样，由分组可知，抽样的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22， 所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37. 若用分层抽样方法，40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人．答案：37 20三、17．分析：从每一个位置折断都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处折断的可能性相等，故是几何概型．解：记“折得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有11－3－3＝5(米)，在中间的5米长的木棍上任何一个位置折都能满足条件，所以P (A )＝11－3－311＝511. 18．答案：解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图所示．19．分析：(1)频率×400＝对应寿命组的频数；(2)转化为求互斥事件的频率． 解：(1)由于频率＝频数样本容量，每组的频数＝频率×400，计算得寿命与频数对应表：(2)设“元件寿命在[500,600) h 以内”为事件A ，“元件寿命在[600,700) h 以内”为事件B ，“元件寿命在[700,800) h 以内”为事件C ，“元件寿命在[500,800) h 以内”为事件D ，则事件A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ＋B ＋C ，由题意，得P (A )＝0.10，P (B )＝0.15，P (C )＝0.40，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.10＋0.15＋0.40＝0.65，即元件寿命在[500,800) h 以内的频率为0.65.20．答案：解：(1)由题意得800＋10045＝800＋450＋200＋100＋150＋300n ， 所以n ＝100.(2)设所选取的人中，有m 人20岁以下， 则200200＋300＝m5，解得m ＝2.也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)共10个．其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 1，A 2)，所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. (3)总体的平均数为x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9， 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为18. 21．分析：(1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．解：(1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm 之间，而乙班身高集中于170～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高为 x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170， 甲班的样本方差为s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25. 22．答案：解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.。

某某师大附中2015级第三次学分认定考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分为120分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的某某、某某号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. sin 13π6的值是（） A ．21 B ．－21C ．23D ．－232. 下列函数中，最小正周期为π的是（） A ．cos 4y x =B ．sin 2y x =C ．1sin 2y x = D ．1cos 4y x =cos x x +=（） A ．sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.下列说法正确的是（）A =则b a =B ．若b a //,则b a =C ．若c b b a ==,,则c a =D ．若c b b a //,//,则c a //5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（） A ．2 B ．1sin 2 C ．1sin 2D ．2sin6.已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-7. 函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π8. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别是,,a b c ，若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC ∆的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 9. 将函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图象的一个对称中心是（） A ．,016π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭10.设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值X 围是（）A ．]21,0(B ．]23,1(C ．]23,0[D ．]23,0(第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11. 如果0sin >α，且0cos <α，则α是第象限的角. 12.在∆ABC 中，已知a 2cos C = 13，43ABC S ∆=b =. 13.sin 77cos 47sin13cos 43-=.14.如图，在山顶C 测得山下塔的塔顶A 和塔底B 的俯角分别为30°和60°，已知塔高AB 为m 20，则山高CD 为.C15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论： ①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解．其中，结论正确的编号为.（注：把你认为正确的序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共60分. 16. (本小题满分8分)化简下列各式： （Ⅰ）CM AC MB ++； （Ⅱ）SP PS QP OP ++-．17. (本小题满分10分)已知71cos =α,()1413cos =-βα，且20παβ<<<．（Ⅰ）求α2tan 的值； （Ⅱ）求β的值．18. (本小题满分10分)已知函数 x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=，R x ∈． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调增区间．19. (本小题满分10分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知2a c =，且2A C π-=．