算术平均值的实验标准差和单次测量值的实验标准差的区别

1.4 测量误差分析1.4.1 测量误差分类按照误差的表示形式，可分为绝对误差、相对误差和引用误差；按照误差的特点和性质，又可分为系统误差、随机误差和粗大误差。

1.按表示形式分类(1) 绝对误差绝对误差的定义为绝对误差＝测得值-真值 (1-1)在实际工作中，经常使用修正值。

为消除系统误差，用代数法加到测量结果中的值称为修正值。

将测得值加上修正值之后可以得到近似的真值，即修正值＝真值-测得值 (1-2)由此可得真值≈测得值+修正值 (1-3)修正值与误差值的大小相等而符号相反。

测得值加修正值后可在一定程度上消除该误差的影响，这就是误差修正的基本原理。

但值得注意的是，由于在大多数情况下难以得到真值，修正值本身也存在着误差，因此修正后只能得到较测得值更为准确的结果。

(2) 相对误差相对误差定义为绝对误差与被测量的真值之比，即绝对误差相对误差=真值(1-4) 相对误差只有大小和符号且量纲为一，一般用百分数来表示。

此外，相对误差常用来衡量测量的相对准确程度，相对误差越小，测量精确度越高。

(3) 引用误差对于有一定测量范围的测量仪器或仪表，以上所提到的绝对误差和相对误差都会随测量点的改变而改变，因此往往还采用其测量范围内的最大误差来表示该仪器仪表的误差，这就是引用误差的概念。

引用误差定义为在一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比，即最大绝对误差引用误差＝测量范围上限(1-5) 根据国家标准GB776—76《测量指示仪表通用技术条件》规定，我国电工仪表的精确度等级就是按照引用误差进行分级的。

一般分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级，分别表示它们的引用误差不超过的百分数。

例1-1 某1.0级电流表，满度值为100A μ，求测量值分别为100A μ，80A μ和20A μ时可能出现的最大绝对误差和相对误差。

根据题意得1100A x μ=，280A x μ=，320Ax μ=（13x x -对应了三次测量值），且考虑到绝对误差不随测量值而变，均为123100 1.0%1A x x x μ∆=∆=∆=±⨯=±则最大相对误差分别为1111100%100%1%100x x r x ∆=⨯=±⨯=± 2221100%100% 1.25%80x x r x ∆=⨯=±⨯=± 3331100%100%5%20x x r x ∆=⨯=±⨯=± 可见，在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。

2014年测量数据处理及计量专业实务（一级）参考答案（1）更多一级二级注册计量师历年真题和考试资料请搜索淘宝店铺：王工计量师XX测量数据处理及计量专业实务（一级）参考答案一.单项选择题（共70题，每题1分，每题的备选项中，只有一个最符合题意）1.下列方法屮，可用于减小周期性系统误差的是（）。

A .异号法B.交换法C.半周期偶数测量法D.全周期奇数测量法参考答案：C。

解析：教材上关于系统误差处有提。

2.检定员小李为了修正环境温度对量器容积的影响，用温度计测量环境温度为22. 0°C,该温度计校准证书上给出该点的示值误差为-0. 2°C, 此时实验室空调系统显示温度为21.6°C,则小李在量器容积的计算公式中需要带入的温度值为（）OA .22.2°CB.22. 0°CC.21.8°CD.21.6°C参考答案：Ao解析：实际温度：(22.0+0.2) °C3.以长度标准装置测量标称值为10mm的量块，得到量块的示值误差为-0. 0010mm.以该量块校准一测长仪，测长仪读数为10. 0020mm,该测长仪的修正值是()。

AO. 0030mm D 0. 0030mm 参考答案：A。

10mm量块修正后的值是10+0. 0010二10. 0010mm,测长仪的修正值二-示值误差二-(10. 0020-10. 0010) mm二-0. 0010mm4.某计量院建立长度计量标准时，对计量标准进行重复性试验，对某常规被测件重复测量10次，测量数据如下：10. 0006mm,10. 0004mm,10. 0008mm,10. 0002mm,10. 0003mm,10. 0005mm,10. 0005mm,10. 0007mm,10. 0004mm,10. 0006mmo在实际检定中，采用该计量标准在相同条件下对某一同类被测件进行4次测量，取4次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，则最佳估计值的实验标准偏差为()。

