06 2002年国际数学家大会的会标

第八届华杯赛初赛试题及解答1.2002年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示。

它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长为2和3）。

问：大正方形的面积是多少？2. 从北京到G城的特别快车在2000年10月前需用12.6小时后提速20% .问；提速后，北京到G城的特别快车需要多少小时？3. 右式中不同的汉字代表I 一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少？中国新北京+新典运2 0 0 8~4. 两个同样材料做成的球A和B, —个实心，一个空心。

A的直径为7、重量为22, B的直径为10.6、重量为33.3。

问：哪个球是实心球？5. 铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。

问：该油罐车的容积是多少立方米?（ n=3.1416）6. 将左下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。

问：你能分出几对这样的牌，两张牌上的数的乘积除以的余数是1?（将A看成I）I0145k7. 右上图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形。

求五边形内阴影部分的面积。

(n =3.14)8. 世界上最早的灯塔于公元270年，塔分三层，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。

上部的体积是底座的体积的_____ .打开X(A) ■■(B)二(C)--9•将+, -,x,+四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。

]]]]]10.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个?11.自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。

为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？12.将一边长为I的正方形二等分，再将其中的一半二等分，又将这一半的一半二等分，这样继续下去……展开想象的翅膀，从这个过程中你能得到什么？12、答案可以是各种各样的1. 【解】中间小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 4个三角形与中间小正方形的面积之和，所以，大正方形的面积=1[X 2 X 3X 4+ 1= 13.1002.【解】时间与速度成反比，提速后的时间为 12.6 -（ 1 + 20%）= 12.6 X 二「I =10.5 （小时）3. 【解】“新”必为9,千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18,但当和为18时,（“国”、“京”、“运”分别为 7, 6, 5）,“中”、“北”、“奥”之和最大为 15 （“中”、“北”、“奥”分别为8, 4, 3），不能进位2,所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8,此时，“北”、“奥”只能分别为7和5,则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1,为使“中国”代表的两位数最大，“国”取4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是84.B 的比重为33.3 +（彳 I 2丿），两式均含22 333_所以只需比较 F 与ill 「的大小，二1亍〉1000, ，= 147,可知A 的比重较大，即 A 是实心球. 5. 【解】-XJTX13两个半球合成一个球，体积为」，圆柱部分的高为14- 2= 12,4.【解】显然比重较大的一个是实心球.A 的比重为22十-x^xf 一所以罐的容积为： E +nX 12x 12=（12+ 1 ）X n ~ 13.3333 X 3.1416 ~41.888 （立方米）6. 【解】本题实际上是求1到10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成几个个位是1的数.显然，双数不成所以只能是1X 1，3 X 7，7X 3和9X 9，共4对.7. 【解】我们用两条绿线将五边形分成了三个三角形，可以看出，这个五边形的五个角的度数和是180 X 3= 540度，即阴影部分面积相当于 1.5个半径为5的圆的面积，所以阴影部分的面积是n X 52X 1.5 - 3.14 X 25X 1.5 = 111.75 （平方厘米）.◎8. 【解】由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长.设底座的一边长为2a,则塔的上部的体积为｝X n .■/ -X 27,底座的体积为4：' X 27，所以，塔的上部的体积是底座的体积的，答案为B.9. 【解】题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1一X—二一一乂一 = —一乂一 =——一X-=——-X^ =-相加应尽量大，［一「，人J 「，4 1 ：'ii , ：〔「.；二一I■,111111111 113 114 115 116-X-=— -X-"—-X-"—一* _=一- 一士一二一一一=一1 一1 , •• 1 二，—二；而「二4 Tj 4 , 1 1 ；其中最小的是：〔二•，而二匚」 - 一_,［匚■- --,1丄1 1 1 1所以2 r :”最大，即答案为：+、*、一、X。