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）当1b =时，求ABC ∆的面积S ．20. (本小题满分10分)在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边，S 为ABC ∆的面积，且()22243S a b c =+-．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）()4sin cos 16f x x x x A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，当时，()f x 取得最大值b ，试求S 的值．21. (本小题满分12分)已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图象关于直线4x π=对称，当4x π≥时，函数sin y x =． （Ⅰ）求(),()24f f ππ--的值； （Ⅱ）求()y f x =的表达式；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得的所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能取值及相应a 的的取值X 围．某某师大附中2015级第三次学分认定考试参考答案一、选择题11. 二 12. 32 13. 2114.30 15.①④ 三、解答题16、解：（Ⅰ）AB CM AC MB =++；………………………………………………4分（Ⅱ）SP PS QP OP ++-=OQ ；……………………………………………8分17、解：（Ⅰ）由20,71cos παα<<=， 得734)71(1cos 1sin 22=-=-=αα………………………………………………2分 3417734cos sin tan =⨯==∴ααα，………………………………………………………4分 于是4738)34(1342tan 1tan 22tan 22-=-⨯=-=ααα…………………………………………5分 （Ⅱ）由20παβ<<< ，得20πβα<-<又因为()1413cos =-βα，1433)1413(1)(cos 1)sin(22=-=--=-∴βαβα…………………………………7分 由)(βααβ--=得：)](cos[cos βααβ--=211433734141371)sin(sin )cos(cos =⨯+⨯=-+-=βααβαα………………………9分 3πβ=∴………………………………………………………………………………………10分18、解：将 x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=，R x ∈化简整理得sin 2cos 22)24y x x x π=++=++．………………………………………………………3分（Ⅰ）函数的最小正周期22T ππ==；…………………………………………………………5分 （Ⅱ）要使函数为增函数，则222242k x k πππππ-≤+≤+，则388k x k ππππ-≤≤+，()k Z ∈………………………………………………………………8分那么函数的增区间是3[,]88k k ππππ-+()k Z ∈．……………………………………………10分19、解：（1）∵2a c =，∴sin 2sin A C =①，…………………………………………2分 又∵2A C π-=，∴sin sin()cos 2A C C π=+=②，………………………………………4分联立①②，即可求得sin C =cos C =5分（2）由（1）结合余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-2241221c c c c ⇒=+-⋅⋅⇒=或c =，……………………………………7分由已知易得2A π>，∴1212a b c c >⇒>⇒>，∴c =，…………………………9分111sin 1223S ab C ===．……………………………………………………10分20、解：（Ⅰ）由已知得22214sin )cos 2ab C a b c C ⋅=+-=，……………2分即tan C =4分 ∴3C π=．……………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）1()4sin sin )12cos 22sin(2)26f x x x x x x x π=-+=+=+． 当22()62x k k Z πππ+=+∈即：()6x k k Z ππ=+∈时，max ()2f x =，又∵(0,)A π∈，∴6A π=，2b =，…………………………………………………………8分故2B AC ππ=--=，sin 1a b A ==，sin 3c b C ==，∴13sin 22S ac B ==．………………………………………………………………………10分 21.解：（Ⅰ）()()sin 02f f πππ-===，332()()sin 4442f f πππ-===.………………4分（Ⅱ）设,2442x x πππππ-≤<<-≤则()()sin()cos 22f x f x x x ππ∴=-=-= sin ,,4()cos ,,24x x f x x x ππππ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦∴=⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩………………………………………………………………8分（Ⅲ）作函数()f x 的图象显然，若()f x a =有解，则[]0,1a ∈。

2021年高一上学期第三次学分认定（月考）数学试题 Word版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合{|23},{(,)|41}==+==+，则= ▲ .A x y xB x y y x2.经过点和点的直线的倾斜角为，则实数的值为▲ .3.设集合集合.若，则实数的值为▲ .4.函数的定义域是▲ .5.已知函数，若，则= ▲ .6. 称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥7. 已知函数的图象如图所示，则= ▲.8. 已知直线过点且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为▲.9.已知函数为幂函数，则实数的值为▲.10.若关于的方程有且只有一个零点在区间内，则实数的取值范围是▲,11.在正四面体中，分别是的中点，给出下面三个结论：①平面；②平面；③平面平面.其中不成立．．．的结论是▲.（写出所有不成立结论的序号）12.设空间四边形中，对角线，且，则空间四边形的外接球的体积为▲.第1页共4页13.若点A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过第____▲____象限．14．已知，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题14分）已知集合，．⑴若，求；⑵若，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，是的中点．⑴若为的中点，求证：平面；⑵若平面平面，且，求证：平面平面．17．（本大题满分14分）求过点，且满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程；(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．18. (本小题满分16分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB=2a .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE 的值； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC ； （3）求四棱锥的体积.19．