高中数学必修2知识点
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高一数学必修2知识点1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆台是由直角梯形旋转得到，球是由半圆旋转得到.2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行.3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆.4、空间几何体的表面积：（1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为h ，底面多边形的周长为c ，则直棱柱的侧面积ch S =直棱柱侧面积；（2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为a ，底面周长为c ，斜高为h '，则正n 棱锥的侧面积1122nah ch S ''==正棱锥侧面积；（3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正n 棱台的上底面、下底面边长分别为a '、a ，对应的周长分别为c '、c ，斜高为h '，则正n 棱台的侧面积()()1122n a a h c c h ''''=+=+正棱台侧面积S ； （4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则圆柱的底面面积为2r π，侧面积为2rl π，圆柱的表面积()2r r l S π=+圆柱表面积；（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为rl π，表面积()r r l S π=+圆锥表面积；（6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为r '、r ，母线长为l ，则圆台的侧面积为()r r l π'+，表面积()22r l rl S r r π'=+++'圆台表面积；（7）设球的半径为R ，则球的表面积24S R π=球表面积. 5、空间几何体的体积：（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积Sh V =柱体；（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积13Sh V =锥体； （3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为S '、S ，高为h ，则台体的体积()13h S S V '=台体；（4）设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则圆柱的体积2h V r π=圆柱；（5）设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则圆锥的体积213h V r π=圆锥；（6）设圆台的上、下底面半径分别为r '、r ，高为h ，则圆台的体积()2213hrr V r r π'=++'圆台；（7）设球的半径为R ，则球的体积343V R π=球.6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.7、平面的基本性质：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 数学符号表示：,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.数学符号表示：,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使公理3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示：l l αβαβP∈⇒=P∈I I 且 公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示：//,////a b b c a c ⇒推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒I10、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ⊂⊂=P ⇒I （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥⇒（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示：//,////αγβγαβ⇒平面与平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.数学符号表示：//,//a a αβαβ⊂⇒（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 数学符号表示：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒I I11、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥I（2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示：//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示：//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示：,//a b a b αα⊥⊥⇒12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 数学符号表示：,a a βααβ⊥⊂⇒⊥平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥I13、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.数学符号表示：αααPA ⊥AO PO ⊥AO ⊂⇒⊥PA ,为在内的射影,a ,a a三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.数学符号表示：αααPA ⊥AO PO ⊥PO ⊂⇒⊥AO ,为在内的射影,a ,a a 14、求异面直线所成的角（090θ<≤o o ）的步骤：（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. （2）将这个角放入某一个三角形中.（3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小.15、求直线与平面所成的角（090θ≤≤o o ）的步骤：（1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是直线与平面所成的角.（2）将这个角放入某一个三角形中.（3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小.16、求二面角的平面角（0180θ≤≤o o ）的步骤：（1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.（2）将这个角放入某一个三角形中.（3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 17、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<oo，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<oo时，0k ≥；当90180α<<oo时，0k <.（3）过()111,y x P ，()222,y x P 的直线斜率()211221k yy x x x x -=≠-.18、两直线的位置关系：两条直线111222:;:y x y x l k b l k b =+=+斜率都存在，则：（1）121212//l lk k b b ⇔=≠且；（2）12121l l k k⊥⇔⋅=-()1212,0,l l l l ⊥当的斜率不存在的斜率为时； （3）112122l l k k b b ⇔==重合且与.19、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y k x y x -=-（定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：()1112122121,y x yx y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）截距式：1x ya b +=（在x 轴上的截距，在y轴上的截距）（5）一般式：()2200x y C A +B +=+≠A B20、直线的交点坐标：设11221122:0,:0x y x y l C l C ++=++=A B A B ，则联立方程组1112220x y x y C C ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩A B A B（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交，此解是交点的坐标；（2）当方程组无解时，两条直线平行； （3）当方程组有无数组解时，两条直线重合.设11221122:0,:0x y x y l C l C ++=++=A B A B ，则：（1）1l 与2l 相交1122⇔≠A B A B；（2）11112222//C l l C⇔=≠A B A B ；（3）1l 与2l 重合111222C C⇔==A B A B .21、两点()111,y x P ，()222,y x P 间的距离公式12=P P原点()0,0O 与任一点(),x yP 的距离OP =22、点()0,y x P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点()0,y x P 到直线:0l x C A +=的距离0Cd x A +=A（2）点()0,y x P 到直线:0l y C B +=的距离0Cd y B +=B（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =23、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =24、过直线1111:0x y l C ++=A B 与2222:0x y l C ++=A B 交点的直线方程为()()1122120x y x y R C C λλ+++++=∈A B A B25、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A +=26、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点()()1222,,,y y x x PE 关于点(),y x M 对称，则1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设()()1212,,,y y x x PE 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则：a 、0B =时，有122Cx x +=-A且12y y=；b 、0A =时，有122Cy y+=-B且12x x = c 、0AB ≠时，有12121212022C y y x x y y x x ⎧-B⎪=-A ⎪⎨⎪++A⋅+B⋅+=⎪⎩27、圆的标准方程：()()222x a y b r+=--（圆心(),a b A ，半径长为r ）圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222y x r +=28、点与圆的位置关系： 设圆的标准方程()()222x a y b r+=--，点()0,y x M，则：（1）当点M 在圆上时，()()22200a b y x r +=--；（2）当点M 在圆外时，()()22200a b y x r +>--；（3）当点M 在圆内时，()()22200a b y x r +<--.27、圆的一般方程：()222240Dx Ey F F y x DE ++++=+->（1）当2240F D E +->时，表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）当2240F D E +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当2240F D E +-<时，不表示任何图形. 28、直线与圆的位置关系： 设直线:0l x y C A +B +=与圆()()222:C x a y b r +=--，圆心到直线的距离d =，方程组()()2220x y C x a y b rA +B +=⎧⎪⎨+=⎪⎩--，∆为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则：（1）相交0d r ⇔<⇔∆>⇔方程组有两组实数解；（2）相切0d r ⇔=⇔∆=⇔方程组有一组实数解； （3）相离0d r ⇔>⇔∆<⇔方程组无实数解. 29、圆与圆的位置关系：设圆1C 的半径为1r ，圆2C 的半径为2r ，则： （1）1C e 与2C e 相离1212C C r r ⇔>+； （2）1C e 与2C e 相切1212C C r r ⇔=+； （3）1C e 与2C e 相交121212C C r r r r⇔-<<+；（4）1C e 与2C e 内切1212C C r r⇔=-； （5）1C e 与2C e 内含1212C C r r⇔<-.30、过两圆221110x y y xD E F ++++=与222220x y y xD E F ++++=交点的圆的方程()()222211122201x y x y y y xxD E F D E F λλ+++++++++=≠-当1λ=-时，即两圆公共弦所在的直线方程.31、点(),,a b c M 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标： （1）关于xoy 平面的对称点坐标为(),,a b c -； （2）关于xoz 平面的对称点坐标为(),,a b c -； （3）关于yoz 平面的对称点坐标为(),,a b c -； （4）关于x 轴的对称点坐标为(),,a b c --； （5）关于y 轴的对称点坐标为(),,a b c --； （6）关于z 轴的对称点坐标为(),,a b c --； （7）关于原点的对称点坐标为(),,a b c ---；32点()()11221212,,,,,y y x x z z P P 间的距离12=P P点()()120,0,0,,,x y z P P 间的距离12P P。