专题17 以弦图为背景的计算题一、单选题1．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（ ）A ．《周髀算经》B ．《几何原本》C ．《九章算术》D ．《孙子算经》【答案】A【分析】 根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．【详解】解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关键．2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．52B ．68C ．72D ．76【答案】D先根据勾股定理求出BD 的长度，然后利用外围周长=4()BD AD ⨯+即可求解．【详解】由题意可知212CD AC ==∵90,5BCD BC ∠=︒=∵13BD ===∵风车的外围周长是4()4(136)76BD AD ⨯+=⨯+=故选：D ．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．3．下列数学著作中，记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题是数学常识题，《周髀算经》中有记载勾股定理的公式，由此可得答案．【详解】解：在《周髀算经》中有记载勾股定理的公式，故选：D．【点睛】本题是一道数学常识题，了解一些与数学有关的典故是解决本题的关键．4．将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．4B．8C．2πD．16【答案】D【分析】首先由面积为2π的半圆，可知圆的面积为4π，求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．【详解】解：已知半圆的面积为2π，所以半圆的直径为：4，即如图直角三角形的斜边为：4，设两个正方形的边长分别为：x，y，则根据勾股定理得：x2+y2＝42＝16，即两个正方形面积的和为16．故选：D．【点睛】此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为2π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．5．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（）A．9B．36C．27D．3【答案】B【分析】将四个直角三角形的面积相加即可得．【详解】由图可知，大正方形与中间小正方形的面积差等于四个直角三角形的面积和由直角三角形的面积公式得：面积和1436362S=⨯⨯⨯=故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的面积公式，理解题意，正确将面积差转化为面积和是解题关键．6．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A．12B．14C．15D．110【答案】C【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∵大正方形面积为20，而阴影区域的边长为2，面积为4； 故飞镖落在阴影区域的概率41205=． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概率，掌握几何概率的求法是解题的关键．7．国际数学家大会是数学界四年一次的最高水平盛典，大会将邀请世界著名数学学者交流报告数学最新进展和成果，还将由承办国国家元首颁发世界数学最高奖——菲尔兹奖.2002年在北京召开的国际数学家大会会标图案是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图.若小正方形面积为4，大正方形面积为100，则直角三角形中较短边的长度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】 设直角三角形中较短边的边长为x,利用勾股定理可以建立一个关于x 的一元二次方程，解方程即可得出答案.【详解】由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，设直角三角形中较短边的边长为x ，则有22(2)100x x ++=，解得126,8x x ==-（负值不合题意，舍去）.∵直角三角形中较短边的长度为6.故选：C.【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容和方程的思想是解题的关键.8．如图1是由5个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是5的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【答案】A【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．【详解】解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：A．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．9．三车魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘幑完成了《九章术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）A．《海岛算经》B．《孙子算经》C．《九章算术》D．《五经算术》【答案】A《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是《海岛算经》．故选A∵10．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，则字母A所代表的正方形的面积为（∵A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】如图所示，根据勾股定理，可得12+A=16∵∵A=4.故选B.11．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∵2xy＝24，故D错误，∵（x﹣y）2＝1，故A错误，∵x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．12．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，AC BC则这个风车的外围周长是（）A．24B．52C．61D．76【答案】D【分析】由题意∵ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．【详解】解：依题意∵ACB为直角，AD=6，∵CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∵BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．13．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（）A．36B．48C．54D．108【答案】C【分析】根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．【详解】由题意得：15×15-3×3=216，216÷4=54，故选C．【点睛】本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图∵），图∵由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼成．若正方形EFGH 的面积为2，则正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 将正方形MNKT 的面积设为x ，八个全等的直角三角形的面积设为y ，然后根据图形表示出正方形EFGH 的面积及正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和，找到两者的关系即可得出答案．【详解】将正方形MNKT 的面积设为x ，八个全等的直角三角形的面积设为y ，∵若正方形EFGH 的面积为2，42x y ∴+=，∵正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和为28x y +，∵正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和为()24224x y +=⨯=，故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的面积关系，找到正方形EFGH 的面积及正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和之间的关系是解题的关键．15．如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则（a +b ）2的值是（ ）A．13B．25C．33D．