（本小题16分）某校高一（1）班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价（元/桶），年购买总量（桶），且点在如图所示的直线上. （1）求直线的方程；（2）当时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由； （3）当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？PAB C D OE （第18题图）20．（本小题16分）已知，当点在的图像上运动时，点在函数的图像上运动（）．（1）求的表达式；（2）若方程有实根，求实数的取值范围；（3）设，函数（）的值域为，求实数，的值．行知部高一年级第一学期第三次学分认定考试数学试题答案一、填空题1. ；2. 4；3. ；4. ；5. ；6.；7. ；8. ；9. 4；10. ；11. ③；12. ；13. 三；14. .二、解答题15．解：⑴若，则，∩……7分⑵，则，所以实数的取值范围是……14分16．证明：⑴在三棱柱中，是的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，…………4分又平面，平面，所以平面；…………7分⑵因为在中，是的中点，且，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面， …………11分 又平面，所以平面平面． …………14分 17. 解：(1)由题意，可知 …………2分 则. …………4分 所以,所以所求直线的方程为：. ………7分(2)当直线过原点时方程为：， ……9分 当直线不过原点时方程为：. ……12分 故所求直线的方程为或. ……14分18.证明：（1）因为OE ∥平面PBC ，OE ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP ． ………………………………2分 因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.,所以AE PE ＝12．………………4分 （2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ． 因为△PAD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . ……………………………………6分 因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ． 因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ．设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．在Rt △PAB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ． 因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ． 在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ．………………………………10分PAB C DOE （第18题图）M由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB ⊂平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ．又DF ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC ． ………………………………………12分 法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ，所以MF ∥DC ，MF ＝12DC ． 因为DC //AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ，即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． ………………………………………6分 在正三角形PAD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ．因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AM ．又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ． 因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD ．……………………10分 因为BF ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDC . ………………………………12分 （3）//,2,3ACD ABD ABD ABCD AB CD CD AD S S S SS ∆∆∆=∴=+=底面, ……………14分故231333(2)33P ABCD P ABD B PAD PAD V V V S BA a a a ---∆===⨯⨯==.…………16分 19. 解：（1）设直线的方程为过点， 解之得，故直线的方程为. ……………………………5分 （2）该班学生买饮料每年总费用为为(元). …………………………7分 当时，，得，则该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为(元)所以，饮用桶装纯净水的年总费用少 . …………………………10分 （3）设该班每年购买纯净水的费用为P 元，则,3240)9(40)72040(2+--=+-==x x x xy P …………12分要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则解得， …………………………14分故至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少. …………………………16分 20.解：（1）由得，所以，（）． ·························································································· 4分 （2），即（） ···················································································································· 6分 ，令，所以，当时，．即实数的取值范围是 ····································································· 10分 （3）因为，所以．在上是减函数． ··············································································································· 12分所以即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+++22log)2(log 2122log )2(log 2152214221b b b a a a ，所以 ···················· 16分C0.39063 9897 颗35045 88E5 裥35129 8939 褹37808 93B0 鎰40403 9DD3 鷓。

