几个重要不等式及其应用
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几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
1. 幂均值不等式设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+，则βββββαααααM n a a a n a a a M nn=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121121 。
证：作变量代换，令i i x a =β，则β1i i x a =，则βαβαβαβαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇔≥n x x x x x x n M M n n 21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。
2.（切比雪夫不等式）设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则()()n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- 221111112111等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
证：由排序不等式有：n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，……………………………………………………………………………n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121以上n 个等式相加即得。
3. 一个基础关系式y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。
设x,y 均不为零，则原不等式ααα-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα-+≤⇔t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤<t 时，0)(<'t f ，且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+αααt t ，即y x yx )1(1αααα-+≤-.4. Holder 不等式设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k 且111=+qp ，则 qnk q k pn k p k n k k k b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a qk p k ==。
证: 在上面基础关系式中，取,,,1q k p k B y A x p ===α有q k p k k k B qA pB A 11+≤……① ① 式两边对k 求和，得：∑∑∑===+≤n k qk n k p k nk k k B q A p B A 11111,令qn k q k k k pn k p k k k b b B a a A 1111,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==,代入上式即证。
5. 一个有用的结论设+∈R b a i i ,，则∏∏∏===+≥+ni n ini n ini ni ib a b a111111)(，推广得设),,2,1,,,2,1(,n j n i R a ij ==∈+，则∑∏∏∑====≥n j nni ij n i nnj ija a111111)()(.证：原不等式1)(11121≤+++⇔∑∏==nnj ni ini i ija a aa ,而)(1)(1211121∑∏==+++≤++ni in i i ij nni ini i ija a a a n a a a a∑∑∑∏====+++≤+++∴n j ni ini i ij nnj ni in i i ija a a a n a a a a 112111121)(1)( 1111)(111121=⋅==+++=∑∑∑===n n n a a a a n n i n i n j in i i ij ,它可把含根式的积性不等式化为和式。
三、如何运用几个重要不等式例1 设+∈R c b a ,,且1=abc ，求证：333222c b a c b a ++≤++。
证：由柯西不等式有2222333)())((c b a c b a c b a ++≥++++…①而≥++++=++))(111()(3222222222c b a c b a ≥++2)(c b a 33)(abc c b a ⋅++)(3c b a ++≥，即c b a c b a ++≥++222…②由①②有：≥++++))((333c b a c b a ))((222c b a c b a ++++,∴333222c b a c b a ++≤++方法二：由幂均值不等式有：=++≥++23222333)3(3c b a c b a )3(3222c b a ++21222)3(c b a ++22221322222233)(c b a c b a c b a ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥。
方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设c b a ≤≤，则≥++++≥++3))((222333c b a c b a c b a 222322233)(c b a abcc b a ++=⋅++例2 设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii证：左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n n n n n n n ni ii 。
评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。
例3 设1,,,,=∈+abcd R d c b a ，求证：∑≥+2)1(1b a证：设),,,(,,,,+∈====R w z y x xwd w z c z y b y x a ，则原不等式 ∑∑∑≥+⇔≥+⇔≥+⇔21112)(2)1(1zy xz y x yz z y y x ，由Cauchy 不等式有：212121212121)11(1)1(11122=+≥+=+≥+∑∑∑∑∑∑∑∑∑xyxyxy xyxyxzy x x z y x，故原不等式成立。
评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。
例4 设n 是正整数，且n k a k ,,2,1,0 =>，11=∑=n k k a ，求证：n nk kn a n )22()12(1-≥+-∏= 证：原不等式22)12(11-≥+-⇔∏=n a n nk n k ，由“二，结论5” 有nknk n nk n k a n n n n a n 11111)11212()12(+--+--≥+-⇔∏∏=-= 个n nn n n n n a a a n a a a n n n n 21212121)12()12(+-=+--++--≥，又n n ni i a a a n a 211≥∑=， n ana a a ni in n=≥∴∑=1211，故n n nk kn n n a n )22()2()12(1-≥+-≥+-∏=。
评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。
例5 设,...,21a a 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i 存在一个实数c ，使得c a i ≤≤0 且ji a a j i +≥-1对所有正整数)(,j i j i ≠成立，证明：.1≥c 证： 对于2≥n ，设(1),(2),...,()n ρρρ为n ,...2,1的一个排列且满足：(1)(2)()0...n a a a c ρρρ≤<<<≤. ∴()(1)()(1)()n n n c a a a a ρρρρ-≥-=-+(1)(2)()n n a a ρρ---+(2)(1)...()a a ρρ+-1()(1)n n ρρ≥++-1(1)(2)n n ρρ+-+-1...(2)(1)ρρ++…① 21(1)2()(1)()n i n i n ρρρ=-≥--∑（柯西不等式）∴2(1)(1)(1)()n c n n n ρρ-≥+--22(1)3n n n -≥+-34131+-=+-≥n n n .故.1≥c 评注：这里把i a 有序化后，①的变形是关键。