144【答案】C【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方17，也就是两条直角边的平方和是17，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=16．根据完全平方公式即可求解．【详解】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=17，四个三角形的面积=412ab=17﹣1，∵2ab=16，（a+b）2= a2+b2+2ab =17+16=33．故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．16．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169B．25C．19D．13【答案】B【分析】首先求出ab的值和a2＋b2的值，然后根据完全平方公式即可求得（a＋b）2的值．【详解】∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∵四个直角三角形面积和为13﹣1＝12，即4×12ab ＝12， ∵2ab ＝12，a 2+b 2＝13，∵（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝12+13=25，故选∵B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，本题中求得ab 的值是解题的关键．17．如图，分别以Rt ABC 三边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，若32S =，27S =，那么1S =（ ）A ．9B ．5C ．14D ．3.5【答案】A【分析】 根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt∵ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，∵S 1=S 2+S 3．∵S 2=7，S 3=2，∵S 1=7+2=9．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．72B ．76C ．40D ．52【答案】B【分析】 由题意∵ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，从而计算外围周长．【详解】解：依题意可得：∵ACB=90°，∵直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，∵延长后的直角三角形较长的直角边为6×2=12，∵“数学风车”=13，∵“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：B ．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．19．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm 和6cm ，则中间小正方形的面积是（ ）A ．29cmB ．236cmC ．227cmD ．245cm【答案】A【分析】 由全等三角形的性质求出小正方形边长即可求解．【详解】解：根据题意得：小正方形的面积22(63)9cm =-=．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质；求出小正方形的边长是解决问题的关键．20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1.5【答案】B【分析】 利用整体代入的思想求出（a−b ）2的值即可．【详解】由题意可得，22825ab a b =⎧⎨+=⎩， ∵小正方形的面积＝（a−b ）2＝a 2＋b 2−2ab ＝25−16＝9，∵小正方形的边长为3故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x ＞y ），请观察图案，下列关系式中不正确的是（ ）A ．x 2+y 2=64B ．x -y =3C ．2xy +9=64D ．x +y =11【答案】D【分析】根据大正方形面积为64，小正方形面积为9，得到边长分别为8和3，根据图中关系进行判断．【详解】解：A 、由于用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形，由勾股定理便有x 2+y 2=64，故A 正确B 、由于有4个全等的直角三角形，故有y+3=x,即x -y =3，故B 正确C 、面积法可以得到，四个直角三角形面积+小正方形面积可得到，即2xy +9=64故C 正确D 、排除法，不正确综合分析，本题选择不真确的答案为D【点睛】本题考查知识面比较多，设计了勾股定理，面积法，三角形全等知识，关键在于看懂图的信息． 22．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若14ab =，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【分析】 已知ab ＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.【详解】由题意得：大正方形的面积为2264a b +=，又小正方形边长为-a b ，14ab =，()2222a b a b ab -=+-，()26421436∴-=-⨯=，a b->，a b∴-=．a b6故小正方形边长为6．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．23．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞1)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x2+y2=49B．x－y＝2C．2xy+4=49D．x+y=9【答案】D【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可．【详解】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到x2+y2=49，故正确；B中，根据小正方形的边长是2即可得到x－y＝2，故正确；C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到2xy+4=49，故正确；D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得（x+y）2= x2+y2+2xy =94，（不符合实际，舍去），故错误．故选D．【点睛】此题考查勾股定理，正方形的性质和完全平方公式等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想．24．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则2EF的值是（）A．169B．196C．392D．588【答案】C【分析】≅，利用全等三角形的性质，可证得BH=AE，就可求出EH的长，同理可求出由题意可知AEB BHCHF的长，然后利用勾股定理即可求解．【详解】≅解：∵AEB BHC==∵BH AE10=-=-=∵EH BE BH241014=同理可得HF14∵22222=+=+=．EF EH HF1414392故选：C．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质和勾股定理，熟练利用全等三角形的性质求出EH和HF是解题关键．25．如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是（）A．464B．336C．144D．36【答案】B【分析】要求图中字母所代表的正方形面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则c2=400，b2=64，已知斜边和以直角边的平方，由勾股定理可求出A的边长的平方，即求出了图中字母所代表的正方形的面积．【详解】解：设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则c2=400，b2=64，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：a2=c2-b2=400-64=336，所以图中字母所代表的正方形面积是a2=336．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．26．“赵爽弦图”利用面积关系巧妙证明了勾股定理，如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab 8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．4【答案】C【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∵大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∵大正方形的边长为5．故选：C ．27．