2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题二-数列的求和及应用(教师版)

2011年高考数学难点、重点、易错点突破精讲精练专题02数列的求和及应用【名师导航】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降。

客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。

有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

复习建议：“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果【高考目标定位】数列求和1、考纲点击（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式；（2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

2、热点提示（1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想；（2）对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。

【考纲知识梳理】数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：○1(1) 12342n nn++++++=；○22222(1)(21) 1236n n nn++++++=；○32462(1)n n n++++=+；○4213521n n ++++-=；○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。

2、倒序相加法 如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的； 4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减； 6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。

一、数列求和（一）分组转化求和 ※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；2、常见类型及方法 （1）利用等差数列前n 项和公式直接求解；（2）1n n a a q -=∙利用等比数列前n 项和公式直接求解； （3），数列是等比数列或等差数列，采用分组求和法求的前n 项和。

注：应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值。

※例题解析※ 〖例〗已知数列{}n a 的前n 项是3+2-1，6+4-1，9+8-1，12+16-1，……，写出数列{}n a 的通项并求其前n 项和nS思路解析：先求通项→转化为几个易求和数列形式→分别求和→得结论解答：由已知得，数列{}n a 的通项公式为321312n n n a n n =+-=-+，∴nS =2121(231)2(12)(2531)(222)2121(31)222n nn n n n a a a n n n ++--+++=+++-++++=+-=++-（二）错位相减法求和 ※相关链接※ 1、一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法；2、用乘公比错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“nS ”与“nqS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的n S -nqS 的表达式。

注：利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。

（三）裂项相消求和 ※相关链接※1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若{}n a 是等差数列，则111111()n n n n a a d a a ++=-，221111()2n n n n a a d a a ++=-，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。

3、常见的拆项公式有：※例题解析※〖例〗已知数列{}na的通项公式为21log()2nna n Nn*+=∈+，设其前n项和为n S，，2n b的前n项和为nT，（1）求nS；（2）求nT思路解析：利用对数运算法则可求nS，通过变形运算利用裂项相消法可求nT。

解答：（1）方法一：∵2221log log(1)log(2)2nna n nn+==+-++∴222222222log2log3log3log4log(1)log(2)1log(2),21log(2)log;2nnS n n nS nn=-+-+++-+=-+∴=-+=+方法二：222222312312 log log log log()log3423422 nn nSn n n++=+++=⨯⨯⨯=+++（2）212224log (1)(2)224log log log ,21(1)(2)411224(),(1)(2)121111111124()4().233412222n n n n b n n n b S S n n n n n n n n nT n n n n -++=+=+=++++∴===-++++∴=-+-+-=-=++++…+（四）数列求和的综合应用〖例〗设数列{}n a 满足1a a =，11,,,0.n n a ca c n N a c c *+=+-∈≠其中为实数且（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若0101n a n N c *<<∈<≤对任意成立，证明思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解{}n a ；（2）利用错位相减法求nS ；（3）利用反证法证明。

（2）12122312312311(1)(),21112()(),22211111()2()(1)()(),22222111111()()()(),222222111111()()()()22222112[1()]().222(n n n n n n n n n n n n n nn n n n n a c n S b b b n S n n S n S n n S -++-=-==+++=+++=+++-+∴=++++-∴=+++++-=--∴=-由（1）得b (1)2)().2n n +（3）由（1）知1(1)1n n a a c -=-+。

若10(1)11n a c -<-+<，则10(1)1n a c -<-<。

∵101a a <-<，∴110()1n c n N a -*<<∈-。

由10n c ->对任意()n N *∈成立，知c>0.下证c ≤1.用反证法。

方法一：假设c>1.由函数f(x)=xc 的函数图象知，当n 趋于无穷大时，1n c-趋于无穷大。

∴111n c a -<-不能对()n N *∈恒成立，导致矛盾。

∴c ≤1, ∴o< c ≤1.注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。

本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用。

【方法攻略】 1.等差、等比数列的性质要类比理解、记忆.巧用等差、等比数列的性质，可达到减少运算量、提高解题速度和正确率的目的.对等差、等比的综合题型，在解题思路方法上，注意充分应用题中涉及的概念、通项公式、前n项和公式及有关性质，布列等式、消元、解方程.注意联系与变换视角观察分析.2.等差数列和等比数列的综合应用主要包括以下几个方面:(1)通项公式及前n项和公式的正用、逆用及综合运用;(2)等差、等比数列性质的综合应用,所以应熟练掌握等差、等比数列的性质;(3)数列问题与函数、三角、不等式以及解析几何均可进行综合,在这些知识交汇点处,要给予足够的重视.3.学会运用化归思想,将非等差数列和非等比数列转化为等差数列和等比数列的问题加以处理的方法,对新颖的信息、情境和设问,能选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地运用所学的数学知识、思想方法,进行独立思考、探索和研究,达到解决问题这一目的.理解以社会问题立意的数列应用题,能准确理解问题的实际意义,将实际问题转化为数列问题,并用数列知识加以解决.【难点突破训练】题组一2010高考数学模拟考试全解全析（10选择5填空10解答）一、选择题1、（2010年-浙江省嘉兴市模拟）已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于A.95B.135C.138D.23参考答案与解析：A解析：设等差数列首项为a1,公差为d,则由已知得，故.2、定义一种运算“”，对于正整数n满足以下运算：①11=1;②(n+1) 1=2+n 1.则n1用含n的代数式可表示为A.2n－1B.nC.2n－1D.2n-1参考答案与解析：A解析：观察到运算满足的两式的性质，显然跟数列中的某种递推关系类似，因此我们转化为数列题来做即可.设,则依题意得a1=1,an+1=2+an,因此{an}为等差数列，易得an=2n－1.3、（2010年-山东省潍坊市高考模拟考试）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A.5年B.6年C.7年D.8年4、（2010年-辽宁省重点中学协作体高三第一次模拟考试）数列满足：，且对任意的都有：，则( )A. B. C. D.参考答案与解析：D解析：因为∵an＋m＝an＋am＋m n，则可得al＝l，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，则可猜得数列的通项，·∴＝，∴＝＝，故选择D．本题考查了求解数列的通项的方法和数列求和的方法．求解数列的通项除了依据数列的递推关系，恰当应用方法求解通项外，还可以通过有限项归纳出数列的项的共同特点，而猜出通项．5、（2010年-合肥市高三第三次教学质量检测（数学理））已知数列2008，2009，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和等于( )A.2009B.2010C.1D.0参考答案与解析：C解析：由题得an＝an－1＋an＋1 (n ≥2)，∴an＋1＝an－an－1 (n ≥2)，数列的前8项依次为2008，2009，1，－2008，－2009，－1，2008，2009，可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0，∴S2009＝S5＝1，选C．本题考查周期数列的归纳推理能力．6、（2010年-上海市十四校高三联考（数学理））无穷等比数列…各项的和等于( )A．B．C．D．参考答案与解析：B解析：本题考查无穷等比数列的各项和问题．无穷等比数列各项之和存在条件是公比0＜︱q ︱＜1，且和为．依题目的数据知al ＝1．．因此各项和，本题属于简单的基础题． 7、（2010年-长沙市5月高三模拟考试（数学理））等差数列{an}的通项公式是an=1－2n,其前n 项和为Sn,则数列{}的前11项和为( )A.－45B.－50C.－55D.－66 参考答案与解析：D解析：．∴．∴的前11项的和为－66，故选D ．8、（2010年-福建省厦门市2010届高三年级质量检查）正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示。