一、单选题（每题2分，共76分）第1题：在规定的测量条件下多次测量同一个量所得测量结果与计量标准所复现的量值之差是测量的的估算值。

A、随机误差B、系统误差C、不确定度D、引用误差【正确答案】：B第2题：当测量结果与相应的标准值比较时，得到的系统误差估计值为。

A、测量结果与真值之差B、标准值与测量结果之差C、测量结果与标准值之差D、约定真值与测量结果之差【正确答案】：C第3题：在重复条件下，测量16次，以其算术平均值作为测量结果，通过计算得到其分布的实验标准偏差s=0.44 ，则其测量结果的A类标准不确定度是。

A、0.44B、0.11C、0.88D、0.22【正确答案】：B第4题：对一个被测量重复观测，在所得的一系列测量值中，出现了与其它值偏离较远的个别值时。

应。

A、将这些值删除B、保留所有的数据，以便保证测量结果的完整性C、判别其是否是异常值，确为异常值的予以删除 D、废弃这组测量值，重新测量，获得一组新的测量值【正确答案】：C第5题：在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量，测量值为：0.01mm，0.02mm，0.01mm，0.03mm。

用极差法计算得到的测量重复性为。

（注测量次数为4，极差系数近似为2）A、0.02mmB、0.01mmC、0.015mmD、0.005mm【正确答案】：B第6题：对被测量进行了5次独立测量，得到以下测量值：0.31, 0.32, 0.30, 0.35, 0.32计算被测量的最佳估计值，即得到的测量结果为。

A、0.31B、0.32C、0.33D、0.34【正确答案】：B第7题：用标准电阻箱检定一台电阻测量仪，被检测量仪的最大允许误差（相对误差）为正负1%，标准电阻箱评定电阻测量仪示值误差的扩展不确定度为0.0001(包含因子为2），当标准电阻箱分别置于0.1欧，1欧，10欧，100欧，1000欧，1000000欧时，被检表的示值分别为：0.1015欧，0.9987欧，10.005欧，100.08欧，999.5欧，1000160欧。

不等精度直接测量不确定度的评定国家质检总局福州培训中心彭靖一、问题的提出在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。

但这两个公式的计算结果有时会相差很大。

那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。

二、公式的数学推导在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:测量结果的最佳估计值为:则测量结果的不确定度评定为:对式(5)求方差有设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=由(4)式有=σ2/p i从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。

而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。

但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。

为此，作如下推导:由残差νi=x i-i=1，2，……n对νi单位权化由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi可得单位权标准差的估计值将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。

从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。

三、公式选用的一般原则笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。

第一章绪论思考题1-1 广义互换性的定义是什么？机械产品零部件互换的含义是什么？1-2 互换性与公差的关系是什么？进行零件精度设计时，确定公差大小的原则是什么？1-3 互换性在机器制造业中有什么作用和优越性？1-4 互换性原则是否在任何生产情况下都适用？试加以说明。

1-5 互换性可以分成哪两类，试述它们各自的特点和如何实现？1-6 何谓标准？何谓标准化？互换性生产与标准化的关系是什么？1-7 按标准的使用范围，我国如何制定标准，并进行划分？试述不同使用范围的标准各自的特点？1-8 为什么说当选定一个数值作为某种产品的参数指标时，这个数值就会“牵一发而动全身”？1-9 GB-T321-1980规定什么数列作为优先数系，试述这个数列的特点和优点？1-10 GB-T321-1980规定的优先数系分哪五个系列，试述这五个系列的特点和优点？1-11 何谓几何量公差包括的内容和几何量检测工作的作用？习题1 试按《几何量公差与检测》基本教材附表1-1写出基本系列R5中优先数从0.1到100的常用值。

