G
F E
D
C
B
A
M 证明题
1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． （1）求证：BE=CF ；
（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．
2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。 求证：（1）AF ＝CG ；
（2）CF ＝2DE
3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，
BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。 （1）求证：OE=OF ；
（2）若BC=23，求AB 的长。
4.已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中
点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．
5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。 （1）如图1，若点H 是AC 的中点，AC=23AB ，BD 的长。
（2）如图1，求证：HF=EF 。
（3）如图2，连接CF ，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。 6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． （1）若AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； （2）若AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．
①如图2，若点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；
②如图3，若点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．
7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1
CF 2BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=
-.
8.已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=︒，AB =BC .
（1）如图1，若90BAD ∠=︒，AD =2，求CD 的长度；
A
B F D
C E 25题图1 B A
F
D C E
G 25题图2 A
B F D
C E G 25题图3
图1 图2 图3 A
E
O
C B
（2） 如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ =AP +CQ ，求证：1
902
PBQ ADC ∠=︒-
∠； （3）如图3，若点Q 运动到DC 的延长线上，点P 也运动到DA 的延长线上时，仍然满足PQ =AP +CQ ，则（2）中的结论是否成立若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ ∠与ADC ∠的数量关系，并给出证明过程. 9.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、
EF ．
（
1）如图1，当E 是线段AC 的中点，且AB =2时，求△ABC 的面积； （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE =EF ；
（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
10.如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF ∥AD ，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ．
（1）过D 作DH ⊥AB,垂足为H ，若DH=23，BE=
1
4
AB,求DG 的长； （2）连接CP ，求证：CP ⊥FP ；
（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE,点P 为DE 的中点，连接FP 、CP
，那么第（2）问的结论成立吗若成立，求出PF
CP
的值；若不成立，请说明理由．
11.如图1，ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AD ⊥于点D ，连接DE . （1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；
（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB
∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =； （3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、
BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。 12.如图，在等腰R t △ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO ，以AB 为斜边向三角形内部作R t △ABE, 且∠AEB=90°，连接EO.
求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+2OE.
13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． 求证：PD+PE=CF ．
小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ． 【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
图1 D
A B C A
D
C P
Q
图2
A
D
B
C
P
Q
图3 A
B C
D H P F G
第25题图1 A B C D
P
F 第25题图2
E G ’