如图，直线 l 上有三个正方形 a 、b 、c ，若 a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．16D ．55【答案】C【分析】 运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵a 、b 、c 都是正方形，∵AC=CD ，∵ACD=90°；∵∵ACB+∵DCE=∵ACB+∵BAC=90°，∵∵BAC=∵DCE ，∵∵ABC=∵CED=90°，AC=CD ，∵∵ACB∵∵CDE （AAS ），∵AB=CE ，BC=DE ；在Rt∵ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =11+5=16，故选：C ．【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强． 28．如图，四边形ABCD 中，90ABC CDA ∠=∠=︒，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（ ）A ．6B ．9C ．11D ．12【答案】D【分析】 连接AC ，根据三个等腰直角三角形的面积算出AB 、BC 、AD ，再利用勾股定理算出CD 的长，从而可计算第四个三角形的面积．【详解】解：连接AC ，∵三个等腰直角三角形的面积分别为2，5，9，∵可得BC==6，AD=2∵∵ABC=∵ADC=90°，=，==则第四块三角形的面积为12⨯， 故选D ．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形面积的计算，难度一般．29．如图所示，以Rt ABC ∆的三边为边向外作正方形，其面积分别为123,,S S S ，且14S =，28S =，则3S =（ ）A ．4B ．8C ．12D ．32【答案】C【分析】 根据S 1是等于BC 的平方，S 2是等于AC 的平方，S 3是等于AB 的平方，再根据勾股定理可得BC 2+AC 2=AB 2，可得S 1+S 2=S 3，故解决本题．【详解】解：∵S 1=BC 2，S 2=AC 2，S 3=AB 2又∵BC 2+AC 2=AB 2∵S 1+S 2=S 3，S 3=4+8=12故选C ．【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式以及勾股定理，熟练勾股定理的概念是解决本题的关键．30．勾股定理历史悠久，三国时期的赵爽证明了勾股定理，后人借助“赵爽弦图”，用三个正方形证明勾股定理，如图所示，B ，C ，M ，G 在同一条直线上，四边形ABCD ，四边形CEFG ，四边形AMFN 都为正方形，若五边形ABGFN 的面积为34，CM=2，则∵ABM 的面积为( )A ．10B ．173C ．5D ．4 【答案】C【分析】可证得Rt ABM Rt MGF ≅，设 AB a =，则2BM a =+，根据五边形ABGFN 的面积等于正方形AMFN 的面积加上两个Rt ABM 的面积即可求得结论． 【详解】∵四边形ABCD 、四边形CEFG 、四边形AMFN 都为正方形，∵∵ABM=∵AMF=∵MGF=90°，AM= MF ，∵∵AMB+∵BAM=90°，∵AMB+∵GMF=90°，∵∵BAM=∵GMF ，∵Rt ABM Rt MGF ≅，设 AB a =，则2BM a =+，在Rt ABM 中，∵222AM AB BM =+，即()2222AM a a =++，∵AMFN ABGFN 234ABM S S S=+=正方形五边形，即212342AM AB BM +⨯=， ∵()()222?234a a a a ++++=，化简得：()210a a +=，∵ABM 的面积为()112522AB BM a a =+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，利用面积公式变形化简求得()210a a +=是解题的关键．31．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（ ）A ．1或4B ．4C ．1D ．2或4【答案】B 【分析】 3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【详解】解：3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5-3=2，∵小正方形的面积22=4；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，理解直角三角形的边长与小正方形的边长之间的关系是解答此题的关键． 32．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（ ）A ．60B ．79C ．84D ．90【答案】D【分析】 根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．【详解】解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，∵根据勾股定理可得：2248x y +=，根据小正方形面积可得()26x y -=，∵2xy +6=48，∵2xy =42，则()222290x y x y xy +=++=，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想． 33．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以AB 为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 7的值为（ ）A ．61()2B ．71()2C ．6(2D ．72【答案】A【分析】 根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为1，∵面积标记为S 2，则22111222S ===，面积标记为S 312=， 则232111()242S ===， …..则S 7的值为：612， 故选：A ．【点睛】 本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键．34．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB ，“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∵OAB ＝（ ）A ．35B ．2425C ．45D ．1225【答案】B【分析】如图，作射线OH∵AB 于H ．交圆弧于C ，利用垂径定理以及勾股定理构建方程组求出OA ，OH ，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作OH∵AB 于H ．交圆弧于C ，由题意：AB＝8，HC=3，∵OA﹣OH＝3，∵OH∵AB，OC为半径，∵AH＝BH＝1AB2=4，在Rt∵OAH中由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，∵42＝（OA＋OH）（OA﹣OH），∵OA＋OH＝163，∵OA＝256，OH＝76，∵cos∵OAB＝AH424==25OA256，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理，三角函数的定义，掌握垂径定理与勾股定理的条件与结论，三角函数的定义是解题关键．35．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则小正方形的面积为（）．A．21cm B．22cm C．42cm D．23cm【答案】C【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm∵小正方形的边长=5cm -3cm=2cm∵小正方形的面积=222=4cm ⨯故选：C ．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．36．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169【答案】A【分析】 根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．37．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）A ．144B ．22C ．16D ．13【答案】B【分析】 先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，∵四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×12ab =10 ∵2ab=10，∵直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b∵a 2+b 2=12∵(a+b)2= a 2+b 2+2ab=22．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键．38．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（ ）。