2 试写出派生系列R5/3、R10/2、R20/3中自1以后的5个优先数（常用值）。

3 自IT6级以后，孔、轴标准公差等级系数为10,16,25,40,64,100,160,…。

试判断它们属于哪个优先数系列。

4 自3级开始至9级止，普通螺纹公差等系数为0.50,0.63,0.80,1.00,1.25,1.60,2.00。

试判断它们属于哪个优先数系列。

5 试写出家用灯泡15~100W中的各种瓦数，并指出它们属于优先数系中的哪个系列。

第二章几何量测量基础思考题2-1 我国法定计量单位中长度的基本单位是什么？试述第十七届国际计量大会通过的长度基本单位的定义？2-2 测量的实质是什么？一个完整的测量过程应包括哪四个要素？2-3 以量块作为传递长度基准量值的媒介有何优点，并说明量块的用途？2-4 量块的制造精度分哪几级，量块的检定精度分哪几等，分“级”和分“等”的主要依据是什么？2-5 量块按“级”和按“等”使用时的工作尺寸有何不同？何者测量精度更高？2-6 何谓量具、量规、量仪？2-7 计量器具的基本技术性能指标中，标尺示值范围与计量器具测量范围有何区别？标尺刻度间距、标尺分度值和灵敏度三者不何区别？示值误差与测量重复性有何区别？并举例说明。

《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为:（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法,以便在最经济条件下,得到理想的结果。

误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么?答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量,不反映是“大了"还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值.+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

（2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的,后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49。

999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100。

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A .异号法B.交换法C. 半周期偶数测量法D.全周期奇数测量法参考答案：C。

解析：教材上关于系统误差处有提。

2.检定员小李为了修正环境温度对量器容积的影响，用温度计测量环境温度为22.0℃,该温度计校准证书上给出该点的示值误差为-0.2℃,此时实验室空调系统显示温度为21.6℃,则小李在量器容积的计算公式中需要带入的温度值为（）。

A .22.2℃B.22.0℃C.21.8℃D.21.6℃ 参考答案：A。

解析：实际温度：（22.0+0.2）℃3.以长度标准装置测量标称值为10mm的量块，得到量块的示值误差为-0.0010mm.以该量块校准一测长仪，测长仪读数为10.0020mm,该测长仪的修正值是（）。

Ａ0.0030mm D 0.0030mm 参考答案：A。

10mm量块修正后的值是10+0.0010=10.0010mm，测长仪的修正值=-示值误差=-（10.0020-10.0010）mm=-0.0010mm4.某计量院建立长度计量标准时，对计量标准进行重复性试验，对某常规被测件重复测量10次，测量数据如下：10.0006mm,10.0004mm,10.0008mm,10.0002mm,10.0003mm,10.0005mm,10.0005mm,10.0007mm,10.0004mm,10.0006mm。

在实际检定中，采用该计量标准在相同条件下对某一同类被测件进行4次测量，取4次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，则最佳估计值的实验标准偏差为（）。

A 0.00018mm B 0.00006mm C 0.00009mm D 0.00029mm 参考答案：C。

1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。

《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。

相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。

今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。

由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。

1)误差的定义及其表示法。

(1) 绝对误差：绝对误差=测得值-真值；(2) 相对误差：相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值；(3) 引用误差：引用误差=示值误差/测量范围上限；2)误差的基本概念。

所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差。

误差=测得值-真值3)误差的来源。

(1) 测量装置误差； (2) 环境误差； (3) 方法误差； (4)人员误差； (5)被测量对象变化误差；4)误差分类：(1) 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

(2) 随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。

(3) 粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。

又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。

5)测量的精度。

① 准确度：表征测量结果接近真值的程度。

系统误差大小的反映②精密度：反映测量结果的分散程度(针对重复测量而言)。

表示随机误差的大小③ 精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度。

系统误差和随机误差的综合反映6)有效数字答： (1)有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。

且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。

论是零还是非零的数字，都叫有效数字1 ．若舍去部分的数值大于保留末位的 0.5，则末位加 1 ， (大于 5 进) ；2 ．若舍去部分的数值小于保留末位的 0.5 ，则末位不变， (小于 5 舍) ；3 ．若舍去部分的数值恰等于保留末位的 0.5，此时:①若末位是偶数；则末位不变，②若末位是奇数，则末位加 1 ， (等于 5 奇进偶不进) 。

1 -1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。