模块综合评估(一)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．当前，某省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为(B)A．40 B．30 C．20 D．36解析：抽样比为90360＋270＋180＝19，故应在乙社区抽取270×19＝30(户)．2．下列各组事件中，不是互斥事件的是(B)A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%解析：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；B中，当平均分数等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件；C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．故选B.3．计算机执行如图所示的程序段后，输出的结果是(D)a＝1a＝a＋2a＝a＋3输出aA．2 B．3 C．5 D．6解析：模拟程序的运行，可得a＝1，a＝1＋2＝3，a＝3＋3＝6，输出a的值为6.故选D.4.在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是(B)A．23与26 B．31与26C．24与30 D．26与30解析：由众数、中位数的定义知众数是31，中位数是26.5．已知数据x1，x2，…，x n的平均数是x，数据y1，y2，…，y n的平均数是y，则数据2x1－3y1,2x2－3y2，…，2x n－3y n的平均数是(B) A．3x－2y B．2x－3yC．4x－9y D．9x－4y解析：(2x1－3y1)＋(2x2－3y2)＋…＋(2x n－3y n)n＝2(x1＋x2＋…＋x n)－3(y1＋y2＋…＋y n)n＝2x－3y.6．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]．其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的频率分别是( C )A ．50,0.15B ．50,0.75C ．100,0.15D ．100,0.75解析：由已知得第二小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40，设共有参赛学生x 人，则0.4x ＝40，解得x ＝100.成绩优秀的频率为0.10＋0.05＝0.15，故选C.7．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为( A ) A.23 B.13 C ．1 D.128．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任意取点，则该点落在四棱锥B 1-ABCD 内部的概率为( B )A.12B.13C.14D.16 解析：∵VB 1-ABCD ＝13V长方体，故点落在四棱锥B 1-ABCD 内部的概率为13.9．为了在运行完下面的程序之后输出y ＝16，输入的x 应该是( C ) 输入 xIf x <0 Theny ＝(x ＋1)*(x ＋1)Elsey ＝(x －1)*(x －1)End If输出yA ．3或－3B ．－5C ．－5或5D ．5或－3解析：本程序含义为：输入x ，如果x <0，执行y ＝(x ＋1)2，否则，执行y ＝(x －1)2.因为输出y ＝16，由y ＝(x ＋1)2可得x ＝－5；由y ＝(x －1)2可得x ＝5，故x ＝5或－5.故选C.10．在样本的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形．若中间一个小矩形的面积等于其余(n －1)个小矩形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数是( A )A ．32B ．20C ．40D ．25解析：设中间一组的频率为P ，则由P ＝14(1－P )得P ＝15.所以中间一组的频数为15×160＝32.11.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用如图所示的茎叶图表示上述两组树苗高度(单位：cm)的数据．对两块地抽取树苗高度的平均数x 甲，x 乙和方差进行比较，下面结论正确的是( B )A.x 甲>x 乙，乙块地树苗高度比甲块地树苗高度更稳定B.x 甲<x 乙，甲块地树苗高度比乙块地树苗高度更稳定C.x 甲<x 乙，乙块地树苗高度比甲块地树苗高度更稳定D.x 甲>x 乙，甲块地树苗高度比乙块地树苗高度更稳定解析：根据茎叶图，得①甲块地树苗高度的平均数x 甲＝28 cm ，乙块地树苗高度的平均数x 乙＝35 cm ，x 甲<x 乙．②甲块地树苗高度分布在19～41之间，成单峰分布，且比较集中在平均数左右；乙块地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，且相对分散．所以甲块地树苗高度与乙块地树苗高度比较，方差相对较小，更稳定．故选B.12．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( C )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：当取出的小球标注的数字之和为3时，只有{1,2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为6时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法有3种，而所有的取法有10种，故所求的概率为310＝0.3.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为6.8.01⎪⎪⎪8 90 3 5 解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11. 由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.14．某工厂生产A ，B 两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5y由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A ，B 两种元件检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy ＝72.解析：因为x A ＝15×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，x B ＝15×(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17.①s 2A ＝15×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s 2B ＝15×[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]，由s 2A ＝s 2B ，得(x －8)2＋(y －8)2＝1.②由①②，解得xy ＝72.15．甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是12.解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)，共4种情况，而从两个盒子中各抽取一张卡片共有8种情况，所以所求概率为12.16．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：万元)与月储蓄y i (单位：万元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a .若该居民区某家庭的月储蓄为2万元，预测该家庭的月收入为8万元．