2002年数学大会会徽三函数
国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次。

会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，会见老朋友、结交新朋友的国际性会议，是国际数学界的盛会。

大会每四年举行一次，首届大会1897年在瑞士苏黎世举行，至今已有百余年的历史。

它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会。

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为3，直角三角形中较小的锐角为30°，那么大正方形的面积为12+6√33。

分析：根据小正方形的面积为3，求出小正方形的边长为√33，即b-a=√33，然后根据直角三角形中较小的锐角为30°，可得b=√33a，联立两式求出a、b的值。

继而可求出大正方形的面积。

解答：∵小正方形的面积为3，∴小正方形的边长为√33，即b-a=√33，∵直角三角形中较小的锐角为30°，∴b=√33a，解得：a=3+√323+32，b=3+3√323+332，∵大正方形的面积=c2=a2+b2，
∴大正方形的面积=（3+√323+32）2+（3+3√323+332）2=12+6√33。

故答案为：12+6√33。

点评：此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理以及三角函数的知识。

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题2 赵爽弦图（以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．420B．1020C．1180D．15602．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA=，若13AB=DF的长为（）A．2B3C．3D．43．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC的面积为（ ）A ．94B 93C ．134D 133 4．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设3DF AF =，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )A ．79B ．34C ．56D ．375．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD 的边长为2，ADH α∠=，则小正方形EFGH 的面积为（ ）A ．1sin 2α-B ．1cos2α-C ．44cos2α-D ．44sin 2α-6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．2425B ．2324C 3D ．147．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 8．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，310BD =D 、E 两点间的距离为145 ）A 3B 22C ．1D ．29．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AF =（ ）A ．3455a b +B ．4355a b +C ．1233a b +D ．2133a b + 10．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（ ）A ．625B ．625-C ．825D ．825- 11．赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理222+=a b c ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角α，另一对直角三角形含有锐角β（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）A ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-B ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+D ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 12．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种A ．120B ．240C ．300D ．360 13．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设3DF AF =，若向三角形ABC 内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（ ）A．79B．34C．56D．3714．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域1和区域3颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则()P B A=（）A．27B．12C．23D．3415．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BE EFλ=，16122525BF BC BA=+，则实数λ=（）A．2B．3C．4D．516．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．360种C ．420种D ．540种 17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA m =，DC n =，23AF AE =，则DE =（ ）A ．641313m n +B ．461313m n +C ．691313m n +D ．961313m n + 18．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，310BD =，D ，E 两点间的距离145 ）A3B22C．1D219．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若2BE EF=，则EF=（）A．311313BC BA+B．321313BC BA+C．231313BC BA+D．121313BC BA+20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC，若ABC6AF DE⋅的最小值为（）A．0B．1-C63D．323-二、填空题21．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin5BAC∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．22．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若5E为线段BF的中点，则AF BC⋅=______．23．国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ=．24．如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”.25，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为___________.25．赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则34tan πα⎛-⎫ ⎪⎝⎭的值为______________.26．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设20DF AF +=，若AD AB AC λμ=+，则可以推出λμ-=_________．27．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，且DF kAF =，能推出130139λμ+=，则正实数k 的值为____________．28．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC ，若ABC 的边长为27AF FD =，则DEF 的面积为_______.29．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若1225S S =，则tan ABE ∠=___________.30．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.。

