第十二章无穷级数
教学目的：
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，
了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些
基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。
13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。
14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。
15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。
教学重点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数
5、函数展开成傅立叶级数。
教学难点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数；
5、函数展开成傅立叶级数
§12. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u 1, u 2, u 3, × × ×, u n , × × ×, 则由这数列构成的表达式
u 1 + u 2 + u 3 + × × ×+ u n + × × ×
叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为∑∞
=1
n n u , 即
3211
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞
=n n n u u u u u ,
其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞
=1
n n u 的前n 项和
n n
i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211
称为级数∑∞
=1
n n u 的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n s 有极限s ,
即 s s n n =∞
→lim ,
则称无穷级数∑∞
=1
n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,
并写成
3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞
=n n n u u u u u s ;
如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞
=1
n n u 发散.
余项: 当级数∑∞
=1
n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞
=1
n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值
r n =s -s n =u n +1+u n +2+
叫做级数∑∞
=1n n u 的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)
20
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞
=n n n aq aq aq a aq
的敛散性, 其中a
0, q 叫做级数的公比.
解： 如果q 1, 则部分和 q
aq q a q aq a aq
aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 1
2
. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为
q a -1.
当|q |>1时, 因为∞=∞
→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
发散.
如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na
, 因此级数n n aq ∑∞
=0
发散;
当q =-1时, 级数n n aq ∑∞
=0
成为
a -a +a -a + ,
时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,
所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞
=0
也发散.
综上所述, 如果|q |<1, 则级数n
n aq ∑∞
=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |1, 则级数n n aq ∑∞
=0
发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞
=0
a
0)收敛, 其和为
q
a -1.
例2 证明级数 1+3+5+ +（2n -1）+
是发散的.
证 此级数的前n 项部分和为
135 (21)(1)n s n n n =+++⋅⋅⋅+-=+. 显然, ∞=∞
→n n s lim , 因此所给级数是发散的.
例3 判别无穷级数
)
1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解 由于 1
11)1(1+-=+=n n n n u n ,
因此 )
1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
n n s n 1
11)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而
1)1
11(lim lim =+-
=∞
→∞
→n s n n n ,
所以这级数收敛, 它的和是1.