(附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n x 2，a ＝y－b x )解析：由题意知，n＝10，x＝1 10∑i＝110x i＝8，y＝110∑i＝110y i＝2，b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a＝y－b x＝2－0.3×8＝－0.4，所以线性回归方程为y＝0.3x－0.4.当y＝2时，x＝8.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)右面算法框图表示了一个什么样的算法？试用当型循环写出它的算法及算法框图．解：这是一个计算10个数的平均数的算法．当型循环的算法如下：(1)S＝0.(2)I＝1.(3)如果I小于等于10，执行第4步；否则，转第7步．(4)输入G.(5)S＝S＋G.(6)I＝I＋1，转第3步．(7)A＝S10.(8)输出A.算法框图如右：18．(本题满分12分)某学校共有教职工900人，分成三个批次进行教育再培训，在三个批次中男、女教职工人数如表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.第一批次第二批次第三批次女教职工196x y男教职工204156z(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．解：(1)∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16，∴x900＝0.16，解得x＝144.(2)第三批次的人数为y＋z＝900－(196＋204)－(144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m名，则m200＝54900，解得m＝12.∴应在第三批次中抽取教职工12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y，z)，由(2)知y＋z＝200(y，z∈N，y≥96，z≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共4个，∴P (A )＝49.19．(本题满分12分)某连锁经营公司下属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称A B C D E 销售额x (千万元)3 5 6 7 9 利润额y (百万元) 2 3 34 5(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法求利润额y 对销售额x 的线性回归方程．解：(1)散点图如图所示．(2)由(1)散点图可知，销售额和利润额具有相关关系，成正相关．设其线性回归方程为y ＝bx ＋a .经计算得x －＝6，y －＝3.4，∑i ＝15x 2i ＝200，∑i ＝15x i y i ＝112，b ＝112－5×6×3.4200－5×62＝0.5，a ＝3.4－0.5×6＝0.4，所以线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4.20．(本题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x (吨)，用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费．为了了解全市市民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)96 000.理由：由频率分布直方图可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.(3)2.9.理由：∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，∴2.5≤x<3.由0.3(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．21.(本题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于162 cm ～179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm ～179 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)x －甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s 2甲＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm 2)．(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽两名身高不低于173 cm 的同学有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P (A )＝410＝25.22．(本题满分12分)某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．(1)若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中有放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；(2)若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．解：(1)从袋中7个球中有放回地抽取2个球，试验的结果共有7×7＝49(种)．中奖的情况分为两种：①2个球都是白色，包含的基本事件数为4×4＝16；②2个球都是红色，包含的基本事件数为3×3＝9.所以中奖这个事件包含的基本事件数为16＋9＝25.因此，中奖的概率为25 49.(2)设小张和小李到达的时间分别为10时到11时之间的x分，y分．则所有可能的结果为Ω＝{(x，y)|0≤x≤40,20≤y≤60}．记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A＝{(x，y)|x<y,0≤x≤40,20≤y≤60}．如图所示，试验全部结果构成的区域Ω为正方形ABCD，事件A所构成的区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型概率计算公式，得P(A)＝S阴影S正方形＝402－12×202402＝78.7所以小张比小李提前到达的概率为8.。

2021年高一上学期学分认定模拟数学试题（3）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在答题纸、答题卡规定的地方填写自己的座号、班级、姓名、考号．2．答第Ⅱ卷时，必须用黑色中性笔在答题纸作答,考试结束，只交答题纸．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，错误的是( )A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2.若,则= ( )A . B. C. D. R3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )A．24 B．80 C．64 D．2404.若，则函数的图象必过点（）A. B.（0，0） C.（0，-1） D.（1，-1）5.若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）A.轴对称B.轴对称C.原点对称D.以上均不对6.已知，那么等于（）A．1 B．3 C．15 D．307.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．9 B． C． D．8.正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与CN所成的角是（） A．30° B．90°C．45° D．60°9.函数的定义域是（）A． B． C． D．10.如图，三棱柱的体积为V，P是侧棱上任意一点，则四棱锥11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（①与平行．②与是异面直线．③与成角．④与垂直．A.①②③B.②④C.③④D.②③④ 12.已知函数有两个零点，则有（ ） A. B. C. D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