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】第九讲图形的面积（二）阅读与思考上讲里我们学习了几何图形中一些面积计算的相关知识和方法。

本讲我们继续探讨平面几何图形面积的计算问题。

对于较为复杂的组合图形的面积问题，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，灵活运用典型的数学思想方法、技巧解题。

1、利用弦图分割拼补求面积：如图1 弦图是由四个相同的长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长等于长方形的长和宽的和，小正方形的边长等于长方形的长和宽的差。

根据大小正方形的边长和长方形的长与宽之间的关系可以巧妙地解决许多面积问题。

2、利用等量代换的思想计算有部分图形重叠的组合图形面积计算问题。

这类问题需要我们认真观察图形的特点，从组合图形中重叠的部分出发，寻找图形中的内在联系，巧妙地利用已知图形面积的和与差之间的关系建立等式，等量代换。

从而巧妙地求出组合图形的面积。

3、添加合适的辅助线构造成特殊图形如平行四边形、正方形、等腰直角三角形或等积形等。

添加辅助线的一般技巧有“见中点连中线，见中线延长一半”；“四十五度旁边想直角，分割拼补成等腰”等等。

典型例题|例①|如图2 从一个正方形木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为5平方米。

问锯下的长方形木条面积是多少？分析与解这类题可以巧妙地运用弦图来求面积。

如图2 可以看出剩下的长方形的长是原正方形的边长，它的宽比长少0.5米。

根据弦图的启发，我们可以假设有四个与剩下的长方形一样的长方形，把它们拼成如图 3 的大正方形，这个大正方形的边长是长方形的长和宽的和，阴影小正方形的边长是长方形长和宽的差，正好等于0.5米，问题迎刃而解了。

大正方形的面积=0.5×0.5+4×5=20.25，大正方形的边长为4.5米，于是剩下的长方形中长+宽=4.5，长-宽=0.5，长=（4.5+0.5）÷2=2.5（米）。

九年级数学上册第一章《2-直角三角形（一）》阅读材料会标勾股定理中考题2002年8月20 ~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如右图所示。

它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.赵爽在这本书中，画了一个弦图（如图）。

两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.赵爽注释道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2.他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”即2ab+（b-a）2=c2化简便得出：a2+b2=c2这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.借助第24届国际数学家大会的东风，宣传民族文化，激发自豪感，这些也正是中考命题专家们看重的地方.例1（2003年安徽省中考题）如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.求证：△ABF≌△DAE分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角.∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.在Rt△ABF与△DAE中，∠BAF=∠ADE，AB=AD∴△ABF≌△DAE(AAS).例2（2003年山东省中考题）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如下图所示）. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为（）A.13；B.19；C.25；D.169.分析：由勾股定理，结合题意得 a2+b2=13 ①.由题意，得 (b-a)2=1 ②.由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.把①代入③，得 13-2ab=1∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.例3（2003年山东省烟台市中考题）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）分析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5①由勾股定理，得a2+b2=13②.①2–②，得 2ab=12.∴(a-b)2 = a2+b2-2ab=13 –12 =1③.即所求的中间小正方形的面积为1.（2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm2)，所以，可按照图甲制作.由③，得a-b=1.由①、③组成方程组解得 a=3, b=2.结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-×3×2×4=13-12=1(cm2)，恰好等于中间的小正方形面积. 于是，得到以下分割拼合方法：。