数列应用题
例1、甲、乙两人同一天分别携款1万元到银行储蓄。甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计算利息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税。若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得的本息之和的差为多少元？（精确到分）
解.甲:410(15 2.88%0.8)+⨯⨯
乙:4510(1 2.25%0.8)+⨯
410(15 2.88%0.8)+⨯⨯-4510(1 2.25%0.8)+⨯219.01≈
答:甲与乙所得的本息之和的差约为219.01.
注:存款问题,关键是搞清楚其中的单利(等差数列)、复利（等比数列）计算方法以及利息税的问题。
例2、(分期还款问题)陈先生买了一套新住宅，总价250万元。首期付款120万元，余款130万元向银行借款。贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。假设银行贷款利率在20年中不变化，每月利率1.05%。问陈先生每月应还银行多少元？
解：设陈先生把每个月的还款x 万元按时存入一虚拟银行，存款利率即为贷款利率r ，20
年后，这些存款的本利总和为：
2402402392382401(1)(1)(1)(1)(1)1(1)r r r S x r x r x r x x x r r
-++-=+++++++==-+ 这些存款本利总和应该等于陈先生20年欠银行贷款的本利总额240130(1)r + 240240
240240(1)1130(1)130(1)14861.57(1)1
r r r x r x x r r +-+∴=+⇒=⇒≈+- 答：陈先生每月因还银行14861.57元.
例3、参加一次国际商贸洽谈会的国际友人，居住在某五星级宾馆的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有与会人员。现要求每层派一人，共n 人集中到第k 层开会。问k 如何确定，能使n 位参加会议人员的上、下楼梯所走的路程的总和最少？
分析:设每两层楼梯的楼梯长度为L,住在m 层的人到k 层开会走的路程为()n a k m L =-
当1m k ≤≤时,();().n m a k m L k m n a m k L =-<≤=-当时，
解: 设每两层楼梯的楼梯长度为L,开会人员所走路程为S
(121)0(12)[1(1)](1)[1()]()22
S k L n k L k k n k n k L L =++
+-⋅+++++-⋅+--+--=⋅+⋅ 22(1)2n n k n k L ⎡⎤+=-++⋅⎢⎥⎣⎦
2
211(,)24n n k L L k n N +-⎛⎫=-⋅+⋅∈ ⎪⎝
⎭ 1S 22S 22n n k n n n k +=
+=当为奇数时，时，最小；当为偶数时，k=或时，最小. 注:(1)本题属于等差数列类应用题,要用等差数列的公式来构造;
(2)数列应用题中的最值方法之一转化为二次函数的最值,注意取值范围是自然数.
例4、在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司许诺第一年的月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司许诺第一年月工资数2000元，以后每年月工资在上一年工资基础上递增5%。若某人年初同时被A 、B 两家公司录取，问：
（1） 若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的工资收入分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多为应聘的标准，该人应选择哪家公司，为什么？
（3）在A 公司工作比B 公司工作的月工资收入最多可以多多少？（精确到1元），并说明理由。 解:(1)设,n n a b 分别表示第n 年此人在A 、B 公司工作的工资数，则 *1*1500230(1),;2000(15%),n n n a n n N b n N -=+-∈=+∈
（2） 设'
,n n S S 分别表示{}{},n n a b 的前n 项和，则 1010'10'
10101091500102301230420022000(1 1.05)123018691 1.05
S S S S ⨯⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
-=⨯=-∴> 所以此人应选择A 公司。
（3） 令112702302000 1.05n n n n C a b n -=-=+-⨯
当212230100 1.05n n n n C C --≥-=-⨯时，
若210 1.05 2.319.1n n n C C n --->⇒<⇒<
当{}*
19191919,827n n n N C C a b ≤∈=-=时，递增，此时最大； 当{}*
20202020,816n n n N C C a b ≥∈=-=时，递减，此时最大 所以在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多多827元。
注：利用数列的单调性是求数列最值得方法之一。
例5、某布匹批发市场一布商在10月20日购进4000匹布。21日开始销售，且每天他都能销售前一天所
剩布匹数目的20%，并新进1000匹新布，设n 天后所剩布匹的数目为n a
（1）计算12,,a a 并求n a ；
（2）若干天后，布商所剩布匹能否稳定在4900匹到5000匹之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由。
解：（1）1400080%10004200a =⨯+=
21420080%10004360
0.81000,2n n a a a n -=⨯+==⨯+≥
令10.8()0.210005000n n a t a t t t -+=+⇒-=⇒=-
150000.8(5000)n n a a -∴-=-
{}5000n a ∴-是以-800位首项，
45
为公比的等比数列 11*445000800()5000800(),55
n n n n a a n N ---=-⨯⇒=-⨯∈ （2）1449005000800()490010.325n n a n -≥⇒-⨯≥⇒≥ 从11天起剩余布匹大于等于4900，而
14lim lim 5000800()50005n n n n a -→∞→∞⎡⎤=-⨯=⎢⎥⎣⎦
从10月31日起，剩余布匹稳定在[4900，5000]之间。
注：有些应用问题，直接求通项公式比较困难，可寻找n a 与1n a -之间的递推关系，再求通项。