模块综合试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的个数为( ) A ．12B ．10C ．6D ．4 答案 D解析 由题意知抽样比为20120＝16，故在一级品中抽取的个数为24×16＝4，故选D.2．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是( ) A ．3个都是篮球 B ．至少有1个是排球 C ．3个都是排球 D ．至少有1个是篮球答案 D解析 从6个篮球、2个排球中任选3个球，A ，B 是随机事件，C 是不可能事件，D 是必然事件，故选D.3．(2018·郑州市第一中学模拟)某实验幼儿园对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某儿童的记忆能力为12，则估计他的识图能力为( )A ．9.2B ．9.5C ．9.8D ．10 答案 B解析 由表中数据得x ＝7，y ＝5.5，由点(7,5.5)在直线y ^＝45x ＋a ^上，得a ^＝－110，即线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝45×12－110＝9.5，即该儿童的识图能力约为9.5.4．方程x 2＋x ＋n ＝0，n ∈(0,1)有实数根的概率为( ) A.12B.13C.14D.34 答案 C解析 方程x 2＋x ＋n ＝0有实数根，则Δ＝1－4n ≥0，得0＜n ≤14，所以所求概率P ＝14－01－0＝14. 5．(2018·北京市丰台区模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x ＝2，则输出的y 的值为()A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 因为x ＝2＞1，所以y ＝4×2－22＝4.故选B.6．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是( ) A ．50,0.15 B ．50,0.75 C ．100,0.15 D ．100,0.75答案 C解析 由已知得第二小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40， 设共有参赛学生x 人，则x ×0.4＝40，∴x ＝100. 成绩优秀的概率为0.15，故选C.7.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．若甲运动员得分的中位数为a ，乙运动员得分的众数为b ，则a －b 的值是()A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 A解析 ∵甲运动员得分的中位数为a ，∴a ＝19＋172＝18.∵乙运动员得分的众数为b ，∴b ＝11， ∴a －b ＝18－11＝7.故选A.8．已知集合M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N )”的概率是( ) A.15B.14C.16D.12 答案 A解析 因为M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }＝(－1,4)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以“x ∈(M ∩N )”的概率是2－14－－＝15. 9．(2018·遂宁模拟)供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量(单位：度)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民的用电量在[30,40)内的概率为110答案 C解析 由频率分布直方图可知12月份人均用电量人数最多的一组有0.04×10×1000＝400(人)，12月份人均用电量不低于20度的人数为(0.01＋0.01＋0.03)×10×1000＝500, 故A ，B 说法均正确；12月份人均用电量在[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]内的人数分别为100,400,300,100,100，则12月份人均用电量为100×5＋400×15＋300×25＋100×35＋100×451000＝22(度)，故C 说法错误；用电量在[30,40)内的人数为100，故在1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民的用电量在[30,40)内的概率为1001000＝110，故D 说法正确．10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析若x≤2，则x2－1＝3，∴x＝±2.若x＞2，则log2x＝3，∴x＝8.故选C.11．甲在微信群中发6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A.34B.13C.310D.25答案 D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包，分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝410＝25.12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示，工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110B.715C.815D.1315 答案 C解析 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，2位工人不在同一组的结果有(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种，故选取的2位工人不在同一组的概率为815.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________． 答案 0795解析 根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0795.14．《九章算术》中有一则问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”翻译成现代文：“今有一个女子很会织布，每日加倍增长，5天共织布5尺．问每天可以织布多少？”现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，若输出的S ＝5，则实数a 1的值为________．答案531解析 运行该程序，第一次，S ＝a 1，a ＝2a 1，n ＝1；第二次，S ＝a 1＋2a 1，a ＝4a 1，n ＝2；第三次，S ＝a 1＋2a 1＋4a 1，a ＝8a 1，n ＝3；第四次，S ＝a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1，a ＝16a 1，n ＝4；第五次，S ＝a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＋16a 1，a ＝32a 1，n ＝5，满足n ≥5，退出循环，此时输出的S ＝31a 1＝5，所以a 1＝531.15．