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MIT线性代数试题exam3sol_MIT

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1

测验3答案 2005年5月4日

问题1

a) 矩阵A的特征多项式为

这样A有一重特征根1和两重特征根14。特征值1的特征向量为(1,1,1)T的非零倍数，剩

余的两个特征向量非零且正交于(1,1,1)T，形式如下（其中(a,b)≠(0,0)）

这个向量空间的一个正交基为

b) 使S成为正交矩阵，即

这样矩阵A即变为对角线上元素为1，14，14的对角矩阵。

又因为

所以

c) 如果A-rI正定则r<14。因为r为正数，可以取r=18。

如果A-sI正定性不确定则14

如果A-tI负定则t>1。可以取t=2。

2

d) B的奇异值为1，12，12。

问题2

a) A的积等于特征值之和0。我们推断第2行第2列的元素为-a。同理可得，A的行列式

等于特征值的乘积-1。我们推断第2行第1列元素为1−a2。这样我们有

b) 因为矩阵A有两个不相等的特征值，所以A有两个线性独立的特征向量。

c) 当且仅当A具有对称性时才会有正交的特征向量，即a=0。如果a≠0，那么A的特征

向量就不正交。

d) 不管a取何值矩阵A都有特征值1和-1。所以A的Jordan规范形为 10

0−1 。

问题3

a) 微分方程dudt=Au的通解形式为（其中c

1,c

2,c

3为任意常数）

b) 因为向量x1,x

2,x

3独立，所以它们构成ℝ3的一个基。ℝ3中的任一向量都可以表示成如下

的线性组合形式：u0=a

1x

1+a

2x

2+a

3x

3。由矩阵A我们得到

要使当k趋近于无穷大时向量uk趋近于零，应使极限limk→∞λ

ik=0，也就是对所有的i

值都有−1<λi<1。

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线性代数英文试卷(习题)

线性代数英文试卷(习题)

姓名： 学号： 班级：

Linear Algebra Final Test(15.06)

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[2]Fill the answer in the question paper in part.1

1.Filling Blanks(45 points)

[1]figure out the value of the following determinant A=

______________

[2]Here are two matrix,

,please find AB=____________,BA=______________.

[3]A known matrix B satisfies the following equation,B2-B-2E=0,if

B,B+2E are nonsingular,thus (B+2E)-1=___________

[4]Pick up the vectors which are linearly independent__________

①(-2,1)T,(1,3)T,(2,4)T ②2,x2,x,2x+3 ③x+2,x+1,x2-1 ④(1,2)T,(-1,1)T

[5]

.if B is a nonzero 3x3 matrix,AB=0,thus t=________

[6]|A|=|B|=|C|=2,and they’re all 3*3 matrix,find the value of D=

=____________

[7]Judge whether

have the same eigenvalues______(‘Y’OR’N’),if yes,please find

2017-2018-Final-Exam-线性代数英文试题

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2021—2021 Fall Semester

Linear Algebra Final Exam

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You may keep this paper. Solutions will be posted on the course website after the exam.

Please do not answer the following problem until we give the signal.

1. (20 points) Let A = [ 221 6

63−3

011040 13104] Find bases of the following vector spaces and state

their dimensions.

(a) The column space of A.

(b) The row space of A.

(c) The null space of A.

(d) The orthogonal complement of the column space of A.

2. (15 points) Let A = (4−130)

(a) Compute Ak for all integers k≥0. Write the answer as explicitly as you can, in the form of a

(完整版)线性代数试题套卷及答案

(完整版)线性代数试题套卷及答案

第1页，共14页（线性代数） （ A 卷）

专业年级： 学号： 姓名：

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填

写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的

nmA

0Ax)(AAT

(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式 ，

32121,,,,4,,,

1321A

，则行列式 1,,,

2321BBA

(A) ； (B)

； (C) ； (D)

。4016340

3．设向量组线性无关，且可由向量组线

s，，，

21)2(s

s，，，

21

性表示，则以下结论中不能成立的是

(A) 向量组线性无关；

s，，，

21

(B) 对任一个，向量组线性相关；

j

sj，，，

2

(C) 存在一个，向量组线性无关；

j

sj，，，

2

(D) 向量组与向量组等价。

s，，，

21s，，，

21

4．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是 n0Ax

(A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A0Ax

(B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A0Ax

(C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A0Ax

(D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。A0Ax

5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 An)2(nAA题 号

一二三 总 分总分人复分人

得 分

得分评卷人√√

第2页，共14页(A) ； (B)

；AAA11||)(

AAA||)(1



(C)

； (D)

。111||)(

AAA11||)(

AAA

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量.

《线性代数（经管类）》期末考试试题

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第⼀⼤题：单项选择题1、设⾏列式=1 , =2, 则= ( )

A.—3

B.—1

C.1

D.3

2、

设A为3阶⽅阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（）A.—1

B.

C.

D.1

3、设矩阵A，B，C为同阶⽅阵，则=____

A.

B.

C.D.

4、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（）

A.

B.

C.

D.

5、设A为m×n矩阵，则齐次线性⽅程组=0仅有零解的充分必要条件是

（ A ）A.A的列向量组线性⽆关

B.A的列向量组线性相关

C.A的⾏向量组线性⽆关

D.A的⾏向量组线性相关

6、已知，是⾮齐次线性⽅程组=b的两个不同的解，，是其导出组

=0的⼀个基础解系，，为任意常数，则⽅程组=b的通解可以表为（）A.

B.

C.

D.

7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则 |

|= ( )

A.

B.

C.7

D.12

8、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有⼀个特征值为（）

A.

B.

C.D.

9、⼆次型的矩阵为（）

A.

B.

C.

D.

10、设A为三阶⽅阵且|A|=-2,则（）

A.—108

B.—12

C.12D.108

11、如果⽅程组有⾮零解,则 k=（）

A.—2

B.—1

C.1

D.2

12、设A、B为同阶⽅阵，下列等式中恒正确的是（）

A.AB=BAB.

C.D.

13、设A为四阶矩阵，且 |A|=2 则（）

A.2

B.4

C.8

D.12

14、设可由向量 =（1，0，0）=（0，0，1）线性表⽰，则下列向量中只能是( )

A.（2，1，1）

B.（—3，0，2）

C.（1，1，0）

D.（0, —1,0）

15、向量组的秩不为S（）的充分必要条件是（）

A.全是⾮零向量

B.全是零向量

C.中⾄少有⼀个向量可以由其它向量线性表出

D.中⾄少有⼀个零向量

16、设A为矩阵，⽅程=0仅有零解的充分必要条件是（）

A.的⾏向量组线性⽆关

B.A的⾏向量组线性相关

C.A的列向量组线性⽆关

D.A的列向量组线性相关