如图所示，分别以A ，B ，C 为圆心，在△ABC 内作半径为2的扇形(图中的阴影部分)，在△ABC 内任取一点P ，如果点P 落在阴影内的概率为13，那么△ABC 的面积是________．答案 6π解析 由题意可知，阴影部分的扇形面积为一个以2为半径的半圆的面积，所以2πS △ABC ＝13，所以S △ABC ＝6π.16．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为________． 答案715解析 总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，设事件A 表示“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个．事件A 包含的结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个．所以所求的概率为P (A )＝715.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．解 (1)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)． 甲班的样本方差s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2] ＝57.2.(2)设“身高为176cm 的同学被抽中”为事件A .从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)．所以P (A )＝410＝25.18．(12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表：(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)求利润额y 关于销售额x 的线性回归方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．参考公式：b ^＝i ＝1nx i －xy i －yi ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x解 (1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．(2)设线性回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^. 由题中的数据可知y ＝3.4，x ＝6.所以b ^＝i ＝1nx i －xy i －yi ＝1nx i －x2＝－－＋－－＋－＋1×0.6＋3×1.69＋1＋1＋9＝1020＝0.5. a ^＝y －b ^x ＝3.4－0.5×6＝0.4.所以利润y 关于销售额x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该零售店的利润额为2.4百万元．19．(12分)(2018·北京市丰台区模拟)某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析．将200名学生编号为001,002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科考试成绩(单位：分)绘成折线图如下：(1)若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；(2)在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；(3)根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论． 解 (1)由6＋20010×(5－1)＝86，得第五段抽取的学生编号是086.(2)由折线图知两科成绩差超过20分的学生有5人，其中语文成绩高于英语成绩的有3人，记为a ，b ，c ，另2人记为A ，B .在这5人中随机抽取2人有(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况．其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的有3种． 所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为310.(3)该校高二年级学生语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定． 20．(12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解 (1)a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a ，b )共有36个． 设事件A 表示“方程有两正根”，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a －2>0，16－b 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2≥16，a >2，－4<b <4，则事件A 包含的基本事件有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故方程有两正根的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成的区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S Ω＝4×4＝16. 设事件B 表示“方程无实根”，则事件B 的对应区域为⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤6，0≤b ≤4，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤6，0≤b ≤4，a －2＋b 2<16，如图所示，其面积S B ＝14×π×42＝4π，故方程没有实根的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(12分)雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值(微克/立方米)与空气质量等级对应关系如表：由城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两市市区的PM2.5日均值，用茎叶图表示，如图所示．(1)试根据统计数据，分别写出两市的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城市市区的空气质量较好；(2)考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲市某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；(3)分别从甲、乙两市的统计数据中任取一个，试求这两市空气质量等级相同的概率． 解 (1)甲市5天数据由小到大排列为59,83,87,95,116，乙市5天数据由小到大排列为66,68,85,88,98，∴甲市的中位数是87，乙市的中位数是85， ∴乙市的空气质量较好．(2)根据题中统计数据得，在这5天中甲市空气质量等级为3级轻度污染的频率为35，则估计甲市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为35.(3)设事件A ：分别从甲市和乙市的统计数据中任取一个，这两市的空气质量等级相同． 由题意可知，分别从甲市和乙市的统计数据中任取一个，共有25个结果，分别记为： (59,66)，(59,68)，(59,85)，(59,88)，(59,98)， (83,66)，(83,68)，(83,85)，(83,88)，(83,98)， (87,66)，(87,68)，(87,85)，(87,88)，(87,98)， (95,66)，(95,68)，(95,85)，(95,88)，(95,98)，(116,66)，(116,68)，(116,85)，(116,88)，(116,98)． 两市空气质量等级相同的为：(59,66)，(59,68)，(83,85)，(83,88)，(83,98)，(87,85)，(87,88)，(87,98)，(95,85)，(95,88)，(95,98)，共11个结果．∴甲、乙两市空气质量等级相同的概率为1125.22．(12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； (2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]． 求事件“|m －n |>1”的频率．解 (1)由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×0.16×1＋50×0.38×1＝27，所以该班成绩良好的人数为27.(2)由直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，设为x ，y ，z ； 成绩在[17,18]的人数为50×0.08×1＝4， 设为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，有xy ，xz ，yz,3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD,6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，共有12种情况．所以基本事件总数为21种，事件“|m －n |>1”所包含的基本事件总数为12种． 所以P (|m －n |>1)＝1221＝47.。

24＋34＋*＋644＝－2×10＋60，解得*＝38.故选C. 7．下列各数中最大的数是( ) A ．85(9) B ．210(6)C ．1000(4)D ．111111(2) 答案：B解析：85(9)＝8×9＋5＝77,210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78,1000(4)＝1×43＝64,111111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63，故选B.8．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22πC.16D.16π 答案：D解析：满足条件的点在半径为a 的18球内，所以所求概率为p ＝18×43πa 3a 3＝π6，选D.9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B 解析：因为该程序框图执行4次后结束，所以输出的i 的值等于4.10．某班级有50名学生，其中30名男生和20名女生，随机询12．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是()A.110 B.3 10C.610 D.7 10答案：B解析：从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30 100＝310.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验．利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 42 99 66 02 79 54答案：785、567、199、507、175解析：首先找到第8行第7列的数7向右读第一个三位数785，然后是916＞799舍去，接着是955，同样舍去，接着读取567、199，然后是810＞799舍去，接着是507、175，所以最先检查的5袋牛奶的编号为785、567、199、507、175.14．如下图所示的框图表示算法的功能是________．答案：求和S＝1＋2＋22＋23＋…＋26415．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．答案：24,23解析：甲的平均数为：18＋19＋20＋22＋23＋21＋20＋35＋31＋31＝24，10乙的平均数为：19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋30＝23.1016．执行如图所示的程序框图，若P＝0.8，则输出的n＝________.19．(12分)2012年部分省份高考加试体育，某校5月测试的男子50米跑的成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步：i＝1；第二步：输入一个数据a：第三步：如果a＜6.8，则输出a，否则，执行第四步；第四步：i＝i＋1；第五步：如果i＞9，则结束算法，否则执行第二步．程度框图如图：20．(12分)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,15)，4；[15,20)，5；[20,25)，10；[25,30)，11；[30,35)，9；[35,40)，8；[40,45]，3.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)估计总体在[20,35)之内的概率．解：(1)样本频率分布表：分组频数频率[10,15)44 50[15,20)51 10[20,25)101 5[25,30)1111 50[30,35) 9 950 [35,40) 8 425 [40,45]3350(2)频率分布直方图与折线图如下：(3)P ＝1050＋1150＋950＝35.21．(12分)某电脑公司有6名产品推销员，其中5名产品推销员工作年限与年推销金额数据如下表：11。

第二学期高一级数学测试题（必修3学分认定考试 总分：100分 时间：90分钟）班级: 学号： 姓名： 成绩___________一、选择题（共12小题；每题4分；共48分）1．为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见；打算从中抽取一个容量为30的样本；考虑采用系统抽样；则分段的间隔k 为（ ）。

A. 40B. 30C. 20D. 10 2. 一个容量为20的样本；组距与频数如下： ( 10 , 20 ] , 2 ; ( 20 , 30 ] , 3 ; ( 30 , 40 ] , 4 ; ( 40 , 50 ] , 5 ; ( 50 , 60 ] , 4 ; ( 60 , 70 ] , 2 ; 则样本在( -∞ , 50 ]上的频率为（ ）A. 120B. 14C. 12D. 7103．10名工人某天生产同一零件；生产的件数是15；17；14；10；15；17；17；16；14；12；设其平均数为a ；中位数为b ；众数为c ；则有（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 4. 算法的三种基本结构是（ ）A.顺序结构；条件分支结构；重复结构B.逻辑结构；模块结构；分支结构C.矩形结构；菱形结构；平行四边形结构D.顺序结构；条件结构；循环结构5．如图1是一个循环结构的算法；下列说法不正确的是（ ）A.①是循环变量初始化；循环将要开始；B.②为循环体；C.③是判断是否继续循环的终止条件；D.③中“是”与“否”的位置交换对算法没影响 6. 为了输出2；4；6；8；10；以下算法正确的是（ ）。

B. n:=1;for i:=1 to 5 do begin n:=2n; 输出n; end. A. n:=1;for i:=1 to 10 do begin n:=2i; 输出 n; end. C. n:=2;for i:=1 to 5 do; begin n:=n+2; 输出n; end.D. n:=2;for i:=1 to 5 do; begin 输出n; n:=n+2; end.7．如图2所示的算法流程图；最后输出的s 值为（ ）。